Elementos de Aritmética e Álgebra

Matemática
Elementos de Aritmética e Álgebra
Material didático
para o ensino da disciplina
Elementos de Aritmética e Álgebra
do curso de Licenciatura em Matemática
do Campus Blumenau da UFSC
preparado e digitado por Felipe Vieira
- 2014 -
Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Estrutura do livro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Pré-requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Um pouco de história. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. A evolução do estudo dos números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
iii
iii
iv
vi
1.
Números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Operações em N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Sistema de numeração em outras bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Tabela de tabuada em outras bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2
5
6
7
12
13
14
16
17
2.
Números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Construção de Z a partir de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Operações em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Relação de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Princípio da boa ordem (PBO) em N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Princípio do menor inteiro (PMI) em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
24
24
25
26
28
32
33
34
3.
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética . . . . . . . . . . . . . . .
1. Algoritmo da divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Múltiplos e divisores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Critérios de divisibilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Teorema fundamental da aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Máximo divisor comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Mínimo múltiplo comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Números relativamente primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Equações diofantinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
42
45
51
53
58
64
67
67
i
Elementos de Aritmética e Álgebra
ii
10.
11.
Congruências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.
Números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1. Construção de Q a partir de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2. Operações em Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.1. Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2. Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.3. Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.4. Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3. Relação de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4. Representação decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1. Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5. Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.
Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1. Existência de números que não são racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2. Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3. Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4. Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5. Progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6. Equações polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7. Inequações polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8. Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Índice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Introdução
Este material foi inspirado nas notas de aula da disciplina “Elementos de Aritmética
e Álgebra”, que consta na primeira fase do curso Licenciatura em Matemática da
UFSC - Campus Blumenau.
1. Estrutura do livro
O conteúdo deste livro, assim como alguns exemplos e exercícios foram retirados dos
livros que constam na bibliografia.
A ordem de conteúdos segue a construção dos conjuntos mais simples aos mais complicados. Iniciamos com os números naturais e suas operações de adição e multiplicação, estudaremos algumas propriedades dessas e também discutiremos as operações
com números escritos em outras bases.
Depois passamos aos números inteiros, inspirados na vontade de subtrair números.
Após discutir algumas propriedades dessa nova operação, descobriremos que além
de operar, há maneiras de relacionar elementos através de relações de ordem.
Na sequência analisa-se a divisibilidade e a multiplicidade nesses conjuntos: critérios
de divisibilidade, fatoração, números primos, o algoritmo de Euclides, mdc e mmc.
Por fim estudaremos algumas equações simples, as equações diofantinas.
Posteriormente estuda-se o conjunto dos números racionais, norteado pela vontade
de dividir. Após analisar suas propriedades, veremos como escrever frações como
números decimais e vice-versa.
Por fim, segue-se para o conjunto dos números reais, pois descobriremos que existem
números que não podem ser escritos como fração. Com isso estudaremos o conceito
de raíz de um número, assim como resolveremos equações gerais e inequações polinomiais.
2. Pré-requisitos
Não há pré-requisitos para a leitura deste livro, todo conteúdo necessário para lê-lo
está aqui contido.
iii
iv
Elementos de Aritmética e Álgebra
3. Um pouco de história
Como indicar a quantidade de alunos presentes em nossa sala hoje? Como saber se
há mais pedras aqui ou lá?
Até o desenvolvimento do sistema de numeração posicional, a matemática pouco se
desenvolveu. E a todo momento utiliza-se os números: horas, questões financeiras,
comparações...
Os primeiros indícios matemáticos são de mais de 40 mil anos atrás. Atualmente
o mais antigo aceito instrumento matemático é o Osso de Lebombo, encontrado na
Suazilândia e datado entre 43 e 44 mil anos atrás, é uma ferramenta que possui 29
entalhes marcando supostamente o calendário lunar.
Figura 1. Osso de Lebombo
Outro importante instrumento é a tíbia de lobo, conhecida como Wolf bone. Datada
de aproximadamente 30 mil a.C. e encontrada na antiga Tchecoslováquia, possui 57
cortes transversais divididos em blocos de cinco.
Figura 2. Tíbia de lobo
Introdução
Muito tempo depois finalmente utilizou-se símbolos especiais para se representar os
números, principalmente no norte da China, norte da Índia1, Egito e Mesopotâmia2.
Uma das possíveis motivações surge da bem conhecida história do pastor de ovelhas:
Pela manhã, ao liberar as ovelhas para as pastagens, um pastor coletava uma pedra
para cada ovelha que possuía. Se ao recolher as ovelhas sobravam pedras, então
faltavam ovelhas.
Esta história representa uma simples comparação de conjuntos, o conjunto de pedras
corresponde ao conjunto de ovelhas. Isso indica que a muito tempo já se sabia
que para realizar a contagem, pode-se utilizar a mesma representação para uma
mesma quantidade de pedras, ovelhas, pessoas, ou de qualquer coisa que se queira
representar ou contar.
O problema é que conforme se evolui, é necessário contar quantidades maiores:
população, fortunas, produção. . . . Portanto se teve que encontrar maneiras de
expressar quantidades de maneira sistemática que pode ser facilmente estendida.
Para isso, criou-se formas de repetir a contagem:
se 1 homem corresponde à 10 ovelhas então 2 homens correspondem à 20 ovelhas.
Assim há dois símbolos: um para cada item a ser contado, e outro para cada grupo
de itens contados. Há alguns outros importantes modelos que utilizaram tais ideias:
1) Egípcios: (3 mil a.C.) - base dez, sistema aditivo. Possuíam símbolos especiais para 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 mas não para o zero.
2) Babilônios: (3 mil a.C. - Iraque) - base dez para números menores que 60,
base 60 para maiores que 60. Não havia símbolo para o zero, mas deixavam
um espaço vazio para representá-lo. Sabiam multiplicar grandes números.
3) Gregos: (600 a.C.) - base dez, sistema aditivo. Utilizavam 27 letras e acentos
e conseguiam representar até o número dez mil com 4 letras e acentos.
4) Chineses e japoneses: (300 a.C.) - sistema aditivo e multiplicativo. Possuíam 18 símbolos, sendo um deles o zero.
5) Romanos: (1 d.C.) - base dez e sistema aditivo. Representavam números
com as letras I, V, X, L, C, D, M e posteriormente implantaram a subtração3.
6) Maias: (400 d.C.) - base 20, cujos símbolos eram pontos e traços.
1Local onde surgiram os atuais algarismos.
2Atual Iraque.
3Não se pode colocar o mesmo símbolo mais de três vezes seguidas. Barra horizontal em cima
de um símbolo representa multiplicação por mil.
v
vi
Elementos de Aritmética e Álgebra
Figura 3. Sistema de numeração Maia
Os novos símbolos surgiram na Índia em 250 a.C., parecia ser de base 10 mas não
havia o zero nem a notação posicional. Estes últimos surgiram entre 400 e 700 d.C.
São conhecidos como arábicos pois foram estes que os difundiram por volta de 800
d.C. Na verdade quem os descreveu foi o persa al-Kowarizmi 4, que atribuiu o sistema aos indianos. A padronização final dos símbolos foi resultado da invenção da
imprensa em torno de 1500 d.C.
3.1. A evolução do estudo dos números
À medida que as civilizações se desenvolveram quis-se algo mais: problemas surgiram, soluções foram procuradas. Dois dos famosos achados contém muitos dos tais
problemas e soluções: o papiro de Rhind e o papiro de Moscou.
Figura 4. Papiro de Rhind
4A palavra algarismo deriva deste nome, assim como álgebra.
Introdução
Na Grécia começou-se a estudar as propriedades dos números, multiplicidade, divisores, números primos, como pode-se conferir na obra Elementos de Euclides [8]
(300 a.C.)5.
A partir do século XIX começou-se a estudar estruturas algébricas, ou seja, conjuntos
com elementos equipados com operações que satisfazem certas condições: anéis,
grupos, semigrupos.
E finalmente desde 1950 se tem interesse nos números por conta do crescente uso
da criptografia, principalmente por motivos militares e de transferência de dados
sigilosos através da internet.
5Muito de seu conteúdo deve-se à escola Pitagórica (500 a.C.).
vii
CAPíTULO 1
Números naturais
1. Axiomas de Peano
A formulação axiomática do conjunto dos números naturais foi dada por Giuseppe
Peano em 1889, época em que já se conhecia o conceito de zero, número natural
e sucessor. A estrutura elaborada por Peano teve como princípio o fato de que os
números naturais podem ser ordenados de forma que cada elemento tem um sucessor,
a partir do zero.
Assim, 5 axiomas formam a base da estrutura dos números naturais.
Axioma 1: Zero é um número natural.
Axioma 2: Se a é um número natural então a tem um único sucessor que também
é um número natural.
Axioma 3: Zero não é sucessor de nenhum número natural.
Axioma 4: Se dois números naturais têm sucessores iguais, então eles próprios são
iguais.
Axioma 5: Se uma coleção S de números naturais contém o zero e também o
sucessor de todo elemento de S, então S é o conjunto de todos os naturais.
Para representar o conjunto dos número naturais utiliza-se o símbolo N e para
representar o zero, o símbolo 0. O sucessor de um número natural a é representado
por a+ . Pode-se reescrever os axiomas numa forma simbólica mais compacta.
Axioma 1: 0 ∈ N.
Axioma 2: a ∈ N ⇒ ∃! a+ ∈ N.
Axioma 3: (∀a ∈ N)a+ 6= 0.
Axioma 4: a+ = b+ ⇒ a = b.
Axioma 5: (0 ∈ S) ∧ (∀a ∈ S ⇒ a+ ∈ S) ⇒ S = N.
1
Elementos de Aritmética e Álgebra
2
O quinto axioma não é necessário na construção dos número naturais, porém oferece
uma importante ferramenta de demonstração, conhecida como Princípio de indução.
Após a invenção da imprensa e a uniformização dos algarismos definiu-se que1
N = {0, 1, 2, 3 . . . } ,
N∗ = {1, 2, 3 . . . } .
2. Operações em
N
Dado um certo conjunto C considere seu produto cartesiano
C × C = {(x, y) : x, y ∈ C} .
Em
N duas operações são definidas:
adição e multiplicação.
2.1. Adição
A definição da operação de adição, representada por +, é a seguinte:
+:N×N→N
(a, b) 7→ a + b ,
onde
a+0=a=0+a
a + b+ = (a + b)+ = a+ + b .
Os termos a e b são ditos somandos ou parcelas, e o resultado da operação é chamada
de soma. Assim, utilizando o conceito de sucessor, consegue-se somar quaisquer dois
números naturais (embora isso possa demandar batante trabalho!)
Exemplo 1.1:
3 + 2 = 3 + 1+ = (3 + 1)+ = (3 + 0+ )+ = [(3 + 0)+ ]+ = (3+ )+ = 4+ = 5 .
Portanto a soma do par (3, 2) em N é 5. No cotidiano utiliza-se maneiras mais
rápidas de somar números, e isso vem da maneira visualmente fácil na qual escrevese os números: na base dez. Nesta base, a representação do número é a mesma que
a quantidade que o próprio número representa.
Exemplo 1.2:
524 = 500 + 20 + 4
= 5 · 100 + 2 · 10 + 4
= 5 · 102 + 2 · 101 + 4 · 100 .
1Algun autores não consideram 0 um número natural. Isso se deve ao uso desse conjunto nas
diversas subáreas matemáticas.
Números naturais
3
Também é importante notar que utilizando apenas dez algarismos
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
consegue-se escrever qualquer número, não importa de qual tamanho. Não é necessário considerar outros símbolos como um algarismo.
De maneira geral, se abcd representa um número de quatro algarismos a, b, c, d, então:
abcd = a · 103 + b · 102 + c · 101 + d · 100 = (abcd)10 .
Tal representação é chamada representação polinomial do número em questão na
base 10.
Exemplo 1.3:
7809354 = 7 · 106 + 8 · 105 + 0 · 104 + 9 · 103 + 3 · 102 + 5 · 101 + 4 · 100
= (7809354)10 .
Assim, para realizar a adição de forma compacta e rápida, pode-se utilizar essa
representação.
Exemplo 1.4:
31 + 326 = 3 · 101 + 1 · 100 + 3 · 102 + 2 · 101 + 6 · 100
= 3 · 102 + 3 · 101 + 2 · 101 + 1 · 100 + 6 · 100
= 3 · 102 + (3 + 2) · 101 + (1 + 6) · 100
= 3 · 102 + 5 · 101 + 7 · 100
= 357 .
Vamos repetir o processo para realizamos a adição abaixo.
152 + 764 = (1 · 102 + 5 · 101 + 2 · 100 ) + (7 · 102 + 6 · 101 + 4 · 100 )
= 8 · 102 + 11 · 101 + 6 · 100
= (∗) .
Elementos de Aritmética e Álgebra
4
Note que há um problema em 11 · 101 , pois 11 não é um algarismo permitido na base
10. Portanto devemos desconstruir essa parcela:
(∗) = 8 · 102 + 11 · 101 + 6 · 100
= 8 · 102 + (10 + 1) · 101 + 6 · 100
= 8 · 102 + 1 · 102 + 1 · 101 + 6 · 100
= 9 · 102 + 1 · 101 + 6 · 100
= 916 .
Note que esta desconstrução é o “vai um” que se utiliza na forma reduzida de fazer
a adição.
1
152
+7 6 4
916
Existem 5 propriedades básicas que a adição satisfaz no conjunto dos números naturais. Sejam a, b e c números naturais:
A1) Associatividade da adição:
a + (b + c) = a + b + c = (a + b) + c .
A2) Comutatividade da adição:
a + b = b + a.
A3) Existência de elemento neutro da adição:
a + 0 = 0 + a = a.
A4) Lei do cancelamento da adição:
a+b=a+c⇒b=c
b + a = c + a ⇒ b = c.
A5) Lei do anulamento:
a + b = 0 ⇒ a = b = 0.
É interessante perceber que mesmo sem conhecer as propriedades acima, ao se fazer
um simples cálculo mental, utiliza-se essas propriedades com o intuito de facilitar a
adição de grandes números.
Exemplo 1.5:
765 + 372 = (700 + 60 + 5) + (300 + 70 + 2)
por (A1) = 700 + 60 + 5 + 300 + 70 + 2
por (A2) = 700 + 300 + 60 + 70 + 5 + 2
por (A1) = (700 + 300) + (60 + 70) + (5 + 2)
= 1000 + 130 + 7
= 1137 .
Números naturais
5
2.2. Multiplicação
A multiplicação é representada por · e associa cada par (a, b) de números naturais
ao número natural a · b:
·:N×N→N
(a, b) 7→ a · b ,
onde

 a·0=0=0·a
a · b+ = a · b + a
a+ · b = a · b + b .
Os números multiplicados são chamados de fatores e o resultado denomina-se produto.

Exemplo 1.6:
2 · 3 = 1+ · 3 = 1 · 3 + 3 = 0+ · 3 + 3 = 0 · 3 + 3 + 3 = 0 + 3 + 3 = 3 + 3 = 6 .
Também podemos realizar a multiplicação através da representação polinomial dos
fatores, exemplificado abaixo (aplicaremos a mesma desconstrução utilizada na equação (2.1)).
346 · 13 = (3 · 102 + 4 · 101 + 6 · 100 ) · (1 · 101 + 3 · 100 )
= 3 · 103 + 9 · 102 + 4 · 102 + 12 · 101 + 6 · 101 + 18 · 100
= 3 · 103 + 13 · 102 + 18 · 101 + 18 · 100
= 3 · 103 + 10 · 102 + 3 · 102 + 10 · 101 + 8 · 101 + 10 · 100 + 8 · 100
= 3 · 103 + 1 · 103 + 3 · 102 + 1 · 102 + 8 · 101 + 1 · 101 + 8 · 100
= 4 · 103 + 4 · 102 + 9 · 101 + 8 · 100
= 4498 .
Novamente a desconstrução é o “vai um”. Compactadamente tem-se o seguinte.
34
1
103
+3 4 6
449
×
6
3
8
8
Na multiplicação valem as seguintes 4 propriedades básicas. Sejam a, b e c números
naturais:
M1) Associatividade da multiplicação:
a · (b · c) = abc = (a · b) · c .
Elementos de Aritmética e Álgebra
6
M2) Comutatividade da multiplicação:
a · b = b · a.
M3) Existência de elemento neutro da multiplicação:
a · 1 = 1 · a = a.
D) Distributividade:
(a + b) · c = a · c + b · c
a · (b + c) = a · b + a · c .
As propriedades acima nos permitem operar números de várias maneiras.
Exemplo 1.7:
(7 + 2) · 4 = 7 · 4 + 2 · 4 = 28 + 8 = 36 ,
(7 + 2) · 4 = 9 · 4 = 36 .
Definição 1.1: Dado um número inteiro a, o fatorial de a, denotado a!, é o produto
de todos números positivos menores ou iguais a a.
Por definição, 0! = 1.
Exemplo 1.8: Segue que
7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 .
2.3. Subtração
No conjunto dos números naturais não é possível subtrair quaisquer dois números,
afinal, o resultado pode não estar em N. Assim apenas consideramos a subtração
a − b quando o número a é maior que o número b.
Exemplo 1.9: Vamos calcular 539 − 128:
539 − 128 = (5 · 102 + 3 · 101 + 9 · 100 ) − (1 · 102 + 2 · 101 + 8 · 100 )
= (5 − 1) · 102 + (3 − 2) · 101 + (9 − 8) · 100
= 4 · 102 + 1 · 101 + 1 · 100
= 411 .
Números naturais
Agora vejamos o exemplo 148 − 72:
148 − 72 = (1 · 102 + 4 · 101 + 8 · 100 ) − (7 · 101 + 2 · 100 )
= 1 · 102 + (4 − 7) · 101 + (8 − 2) · 100
= 1 · 102 + (4 − 7) · 101 + 6 · 100
= (∗) .
Note que se teria um algarismo negativo multiplicando 101 . Para que isso não ocorra,
toma-se emprestada uma parcela de 102 .
(∗) = 10 · 101 + (4 − 7) · 101 + 6 · 100
= (10 + 4 − 7) · 101 + 6 · 100
= 7 · 101 + 6 · 100
= 76 .
