PUC-Rio, 2017.1, INF1009.3WB: Lógica para computação Lista 1

PUC-Rio, 2017.1, INF1009.3WB: Lógica para computação
Lista 1: Sintaxe e semântica da lógica proposicional
Exercício 1
Elimine o maior número possível de parênteses das seguintes fórmulas.
(a) ((B → (¬A)) ∧ C).
(b) (A ∨ (B ∨ C)).
(c) (((A ∧ (¬B)) ∧ C) ∨ D).
(d) ((B ∨ (¬C)) ∨ (A ∧ B)).
(e) ((¬(¬(¬(B ∨ C)))) ↔ (B ↔ C)).
(f) (¬((¬(¬(B ∨ C))) ↔ (B ↔ C))).
(g) ((((A → B) → (C → D)) ∧ (¬A)) ∨ C).
Exercício 2
Restaure todos os parênteses omitidos das seguintes fórmulas.
(a) C ∨ ¬A ∧ B.
(b) B → ¬¬¬A ∧ C.
(c) C → ¬(A ∧ B → C) ∧ A.
(d) ¬C ∧ (A → A) ↔ ¬A ∨ B.
Exercício 3
Se v(P ∧ Q) = V e v(R) = F , quais os valores verdade das seguintes fórmulas?
(a) P ∨ R.
(b) P ∧ R.
(c) ¬P ∧ ¬R.
(d) P ↔ ¬Q ∨ R.
(e) Q ∨ ¬R → P.
(f) (Q ∨ P) → (Q → ¬R).
(g) (Q → ¬P) ↔ (P ↔ R).
(h) (Q → P) → ((P → ¬R) → (¬R → Q)).
Exercício 4
Um vaso foi roubado de um museu. O ladrão [ladrões] fugiu [fugiram] de carro. Três suspeitos A, B e C,
foram presos e interrogados. Estabeleceu-se o seguinte:
• Nenhuma pessoa salvo A, B e C está implicada no roubo.
• C nunca pratica roubo sem usar A (e talvez outros) como cúmplice.
• B não sabe dirigir.
(a) Traduza proposições anteriores para a linguagem da lógica proposicional.
(b) Mostre via tabela verdade que A é culpado.
Exercício 5
Utilizando a mesma simbolização do Exercício 4 anterior, formalize as seguintes proposições.
1/6
(a) Há pelo menos um culpado entre os suspeitos.
(b) Há pelo menos dois culpados entre os suspeitos.
(c) Há exatamente um culpado entre os suspeitos.
(d) Há exatamente dois culpados entre os suspeitos.
(e) A ou B é culpado, mas não ambos.
Exercício 6
Determine quais dos argumentos do Exercício 3 da Lista 0 são válidos. Justifique via tabela verdade.
Exercício 7
Formalize os argumentos abaixo e determine quais são válidos. Justifique via tabela verdade.
(a) Se Jones é um comunista, então Jones é ateu. Jones é ateu. Logo, Jones é comunista.
(b) Se a temperatura e a pressão do ar estavam constantes, então não houve chuva. A temperatura permaneceu
constante. Portanto, se choveu, então a pressão do ar não se manteve constante.
(c) Se Gorton ganhar a eleição, os impostos subirão se o déficit permanecer alto. Se Gorton ganhar a eleição,
o déficit permanecerá alto. Ou seja, se Gorton ganhar, haverá aumento de impostos.
(d) Se o número x termina em 0, então é divisível por 5. O número x não termina em 0. Logo, x não é
divisível por 5.
(e) Se a = 0 e b = 0, então ab = 0. Mas ab , 0. Portanto, a , 0 e b , 0.
(f) Uma condição suficiente para f ser integrável é que g seja limitada. Uma condição necessária para que h
seja contínua é que f seja integrável. Logo, se g é limitada ou h é contínua, então f é integrável.
(g) Smith não pode, ao mesmo tempo, ser maratonista e fumante. Smith não é maratonista. Logo, Smith é
fumante.
(h) Se Jones dirigiu o carro, Smith é inocente. Se Brown disparou a arma, Smith não é inocente. Portanto,
se Brown disparou a arma, então Jones não dirigiu o carro.
Exercício 8
Determine via tabela verdade quais das seguintes afirmações são verdadeiras.
(a) ((p → q) → q) → q.
(b) ((p → q) → q) → p.
(c) ((p → q) → p) → p.