O processo de tomar uma parcela emprestada é exatamente o que se faz na conta
compacta abaixo, ao não se poder diretamente fazer a subtração 4 − 7.
No Capítulo 2, Seção 2.3, em que estaudaremos o conjunto dos números inteiros,
analisaremos a subtração em maiores detalhes.
3. Sistema de numeração em outras bases
Por analogia à base 10, ao se escrever números na base 5 utiliza-se apenas 5 algarismos: {0, 1, 2, 3, 4}, e tais algarismos estarão multiplicando potências de 5.
Exemplo 1.10: Para escrever 87 na base 5, note que a maior potência de 5 que é
menor que 87 é 52 = 25 e ainda tal potência cabe três vezes em 87. Assim
87 = 3 · 52 + 12 .
Precisa-se descobrir como escrever 12 na base 5. Obviamente a potência 52 é maior
que 12, e portanto a próxima potência de 5 que é menor que 12 é 51 . De fato, pode-se
adicionar duas parcelas de tal potência e obter
12 = 2 · 51 + 2 .
Analogamente ao feito acima, o número 2 é igual a duas vezes a potência 50 , ou seja
2 = 2 · 50 .
Reunindo as três equações acima, obtém-se
87 = 3 · 52 + 2 · 51 + 2 · 50 .
7
Elementos de Aritmética e Álgebra
8
Conclui-se então que o número 87 é igual à 322 na base 5, ou seja
87 = (322)5 .
Exemplo 1.11: Para representar 131 na base 5, note que a maior potência de 5
que é menor que 131 é 53 = 125 que cabe uma vez em 131. Assim
131 = 1 · 53 + 6 .
Note que 52 é maior que 6, consequentemente a potência 51 é a maior que é menor
do que 6. Portanto
6 = 1 · 51 + 1 .
Já que
1 = 1 · 50 ,
obtém-se
131 = 1 · 53 + 1 · 51 + 1 · 50
= 1 · 53 + 0 · 52 + 1 · 51 + 1 · 50
= (1011)5 .
Logo
131 = (1011)5 .
É importante mencionar que devemos utilizar todas potências da base dada, nem
que estejam multiplicadas por zero.
Exemplo 1.12: Escreva 20 na base 5.
20 = 4 · 51
Portanto:
20 = 4 · 51 + 0 · 50 .
Logo
20 = (40)5 .
Exemplo 1.13: Para representar 75 na base 5, veja que
75 = 3 · 52 .
Logo escreve-se
75 = 3 · 52 + 0 · 51 + 0 · 50 .
Daí
75 = (300)5 .
Números naturais
O mesmo procedimento se aplica à qualquer base: fixada base 1 < b ∈
número natural a tem uma representação polinomial única na forma
9
N,
todo
a = ar .br + ar−1 .br−1 + · · · + a1 .b1 + a0 .b0 ,
e esta representação também poderá ser apresentada na forma
a = (ar ar−1 . . . a1 a0 )b .
A tática é sempre a mesma da aplicada nos exemplos acima.
Exemplo 1.14: Note que
87 = 1 · 81 + 6
= 1 · 34 + 6
= 1 · 34 + 2 · 3
= 1 · 34 + 2 · 31
= 1 · 34 + 0 · 33 + 0 · 32 + 2 · 31 + 0 · 30 .
Logo
87 = (10020)3 .
A representação polinomial acima permite de maneira ainda mais simples aplicar o
processo contrário, ou seja, dado um número em uma certa base, pode-se facilmente
descobrir qual a quantidade que ele representa.
Exemplo 1.15: Segue que
(12)3 = 1 · 31 + 2 · 30
=1·3+2·1
=3+2
= 5.
Logo
(12)3 = 5 .
Exemplo 1.16: Tem-se
(1111)7 = 1 · 73 + 1 · 72 + 1 · 71 + 1 · 70
= 1 · 343 + 1 · 49 + 1 · 7 + 1
= 343 + 49 + 7 + 1
= 400 .
Logo
(1111)7 = 400 .
Elementos de Aritmética e Álgebra
10
Assim como é possível fazer a ida e a volta na mesma conta.
Exemplo 1.17: Vamos transformar (114)5 para a base 7.
(114)5 = 1 · 52 + 1 · 51 + 4 · 50
= 1 · 25 + 1 · 5 + 4 · 1
= 25 + 5 + 4
= 34
=4·7+6
= 4 · 71 + 6 · 70 .
Logo
(114)5 = (46)7 .
Exemplo 1.18: Escreva (423)7 na base 2.
(423)7 = 4 · 72 + 2 · 71 + 3 · 70
= 4 · 49 + 2 · 7 + 3 · 1
= 196 + 14 + 3
= 213
= 128 + 64 + 16 + 4 + 1
= 1 · 27 + 1 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 .
Logo
(423)7 = (11010110)2 .
Ao se trabalhar com bases maiores que dez, um problema surge: não há uma unicidade a respeito do significado do número (12)13 , pois ele pode representar o número
com algarismos 1 e 2, ou o número com um algarismo único 12, já que na base 13
tem-se os algarismos sendo todos números entre 0 e 12. Para evitar tal problema,
se renomeia todos algarismos maiores ou iguais a dez:
0, 1, . . . , 9, 10 = a, 11 = b, 12 = c, 13 = d . . . .
Exemplo 1.19: Descubra que quantidade é representada por (13b)13 .
(13b)13 = 1 · (13)2 + 3 · (13)1 + b · (13)0
= 1 · 169 + 3 · 13 + 11 · 1
= 169 + 39 + 11
= 219 .
Logo
(13b)13 = 219 .
Números naturais
11
Exemplo 1.20: Escreva 55 e 60 na base 5.
55 = 2 · 52 + 1 · 51 + 0 · 50 = (210)5 ,
60 = 2 · 52 + 2 · 51 + 0 · 50 = (220)5 .
Notavelmente a diferença é de uma unidade da parcela que representa a multiplicação
por 5.
Exemplo 1.21: Um outro método para se determinar a representação polinomial
dos números é através da divisão sucessiva. Para escrever 59 na base 3, comece
dividindo 59 por 3, e depois sucessivamente faça a divisão de cada quociente tam59 3
19 3
bém por 3, até que o quociente seja zero. 2 9 1 9
1 6
2
6 3
2 3
Aí basta tomar os restos de trás para frente
0 2
2 0
para obter
59 = (2012)3 .
O motivo desta tática funcionar pode ser descoberto ao se desconstruir as contas
feitas acima.
59 = 19 · 3 + 2
= (6 · 3 + 1) · 3 + 2
= [(2 · 3 + 0) · 3 + 1] · 3 + 2
= (2 · 32 + 0 · 3 + 1) · 3 + 2
= 2 · 33 + 0 · 32 + 1 · 31 + 2 · 30
= (2012)3 .
É fácil notar que os restos são os algarismos procurados.
Exemplo 1.22: Escreva 341 na base 8.
341
21
5
8
42
42
2
8
5
5
5
8
0
Logo
341 = (525)8 .
Exemplo 1.23: Represente 1717 na base 11.
Elementos de Aritmética e Álgebra
12
1717
61
67
1
Daí
11
156
156
46
2
11
14
14
3
11
1
1
1
11
0
1717 = (1321)11 .
De fato
1717 = 1 · (11)3 + 3 · (11)2 + 2 · (11)1 + 1 · (11)0 .
Os computadores trabalham em código binário (sistema sim ou não), ou seja, base
2. Utilizam apenas 0’s e 1’s. Veremos agora que a operação de números é análoga
em qualquer base.
3.1. Adição
Considere a adição entre (134)5 e (11)5 .
(134)5 + (11)5 = (1 · 52 + 3 · 51 + 4 · 50 ) + (1 · 51 + 1 · 50 )
= 1 · 52 + (3 · 51 + 1 · 51 ) + (4 · 50 + 1 · 50 )
= 1 · 52 + 4 · 51 + (5 · 50 )
= 1 · 52 + 4 · 51 + 1 · 51
= 1 · 52 + 5 · 51
= 1 · 52 + 1 · 52
= 2 · 52
= (200)5 .
Soma-se separadamente cada algarismo que multiplica o mesmo expoente do número
5. Ao somar-se 4 e 1, que acompanham 50 , obtém-se um número que não é um
algarismo da base 5. Para resolver este problema transforma-se este número em um
algarismo que agora acompanha 51 . O mesmo posteriormente aconteceu com 51 ,
que foi resolvido transformando a potência em 52 . Notoriamente, esta soma pode
ser compactada no seguinte molde.
Exemplo 1.24: Para somar (235)6 e (452)6 utiliza-se a mesma tática.
Números naturais
13
Exemplo 1.25: A soma de (243)5 e (431)5 segue.
Portanto, independentemente da base, a adição segue o mesmo princípio que utilizamos para somar números na base 10.
3.2. Multiplicação
Vejamos como funciona a multiplicação.
(531)7 · (13)7 = (5 · 72 + 3 · 71 + 1 · 70 ) · (1 · 71 + 3 · 70 )
= (5 · 73 + 3 · 72 + 1 · 71 ) + (15 · 72 + 9 · 71 + 3 · 70 )
= (5 · 73 + 3 · 72 + 1 · 71 ) + (2 · 73 + 2 · 72 + 2 · 71 + 3 · 70 )
= 7 · 73 + 5 · 72 + 3 · 71 + 3 · 70
= (7 + 0) · 73 + 5 · 72 + 3 · 71 + 3 · 70
= 7 · 73 + 0 · 73 + 5 · 72 + 3 · 71 + 3 · 70
= 1 · 74 + 0 · 73 + 5 · 72 + 3 · 71 + 3 · 70
= (10533)7 .
A multiplicação acima pode ser feita de forma curta.
Elementos de Aritmética e Álgebra
14
Exemplo 1.26: Multiplique (710)9 e (88)9 .
Exemplo 1.27: Multiplique (710)9 e (100)9 .
Note que (88)9 + (1)9 = (100)9 . Assim é de se esperar que
(70180)9 + (710)9 = (71000)9 .
Logo a forma compacta da multiplicação em qualquer base funciona de modo análogo
ao que já se conhece, na base 10.
3.3. Subtração
A ideia é sempre manter algarismos permitidos multiplicando expoentes da base
em questão, podendo assim tomar-se emprestado ou emprestar na medida que for
necessário. Vejamos abaixo.
(235)8 − (173)8 = (2 · 82 + 3 · 81 + 5 · 80 ) − (1 · 82 + 7 · 81 + 3 · 80 )
= (2 − 1) · 82 + (3 − 7) · 81 + (5 − 3) · 80
= 1 · 82 + (3 − 7) · 81 + 2 · 80
= 8 · 81 + (3 − 7) · 81 + 2 · 80
= 4 · 81 + 2 · 80
= (42)8 .
Números naturais
15
Note que (3 − 7) é negativo e portanto não é um algarismo permitido. Assim se
toma emprestado 8 unidades da potência seguinte, 82 . A subtração acima também
funciona de forma compacta analogamente à subtração da base 10.
Exemplo 1.28: Abaixo subtrai-se (101)2 de (1010)2 .
Ou seja, (1010)2 = 10 é o dobro de (101)2 = 5.
Exemplo 1.29: Segue a subtração (713)9 − (247)9 .
Exemplo 1.30: Some, multiplique e subtraia os números (c74)13 e (999)13 onde
a = 10, b = 11, c = 12.
16
Elementos de Aritmética e Álgebra
3.4. Tabela de tabuada em outras bases
Na base 10 a tabela de tabuada2 é aquela em que se lista todas possíveis multiplicações entre os algarismos (de 0 a 9). Pode-se fazer o mesmo para qualquer base,
inclusive montando tábuas de tabuada da soma além da multiplicação. Lembrando
que as respostas também devem apresentar apenas algarismos permitidos na respectiva base, abaixo seguem 3 exemplos.
Adição na base 5:
+
0
1
2
3
4
0 1 2 3
0 1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 10
3 4 10 11
4 10 11 12
Multiplicação na base 5:
2Também conhecida como tábua de tabuada.
4
4
10
11
12
13
Números naturais
+
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
17
1 2 3 4
0 0 0 0
1 2 3 4
2 4 11 13
3 11 14 22
4 13 22 31
Multiplicação na base 7:
+
0
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
0
0
1 2 3 4
0 0 0 0
1 2 3 4
2 4 6 11
3 6 12 15
4 11 15 22
5 13 21 26
6 15 24 33
4. Exercícios
Exercício 1.1: Pesquise sobre:
a) Papiro de Rhind.
b) Papiro de Moscou.
c) Elementos de Euclides.
d) Números romanos.
e) O persa al-Khwarizmi.
f) Wolf bone ou Wolf tibia.
g) Osso de Lebombo.
h) Osso de Ishango.
Exercício 1.2: Pesquise e faça o que se pede:
a) Defina números figurados e dê exemplos.
5
0
5
13
21
26
34
42
6
0
6
15
24
33
42
51
Elementos de Aritmética e Álgebra
18
b) Defina números perfeitos e dê exemplos.
c) Defina números amigos e dê exemplos.
Exercício 1.3: Qual conjunto é criado ao se considerar apenas os Axiomas de Peano 2, 3 e 4? E apenas 1, 2 e 4? E 1, 3 e 4?
Exercício 1.4: Dê a representação polinomial dos números:
a) 320
b) 9183743
c) 9997
d) 5363.
Exercício 1.5: Resolva:
a) 234 + (523 + 191)14
b) 343 + (21(142 + 93) + 2) + 21(41 + 13(933 + 218 + 3))
c) 3(21(32 + 812) + 2) + 21
d) 94 + 3(24 + 94(34(21 + 90)) + 8) + 2
e) 1 + ((2 + 3)4 + 5(6 + 7)8)9
f) 193874 + 238564 + 2374 + 2374 + 19783
g) 3187 · 1908
h) (189273 + 12312)390
i) 123456789 + 987654321.
Exercício 1.6: Dados a, b ∈ N defina uma nova operação
a ∗ b = a + 2b .
Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Vale a Lei
do Cancelamento? E a Lei do Anulamento?
Números naturais
19
Exercício 1.7: Dados a, b ∈ N defina uma nova operação
a ∗ b = ab + 2 .
Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Vale a Lei
do Cancelamento? E a Lei do Anulamento?
Exercício 1.8: Dados a, b ∈ N defina uma nova operação
a ∗ b = (1 + a)b .
Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Vale a Lei
do Cancelamento? E a Lei do Anulamento?
Exercício 1.9: Quais são as 5 propriedades satisfeitas pela adição em
N?
Exercício 1.10: Quais são as 4 propriedades satisfeitas pela multiplicação em
N?
Exercício 1.11: Calcule 10!, 17! e 9!.
Exercício 1.12: Encontre todos os números naturais iguais à soma dos fatoriais
dos seus algarismos.
Exercício 1.13: Como funciona a subtração em
Exercício 1.14: O que significa a ≤ b em
N?
N?
Exercício 1.15: Qual número é maior: 1234567 · 1234569 ou 1234568 · 1234568?
Exercício 1.16: Como você definiria a divisão em N? Seria possível dividir qualquer número natural por qualquer outro número natural? Há exceções?
Elementos de Aritmética e Álgebra
20
Exercício 1.17: Construa as tabelas de tabuada da adição e da multiplicação da
base 6.
Exercício 1.18: Construa as tabelas de tabuada da adição e da multiplicação da
base 8.
Exercício 1.19: Construa as tabelas de tabuada da adição e da multiplicação da
base 12 (onde 10 = a e 11 = b).
Exercício 1.20: Escreva:
a) 25 na base 2
b) 25 na base 12
c) 3546 na base 2
d) 345 na base 12
e) 25 na base 3
f) 1234 na base 12
g) 59 na base 4
h) 2342 na base 12
i) 2345 na base 4
j) 252525 na base 12
k) 59 na base 5
l) (935)15 na base 10
m) 25 na base 5
n) 132 na base 12
o) 32454 na base 5
p) 87 na base 12
q) 39 na base 7
r) (322)5 na base 10
s) (342786)9 na base 8
t) (322)5 na base 3.
Exercício 1.21: Calcule:
Números naturais
a) (123)4 + (321)4
b) (1011)2 · (1000)2
c) (166)7 + (3611)7
d) (143)9 · (5255)9
e) (16)9 + (47456)9
f) (2222)3 + (1111)3
g) (8888)9 · (77777)9
h) (3210)4 + (123)4
i) (242)5 · (74)9
j) (78247)9 · (1284)9
k) (454)7 · (5246)7
l) (878)9 · (545)9
m) (273564)8 − (15677)8
n) (500)6 − (253)6
o) (12121)3 − (2121)3
p) (3082)9 − (283)9 .
Exercício 1.22: Considerando 10 = a, 11 = b e 12 = c, calcule:
a) (168)13 + (361a)13
b) (cb3a)13 · (a3bc)13
c) (123c)13 + (ba72)13
d) (4123)11 · (aaa)11
e) (ba7)13 + (323b)13
f) (33ba)13 + (94c)13
g) (108)13 · (9129)13
h) (bb1)12 + (234a)12
i) (242a)13 · (999)13
j) (aaa)13 · (bbb)13
k) (1344)13 − (24c)13
l) (11111)11 − (a21a)11
m) (cba0)13 − (979)13
n) (ababa)12 − (bb9b)12 .
Exercício 1.23: Sabendo que (630n)7 − (x27)9 = (4x46)8 , encontre o valor de n.
21
CAPíTULO 2
Números inteiros
1. Construção de
Z a partir de N
No conjunto dos números naturais somente se pode subtrair um número menor de
um maior. Porém o anseio de subtrair qualquer par de números nos leva a expandir
o conjunto dos números naturais. Ao conjunto N acrescenta-se todas diferenças b−a
com b menor que a, formando um novo conjunto.
Assim, 0 − 1, 1 − 2, 2 − 3, . . . será representado pelo inteiro −1.
Analogamente 0 − 2, 1 − 3, 2 − 4, . . . será representado pelo inteiro −2.
E assim sucessivamente para definir o número −a, com a ∈
número 0 − a. Denota-se
N, que representará o
Z = {· · · − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 . . . } .