(d) (q → r) → (p → q) p → q.
(e) p ∧ q p ∨ q.
(f) ¬p → q p.
(g) ¬p ∨ q ↔ (p → q).
(h) ¬(p ∨ q) ≡ p → q.
(i) p ∨ p ≡ p.
(j) (p ∧ q) ↔ q ≡ p → q.
(k) ¬p ∨ (q ↔ (p → q)).
(l) p ∧ (q ∨ r) ≡ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)).
(m) p ∨ (q ∧ r) ≡ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)).
2/6
(n) p → (q → r) q → (p → r).
(o) (p ∨ q) → r (p → r) ∧ (q → r).
(p) {p, q ∨ (p → q) ∨ (p → (p → q))} q ∧ p.
(q) {(p ∧ r → q), (p → q ∨ r)} p → q.
(r) (p ∧ q) ∨ (q ∧ r) ∨ (r ∧ p) ≡ (p ∨ q) ∧ (q ∨ r) ∧ (r ∨ p).
Exercício 9
Determine via tabela verdade quais dos seguintes pares de fórmulas são logicamente equivalentes.
(a) (A → B) → A e A.
(b) A ↔ B e (A → B) ∧ (B → A).
(c) ¬A ∨ B e ¬B ∨ A.
(d) ¬(A ↔ B) e A ↔ ¬B.
(e) A ∨ (B ↔ C) e (A ∨ B) ↔ (A ∨ C).
(f) A → (B ↔ C) e (A → B) ↔ (A → C).
(g) A ∧ (B ↔ C) e (A ∧ B) ↔ (A ∧ C).
Exercício 10
Mostre via tabela verdade que cada uma das fórmulas na coluna I é logicamente equivalente à fórmula
correspondente na coluna II.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
(p)
(q)
(r)
(s)
(t)
(u)
(v)
1
I
¬¬A
A → (B → C)
A ∧ (B ∨ C)
A ∨ (B ∧ C)
(A ∧ B) ∨ ¬B
(A ∨ B) ∧ ¬B
A→B
A↔B
(A ↔ B) ↔ C
A↔B
¬(A ↔ B)
¬(A ∨ B)
¬(A ∧ B)
A ∨ (A ∧ B)
A ∧ (A ∨ B)
A∧B
A∨B
(A ∧ B) ∧ C
(A ∨ B) ∨ C
AYB
(A Y B) Y C
A ∧ (B Y C)
II
A
(A ∧ B) → C
(A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
(A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
A ∨ ¬B
A ∧ ¬B
¬B → ¬A
B↔A
A ↔ (B ↔ C)
(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)
A ↔ ¬B
¬A ∧ ¬B
¬A ∨ ¬B
A
A
B∧A
B∨A
A ∧ (B ∧ C)
A ∨ (B ∨ C)
BYA
A Y (B Y C)
(A ∧ B) Y (A ∧ C)
Dupla negação
Distributividade
Distributividade
Contraposição
Comutatividade do bicondicional
Associatividade do bicondicional
Lei de De Morgan
Lei de De Morgan
Comutatividade da conjunção
Comutatividade da disjunção
Associatividade da conjunção
Associatividade da disjunção
Comutatividade do “ou” exclusivo1
Associatividade do “ou” exclusivo
Distributividade
Veja o Exercício 22.
3/6
Exercício 11
Mostre via tabela verdade que:
(a) ϕ → ψ é logicamente equivalente a ¬ϕ ∨ ψ.
(b) ϕ → ψ é logicamente equivalente a ¬(ϕ ∧ ¬ψ).
Exercício 12
Determine via tabela verdade quais das seguintes proposições são tautologias.
(a) Ou Min está em casa ou não é o caso que ela e Hen estão em casa.
(b) Ou Min está em casa ou nem ela e nem Hen estão em casa.
Exercício 13
Se v(A → B) = V , o que podemos afirmar sobre os valores verdade das fórmulas abaixo?
(a) A ∨ C → B ∨ C.
(b) A ∧ C → B ∧ C.
(c) ¬A ∧ B ↔ A ∨ B.
Exercício 14
Se v(A ↔ B) = F , o que podemos afirmar sobre os valores verdade das fórmulas abaixo?
(a) A ∧ B.
(b) A ∨ B.
(c) A → B.
(d) A ∧ C ↔ B ∧ C.
Exercício 15
Repita o Exercício 14 para v(A ↔ B) = V .