A letra Z foi introduzida pelo matemática alemão Edmund Landau, por conta da
palavra alemã Zahl, que significa número. Geometricamente tem-se
Note também que
N ( Z.
Define-se alguns outros importantes subconjuntos de
• Inteiros não nulos:
Z∗ = {· · · − 2, −1, 0, 1, 2, 3 . . . } .
• Inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3 . . . } .
• Inteiros positivos:
Z∗+ = {1, 2, 3 . . . } .
• Inteiros não positivos:
Z− = {0, −1, −2, −3 . . . } .
23
Z.
Elementos de Aritmética e Álgebra
24
• Inteiros negativos:
Z∗− = {−1, −2, −3 . . . } .
2. Operações em
Z
Todas operações definidas em
N serão estendidas para Z.
2.1. Adição
Definida como
+:Z×Z→Z
(a, b) 7→ a + b .
Chama-se a e b de parcelas e a + b é a soma.
Sejam a, b, c números inteiros. Então valem as seguintes afirmações.
A1) Propriedade associativa da adição:
a + (b + c) = a + b + c = (a + b) + c .
A2) Propriedade comutativa da adição:
a + b = b + a.
A3) Propriedade do elemento neutro da adição:
a + 0 = 0 + a = a.
A4) Propriedade do cancelamento da adição:
a + b = a + c ⇒ b = c.
A6) Propriedade do elemento oposto: Existe único −a tal que
a + (−a) = 0 = (−a) + a .
Em Z não vale a lei do anulamento (A5), já que a + b = 0 não necessariamente
implica a = b = 0, pois dois opostos somados resulta em zero (A6).
É importante frisar que o símbolo −, utilizado aqui para simbolizar o oposto de
um número, também é utilizado para indicar a operação de subtração, que veremos
adiante.
Observação 2.1: Note que (A6) não garante apenas a existência, mas também a
unicidade do oposto. Assim dado a ∈ Z, se para algum b ∈ Z sabe-se que a + b = 0,
então a unicidade em (A6) garante que b = −a.
Números inteiros
25
2.2. Multiplicação
Continua sendo representada por ·.
·:Z×Z→Z
(a, b) 7→ a · b .
Os números a e b são os fatores, e a · b é o produto.
Sejam a, b, c números inteiros. Então valem as seguintes propriedades.
M1) Propriedade associativa da multiplicação:
a · (b · c) = (a · b) · c .
M2) Propriedade comutativa da multiplicação:
a · b = b · a.
M3) Propriedade do elemento neutro da multiplicação:
a · 1 = 1 · a = a.
M4) Propriedade do cancelamento da multiplicação: Se c 6= 0 então
a · c = b · c ⇒ a = b.
D) Propriedade distributiva:
(a + b) · c = a · c + b · c
a · (b + c) = a · b + a · c .
As propriedades acima implicam algumas proposições importantes. A proposição
abaixo nos diz que qualquer número inteiro multiplicado por 0, resulta em 0.
Proposição 2.1: Seja a ∈ Z, então a · 0 = 0 · a = 0.
Demonstração: Seja a ∈ Z:
0 + a · 0 = a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 .
Daí, pela propriedade do cancelamento da adição (A4):
0 + a · 0 = a · 0 + a · 0 ⇒ 0 = a · 0.
Proposição 2.2: Seja a ∈ Z, então (−1) · a = −a.
Demonstração: Seja a ∈ Z. Note que
a + (−1) · a = 1 · a + (−1) · a = [1 + (−1)] · a = 0 · a = 0 .
Já que −a é o único oposto de a, segue que −a = (−1) · a.
Elementos de Aritmética e Álgebra
26
Ou seja, um número multiplicado por −1 resulta em seu oposto.
Proposição 2.3: Sejam a, b ∈ Z. Se a · b = 0 então a = 0 ou b = 0.
Demonstração: Se a = 0 o problema estaria resolvido. Então supõe-se que a 6= 0 e
deve-se provar que b = 0. Note que a · b = 0 = a · 0 e então, pela lei do cancelamento
(M4) e já que a 6= 0, segue que b = 0.
A partir de agora, denotaremos a · b simplesmente por ab.
2.3. Subtração
Dados a, b pertencentes a
Z define-se a diferença a − b como
a − b = a + (−b).
Assim a subtração em
Z é uma função
−:Z×Z→Z
(a, b) 7→ a + (−b) .
Não é associativa, nem comutativa e não há elemento neutro. Vejamos algumas
propriedades que envolvem a subtração.
Proposição 2.4: Sejam a, b ∈ Z, então (a − b) + b = a.
Demonstração:
A1
A6
A3
(a − b) + b = [a + (−b)] + b = a + [(−b) + b] = a + 0 = a .
Exemplo 2.1: (7 − 9) + 9 = 7 e (−3 − 1) + 1 = −3.
Proposição 2.5: Sejam a, b ∈ Z, então −(a + b) = (−a) + (−b) = −a − b.
Demonstração: Note que
A1,A2
A6
A3
a + b + [(−a) + (−b)] = [a + (−a)] + [b + (−b)] = 0 + 0 = 0 .
Logo já que o oposto é único
−(a + b) = (−a) + (−b) ,
que por definição é igual a −a − b.
Números inteiros
27
Exemplo 2.2: −(5 + 1) = −5 − 1 = −6 e −(−3 + 12) = −(−3) − 12 = 3 − 12 = −9.
Proposição 2.6: Sejam a, b ∈ Z, então −(ab) = (−a)b = a(−b).
Demonstração: Utilizando propriedades e proposições anteriores:
(−a)b
P rop.2.2
=
M1
[(−1)a]b = (−1)(ab)
P rop.2.2
=
−(ab) .
A segunda igualdade pode ser demonstrada de forma análoga.
Exemplo 2.3: −(7 · 9) = (−7) · 9 = 7 · (−9) = −63.
A próxima proposição nos garante que o oposto do oposto de um número, é o próprio
número.
Proposição 2.7: Seja a ∈ Z, então −(−a) = a.
Demonstração: Pela propriedade (A6) tem-se que
−a + a = 0 .
Portanto a é o oposto de −a, ou seja, a = −(−a).
Observação 2.2: Dado a ∈ Z, nem sempre −a significa um número negativo.
• se a é um número positivo então −a é de fato negativo;
• se a é negativo então seu oposto −a representa um número positivo;
Proposição 2.8: Sejam a, b ∈ Z, então (−a)(−b) = ab.
Elementos de Aritmética e Álgebra
28
Demonstração:
(−a)(−b)
P rop.2.6
−[a(−b)]
=
P rop.2.6
=
−[−(ab)]
P rop.2.7
=
ab .
Exemplo 2.4: Segue que
(−7)(−15) = 7 · 15 = 105
e
(−3)(21) = 3(−21) = −63 .
Proposição 2.9: Sejam a, b ∈ Z, então −(a − b) = b − a.
Demonstração: Note que
A1
A6
A6
(a − b) + (b − a) = a + [(−b) + b] + (−a) = a + (−a) = 0 .
Como o oposto é único, segue que b − a = −(a − b).
Exemplo 2.5: −(23 − 11) = 11 − 23 = −12 e −(−3 − 1) = 1 − (−3) = 1 + 3 = 4.
Proposição 2.10: Sejam a, b, c ∈ Z, então a(b − c) = ab − ac.
Demonstração:
D
a(b − c) = a[b + (−c)] = ab + a(−c)
P rop.2.6
=
ab + (−ac) = ab − ac .
Exemplo 2.6: Note que
3(2 − 19) = 3 · 2 − 3 · 19 = 6 − 57 = −51
e
4(−3 − 1) = 4(−3) − 4 · 1 = −12 − 4 = −16 .
3. Relação de ordem
Definição 2.1: Dados a, b inteiros diz-se que “a é menor ou igual a b” quando b − a
pertence a Z+ .
Números inteiros
Simbolicamente
29
a ≤ b ⇔ b − a ∈ Z+ .
É equivalente à b ≥ a ou “b é maior ou igual a a”, ou
a ≤ b ⇔ ∃c ∈ Z+ : a + c = b ,
pois basta escolher c = b − a.
A relação ≤ satisfaz quatro importantes propriedades.
Proposição 2.11: Sejam a, b, c ∈ Z.
1)
2)
3)
4)
Reflexiva: a ≤ a.
Antissimétrica: a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = b.
Transitiva: a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c.
Total: a ≤ b ou b ≤ a.
Demonstração: 1) Note que a − a = 0 ∈ Z+ . Logo a ≤ a.
2) Segue:
a ≤ b ⇒ b − a ∈ Z+ ,
b ≤ a ⇒ a − b ∈ Z+ .
Ou seja, b − a = a − b = 0 e portanto a = b.
3) Segue:
a ≤ b ⇒ b − a ∈ Z+ ,
b ≤ c ⇒ c − b ∈ Z+ .
Daí, c − a = (c − b) + (b − a) ∈ Z+ e portanto a ≤ c.
4) Sejam a, b ∈ Z+ e note que b − a ∈ Z+ ou b − a ∈ Z∗− . No primeiro caso a ≤ b e
no segundo b ≤ a.
Consequentemente a relação ≤ em Z é dita relação de ordem total em Z. Qualquer
relação num dado conjunto que satisfaça os 4 itens acima é dita relação de ordem
total. Vejamos mais algumas propriedades que envolvem a relação de ordem ≤.
Proposição 2.12: Seja a ∈ Z.
0 ≤ a ⇔ −a ≤ 0 .
Demonstração:
0 ≤ a ⇔ a ∈ Z+
P rop.2.7
⇔
−(−a) ∈ Z+ ⇔ 0 − (−a) ∈ Z+ ⇔ −a ≤ 0 .
Elementos de Aritmética e Álgebra
30
Proposição 2.13: Seja a ∈ Z.
a ≤ 0 ⇔ 0 ≤ −a .
Demonstração:
a ≤ 0 ⇔ 0 − a ∈ Z+ ⇔ −a − 0 ∈ Z+ ⇔ 0 ≤ −a .
Proposição 2.14: Sejam a, b, c ∈ Z.
1) a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c.
2) a ≤ b, 0 ≤ c ⇒ ac ≤ bc.
3) a ≤ b, c ≤ 0 ⇒ bc ≤ ac.
Demonstração: 1) Note que
a ≤ b ⇔ b − a ∈ Z+ ⇔ b + c − c − a ∈ Z+ ⇔ b + c − (a + c) ∈ Z+ ⇔ a + c ≤ b + c .
2) Segue:
a ≤ b ⇒ b − a ∈ Z+ ⇒ c(b − a) ∈ Z+ ⇒ bc − ac ∈ Z+ .
Ou seja, ac ≤ bc.
3) Muito parecida à demonstração acima:
a ≤ b ⇒ b − a ∈ Z+ ⇒ c(b − a) ∈ Z− ⇒ −c(b − a) ∈ Z+ ⇒ ac − bc ∈ Z+ .
Ou seja, bc ≤ ac.
Exemplo 2.7:
7 ≤ 11 ⇒ 7 + 5 ≤ 11 + 5 ⇒ 12 ≤ 16,
−15 ≤ 0 ⇒ −15 + (−7) ≤ 0 + (−7) ⇒ −22 ≤ −7 .
Exemplo 2.8:
−4 ≤ 1 ⇒ (−4) · 5 ≤ 1 · 5 ⇒ −20 ≤ 5,
5 ≤ 13 ⇒ 5 · 8 ≤ 13 · 8 ⇒ 40 ≤ 104 .
Exemplo 2.9:
4 ≤ 9 ⇒ 9 · (−15) ≤ 4 · (−15) ⇒ −135 ≤ −60,
−5 ≤ 2 ⇒ 2(−9) ≤ (−5)(−9) ⇒ −18 ≤ 45 .
Números inteiros
31
Proposição 2.15: Sejam a, b ∈ Z.
a ≤ b ⇒ −b ≤ −a .
Demonstração:
a≤b
P rop.2.14(1)
⇒
P rop.2.14(1)
⇒
a−b≤b−b⇒a−b≤0
A2,A3
a − b − a ≤ 0 − a ⇒ −b ≤ −a .
Exemplo 2.10:
−4 ≤ 1 ⇒ −1 ≤ 4,
3 ≤ 13 ⇒ −13 ≤ −3 .
Proposição 2.16: Sejam a, b ∈ Z.
1) 0 ≤ a, 0 ≤ b ⇒ 0 ≤ ab.
2) a ≤ 0, 0 ≤ b ⇒ ab ≤ 0.
3) a ≤ 0, b ≤ 0 ⇒ 0 ≤ ab.
Demonstração: 1) Segue da Proposição 2.14, item 2).
2) Segue da Proposição 2.14, item 3).
3) Segue da Proposição 2.14, item 3).
Exemplo 2.11: Vejamos um exemplo de uso para cada item acima:
0 ≤ 11, 0 ≤ 13 ⇒ 0 ≤ 11 · 13 ⇒ 143,
0 ≤ 8, −4 ≤ 0 ⇒ 8(−4) ≤ 0 ⇒ −32 ≤ 0,
−9 ≤ 0, −11 ≤ 0 ⇒ 0 ≤ (−9)(−11) ⇒ 0 ≤ 99 .
Proposição 2.17: Sejam a, b, c, d ∈ Z. Se a ≤ b, c ≤ d então a + c ≤ b + d.
Demonstração:
a ≤ b ⇒ b − a ∈ Z+ ,
c ≤ d ⇒ d − c ∈ Z+ .
Daí, (b + d) − (a + c) = (b − a) + (d − c) ∈ Z+ e portanto a + c ≤ b + d.
Elementos de Aritmética e Álgebra
32
Exemplo 2.12:
4 ≤ 7, 1 ≤ 12 ⇒ 4 + 1 ≤ 7 + 12 ⇒ 5 ≤ 19,
−10 ≤ 1, 2 ≤ 91 ⇒ −10 + 2 ≤ 1 + 91 ⇒ −8 ≤ 92 .
Além da relação “menor ou igual”, pode-se definir a relação “menor”.
Definição 2.2: Dados a, b inteiros diz-se que “a é menor que b” quando b − a
pertence a Z∗+ . Simbolicamente
a < b ⇔ b − a ∈ Z∗+ ,
ou ainda
a < b ⇔ ∃c ∈ Z∗+ : b = a + c .
É importante mencionar que todas proposições acima mencionadas continuam valendo ao se trocar ≤ por <.
Proposição 2.18: (Tricotomia) Dado a ∈ Z somente uma das opções abaixo ocorre.
1) a < 0,
2) a = 0,
3) 0 < a.
A proposição acima pode ser demonstrada utilizando-se argumentos de lógica.
3.1. Princípio da boa ordem (PBO) em
N
Definição 2.3: Diz-se que a é o menor elemento de um subconjunto não vazio S
de N quando a ∈ S e para todo b ∈ S vale a ≤ b.
Teorema 2.1: Todo subconjunto não vazio de números naturais possui um menor
elemento.
Exemplo 2.13:
A = {2, 3, 4 . . . } → menor elemento: 2 ,
A = {8, 12, 16, 20 . . . } → menor elemento: 8 ,
A = { números pares } → menor elemento: 0 .
Números inteiros
33
As duas proposições seguintes são consequências do PBO. Para demonstrar o primeiro deles utiliza-se um método chamado “demonstração por absurdo”, que funciona baseado na lógica.
Quando se tem uma sentença verdadeira, tudo que se concluir a partir dela será
também verdadeiro. Portanto, qualquer sentença que implica em uma mentira deve
ser falsa. É assim que este método de demonstração funciona: suponha algo que
desconfia ser falso, e conclua uma mentira óbvia. Assim a suposição inicial é de fato
falsa.
Proposição 2.19: Se a ∈ N e 0 ≤ a ≤ 1 então a = 0 ou a = 1.
Demonstração: Por absurdo, suponha que existe número natural b entre 0 e 1 que
seja diferente desses.
Defina o conjunto
S = {c ∈ N : 0 < c < 1} ,
que é não vazio já que b ∈ S, e note que S ⊂ N. Pelo PBO existe m ∈ S tal que
m ≤ c para todo c ∈ S. Por estar em S segue que 0 < m < 1.
Multiplicando esta desigualdade por m obtém-se 0 < m2 < m que juntamente com
a desigualdade inicial implica
0 < m2 < m < 1 .
Portanto m2 está em S e é menor que m. Absurdo!
Logo não pode existir número natural estritamente entre 0 e 1.
Proposição 2.20: Se a, b ∈ N∗ então existe um menor n ∈ N∗ tal que b < na.
Demonstração: Defina o conjunto
S = {n ∈ N∗ : b < na} .
Note que S 6= ∅ pois b + 1 ∈ S e que S ⊂ N. Pelo PBO existe um menor m ∈ S que
satisfaz a proposição.
Exemplo 2.14: Dados 4 e 22, o número 6 é o menor natural tal que 22 < 6 · 4.
3.2. Princípio do menor inteiro (PMI) em
Considere duas importantes definições.
Z
Elementos de Aritmética e Álgebra
34
Definição 2.4: (Conjunto limitado inferiormente); Seja A um subconjunto de números inteiros. Diz-se que A é limitado inferiormente quando existe inteiro m tal
que m ≤ a para todo a ∈ A.
Note que m não precisa estar em A.
Exemplo 2.15: O conjunto A = {−3, −2, −1 . . . } é limitado inferiormente por
qualquer inteiro menor ou igual a −3.
Exemplo 2.16: O conjunto A = { números pares } em
mente.
Z não é limitado inferior-
Definição 2.5: (Elemento mínimo) Seja m um elemento pertencente ao conjunto
A. Diz-se que m é o elemento mínimo de A quando m ≤ a para todo a ∈ A.
O elemento mínimo deve estar no conjunto em questão. Este é denotado por
m = min(A) .
Agora o PMI.
Teorema 2.2: Se A é um subconjunto não nulo de
então A possui um mínimo.
Z e A é limitado inferiormente
Ou seja, se um subconjunto de números inteiros é limitado inferiormente, então
pode-se encontrar um elemento de A que é o menor entre todos os elementos de A.
4. Exercícios
Exercício 2.1: Por qual motivo criamos o conjunto dos números inteiros,
Exercício 2.2: Quais os elementos de
Exercício 2.3: Em
Z∗+ ?
E de
Z?
Z− ?
Z, qual propriedade adicional a soma satisfaz?
Exercício 2.4: O termo −a, para a ∈ Z, é sempre negativo? Explique e exemplifique.
Números inteiros
Exercício 2.5: Resolva:
a) 93 − (47 + 22)23 − 983
b) 9 − 8 + 7 − 6 + 5 − 4 + 3 − 2 + 1
c) 9 − (8 − (7 − (6 − (5 − (4 − (3 − (2 − 1)))))))
d) 9393 − 233 + 92837 − (78(93 − 18(23 + 99)))
e) 8493 + 49(22 − 34) − 234(83 + 939) − 13
f) 8439 − 3112(383 + 94(38 − 122))
g) −2387 + 39874 − 245987 + 387(397 + 1211 − 4444)
h) (3903 − 4232)(−138) + 393(394 − 3984)
i) 987654321 − 123456789.
Exercício 2.6: Dados a, b ∈ Z defina uma nova operação
a ∗ b = a − b + 4.
Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Possui
Elemento Oposto? Vale a Lei do Cancelamento?
Exercício 2.7: Dados a, b ∈ Z defina uma nova operação
a ∗ b = b + a − 1.
Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Possui
Elemento Oposto? Vale a Lei do Cancelamento?
Exercício 2.8: Dados a, b ∈ Z defina uma nova operação
a ∗ b = 3 + b − a.
Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Possui
Elemento Oposto? Vale a Lei do Cancelamento?
Exercício 2.9: Dados a, b ∈ Z defina uma nova operação
a ∗ b = a − 3b .
35
Elementos de Aritmética e Álgebra
36
Essa operação é associativa? É comutativa? Possui Elemento Neutro? Possui
Elemento Oposto? Vale a Lei do Cancelamento?
Exercício 2.10: Demonstre que “para todo inteiro a, tem-se (−1)a = −a”.
Exercício 2.11: Liste o máximo de propriedades que a subtração não satisfaz.
Exercício 2.12: Demonstre que “para todo inteiro a, tem-se −(−a) = a”.
Exercício 2.13: A soma de dois inteiros positivos é 10. Qual o valor máximo e o
valor mínimo da soma dos seus quadrados?
Exercício 2.14: Geometricamente falando, dados a, b ∈ Z, o que significa |b − a|?
Exercício 2.15: Qual o significado do princípio da boa ordem (PBO)?
Exercício 2.16: Encontre aplicações práticas (não necessariamente úteis) do PBO.
Exercício 2.17: Quais itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos?
a) (123)4 ≤ (221)3
b) (22)3 ≤ (111)2
c) (3166)8 ≤ (3611)7
d) (224)9 < (5255)7
e) (16)9 ≤ (444)5
f) (12121)3 ≤ (1111)4
g) (8888)9 < (77777)9
h) (2102)4 ≤ (312)6
i) (242)5 ≤ (74)9
j) (276455)8 ≤ (15677)9
k) (454)7 = (2244)5
l) (12212)3 ≤ (1231)4 .
Números inteiros
Exercício 2.18: Quais são as 4 propriedades que a relação ≤ satisfaz em
Exercício 2.19: Dados a, b ∈ Z defina a seguinte relação:
a@b ⇔ a + b é positivo ou 0 .
Essa relação é reflexiva? Antissimétrica? Transitiva?
Exercício 2.20: Dados a, b ∈ Z defina a seguinte relação:
a@b ⇔ a + b = 2 .
Essa relação é reflexiva? Antissimétrica? Transitiva?
37
Z?
CAPíTULO 3
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da
aritmética
Este assunto é abordado nos livros VII, VIII, IX dos Elementos de Euclides (300
a.C.)
1. Algoritmo da divisão
182 12
−1 2
15
62
−6 0
2
182 é o dividendo, 12 o divisor, 15 o quociente e 2 o resto. O resto deve sempre ser
menor que o divisor.
Sempre pode-se tirar a prova real:
182 = 12 · 15 + 2 .
Teorema 3.1: (Algoritmo da divisão em N) Sejam a, b ∈ N com b 6= 0. Então
existe único par de números naturais q, r com 0 ≤ r < b tais que
a = bq + r .
Exemplo 3.1: Dados a = 7 e b = 4, segue que
7 = 4 · 1 + 3.
Note que de fato 3 < 4.
Exemplo 3.2: Para a = 5 e b = 13, segue que
5 = 13 · 0 + 5 .
Note que 5 < 13.
39
Elementos de Aritmética e Álgebra
40
Analise a divisão abaixo.
114 7
− 7
16
44
−4 2
2
O que se faz é utilizar o algoritmo da divisão duas vezes.
11 = 7 · 1 + 4
⇒ 110 = 7 · 10 + 40
⇒ 114 = 7 · 10 + 44
Agora para o 44
44 = 7 · 6 + 2
Juntando as duas equações obtém-se
144 = 7 · 10 + 7 · 6 + 2
= 7 · 16 + 2 .
Teorema 3.2: (Algoritmo da divisão em Z) Sejam a, b ∈ Z com b 6= 0. Então
existe único par de números inteiros q, r com 0 ≤ r < |b| tais que
a = bq + r .
Assim o resto é sempre um número não negativo, independentemente de se estar no
conjunto dos números naturais ou dos números inteiros.
Exemplo 3.3: Para a = −55 e b = 4, segue que:
−55 = 4 · (−14) + 1 .
Temos 1 < 4.
Exemplo 3.4: Dados a = 67 e b = −5, temos:
67 = (−5) · (−13) + 2 .
e 2 < | − 5|.
Observação 3.1: Considere o divisor b = 2. Então só há dois possíveis restos: 0
ou 1. Assim para qualquer a inteiro tem-se apenas duas possibilidades.
a = 2q + 0 → pares,
(1)
a = 2q + 1 → ímpares.
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
41
Observação 3.2: Para o divisor b = 3 tem-se 3 possíveis restos e, portanto, seguem
as três possibilidades para um inteiro a:
a = 3q + 0 ,
a = 3q + 1 ,
a = 3q + 2 .
(2)
Com isso podemos separar o conjunto
Z em três partes disjuntas.
resto 0: {. . . − 6, −3, 0, 3 . . .} ,
(3)
resto 1: {. . . − 5, −2, 1, 4 . . .} ,
resto 2: {. . . − 4, −1, 2, 5 . . .} .
Observação 3.3: Generalizando para um divisor b 6= 0 qualquer, todo inteiro a pode
ser expresso de uma das b formas a seguir.
a = bq + 0 ,
a = bq + 1 ,
..
.
(4)
a = bq + (b − 1) .
Exemplo 3.5: Determine todos os números naturais que na divisão euclidiana por
7 têm o quociente igual ao dobro do resto.
Seja n o tal número procurado. Assim
n = 7q + r ,
onde q = 2r e 0 ≤ r < 7. Então
n = 7 · 2r + r ,
que implica n = 15r. Como 0 ≤ r < 7 conclui-se que
n ∈ {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90} .
Exemplo 3.6: Quais números naturais de dois algarismos, quando divididos pela
soma de seus algarismos, resulta quociente 4 e resto zero?
Seja n o número de dois dígitos procurado. Assim n = 10a + b (1 ≤ a ≤ 9 e
0 ≤ b ≤ 9) e, portanto a hipótese implica que:
10a + b = (a + b)4 ,
Elementos de Aritmética e Álgebra
42
e daí 2a = b. Com isso tem-se apenas a ∈ {1, 2, 3, 4} (para que b seja apenas um
dígito) e então
n ∈ {12, 24, 36, 48} .
2. Múltiplos e divisores
Definição 3.1: (Divisibilidade em N) Sejam a, b números naturais. Diz-se que a é
divisor de b quando existe um número natural n tal que b = an.
Definição 3.2: (Divisibilidade em Z) Sejam a, b números inteiros. Diz-se que a é
divisor de b quando existe um número inteiro n tal que b = an.
Note que nos dois casos, n também é um divisor de b.
Exemplo 3.7: O número 48 é divisor de 144 pois 144 = 48 · 3.
Exemplo 3.8: Em
Z o número −15 é divisor de 90 pois 90 = (−15) · (−6).
Notação: a|b (traço vertical).
Pelos exemplos acima, 48|144 e (−15)|90. Caso contrário 3 - 8.
Simbolicamente tem-se
(∀a, b ∈ Z)(a|b ⇔ ∃n ∈ Z : b = an) .
São equivalentes as seguintes sentenças.
•
•
•
•
a é divisor de b.
a divide b.
b é divisível por a.
b é múltiplo de a.
Vamos analisar o que acontece se a ou b é igual a zero:
1) Se a 6= 0 e b = 0: Já que 0 = an vale para n = 0, segue que a|0, ∀a ∈ Z∗ .
2) Se a = 0 e b 6= 0: A equação b = 0 · n nunca ocorre. Portanto 0 - b, ∀b ∈ Z∗ .
3) Se a = 0 e b = 0: Note que 0 = 0 · n é sempre verdade ∀n ∈ Z. Consequentemente vale 0|0.
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
43
Portanto o zero divide apenas o zero. Assim, ao utilizarmos a expressão a|b, estará
implícito que não ocorre simultaneamente que a = 0 e b 6= 0.
Observação 3.4: O fato de n no item 3) acima poder assumir qualquer valor, nos
0
impossibilita de definir o número .
0
Sejam a, b, c ∈ Z. Vejamos algumas propriedades a respeito da divisibilidade.
Proposição 3.1: Para todo número inteiro a tem-se que a divide a.
Demonstração: De fato a = a · 1.
Proposição 3.2: Sejam a, b, c ∈ Z. Se a divide b e b divide c então a divide c.
Demonstração: A hipótese a|b significa, por definição, que existe número inteiro
n tal que b = an, assim como b|c implica a existência de um número inteiro m tal
que c = bm. Daí obtém-se c = anm que é a definição de a|c.
Exemplo 3.9: Pela proposição acima, (−4)|8 e 8|24 implicam que −4|24.
Proposição 3.3: Sejam a, b, c ∈
a = −b.
Z.
Se a divide b e b divide a então a = b ou
Demonstração: Novamente por definição a hipótese a|b implica b = an para algum
número inteiro n. Assim como b|a implica a = bm para algum inteiro m. Então
a = anm ,
que pela lei do cancelamento (M4) implica 1 = nm. No conjunto dos números
inteiros tem-se portanto que ou n = m = 1 ou n = m = −1. Logo a = b ou a = −b.
Proposição 3.4: Sejam a, b ∈
número inteiro c.
Z.
Se a divide b então a divide bc para qualquer
Demonstração: De a|b segue que existe número inteiro n tal que b = an e portanto
bc = anc. Daí obtém-se a|bc.
44
Elementos de Aritmética e Álgebra
Exemplo 3.10: Da proposição acima:
3|21 ⇒ 3|21 · 2 ⇒ 3|42 e
−5|15 ⇒ −5|15(−6) ⇒ −5| − 90 .
Da proposição também segue o seguinte.
Corolário 3.1: Sejam a, b ∈
número inteiro c.
Z.
Se a divide b então ac divide bc para qualquer
Proposição 3.5: Sejam a, b, c ∈
e b − c.
Z.
Se a divide b e a divide c então a divide b + c
Demonstração: De a|b e a|c conclui-se a existência de dois números inteiros n, m
tais que b = an e c = am. Logo b + c = a(n + m) e b − c = a(n − m) e o resultado
segue.
Exemplo 3.11: Segue da proposição acima:
7|21 e 7| − 42 ⇒ 7|(21 + (−42)) ⇒ 7| − 21 e
−10|30, −10|80 ⇒ −10|(30 − 80) ⇒ −10| − 50 .
Proposição 3.6: Sejam a, b, c ∈ Z. Se a divide b + c e a divide b então a divide c.
Demonstração: De a|(b + c) e a|b tem-se dois números inteiros n, m tais que
b + c = an e b = am. Logo c = b + c − b = a(n − m) e o resultado segue.
Exemplo 3.12: Segue da proposição acima:
8|(24 + 32) e 8|24 ⇒ 8|32 e
2|(4 + 40) e 2| ⇒ 2|40 .
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
45
3. Critérios de divisibilidade
Em muitas situações é necessário saber se um dado número é divisível por um número
primo, por exemplo, no intuito de fatorá-lo. Portanto estudaremos e provaremos
a validade de alguns critérios de divisibilidade. O mais simples é o critério de
divisibilidade por 2.
Definição 3.3: Um número inteiro é divisível por 2 se e somente se ele é par.
Exemplo 3.13: Os números inteiros 1432 e −322 são divisíveis por 2, enquanto os
números 67 e −10101 não, pois são ímpares.
Esse é um critério óbvio que surge da definição de números pares. Alguns critérios
serão enunciados na forma de proposições, pois requerem uma demonstração.
Critério da divisibilidade por 3.
Proposição 3.7: Um número inteiro a é divisível por 3 se e somente se a soma de
seus algarismos é divisível por 3.
Demonstração: Seja a = a1 a2 . . . an um número com n dígitos a1 , a2 . . . , an . Note
que
a = a1 a2 . . . an
= a1 · 10n−1 + a2 · 10n−2 + . . . + an · 100
. . . 9} · a2 + . . . + an−1 + 9 · an−1 + an
= a1 + 99
. . . 9} · a1 + a2 + 99
| {z
| {z
n−2
n−3


. . . 1} · a1 + 11
= 9 · 11
. . . 1} · a2 . . . + an−1  + (a1 + a2 + . . . + an ) .
| {z
| {z
n−2
n−3
Assim, já que o primeiro termo da última linha é divisível por 3, pois é múltiplo de
9, temos que a é divisível por 3 se e somente se a1 + a2 + . . . + an também é.
Exemplo 3.14: O número 3473115 é divisível por 3 pois
3 + 4 + 7 + 3 + 1 + 1 + 5 = 24
e
2+4=6
que é múltiplo de 3. Já o número −9392 não é divisível por 3, já que
9 + 3 + 9 + 2 = 23
e
2+3=5
46
Elementos de Aritmética e Álgebra
que não é divisível por 3.
Critério da divisibilidade por 5.
Proposição 3.8: Um número inteiro a é divisível por 5 se e somente se termina
em 5 ou 0.
Demonstração: Basta notar que 5 multiplicado por um número par termina em 0
e multiplicado por um número ímpar termina em 5.
Exemplo 3.15: Pela proposição acima, os números inteiros −234923740 e 3155 são
divisíveis por 5, enquanto os números 19384 e −123731 não, pois não terminam em
0 nem em 5.
Critério da divisibilidade por 7.
Proposição 3.9: Um número inteiro a é divisível por 7 se e somente se o dobro
do último algarismo subtraído do número inicial sem o último algarismo, é divisível
por 7.
Demonstração: Considere a = a1 a2 um número com n − 1 algarismos condensados
em a1 e outro algarismo a2 . Vamos provar que a divisibilidade de a por 7 equivale
a divisibilidade de a1 − 2a2 por 7. Suponha que a seja divisível por 7. Então
a = 10a1 + a2 = 7k ⇒ a2 = 7k − 10a1 ,
para algum k ∈ Z. Daí
a = 10a1 + a2
= (9a1 + 3a2 ) + (a1 − 2a2 )
= (9a1 + 3 · (7k − 10a1 )) + (a1 − 2a2 )
= (9a1 + 21k − 30a1 ) + (a1 − 2a2 )
= (21k − 21a1 ) + (a1 − 2a2 )
= 21(k − a1 ) + (a1 − 2a2 ) .
Assim, já que o primeiro termo da última linha é divisível por 7, pois é múltiplo de
21, temos que a é divisível por 3 se e somente se a1 − 2a2 também é.
Exemplo 3.16: Vamos descobrir se o número inteiro 20481 é divisível por 7. Para
isso, precisamos decidir se
2048 − 2 · 1 = 2046
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
47
é divisível por 7. Aplicando novamente o método, precisamos descobrir se
204 − 2 · 6 = 192
é divísivel por 7. Mais uma vez aplicando o método, note que
19 − 2 · 2 = 15
não é divisível por 7. Portanto o número inicial 20481 também não é.
Exemplo 3.17: Vamos analisar a divisibilidade de 25613 por 7.
2561 − 2 · 3 = 2555.
Daí
255 − 2 · 5 = 245.
Mais uma vez aplicando o método:
24 − 2 · 5 = 14 ,
que é divisível por 7. Portanto o número 25613 é divisível por 7.
Critério da divisibilidade por 11. Dado um número inteiro a, considere seu algarismo
das unidades o primeiro, o algarismo das dezenas o segundo, o algarismo das centenas
o terceiro algarismo e assim sucessivamente.
Proposição 3.10: Um número inteiro a é divisível por 11 se e somente se a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de
ordem par for divisível por 11.
Demonstração: Vamos separar a demonstração em dois casos. Em cada um faremos a demonstração para um número pequeno de algarismos, pois para a demonstração completa basta generalizarmos utilizando o Princípio de indução.
1o caso: a tem uma quantidade par de algarismos: Vamos ilustrar esse caso com um
número de 4 algarismos a = a1 a2 a3 a4 . Daí
a = 1000a1 + 100a2 + 10a3 + a4
= (1001a1 + 99a2 + 11a3 ) + [(a2 + a4 ) − (a1 + a3 )]
= 11(91a1 + 9a2 + a3 ) + [(a2 + a4 ) − (a1 + a3 )] .
Assim, já que o primeiro termo da última linha é divisível por 11, temos que a é
divisível por 11 se e somente se (a2 + a4 ) − (a1 + a3 ) também é.
2o caso: a tem uma quantidade ímpar de algarismos: Vamos ilustrar esse caso com
um número de 5 algarismos a = a1 a2 a3 a4 a5 . Daí
a = 10000a1 + 1000a2 + 100a3 + 10a4 + a5
= (9999a1 + 1001a2 + 99a3 + 11a4 ) + [(a1 + a3 + a5 ) − (a2 + a4 )]
= 11(909a1 + 91a2 + 9a3 + a4 ) + [(a1 + a3 + a5 ) − (a2 + a4 )] .