Exercício 16
Complete as afirmações abaixo com “satisfatível”, “falsificável”, “tautologia”, “insatisfatível” ou “n.p.a.”
(nada podemos afirmar).
(a) Se ψ é tautologia, então ϕ → ψ é . . .
(b) Se ψ é insatisfatível, então ϕ → ψ é . . .
(c) Se ϕ é satisfatível, então ϕ ∨ ψ é . . .
(d) Se ϕ é insatisfatível, então ϕ ∧ ψ é . . .
(e) Se ϕ é insatisfatível, então ϕ ∨ ψ é . . .
(f) Se ϕ ∧ ψ é tautologia, então ϕ é . . . e ψ é . . .
(g) Se ϕ → ψ é falsificável, então ϕ é . . . e ψ é . . .
(h) Se ϕ é insatisfatível, então ϕ → ϕ é . . .
Exercício 17
Mostre via tabela verdade que os seguintes pares de fórmulas são logicamente equivalentes.
(a) ϕ ∧ ψ e ψ, se ϕ é tautologia.
(b) ϕ ∨ ψ e ϕ, se ϕ é tautologia.
4/6
(c) ϕ ∧ ψ e ϕ, se ϕ é insatisfatível.
(d) ϕ ∨ ψ e ψ, se ϕ é insatisfatível.
Exercício 18
Determine quais das seguintes afirmações são verdadeiras. Justifique.
(a) Se ϕ é tautologia, então ϕ ψ → ϕ.
(b) Se ϕ é insatisfatível, então ϕ ψ → ϕ.
(c) ϕ ∧ ψ ϕ ∨ ψ.
(d) Se ϕ1 ≡ ϕ2 então ϕ1 → ψ ≡ ϕ2 → ψ.
(e) Se ϕ ∨ ψ é insatisfatível, então ϕ ¬ψ.
(f) Se ϕ ∧ ψ é tautologia, então ψ ϕ.
Exercício 19
Quais das seguintes fórmulas são implicadas logicamente por A ∧ B?
(a) A.
(b) B.
(c) A ∨ B.
(d) ¬A ∨ B.
(e) ¬B → A.
(f) A ↔ B.
(g) A → B.
(h) ¬B → ¬A.
(i) A ∧ ¬B.
Exercício 20
Para cada fórmula ϕ abaixo apresente uma fórmula ψ, logicamente equivalente a ϕ, tal que todas as negações
em ψ são negações de proposições atômicas.
(a) ¬(A → (B ↔ ¬C)).
(b) ¬(¬A ∨ (B → C)).
(c) ¬(A ∧ (B ∨ ¬C)).
Exercício 21
Mostre por tabela verdade que as seguintes afirmações são verdadeiras.
(a) C é consequência lógica de A ∨ B, A → C e B → C.
(b) A1 → A2 , A2 → A3 , . . . e A99 → A100 implicam logicamente em A1 → A100 .
Exercício 22
Seja Y (“ou exclusivo”) um conectivo binário tal que v(ϕ Y ψ) = V se, e somente se, v(ϕ) , v(ψ). Ou seja, a
fórmula ϕ Y ψ é verdade apenas se o valor de verdade de ϕ é diferente do valor de verdade de ψ. Determine
por tabela verdade quais das seguintes fórmulas são logicamente equivalentes.
(a) ϕ Y ψ.
(b) ¬(ϕ ↔ ψ).
5/6
(c) ϕ ↔ ¬ψ.
(d) ¬ϕ ↔ ψ.
Exercício 23
Um conectivo binário é dito associativo se, e somente se, (A
usuais ∧, ∨, → e ↔, quais são associativos? Justifique.
B)
C≡A
(B
C). Dentre os conectivos
Exercício 24
Sejam ϕ1 , ϕ2 e ϕ3 fórmulas contendo apenas os símbolos proposicionais P, Q, e R e os conectivos ¬, ∧ e ∨.
Determine quem são ϕ1 , ϕ2 e ϕ3 a partir da tabela verdade abaixo.
P
Q
R
ϕ1
ϕ2
ϕ3
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
Exercício 25
Apresente uma fórmula logicamente equivalente a A → B que utilize apenas os conectivos lógicos {¬, ∧}. Ou
seja, apresente uma fórmula ϕ contendo as subfórmulas A e B tal que ϕ ≡ A → B. Justifique sua resposta via
tabela verdade.
6/6