Elementos de Aritmética e Álgebra
48
Assim, já que o primeiro termo da última linha é divisível por 11, temos que a é
divisível por 11 se e somente se (a1 + a3 + a5 ) − (a2 + a4 ) também é.
Exemplo 3.18: Vamos analisar a divisibilidade de 197346 por 11.
6 + 3 + 9 − (4 + 7 + 1) = 18 − 12 = 6 .
Logo o número 197346 não é divisível por 11.
Exemplo 3.19: Para o número 3193487, note que
7 + 4 + 9 + 3 − (8 + 3 + 1) = 23 − 12 = 11 .
Logo o número 3193487 é divisível por 11.
Critério da divisibilidade por 13.
Proposição 3.11: Um número inteiro a é divisível por 13 se e somente se o quádruplo do último algarismo somado ao número inicial sem o último algarismo, é
divisível por 13.
Demonstração: Considere
a = a1 a2 . . . an
um número com n algarismos a1 , a2 . . . , an e denote k = a1 a2 . . . an−1 . Vamos provar
que a divisibilidade de a por 13 equivale a divisibilidade de 4an + k por 13. Note
que
n = 10k + an
= 13k + (an − 3k) .
Daí
13|n ⇔ 13|4n ⇔ 13|4(13k + (an − 3k)) ⇔ 13|(4an − 12k) ⇔
⇔ 13|(4an − 12k + 13k) ⇔ 13|(4an + k) .
Assim, a é divisível por 13 se e somente se 4an + k também é.
Exemplo 3.20: Vejamos se 2873462 é divisível por 13.
287346 + 4 · 2 = 287354 .
Daí
28735 + 4 · 4 = 28751 .
Mais uma vez:
2875 + 4 · 1 = 2879 .
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
49
Novamente
287 + 4 · 9 = 323
e, por fim,
32 + 4 · 3 = 44 ,
que não é divisível por 13. Portanto o número 2873462 não é divisível por 13.
Critério da divisibilidade por 17.
Proposição 3.12: Um número inteiro a é divisível por 17 se e somente se o quíntuplo do último algarismo subtraído do número inicial sem o último algarismo, é
divisível por 17.
Demonstração: Considere
a = a1 a2 . . . an
um número com n algarismos a1 , a2 . . . , an e denote k = a1 a2 . . . an−1 . Vamos provar
que a divisibilidade de a por 17 equivale a divisibilidade de k − 5an por 17. Note
que
n = 10k + an
= 17k + (an − 7k) .
Daí
17|n ⇔ 17|5n ⇔ 17|5(17k + (an − 7k)) ⇔ 17|(5an − 35k) ⇔
⇔ 17|(5an − 35k + 34k) ⇔ 17|(5an − k) ⇔ 17|(k − 5an ) .
Assim, a é divisível por 17 se e somente se k − 5an também é.
Exemplo 3.21: Vejamos se 87436 é divisível por 17.
8743 − 5 · 6 = 8713 .
Daí
871 − 5 · 3 = 856 .
Novamente
85 − 5 · 6 = 55
e, por fim,
5 − 5 · 5 = −20 ,
que não é divisível por 17. Portanto 87436 não é divisível por 17.
Critério da divisibilidade por 19.
Elementos de Aritmética e Álgebra
50
Proposição 3.13: Um número inteiro a é divisível por 19 se e somente se o dobro
do último algarismo somado ao número inicial sem o último algarismo, é divisível
por 19.
Demonstração: Considere
a = a1 a2 . . . an
um número com n algarismos a1 , a2 . . . , an e denote k = a1 a2 . . . an−1 . Vamos provar
que a divisibilidade de a por 19 equivale a divisibilidade de k + 2an por 19. Note
que
n = 10k + an
= 19k + (an − 9k) .
Daí
19|n ⇔ 19|2n ⇔ 19|2(19k + (an − 9k)) ⇔ 19|(2an − 18k) ⇔
⇔ 19|(2an − 18k + 19k) ⇔ 19|(2an + k) .
Assim, a é divisível por 19 se e somente se 2an + k também é.
Exemplo 3.22: Vejamos se 3598106 é divisível por 19.
359810 + 2 · 6 = 359822 .
Daí
35982 + 2 · 2 = 35986 .
Mais uma vez:
3598 + 2 · 6 = 3610 .
Novamente
361 + 2 · 0 = 361
e, por fim,
36 + 2 · 1 = 38 ,
que é divisível por 19. Portanto o número 3598106 é divisível por 19.
Note que se percebe um padrão nos critérios de divisibilidade: sempre devemos
somar ou subtrair um múltiplo do último dígito ao número inicial sem o último
algarismo, para então checar a divisibilidade. Caso o número remanescente ainda
seja muito grande, repete-se o processo.
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
51
4. Números primos
Os números primos são estudados desde 230 a.C., citados no crivo de Eratóstenes.
Muito se sabe a respeito destes números devido à Fermat (1601 - 1665), Euler (1707
- 1783), Hardy (1877 - 1947), Ramanujan (1887 - 1920), Erdös (1913 - 1996) entre
outros. Seu estudo pertence à área chamada Teoria dos números, e o interesse nesses
números foi renovado por conta da criptografia utilizada em transmissões de dados.
Definição 3.4: Um número natural p é primo quando:
1) p 6= 0 e p 6= 1.
2) Os únicos divisores de p são 1 e p.
De forma análoga define-se números primos no conjunto dos números inteiros.
Definição 3.5: Um número inteiro p é primo quando |p| é primo em
Exemplo 3.23: Assim
2, 5 e 37 são primos em
−2, −19 e 37 são primos em
Segue que 2 e -2 são os únicos primos pares em
Z.
N.
N,
Z.
Pode-se dizer que um número inteiro p é primo quando:
1) p 6= 0, p 6= −1, p 6= 1,
2) os únicos divisores de p são 1, −1, p, −p.
Para descobrir se um dado número p é primo, temos de testar sua divisibilidade
quanto aos números que são menores que p. Mas perceba que pela Proposição 3.2,
é necessário apenas checar sua divisibilidade pelos números primos menores que p.
Outra constatação importante é que basta testar a divisibilidade pelos números
primos cujo quadrado são menores que o dado número. Para ilustrarmos essa constatação, considere o exemplo abaixo.
Exemplo 3.24: Vamos analisar se 101 é primo.
não é par ⇒
1 + 0 + 1 = 2 que não é múltiplo de 3 ⇒
não termina em 0 nem em 5 ⇒
10 − 2 · 1 = −1 que não é múltiplo de 7 ⇒
não
não
não
não
é
é
é
é
divisível
divisível
divisível
divisível
por
por
por
por
2,
3,
5,
7.
Essa análise já nos garante que 101 é primo i.e., não precisamos analisar o próximo
primo, 11. A explicação é a seguinte: se 101 é divisível por 11, então já que 11 · 11 >
101, haverá outro número menor que 11 que será divisor de 101. Ou seja, teremos
52
Elementos de Aritmética e Álgebra
algum primo menor que 11 que divide 101, mas como já testamos todos esses e a
divisibilidade falhou, o número 101 é primo.
Exemplo 3.25: Vamos descobrir se 389 é primo. Pelos critérios de divisibilidade
estudados na seção anterior:
não é par ⇒
3 + 8 + 9 = 20 que não é múltiplo de 3 ⇒
não termina em 0 nem em 5 ⇒
38 − 2 · 9 = 20 que não é múltiplo de 7 ⇒
9 + 3 − 8 = 4 que não é múltiplo de 11 ⇒
38 + 4 · 9 = 74 que não é múltiplo de 13 ⇒
38 − 5 · 9 = −7 que não é múltiplo de 17 ⇒
38 + 2 · 9 = 56 que não é múltiplo de 19 ⇒
não
não
não
não
não
não
não
não
é
é
é
é
é
é
é
é
divisível
divisível
divisível
divisível
divisível
divisível
divisível
divisível
por
por
por
por
por
por
por
por
2,
3,
5,
7,
11 ,
13 ,
17 ,
19 .
O próximo primo é 23, mas 23 · 23 = 529 > 389 e portanto não precisamos testar.
Logo 389 é um número primo.
Seguem abaixo algumas propriedades que envolvem os números primos.
Proposição 3.14: Se a é inteiro e 1 < |a| então a admite pelo menos um divisor
primo.
Demonstração: Para demonstrar que a proposição vale em
N, defina
S = {n ∈ N : 1 < n, n|a} .
Já que S é não vazio (pois contém a) e é um subconjunto de N, segue pelo PBO
(Seção 3.1) que existe mínimo p em S, ou seja, 1 < p ≤ n, ∀n ∈ S e p|a. Por absurdo
suponha que p não é primo. Portanto existem números naturais b, c maiores que 1
tais que p = bc. Então tem-se que b < p e b|a o que é um absurdo. Logo p é primo
e divide a.
Proposição 3.15: Sejam a, p números inteiros com p primo. Assim, p não divide
a se, e somente se, vale que mdc(a, p) = 1.
Demonstração: A volta é óbvia. Para a ida, note que os únicos divisores de p são
1 e p, e como p não divide a, só é possível mdc(a, p) = 1.
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
53
Exemplo 3.26: O número primo 13 não divide o número 100 logo, pela proposição
acima, mdc(13, 100) = 1.
Proposição 3.16: Sejam a, b, p números inteiros com p primo. Se p divide ab então
p divide a ou p divide b.
Demonstração: Sua demonstração requer ferramentas que veremos adiante, ao
estudarmos as equações diofantinas.
Exemplo 3.27: O número 7 divide o número 70, que pode ser escrito como 14 · 5.
De fato, conforme a proposição acima antecipa, 7 divide também o número 14.
5. Teorema fundamental da aritmética
Teorema 3.3: (Teorema fundamental da aritmética em
existem números primos
p1 < p2 < . . . < pr
∗
com r ∈ N e α1 , α2 . . . , αr naturais tais que
N) Para todo natural 1 < a
a = pα1 1 pα2 2 . . . pαr r
de forma única a menos da ordem dos fatores primos.
Demonstração: Vamos provar primeiramente a existência de tal decomposição e
depois a unicidade. Seja a um número natural qualquer. Se a é primo, o resultado
vale. Suponha que não seja e, pela Proposição 3.14, existe primo p1 que divide a,
ou seja, a = p1 b.
Se b é primo, a existência é válida. Se b não é primo, repita o processo para obter
a = p1 p2 c. Analisando c e repetindo o processo quantas vezes forem necessárias,
obtemos a como um produto de números primos
com t ∈ N
∗.
com r ∈ N∗ .
a = p1 p2 . . . pt
Como alguns desses primos podem ser repetidos, podemos escrever
a = pα1 1 pα2 2 . . . pαr r
Para provar a unicidade dessa decomposição, suponha que
a = pα1 1 pα2 2 . . . pαr r = q1β1 q2β2 . . . qsβs
com números primos p1 < p2 < . . . < pr e q1 < q2 < . . . < qs , além de r, s ∈
α1 , α2 . . . , αr e β1 , β2 . . . , βs números naturais. Vamos supôr que r ≤ s.
Ne
54
Elementos de Aritmética e Álgebra
Utilizando a Proposição 3.16 podemos concluir que p1 divide um dos primos qj , que
implica que eles são iguais. Sem perda de generalidade, suponha que p1 = q1 . Daí,
pela lei do cancelamento do produto (M4)
pα2 2 . . . pαr r n = q2β2 . . . qsβs .
Note que α1 = β1 , pois se fossem diferentes algum outro primo qj , com j 6= 1, teria
de ser igual a p1 , que implicaria o absurdo q1 < qj = p1 = q1 .
Repetindo o processo mais r − 1 vezes, segue que pi = qi para todos 0 < i ≤ r. Se
r = s a unicidade está resolvida. Suponha que não. Então
β
r+1
. . . qsβs ,
1 = qr+1
que obviamente implica num absurdo, pois não há produto de primos que resulte
em 1.
Exemplo 3.28: Note que
342 2
171 3
57 3
19 19
1
logo 342 = 2 · 32 · 19.
Exemplo 3.29: Quais são todos divisores de 342?
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
55
Basta permutar os fatores primos de sua fatoração e obter
1
2
3
19
2·3
2 · 19
32
3 · 19
2 · 32
2 · 3 · 19
32 · 19
2 · 32 · 19 ,
além de todos os opostos dos números acima.
Exemplo 3.30: Tem-se
540
270
135
45
15
5
1
2
2
3
3
3
5
e portanto 540 = 22 · 33 · 5.
Exemplo 3.31: Qual o menor natural que possui cinco fatores primos distintos em
sua fatoração?
2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310 .
Observação 3.5: Dado natural a os números 1 e a são seus divisores impróprios.
Se existirem outros divisores, serão chamados divisores próprios.
56
Elementos de Aritmética e Álgebra
Teorema 3.4: (Teorema fundamental da aritmética em
1 < |a| existem números primos positivos
Z) Para todo inteiro a com
p1 < p2 < . . . < pr
com r ∈ N e α1 , α2 . . . , αr naturais tais que
a = E · pα1 1 · pα2 2 . . . pαr r
de forma única a menos da ordem dos fatores primos, onde E = 1 se 0 < a e
E = −1 se a < 0.
Demonstração: A demonstração é análoga ao caso dos naturais, no Teorema 3.3.
Exemplo 3.32: Note que −240 = (−1) · 24 · 3 · 5.
Exemplo 3.33: Vamos fatorar o número 576. Note que 576 = 242 e já que 24 =
23 · 3, segue que
576 = (24)2 = (23 · 3)2 = 26 · 32 .
Portanto qualquer quadrado tem, nos expoentes dos números primos da sua fatoração, múltiplos de 2. De forma análoga, um número é um cubo se os expoentes dos
primos em sua fatoração são múltiplos de 3, e assim por diante.
Exemplo 3.34: Qual o menor inteiro positivo não nulo a tal que 6615a é um quadrado?
Já que 6615 = 33 · 5 · 72 e precisamos que todas potências dos fatores primos sejam
par, precisa-se que a = 3 · 5 = 15. Daí
6615a = 34 · 52 · 72 = (32 · 5 · 7)2 = 3152 .
Teorema 3.5: (Teorema de Euclides) O conjunto de números primos é infinito.
Demonstração: Suponha por absurdo que seja finito, ou seja, todos os primos
conhecidos estão no conjunto
P = {p1 , p2 . . . pn } .
Note que q = (p1 · p2 . . . pn ) + 1 não é divisível por nenhum dos pi acima, logo
é primo. Além disso ele não está em P , pois é maior que todos aqueles primos.
Absurdo, afinal todos primos estão lá. Portanto há infinitos números primos, tanto
em N quanto em Z.
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
57
Exemplo 3.35: O produto de três números consecutivos é divisível por 6?
Sim, pois certamente há um número par e um múltiplo de 3 nesse produto. Portanto,
em sua fatoração, o produto terá um fator 2 · 3 ou seja, 6.
Exemplo 3.36: Encontre mil números consecutivos que não são primos.
(1001)!+2 ,
(1001)!+3 ,
..
.
(1001)!+1001 .
É chamado deserto de primos. Para qualquer n natural, é possível encontrar n
consecutivos não primos de forma análoga.
Uma das aplicações mais importantes da fatoração é o cálculo do mdc e do mmc,
que veremos na próxima seção.
O número de divisores positivos de um dado número
a = pα1 1 · pα2 2 . . . pαr r
é
pα1 1 +1 · pα2 2 +1 . . . pαr r +1 .
Exemplo 3.37: Qual o menor natural a que possui exatamente 8 divisores?
Precisa-se que a conta acima resulte em 8. Mas note que 8 pode ser escrito apenas
de duas formas utilizando naturais maiores que 1:
8 = 2 · 2 · 2 ou 8 = 4 · 2 .
Portanto, como procuramos o menor número com aquela propriedade, ou
a = 22−1 · 32−1 · 52−1 = 30
ou
a = 24−1 · 32−1 = 24
ou ainda
a = 22−1 · 34−1 = 54 .
Logo a resposta é 24.
Elementos de Aritmética e Álgebra
58
6. Máximo divisor comum
Basicamente se quer encontrar o maior número que divide dois (ou mais) números
simultaneamente.
Exemplo 3.38: Considere os números 24 e 52.
(5)
Divisores de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, −1, −2, −3, −4 . . . ,
52 : 1, 2, 4, 13, 26, 52, −1, −2, −4 . . . .
O maior número que aparece nas duas listagens é 4. Portanto o maior divisor
comum entre 24 e 52 é 4.
Definição 3.6: Sejam a, b números inteiros não simultaneamente nulos. Então o
número 0 < d é o mdc entre a e b quando
1) d é divisor de a e de b.
2) Se c divide a e b então c divide d.
Notação: d = mdc(a, b).
Assim para a, b inteiros tem-se mdc(a, b) = mdc(|a|, |b|).
Observação 3.6: Note que não é possível definir mdc(0, 0), pois todo número natural é divisor de 0.
Exemplo 3.39: mdc(36, 24) = 12.
Exemplo 3.40: mdc(16, 35) = 1.
Exemplo 3.41: Segue que mdc(−52, 44) = mdc(52, 44) = 4.
Uma forma de calcularmos o mdc é através da fatoração dos números em questão.
Para isso, basta fatorá-los e o mdc será o produto dos fatores comuns.
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
59
Exemplo 3.42: Calcule mdc(1500, 525).
1500
750
375
125
25
5
1
2
2
3
5
5
5
525
175
35
7
1
3
5
5
7
Portanto mdc(1500, 525) = 3 · 52 = 75.
Basicamente o mdc é o produto dos fatores primos em comum.
Outra ferramenta para calcular mdc é dada pelo teorema a seguir.
Teorema 3.6: (Algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc) Considere a, b, q, r ∈
N com b 6= 0, 0 ≤ r < b e a = bq + r. Então
mdc(a, b) = mdc(b, r) .
Veja como utilizar este teorema para calcular mdc(128, −82).
Exemplo 3.43: Primeiramente note que mdc(128, −82) = mdc(128, 82). O que se
faz é aplicar sucessivas divisões euclidianas, fazendo o divisor se transformar em
dividendo e o resto se transformar em divisor. Assim que o resto ser zero, o mdc
será o divisor.
128 = 82 · 1 + 46
82 = 46 · 1 + 36
46 = 36 · 1 + 10
36 = 10 · 3 + 6
10 = 6 · 1 + 4
6=4·1+2
4=2·2+0
Como o resto é zero, conclui-se que
mdc(128, 82) = mdc(82, 46) = . . . = mdc(4, 2) = 2 .
Elementos de Aritmética e Álgebra
60
Exemplo 3.44: Calcule mdc(53, 48).
53 = 48 · 1 + 5
48 = 5 · 9 + 3
5=3·1+2
3=2·1+1
2=1·2+0
Logo
mdc(53, 48) = . . . = mdc(2, 1) = 1 .
Importante ressaltar que os restos sempre diminuem, portanto em algum momento
este será igual a zero e o processo é finito.
Para calcular o mdc entre três ou mais números, basta calcular sucessivamente o
mdc dois a dois.
Exemplo 3.45: Calcule mdc(42, 96, 58).
96 = 42 · 2 + 12 ,
42 = 12 · 3 + 6 ,
12 = 6 · 2 + 0 .
Logo
mdc(96, 42) = 6 .
Agora mdc(6, 58).
58 = 6 · 9 + 4 ,
6 = 4 · 1 + 2,
4 = 2 · 2 + 0.
Logo
mdc(42, 96, 58) = mdc(6, 58) = 2 .
Abaixo seguem algumas propriedades do mdc.
Proposição 3.17: Dados a, b ∈ Z, tem-se mdc(a, b) = mdc(b, a).
Demonstração: Como o cáculo do mdc pode ser feito através da fatoração, não
importa se fatoramos primeiro a ou primeiro b.
Proposição 3.18: Se a ∈ Z∗ tem-se mdc(a, 0) = |a|.
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
61
Demonstração: Todos números dividem o 0, portanto basta calcular o maior que
divide a, ou seja, |a|.
Proposição 3.19: Se a, b ∈ Z e a|b então mdc(a, b) = |a|.
Demonstração: O maior divisor simultâneo de a e de b é menor ou igual a ambos.
Como a divide tanto a quanto b, ele é o mdc.
Exemplo 3.46: Já que 7|21, segue que mdc(7, 21) = 7.
Proposição 3.20: Sejam a, b, c ∈ Z. Se d = mdc(a, b) então
d · |c| = mdc(ac, bc) .
Demonstração: Vamos provar que d · |c| satisfaz as duas condições da Definição
3.6. Primeiro, pelo Corolário 3.1, note que
d|a, d|b ⇒ d · |c| | a|c| e d · |c| | b|c|
e portanto dc|ac e dc|bc. Para a segunda condição, seja k em sua forma fatorada
k = pα1 1 · pα2 2 . . . pαk k .
Suponha que k|ac e k|bc. Então podemos separar a fatoração prima de k em duas
partes: uma cujo produto divide c, digamos
q1β1 · q2β2 . . . qsβs
e o produto da outra parte divide a e b, digamos
β
s+1
qs+1
. . . qrβr ,
onde os q são primos dentre os p e os β são expoentes dentre os α. Por hipótese
então esse segundo produto dividirá d, pois este é o mdc(a, b). Logo
β
s+1
k = q1β1 · q2β2 . . . qsβs qs+1
. . . qrβr
dividirá dc. Assim, como o mdc é sempre positivo, segue que d · |c| = mdc(ac, bc).
Exemplo 3.47: De mdc(7, 21) = 7 segue que mdc(7 · 5, 21 · 5) = 7 · 5 = 35.
Proposição 3.21: Sejam a, b ∈ Z e d = mdc(a, b). Assim tem-se a = dp e b = dq
com p, q ∈ Z. Então mdc(p, q) = 1.
62
Elementos de Aritmética e Álgebra
Demonstração: Caso 1 < n = mdc(p, q), pela Proposição 3.20 teríamos dn =
mdc(dp, dq) = mdc(a, b), que seria uma contradição à hipótese d = mdc(a, b).
Exemplo 3.48: mdc(−42, 96) = 6 e já que −42 = 6 · (−7) e 96 = 6 · 16 segue que
mdc(−7, 16) = 1.
Diremos que a fatoração de um número a está contida na fatoração de um número b
inteiros quando todos os fatores que aparecem na fatoração de a também aparecem
na fatoração de b. Assim, note que se a|b então a fatoração de a está contida na
fatoração de b.
Proposição 3.22: Sejam a, b, c ∈ Z. Se a|bc e mdc(a, b) = 1 então a|c.
Demonstração: Já que a|bc então todos primos da fatoração de a estão contidos
na fatoração de bc. Mas mdc(a, b) = 1, então a fatoração de a não contém primos
em comum com a fatoração em b. Logo só resta os primos da fatoração de a estarem
contidos na fatoração de c, ou seja, a|c.
Exemplo 3.49: Já que 10|90, 90 = 3 · 30 e mdc(10, 3) = 1 então 10|30.
Proposição 3.23: Sejam a, b, c ∈ Z com a|c, b|c e mdc(a, b) = 1. Então ab|c.
Demonstração: Novamente analisando a fatoração de a e b, as hipóteses implicam
que todos primos das fatorações de a e b estão contidas em c. Além disso, como
mdc(a, b) = 1, as fatorações não têm ninguém em comum. Logo, o produto ab terá
fatoração que estará contida em c, ou seja, ab|c.
Exemplo 3.50: Note que 5|60, 3|60 e mdc(5, 3) = 1. Portanto, já que 3 · 5 = 15,
segue que 3 · 5 = 15|60.
Exemplo 3.51: Encontre todos pares de números naturais cujo produto é 4800 e
mdc é 20.
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
63
Denote os números procurados por a e b. Então
ab = 4800 ,
mdc(a, b) = 20 .
De a = 20p e b = 20q conclui-se que mdc(p, q) = 1 pela Proposição 3.21 e, assim:
20p · 20q = 4800 ⇒ pq = 12 .
Assim procuramos p e q tais que pq = 12 e mdc(p, q) = 1. As possibilidades são
(p, q) ∈ {(1, 12), (3, 4)}
e portanto os pares (a, b) procurados são (20, 240) e (60, 80).
Exemplo 3.52: O mdc entre dois números naturais a e 2a + 1 (com a ∈
sempre 1. Verdadeiro ou falso?
N)
é
Se a = 1 o resultado é óbvio. Suponha então que 1 < a e note que fazendo sucessivas
divisões obtém-se o seguinte.
2a + 1 = a · 2 + 1 ,
a = 1 · a + 0.
Logo mdc(2a + 1, a) = 1.
Exemplo 3.53: Dividindo-se dois números naturais pelo seu mdc, a soma dos quocientes obtidos é 8. Determine-os sabendo que sua soma é 384.
Sejam a e b os números procurados e denote d = mdc(a, b). Assim a = dp e b = dq
com mdc(p, q) = 1 e p + q = 8. As únicas possibilidades para (p, q) são (1, 7) e (3, 5).
Note também que dp + dq = 384 mas já que p + q = 8 tem-se d = 48.
Portanto (a, b) ∈ {(48, 336), (144, 240)}.
Exemplo 3.54: Sejam a = 26 · 33 · 52 , b = 25 · 54 e d = 2r · 3s · 5t . Quem devem ser
r, s, t para que mdc(a, b) = d?
Já que mdc(a, b) = 25 · 52 precisa-se de r = 5, s = 0 e t = 2.
64
Elementos de Aritmética e Álgebra
7. Mínimo múltiplo comum
É o menor número positivo não nulo que é múltiplo de dois ou mais números.
Exemplo 3.55: Determine o menor número natural não nulo divisível simultaneamente por 12 e 15.
Para isso basta listar os múltiplos e procurar o menor que está em ambas listagens.
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 . . . ,
Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75 . . . .
Assim o menor múltiplo comum é 60.
Definição 3.7: Sejam a, b números inteiros. Então 0 ≤ m é o mínimo múltiplo
comum de a e b quando
1) m é múltiplo de a e de b.
2) Se c é múltiplo de a e de b então c é múltiplo de m.
Notação: m = mmc(a, b).
Observação 3.7: O único múltiplo de 0 é o próprio 0, portanto mmc(0, 0) = 0.
Note que para a, b inteiros tem-se mmc(a, b) = mmc(|a|, |b|). O mmc entre dois ou
mais números é obtido fatorando-os e tomando o produto dos fatores que aparecem
em pelo menos uma das fatorações, com os maiores expoentes possíveis. Assim,
garantimos o item 2) acima.
Exemplo 3.56: Calcule mmc(825, 315).
825 3
275 5
55 5
11 11
1
315
105
35
7
1
3
3
5
7
Portanto mmc(825, 315) = 32 · 52 · 7 · 11 = 17325.
Outra maneira de calcular o mmc entre dois números é através da proposição a
seguir.
Proposição 3.24: Sejam a, b ∈ Z não simultaneamente nulos. Então
|a| · |b| = mdc(a, b) · mmc(a, b) .
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
65
Demonstração: Este resultado é uma simples consequência da decomposição em
fatores primos, dada no Teorema 3.4
Portanto dados dois números, calcula-se o mdc entre eles, e posteriormente seu mmc
através da proposição acima.
Exemplo 3.57: Calcule mmc(21, 14).
Facilmente conclui-se que mdc(21, 14) = 7. Portanto
21 · 14 = 7 · mmc(21, 14) ⇒ mmc(21, 14) = 21 · 2 = 42 .
Exemplo 3.58: Calcule mmc(65, 26).
Primeiramente utiliza-se o algoritmo de Euclides para calcular seu mdc.
65
13
26
2
26
0
13
2
⇒ mdc(65, 26) = 13
Logo
65 · 26 = 13 · mmc(65, 26) ⇒ mmc(65, 26) = 130 .
Exemplo 3.59: Calcule mmc(−20, 74).
Começa-se utilizando o algoritmo de Euclides para achar mdc(20, 74).
74 20
20 14
14 6
6 2
14 3
6 1
2 2
0 3
Logo mdc(−20, 74) = mdc(20, 74) = 2. Assim
| − 20||74| = 2 · mmc(−20, 74) ⇒ mmc(−20, 74) = 740 .
As proposições a seguir são consequências da Proposição 3.24.
Proposição 3.25: Seja a ∈ Z∗ . Então mmc(a, 0) = 0.
Demonstração: Segue do fato de 0 ser o menor múltiplo não negativo de a e 0.
Proposição 3.26: Sejam a, b ∈ Z com a 6= 0. Se a|b então mmc(a, b) = |b|.
66
Elementos de Aritmética e Álgebra
Demonstração: Pela Proposição 3.19 sabemos que mdc(a, b) = |a|. Portanto
|a||b| = mdc(a, b) · mmc(a, b) = |a| · mmc(a, b) ⇒ mmc(a, b) = |b| .
Exemplo 3.60: Como 17|(−51), segue que mmc(17, −51) = | − 51| = 51.
Proposição 3.27: Sejam a, b ∈ Z∗ com d = mdc(a, b) e m = mmc(a, b). Pela
Proposição 3.21, note que a = dp e b = dq com mdc(p, q) = 1 e p, q ∈ Z∗ . Então
m = |a| · |q| e m = |b| · |p|.
Demonstração: Segue da Proposição 3.24:
|a||b| = mdc(a, b) · mmc(a, b) ⇒ d|p||b| = dm ⇒ |p||b| = m ,
|a||b| = mdc(a, b) · mmc(a, b) ⇒ |a|d|q| = dm ⇒ |a||q| = m .
Proposição 3.28: Nos termos da proposição anterior, também vale a recíproca: se
m = mmc(a, b), m = |a| · |p| e m = |b| · |q| então mdc(p, q) = 1.
Demonstração: Suponha que mdc(p, q) = d. Como d|p e d|q segue que existem c
e f inteiros tais que p = dc e q = df , assim como d|m implica que existe k ∈ Z tal
que m = dk. Vamos provar que k é múltiplo de a e de b, implicando que m ≤ k e
portanto d = 1. Note que
dk = m = |a||p| = |a||dc| = |a|d|c| ,
dk = m = |b||q| = |b||df | = |a|d|f | .
Daí k = |a||c| e k = |a||f |, ou seja, k é múltiplo tanto de a quanto de b e, pela
definição de mmc, concluímos que m ≤ k. Já que dk = m ≤ k, só podemos ter
d = 1.
Exemplo 3.61: Considere a = 21 e b = 14. Obtem-se 7 = mdc(21, 14) e 42 =
mmc(21, 14).
Note que 21 = 7 · 3 e 14 = 7 · 2 e utilizando a proposição acima de fato tem-se
42 = 21 · 2 = 14 · 3 .
Exemplo 3.62: Encontre todos pares de números naturais cujo mdc é 12 e cujo
mmc é 240.
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
67
Sejam a, b os números procurados e sabe-se que a = 12p e b = 12q com mdc(p, q) = 1.
Daí pela Proposição 3.24:
12 · 240 = 12p · 12q ⇒ 20 = pq .
Com isso os possíveis (p, q) são (1, 20) e (4, 5). Portanto os pares de números procurados são (12, 240) e (48, 60).
Exemplo 3.63: O mmc(a, b) é 1260 e ao dividir 1260 por a e b respectivamente,
o produto dos quocientes é 90. Determine todos pares a, b de números inteiros que
satisfazem estas condições.
Tem-se 1260 = ap e 1260 = bq com pq = 90 e mdc(p, q) = 1 pela Proposição 3.21.
Assim os possíveis (p, q) são
{(1, 90), (2, 45), (5, 18), (9, 10)} ,
que implica
(a, b) ∈ {(1260, 14), (630, 28), (252, 70), (140, 126)} .
8. Números relativamente primos
Definição 3.8: Dois números inteiros a e b são ditos relativamente primos, ou
primos entre si, quando mdc(a, b) = 1.
Assim, 16 e 35 são números primos entre si.
Proposição 3.29: Se a, b ∈ Z são relativamente primos então mmc(a, b) = |a| · |b|.
Demonstração: Já que a e b são relativamente primos, por definição sabemos que
mdc(a, b) = 1. Sabemos pela Proposição 3.24 que
|a| · |b| = mdc(a, b) · mmc(a, b) .
Portanto |a| · |b| = 1 · mmc(1, b).
9. Equações diofantinas
Uma equação diofantina é uma equação da forma
ax + by = c ,
68
Elementos de Aritmética e Álgebra
com a, b, c ∈ Z e x, y variáveis. Nem todas equações diofantinas possuem solução, e
a identidade de Bézout é um teorema que nos fornece uma ferramenta para checar
quando que certos tipos de equação possuem solução.
Teorema 3.7: (Identidade de Bézout) Sejam a, b ∈ Z com d = mdc(a, b). Então a
equação diofantina
ax + by = d
possui solução.
Exemplo 3.64: mdc(13, 4) = 1 e de fato 1 = 13 · 1 + 4 · (−3).
Exemplo 3.65: mdc(−25, 15) = 5 e 5 = (−25) · (−2) + 15 · (−3).
Exemplo 3.66: mdc(53, 48) = 1 e 1 = 53 · (−19) + 48 · 21.
Para encontrar a solução de uma tal equação, podemos utilizar o método das divisões
sucessivas. Considere a equação
53x + 48y = 1 .
Passo 1: Escreva as divisões sucessivas
53 = 48 · 1 + 5 ,
48 = 5 · 9 + 3 ,
5 = 3 · 1 + 2,
3 = 2 · 1 + 1.
Passo 2: Isole os restos
5 = 53 + (−1) · 48 ,
3 = 48 + (−9) · 5 ,
2 = 5 + (−1) · 3 ,
1 = 3 + (−1) · 2 .
Passo 3: Utilizando o passo 2 para fazer substituições de baixo para cima:
1 = 3 + (−1).2 = [48 + (−9).5] + (−1)[5 + (−1).3]
= [48 + (−9).(53 + (−1).48)] + (−1)[(53 + (−1).48) + (−1).(48 + (−9).5)]
= [48.10 + 53.(−9)] + (−1)[53 + (−2).48 + 9(53 + (−1).48)]
= 48.21 + 53.(−19)
A partir da Identidade de Bézout, podemos concluir que há mais casos em que uma
equação diofantina possui solução.
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
69
Proposição 3.30: Sejam a, b, c ∈ Z. A equação diofantina
ax + by = c
tem solução inteira quando mdc(a, b)|c.
Demonstração: Já que mdc(a, b)|c, temos f ∈ Z tal que f · mdc(a, b) = c. Assim,
basta resolver a equação
ax + by = mdc(a, b)
e multiplicar a solução por f .
Essas equações aparecem na hora de resolver problemas práticos.
Exemplo 3.67: Quantas mesas para 6 pessoas e quantas mesas para 4 pessoas são
necessárias para acomodar 90 convidados, de maneira a usar pelo menos uma mesa
de cada tipo?
Basicamente, procura-se x e y estritamente positivos tais que
6x + 4y = 90 .
Pela proposição acima a equação possui solução pois mdc(6, 4) = 2 e 2|90. Utilizando
a identidade de Bézout pode-se resolver 6x + 4y = 2 para obter
6 · 1 + 4 · (−1) = 2 .
Multiplicando a equação acima por 45 obtém-se
6 · 45 + 4 · (−45) = 90
e portanto x = 45 e y = −45 resolvem a equação diofantina em questão. Mas o
problema permanece, afinal, não se pode considerar −45 mesas!
Para encontrar soluções plausíveis para o nosso problema prático, utiliza-se a proposição abaixo.
Proposição 3.31: Sejam a, b, c ∈
fantina
Z∗
e x0 , y0 uma solução inteira da equação dio-
ax + by = c .
Então essa equação possui infinitas soluções inteiras da forma
(6)
x = x0 + b1 t ,
y = y0 − a 1 t .
onde d = mdc(a, b), a = a1 d, b = b1 d e t percorre o conjunto dos números inteiros.
Elementos de Aritmética e Álgebra
70
A solução dada em (6) é dita solução geral da equação diofantina ax + by = c.
Retomando o Exemplo 3.67.
Exemplo 3.68: Já foi resolvido
6x + 4y = 90
obtendo
6 · 45 + 4 · (−45) = 90 .
Já que mdc(6, 4) = 2 tem-se
6 = 2 · 3 ⇒ a1 = 3 ,
4 = 2 · 2 ⇒ b1 = 2 .
e portanto a solução geral do problema é
x = 45 + 2t ,
y = −45 − 3t .
Portanto variando t em Z encontra-se infinitas soluções. Como o problema necessita de soluções positivas, somente nos interessam os t tais que x e y resultem
simultaneamente em números positivos. Ou seja:
0 < 45 + 2t ,
0 < −45 − 3t .
Isto implica que
−23 < t ,
t < −15 .
Assim tem-se que t ∈ {−22, −21, −20, −19, −18, −17, −16} e portanto as possíveis
soluções são
(x, y) ∈ {(1, 21), (3, 18), (5, 15), (7, 12), (9, 9), (11, 6), (13, 3)} .
Exemplo 3.69: Encontre a solução geral da equação diofantina
3x + 4y = 20 .
Começa-se procurando a solução de
3x + 4y = mdc(3, 4) = 1 .
Facilmente concluí-se que uma solução particular é x = −1 e y = 1, ou seja
3 · (−1) + 4 · 1 = 1 .
Multiplicando por 20 obtém-se
3 · (−20) + 4 · (20) = 20 .
Já que 4 = 1 · 4 e 3 = 1 · 3 obtém-se a1 = 4 e b1 = 3 e portanto a solução geral é
x = −20 + 4t ,
y = 20 − 3t .
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
71
Exemplo 3.70: Encontre a solução geral da equação diofantina
4x − 8y = 24 .
Primeiramente resolvemos
4x − 8y = mdc(4, −8) = 4 .
Uma solução particular é x = 1 e y = 0, afinal
4 · 1 − 8 · 0 = 4.
Multiplicando a solução por 6 obtém-se
4 · 6 − 8 · 0 = 24 .
Já que −8 = (−2) · 4 e 4 = 1 · 4 obtém-se a1 = −2 e b1 = 1 e portanto a solução
geral é
x = 6 − 2t ,
y = 0 − 1t = −t .
10. Congruências
Definição 3.9: Sejam a, b, m números inteiros com 1 < m. Diz-se que “a é côngruo
a b módulo m” quando m divide a − b, ou analogamente quando a − b é múltiplo de
m.
Notação: a ≡ b(mod m).
Exemplo 3.71: Tem-se 27 − 6 = 21 múltiplo de 7. Logo
27 ≡ 6(mod 7) .
É importante analisar separadamente o que acontece quando m ≤ 1.
• Se m = 1 então a − b sempre é múltiplo de m. Logo
a ≡ b(mod 1), ∀a, b ∈ Z .
• Se m = 0 então somente 0 é múltiplo de m. Logo
a ≡ a(mod 0), ∀a ∈ Z .
• Se m < 0 então a − b é múltiplo de m quando a − b é múltiplo de |m| e
portanto não é necessário trabalhar com m negativo.
72
Elementos de Aritmética e Álgebra
Exemplo 3.72: Tem-se
49 ≡ 1(mod 4) ,
49 ≡ 49(mod 4) ,
49 ≡ 89(mod 4) ,
49 ≡ 449(mod 4) ,
49 ≡ 9(mod 4) ,
49 ≡ −55(mod 4) ,
49 ≡ 1(mod 4) ,
49 ≡ −7(mod 4) .
Abaixo seguem algumas propriedades da relação de congruência módulo m.
Proposição 3.32: Seja m ∈ Z com 1 < m. Então:
1) a ≡ a(mod m), ∀a ∈ Z.
2) a ≡ b(mod m) ⇒ b ≡ a(mod m), ∀a, b ∈ Z.
3) a ≡ b(mod m) e b ≡ c(mod m) ⇒ a ≡ c(mod m), ∀a, b, c ∈ Z.
Demonstração: Vejamos:
1) Como a − a = 0 = 0 · m, segue que a ≡ a(mod m), ∀a ∈ Z.
2) a ≡ b(mod m) ⇒ b − a = mx, para algum x ∈ Z ⇒ a − b = m(−x).
Portanto b ≡ a(mod m), ∀a, b ∈ Z.
3) a ≡ b(mod m) e b ≡ c(mod m) ⇒ b − a = mx e c − b = my para x, y ∈ Z ⇒
c − a = (c − b) + (b − a) = my + mx = m(x + y). Portanto a ≡ c(mod m),
∀a, b, c ∈ Z.
Uma outra forma de enunciar a proposição acima segue.
Proposição 3.33: Seja m ∈ Z com 1 < m. Então a relação de congruência módulo
m em Z é:
1) Reflexiva.
2) Simétrica.
3) Transitiva.
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
73
Exemplo 3.73: Sabemos que 32 ≡ 10(mod 11) pois 32 − 10 = 22 = 2 · 11 e que
142 ≡ 32(mod 11) pois 142 − 32 = 110 = 10 · 11. Utilizando o item (3) acima,
conclui-se que 142 ≡ 10(mod 11).
Proposição 3.34: Sejam a, b, c, d, m ∈
c ≡ d(mod m) então
1)
2)
3)
4)
Z com 1 < m.
Se a ≡ b(mod m) e também
a + c ≡ b + d(mod m).
a − c ≡ b − d(mod m).
ac ≡ bd(mod m).
an ≡ bn (mod m), ∀ 1 ≤ n.
Demonstração: As hipóteses implicam na existência de x, y ∈ Z tais que b − a =
mx e d − c = my. Vejamos cada item:
1) (b + d) − (a + c) = (b − a) + (d − c) = mx + my = m(x + y). Logo
a + c ≡ b + d(mod m).
2) (b − d) − (a − c) = (b − a) + (c − d) = mx − my = m(x − y). Assim
a − c ≡ b − d(mod m).
3) (bd) − (ac) = bd + (−ad + ad) − ac = (b − a)d + (d − c)a = mxd + mya =
m(xd + ya). Daí ac ≡ bd(mod m).
4) É sabido que b − a divide bn − an , consequentemente bn − an também será
múltiplo de m. Daí an ≡ bn (mod m), ∀1 ≤ n.
Exemplo 3.74: Sabe-se que 49 ≡ 1(mod 4). Utilizando o item (4) acima, conclui-se
que 499 ≡ 1(mod 4).
Exemplo 3.75: Sabemos que 15 ≡ 1(mod 7) e 10 ≡ 3(mod 7). Pela proposição
acima, conclui-se que
15 + 10 ≡ 1 + 3(mod 7) ou seja 25 ≡ 4(mod 7) ,
15 − 10 ≡ 1 − 3(mod 7) ou seja 5 ≡ −2(mod 7) ,
15 · 10 ≡ 1 · 3(mod 7) ou seja 150 ≡ 3(mod 7) .
Proposição 3.35: Sejam a, b, m ∈ Z com 1 < m. Então a ≡ b(mod m) se e
somente se a e b têm o mesmo resto na divisão euclidiana por m.
Demonstração: Da divisão euclidiana por m, sabemos que a = qm+r e b = pm+s
com 0 ≤ r < m e 0 ≤ s < m. Assim b − a = pm + s − (qm + r) = m(p − q) + (s − r).
Elementos de Aritmética e Álgebra
74
Logo b − a é múltiplo de m se e somente se s − r é múltiplo de m. Assim, só nos
resta que s − r = 0 e portanto r = s.
Exemplo 3.76: Temos que 121 = 5 · 24 + 1 e 401 = 5 · 80 + 1 portanto, na divisão
por 5, 121 e 401 tem o mesmo resto. Logo 121 ≡ 401(mod 5).
Da Proposição 3.35 acima segue uma consequência natural:
Corolário 3.2: Se r é o resto da divisão de a por m então
a ≡ r(mod m) .
Além disso, r é o menor número inteiro positivo côngruo a a módulo m.
Exemplo 3.77: Sabe-se que 34 = 4 · 8 + 2 portanto 34 ≡ 2(mod 8).
Utilizando estas proposições pode-se resolver o problema seguinte.
Exemplo 3.78: Qual o resto da divisão de 223 por 7?
Procura-se o menor número inteiro r com 0 ≤ r ≤ 6 tal que
223 ≡ r(mod 7) .
Sabe-se que
23 ≡ 1(mod 7) .
Assim utilizando Proposição 3.34 (4) com n = 7 obtém-se
221 ≡ 1(mod 7) .
Já que
22 ≡ 4(mod 7) ,
pelo item (3) da mesma proposição conclui-se que
223 ≡ 4(mod 7) .
Já que 4 é menor que 7, o resto procurado é 4.
Exemplo 3.79: Se
402 ≡ 654(mod m) ,
quem são os possíveis m?
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
75
Procura-se os números naturais 1 < m que dividem 402 − 654 = 252, ou seja
m ∈ {2, 3, 4, 6, 7, 9 . . . } .
Exemplo 3.80: Qual o resto da divisão de
15 + 25 + · · · + 1005
por 4?
Note que as potências de pares divididas por 4 têm resto zero, já que há no mínimo
5 fatores 2. Já para as potências de ímpares, note que qualquer número ímpar é da
forma 2k + 1 para k inteiro. Assim, como
(2k + 1)5 = 8 · i + 4 · j + 2k + 1 ,
tem-se que o resto da divisão de (2k + 1)5 por 4 é o resto da divisão de 2k + 1 por
4. Notando os padrões, estes se repetem na forma 1, 3, 1, 3 . . . . Somando os restos
de 2 em 2 se tem um múltiplo de 4. Logo o número acima é um múltiplo de 4.
Exemplo 3.81: Qual o resto da divisão de 220 por 41? Como
25 ≡ −9(mod 41) ,
segue que
210 ≡ (−9)2 (mod 41) ,
ou seja
210 ≡ −1(mod 41)
e portanto
220 ≡ (−1)2 (mod 41) ,
daonde segue que o resto é 1.
11. Exercícios
Exercício 3.1: Pesquise sobre:
a) Princípio da casa dos pombos.
b) Paradoxo do hotel de Hilbert.
c) Sistema infinito de Dedekind.
d) Teorema das quatro cores.
Elementos de Aritmética e Álgebra
76
Exercício 3.2: Uma sala de aula tem 32 estudantes. Mostre que pelo menos 2
estudantes fazem aniversário no mesmo dia (não necessariamente no mesmo mês.
Exercício 3.3: Dados 8 números naturais diferentes, nenhum deles menor que 1
ou maior do que 15, mostre que pelo menos três pares deles têm a mesma diferença
positiva.
Exercício 3.4: Faça as divisões euclidianas abaixo:
a) 34 por 3
b) 3912 por 12
c) 75 por 7
d) 132 por 6
e) 101 por 2
f) 345 por 11
g) 21 por 4
h) 121349 por 19
i) 52354 por 21
j) 9346 por 15
k) 24893 por 41
l) 60001 por 4.
Exercício 3.5: Determine o menor número natural de 4 algarismos distintos que
seja divisível por 21.
Exercício 3.6: Determine o maior número natural de 5 algarismos distintos que
seja divisível por 7.
Exercício 3.7: O número 25 · 7 é divisível por 2? Porque?
Exercício 3.8: O número 25 · 7 é divisível por 5? Porque?
Exercício 3.9: O número 25 · 7 é divisível por 14? Porque?
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
Exercício 3.10: É verdade que se um número é divisível por 4 e 3, então ele é
divisível por 12?
Exercício 3.11: O número x não é divisível por 3. É possível que 2x seja divisível
por 3?
Exercício 3.12: Mostre que a soma de números pares é par.
Exercício 3.13: Mostre que o produto de números ímpares é ímpar.
Exercício 3.14: Mostre que qualquer número inteiro de 3 algarismos, com os 3
algarismos iguais, é divisível por 37.
Exercício 3.15: Teste a divisibilidade dos seguintes números pelos primos naturais
menores que 23:
a) 23499
b) 39134
c) 13473
d) 9599
e) 84934
f) 34342
g) 2050
h) 455
i) 20590
j) 7654563.
Exercício 3.16: Deduza e demonstre um teste de divisibilidade pelo número primo
23.
Exercício 3.17: Deduza e demonstre um teste de divisibilidade pelo número primo
29.
77
78
Elementos de Aritmética e Álgebra
Exercício 3.18: Pode um número de três dígitos, sendo o algarismo das unidades
maior que o algarismo das dezenas em 1 unidade e o algarismo das dezenas maior
que o algarismo das centenas em 1 unidade, ser primo?
Exercício 3.19: Dados dois primos distintos p e q, quantos divisores em
números pq, p2 q e p4 q 4 ?
N têm os
Exercício 3.20: Dado que p, p + 10 e p + 14 são números primos, encontre p.
Exercício 3.21: Encontre todas soluções naturais da equação x2 − y 2 = 31.
Exercício 3.22: Sabendo que 2 + a e 35 − b são divisíveis por 11, prove que a + b
também é.
Exercício 3.23: Determine o menor número inteiro positivo pelo qual devemos multiplicar 6776, de modo que o produto seja a terceira potência de algum número.
Exercício 3.24: Se o resto da divisão de um número primo por 3 é 1, mostre que
na divisão deste número por 6, o resto também é 1.
Exercício 3.25: Encontre um único número que seja um cubo (terceira potência de
outro número), admita 16 divisores e na sua divisão euclidiana por 43 o quociente
seja um número primo e o resto seja 1.
Exercício 3.26: Determine r e s para que n = 23 .5r .7s tenha 84 divisores.
Exercício 3.27: Teste a primalidade dos seguintes números:
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
a) 523
b) 137
c) 233
d) 301
e) 243
f) 517
g) 777
h) 337
i) 445
j) 67.
Exercício 3.28: Fatore:
a) 679
b) 856
c) 6345
d) 999
e) 949
f) 13445
g) 13412
h) 4096
i) 2522
j) 6743.
Exercício 3.29: Descubra quantos divisores positivos possuem os números abaixo:
a) 423
b) 85
c) 1365
d) 99
e) 423
f) 144
g) 112
h) 1024
i) 22
j) 674.
Exercício 3.30: Quais são as possibilidades para o mdc entre n e 2n + 4?
Exercício 3.31: Dados x = 23 · 310 · 5 · 72 e x = 25 · 3 · 11, encontre mdc(x, y) e
mmc(x, y).
79
80
Elementos de Aritmética e Álgebra
Exercício 3.32: Quais são as possibilidades para dois números inteiros que têm
mdc e mmc iguais?
Exercício 3.33: Determine os pares de números cujo produto é 3600 e cujo mmc
é 1200.
Exercício 3.34: Determine os números naturais n tais que mmc(n, 54) = 54.
Exercício 3.35: Calcule:
a) mdc(456, 356) e mmc(456, 356)
b) mdc(22, 680) e mmc(22, 680)
c) mdc(532, 22) e mmc(532, 22)
d) mdc(82, 100) e mmc(82, 100)
e) mdc(523, 234) e mmc(523, 234)
f) mdc(902, 424) e mmc(902, 424)
g) mdc(44, 356) e mmc(44, 356)
h) mdc(46, 356) e mmc(46, 356)
i) mdc(832, 112) e mmc(832, 112)
j) mdc(111, 1111) e mmc(111, 1111).
Exercício 3.36: Confira se os pares de números abaixo são relativamente primos:
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
a) 234 e 232
b) 2394 e 3333
c) 14 e 777
d) 753 e 643
e) 69 e 134
f) 363 e 636
g) 67 e 22
h) 55 e 10101
i) 948 e 949
j) 449 e 944.
Exercício 3.37: Prove que dois números consecutivos são sempre relativamente
primos.
Exercício 3.38: Quais números menores que 30 são relativamente primos com 30?
Exercício 3.39: Confira quais equações diofantinas abaixo possuem solução. Resolva aquelas solúveis.
a) 3x + 5y = 2
b) 32x − 14y = 90
c) 11x − 7y = 31
d) 14x + 20y = 12
e) 2t − 2y = 79
f) 30x − 8y = 3
g) 8x + 12k = 40
h) 20x − 12y = 5
i) 7k − 30t = 12
j) 14y + 20k = 2.
Exercício 3.40: Um canil possui casinhas de cães que comportam 4 cães e outras
que comportam 6 cães. Qual o menor número de casinhas que o canil precisa para
comportar 50 cães?
Exercício 3.41: Queremos transportar 120 latas em dois tipos de caixa: uma que
comporta 8 latas e outra que comporta 11 latas. Qual o menor número de caixas a
se usar para fazer esse transporte?
81
Elementos de Aritmética e Álgebra
82
Exercício 3.42: Nos carros do tipo A cabem 5 pessoas, nos carros do tipo B cabem
8 pessoas. No mínimo quantos carros são necessários para se fazer uma viagem em
um grupo de 75 pessoas utilizando-se apenas carros dos tipos A e B?
Exercício 3.43: Uma reação química está balanceada quando o número de átomos
de um mesmo elemento é igual tanto do lado direito quanto do lado esquerdo da
reação. A reação abaixo representa a formação do ácido sulfúrico. Encontre os
valores de a, b, c, d, e para balanceá-la, lembrando que dado um elemento hipotético
X, a notação mXn significa m · n átomos desse elemento:
aNa2 S4 O6 + bH2 O2 → cNa2 SO4 + dH2 O + eH2 SO4 .
Exercício 3.44: Confira quais congruências abaixo são verdadeiras:
a) 249 ≡ 2(mod 8)
b) 375 ≡ 1(mod 3)
c) 342 ≡ 6(mod 21)
d) 291 ≡ 3(mod 33)
e) 277 ≡ 3(mod 23)
f) 239 ≡ 4(mod 51)
g) 526 ≡ 5(mod 15)
h) 942 ≡ 7(mod 12)
i) 741 ≡ 1(mod 11)
j) 1153 ≡ 2(mod 23).
Exercício 3.45: Qual o menor inteiro positivo, que é côngruo ao produto
11 · 18 · 23 · 22 · 13 · 19
módulo 7?
Exercício 3.46: Determine o resto da divisão de
14 + 24 + · · · + 1004
por 4.
Exercício 3.47: Encontre o resto das seguintes divisões:
Algoritmo da divisão e Teorema fundamental da aritmética
a) 266 por 3
b) 563 por 2
c) 436 por 5
d) 775 por 5
e) 273 por 7
f) 331 por 7
g) 561 por 3
h) 255 por 3
i) 2100 por 3
j) 341 por 5.
83
CAPíTULO 4
Números racionais
1. Construção de
Q a partir de Z
Em 2000 a.C. os babilônios já usavam frações.
Em torno de 1700 a.C., os egípcios estudavam frações de numerador 1.
Os romanos se concentravam em frações com denominador 12 (1 a.C.).
No século VI o denominador era escrito acima do numerador sem o traço.
Por volta do século XI os árabes introduziram o traço.
Em 1585 Simon Stevin apresentou a notação decimal (denominador 10).
Uma fração é a notação encontrada para representar um certo número que resolve
uma equação específica. Por exemplo, a solução da equação 3x = 1 é um número
que se representa por
1
,
3
a terça parte de 1.
Ou seja, define-se as frações como soluções de certas equações. No caso de uma
equação genérica bx = a com a, b inteiros e b 6= 0, a solução é a fração
a
.
b
O conjunto destas soluções é chamado conjunto dos números racionais, denotado Q.
Simbolicamente
Q = ab : a, b ∈ Z, b 6= 0 .
A letra Q foi utilizada pela primeira vez para representar esse conjunto por Giuseppe
Peano, por conta da palavra italiana quoziente, que significa quociente.
A nomenclatura em uma fração segue
a → numerador
.
b → denominador
De forma geral tem-se a seguinte tabela.
85
Elementos de Aritmética e Álgebra
86
x=
1
2
x=
3
2
x=
5
2
... x =
−1
2
x=
−3
2
...
2x=1
2x=3
2x=5
. . . (-2)x=1 (-2)x=3 . . .
4x=2
4x=6
4x=10
. . . (-4)x=2 (-4)x=6 . . .
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
(-2)x=-5
...
2x=-1
2x=-3
...
(-4)x=-2 (-4)x=-6 (-4)x=-10 . . .
4x=-2
4x=-6
...
(-2)x=-1 (-2)x=-3
Tabela 1. Frações de denominador 2
Já que os números inteiros podem ser escritos como frações com denominador 1,
segue que Z ( Q e além disso
a
= 0 ⇔ a = 0.
b
Note que
3
4
e
6
8
provém das equações
4x = 3 ,
8x = 6 .
A primeira multiplicada por 2 é a segunda equação. Portanto as equações são
equivalentes e possuem a mesma solução. Com isso as respectivas frações solução
também são equivalentes, ou seja, representam o mesmo número racional.
De forma análoga, pode-se obter infinitas representações para um mesmo número
racional, basta multiplicar o numerador e o denominador pela mesmo número inteiro
não nulo (seria o mesmo que multiplicar uma equação por esse número). Por exemplo
3
9
−18
6
=
=
=
= ... .
7
21
−42
14
Obviamente pode-se também cancelar fatores comuns do numerador e do denominador.
Exemplo 4.1: Subtraindo-se um mesmo número não nulo do numerador e do de8
nominador de 12
, pode-se obter uma nova fração equivalente à essa?
Procuramos a ∈ Z∗ tal que
8
8−a
=
.
12
12 − a
Números racionais
87
Ou seja, tem-se a mesma solução para as equações
12x = 8 ,
(12 − a)x = 8 − a .
Somando-se as duas equações obtém-se
−ax = −n
e, portanto, já que a 6= 0, vale x = 1. Daí conclui-se erroneamente que 12 = 8.
Absurdo!
Portanto não há a ∈ Z∗ que cumpra as exigências do problema.
Exemplo 4.2: Soma-se 7 ao denominador de
rador para se obter uma fração equivalente?
2
14 .
Quanto se deve somar ao nume-
Procura-se a ∈ Z∗ tal que
2
2+a
=
.
14
21
Ou seja, tem-se a mesma solução para as equações
14x = 2 ,
(7)
21x = 2 + a .
A segunda equação menos a primeira resulta em
7x = a .
Logo 14x = 2a que juntamente com a primeira equação em 7 garante a = 1.
Notação:
c
a
a
=c+ .
b
b
Há uma nomenclatura especial para alguns tipos de frações.
i) Fração própria:
a
com a < b .
b
ii) Fração imprópria:
a
com b < a .
b
iii) Fração decimal:
a
com b = 10 .
b
iv) Fração aparente:
a
com a múltiplo de b .
b
Elementos de Aritmética e Álgebra
88
v) Fração unitária:
a
com a = 1 .
b
2. Operações em
Q
As definições e propriedades serão adaptadas de
Z (vide Capítulo 2).
2.1. Adição
Definição 4.1: Dados dois números racionais
a
b
e
c
d
define-se
ad + bc
a c
+ =
.
b d
bd
Exemplo 4.3:
3 13
3.6 + 13.8
18 + 104
122
+
=
=
=
.
8
6
8.6
48
48
Pode-se simplificar e obter
122
2 · 61
61
=
=
.
48
2 · 24
24
Exemplo 4.4:
7
3.17 + 7.17
10.17
10
3
+
=
=
=
.
17 17
17.17
17.17
17
Ou seja, ao somar frações com mesmo denominador, basta somar os numeradores e
manter o denominador!
Exemplo 4.5:
3+
6
3 6
3.7 + 1.6
21.6
27
= + =
=
=
.
7
1 7
1.7
7
7
Sejam ab ,
c
d
e
e
f
números racionais. Então valem:
A1) Propriedade associativa da adição:
a
+
b
c
e
+
d f
=
a c
+
b d
A2) Propriedade comutativa da adição:
a c
c a
+ = + .
b d
d b
+
e
.
f
Números racionais
89
A3) Propriedade do elemento neutro da adição:
a 0
a
0 a
+ = = + .
b 1
b
1 b
A6) Propriedade do elemento oposto: Existe único − ab tal que
a
a
+ −
b
b
a
=0= −
b
+
a
.
b
O oposto de ab , representado por − ab , pode ser representado de variadas formas:
a
−a
a
− =
=
.
b
b
−b
Exemplo 4.6: Uma piscina é enchida por duas torneiras. A primeira sozinha a
enche em 2 horas, enquanto a segunda em 5 horas. Quanto do tanque é enchido
pelas duas torneiras juntas em 1 hora?
1
1
Note que em uma hora, a primeira torneira enche
da piscina e a segunda, .
2
5
Portanto, juntas, elas enchem
1 1
5
2
7
+ =
+
=
.
2 5
10 10
10
2.2. Multiplicação
Definição 4.2: Dados dois números racionais ab e
ac
a c
· =
.
b d
bd
c
d
define-se
Exemplo 4.7:
7 4
7.4
28
· =
=
.
11 9
11.9
99
Exemplo 4.8:
3·
7
3 7
3.7
21
= · =
=
.
2
1 2
1.2
2
Sejam ab ,
c
d
e
e
f
números racionais. Então valem:
M1) Propriedade associativa da multiplicação:
a
·
b
c e
·
d f
a c e
= · · =
b d f
a c
·
b d
·
e
.
f
Elementos de Aritmética e Álgebra
90
M2) Propriedade comutativa da multiplicação:
a c
c a
· = · .
b d
d b
M3) Propriedade do elemento neutro da multiplicação:
a 1
a
1 a
· = = · .
b 1
b
1 b
M4) Propriedade do elemento inverso da multiplicação:
a b
· = 1.
b a
Notação:
−1
a
b
=
b
.
a
2.3. Subtração
Assim como em
Z, subtrair é simplesmente somar o oposto.
Definição 4.3: Dados dois números racionais
a
b
e
c
d
define-se
a c
ad − bc
− =
.
b d
bd
Exemplo 4.9:
4 5
4.6 − 5.9
−21
− =
=
.
9 6
9.6
54
Pode-se simplificar e obter
−21
−7
=
.
54
18
Números racionais
91
Exemplo 4.10: Uma quadra tem 20 12 m de comprimento e 12 34 m de largura. Quantos metros a mais tem o comprimento em relação à largura? ( 31
4 )
3
1
3
1
− 12 +
20 − 12 = 20 +
2
4
2
4
1
3
= 20 + − 12 −
2
4
1 3
= 20 − 12 + −
2 4
2 3
=8+ −
4 4
1
=8−
4
32 1
=
−
4
4
31
=
.
4
2.4. Divisão
Definição 4.4: Dados dois números racionais
a
b
e
c
d
define-se
a d
ad
a c
÷ = · =
.
b d
b c
bc
Pode-se também denotar
a c
a c
÷ = : =
b d
b d
a
b
c
d
.
Exemplo 4.11:
5
7
5 4
5·4
20
÷ =
· =
=
.
13 4
13 7
13 · 7
91
Diz-se que dividir é multiplicar pelo inverso. A divisão no conjunto dos números
racionais não é associativa, não é comutativa e nem possui elemento neutro.
a
é dito irredutível quando
b
mdc(a, b) = 1 .
Definição 4.5: Um número racional
Teorema 4.1: Todo número racional pode ser expresso na forma
mdc(a, b) = 1 .
a
com
b
Elementos de Aritmética e Álgebra
92
Demonstração: Dada uma fração ab tal que mdc(a, b) = d > 1, poder-se-á simplificar essa fração por d, e o mdc entre o numerador e o denominador resultantes será
1.
Exemplo 4.12:
4·8
8
32
=
= .
20
4·5
5
Exemplo 4.13: Uma jarra tem capacidade de dois terços de litro. Quando estiver
cheia com água até a metade, quantos mililitros de água ela conterá?
A metade de dois terços é
1
2
Logo há um terço de litro de água, ou
2
1
= .
3
3
seja, 333ml.
·
Exemplo 4.14: Qual número multiplicado por dois quintos resulta em sete oitavos?
Procura-se o número x tal que
7
2
= .
5
8
Multiplicando os dois lados da igualdade por 52 obtém-se
x·
x·
25
7 5
7 5
7·5
35
= . ⇒x= . =
= .
52
8 2
8 2
8·2
16
Exemplo 4.15: Um tanque contém 750 litros de água e está com seis décimos de
sua capacidade. Quantos litros cabem neste tanque quando o mesmo está cheio?
Basicamente tem-se que a capacidade total x satisfaz
6
· x = 750.
10
Multiplicando ambos os lados por
10
6 ,
concluímos que x = 1250l.
Exemplo 4.16: Quantos metros por segundo correspondem a 200 quilômetros por
hora?
200 km
200 · 1000 m
2000 m
500 m
500
=
=
=
=
m/s
1h
1 · 3600 s
36 s
9s
9
Números racionais
93
Note que o que se fez foi multiplicar a velocidade inicial por 10 e depois dividi-la por
36. Assim, obtém-se a velocidade em metros por segundo.
Exemplo 4.17: Quanto deve-se subtrair de
3
2
para se obter a terça parte de ?
3
5
Queremos encontrar x tal que
2
1 3
−x= · ,
3
3 5
ou seja:
x=
2 1
10
3
7
− =
−
=
.
3 5
15 15
15
Exemplo 4.18: Uma peça de malha encolheu
39 metros. Qual seu tamanho original?
2
15
de seu comprimento ficando com
Seja C seu comprimento. Logo
C−
2
C = 39 .
15
Disso concluímos que
15
2
C − C = 39
15
15
13
C = 39
15
15
C=
· 39
13
C = 45 .
Portanto o comprimento inicial da peça é 45m.
Exemplo 4.19: A fortuna de João foi dividida da seguinte forma:
• Um quinto para seu irmão mais velho.
• Um sexto do restante para seu irmão mais novo.
• Partes iguais do restante para cada um de seus 12 filhos.
Que fração da fortuna recebeu cada filho?
Seja F a fortuna. Assim seu irmão mais velho recebeu 15 F e restou 45 F .
O irmão mais novo recebeu
1
6
4
F
5
=
2
F.
15
94
Elementos de Aritmética e Álgebra
Portanto ainda restam
4
2
2
F− F = F.
5
15
3
Assim cada filho recebeu
1 2
F
12 3
ou seja, um dezoito avos da fortuna.
=
2
1
= F,
36
18
Exemplo 4.20: Ache dois racionais de denominadores 5 e 7 com soma
26
35 .
Procura-se x, y ∈ Z tais que
x y
26
+ =
.
5 7
35
Somando o lado esquerdo, tem-se que resolver a equação
26
7x + 5y
=
.
35
35
Duas frações com mesmo denominador são iguais quando os numeradores são iguais.
Logo, temos de resolver a equação diofantina
7x + 5y = 26 .
Aplicando a Identidade de Bèzout (Capítulo 2, Seção 9) encontra-se x = −52 e
y = 78.
Exemplo 4.21: Determine a ∈ Z de modo que
10a
2a−1
seja um inteiro.
Com a = 1 obtém-se o número 10.
3. Relação de ordem
Note que um número racional ab é positivo quando ab é positivo, ou seja, quando
0 < a e 0 < b ou quando a < 0 e b < 0.
Além disso a fração acima só é zero quando a = 0 ou seja, se ab = 0. E por último
a fração só será negativa se ab é negativa. Assim pode-se definir
Q+ = ab : a ∈ Z, b ∈ Z∗ , 0 ≤ ab
e
a
∗
Q+ = b : a, b ∈ Z, 0 < ab .
Também note que
−a
a
−a
a
=
e
= ,
b
−b −b
b
Números racionais
95
portanto qualquer racional pode ser escrito com denominador positivo. Assim redefina
Q = ab : a, b ∈ Z, 0 < b .
Com isso pode-se definir a relação de ordem no conjunto dos números racionais.
Definição 4.6: Dados racionais ab , dc tem-se:
c
c a
a
≤ quando − ∈ Q+ .
b
d
d b
a
c
c a
ii) < quando − ∈ Q∗+ .
b
d
d b
i)
Para entender melhor a definição acima, note que
a
c
c a
≤ ⇔ − ∈ Q+
b
d
d b
cb − ad
⇔
∈ Q+
bd
⇔ cb − ad ∈ Z+
⇔ ad ≤ cb .
Assim, se 0 < b e 0 < d tem-se
c
a
≤ ⇔ ad ≤ cb .
b
d
Exemplo 4.22: Tem-se
5
3
≤ ,
4
6
pois 3 · 6 ≤ 4 · 5.
Outra maneira de comparar frações é escrevê-las com o mesmo denominador e simplesmente comparar os numeradores. Repetindo o exemplo acima, já que
3
18
=
,
4
24
5
20
=
,
6
24
conclui-se que a fração de baixo é maior.
Muitas propriedades são análogas ao caso dos números inteiros.
Proposição 4.1: A relação ≤ em
Q possui as seguintes propriedades.
i) Reflexiva.
ii) Antissimétrica.
iii) Transitiva.
Elementos de Aritmética e Álgebra
96
Proposição 4.2: Sejam x, y, w, z ∈ Q. Então valem as seguintes afirmações.
i)
ii)
iii)
iv)
v)
x ≤ y ⇔ x + w ≤ y + w.
x ≤ y, 0 ≤ w ⇒ xw ≤ yw.
x ≤ y, w ≤ 0 ⇒ yw ≤ xw.
x ≤ y, w ≤ z ⇒ x + w ≤ y + z.
x ≤ y ⇔ −y ≤ −x.
Demonstração: É análogo às demonstrações da Proposição 2.14. O item iv) segue
do item i). O item v) segue do item iii).
A proposição acima continua verdadeira ao se trocar ≤ por < em todas sentenças.
Abaixo seguem mais algumas proposições importantes.
Proposição 4.3: Para qualquer número racional w tem-se que 0 < w implica 0 <
Demonstração: Já que 0 < w = w · 1 segue que 0 <
1
w.
1
w.
Proposição 4.4: Para qualquer número racional w tem-se que w < 0 implica
Demonstração: Já que w · 1 = w < 0 segue que
1
w
1
w
< 0.
< 0.
Proposição 4.5: Se um número racional w satisfaz 0 < w < 1 então vale 1 <
1
w.
Demonstração: Tem-se w1 − 1 = 1−w
w que é positivo, já que tanto o numerador
quanto o denominador são positivos. Logo 1 < w1 .
Proposição 4.6: Se um número racional w satisfaz 1 < w então vale 0 <
1
w
< 1.
Demonstração: Pela Proposição 4.3 temos 0 < w1 . Ainda, temos 1 − w1 = w−1
w
que é positivo, já que tanto o numerador quanto o denominador são positivos. Logo
1
w < 1.
Proposição 4.7: Se dois racionais v, w satisfazem 0 < v < w então
0 < w−1 < v −1 .
Números racionais
97
Demonstração: Pela Proposição 4.3 segue que ambos w−1 e v −1 são positivos.
Então pelo item ii) da Proposição 4.2:
v<w⇒v·
1
1
1
1
<w·
⇒
< .
vw
vw
w
v
Proposição 4.8: Se dois racionais v, w satisfazem v < w < 0 então
w−1 < v −1 < 0 .
Demonstração: É análoga à Proposição 4.7 acima.
4. Representação decimal
Como escrever uma fração na forma decimal? Tome como exemplo a fração
7
25 .
Este método vem do algoritmo da divisão de Euclides. A conta acima está reescrita
abaixo em sua forma original.
7 = 25 · 0 + 7 → resto 7 ← multiplique por 10
70 = 25 · 2 + 20 → resto 20 ← multiplique por 10
200 = 25 · 8 + 0 → resto 0 ← começam as substituições
25 · 8
20 · 10 = 25 · 8 ⇒ 20 =
10
25 · 8
⇒ 7 · 10 = 25 · 2 +
10
25 · 2 25 · 8
⇒7=
+
10
102
7
2
8
⇒
=
+
= 0, 28 .
25
10 102
No caso dos racionais negativos, basta aplicar o processo para seu módulo e tomar
o oposto da representação decimal obtida.
Exemplo 4.23: Já que
Elementos de Aritmética e Álgebra
98
segue que
19
= 0, 76 .
25
Também vale que
−
19
= −0, 76 .
25
Aplicando o mesmo processo para
2
3
obtém-se
e a conta continua repetida e indefinidamente. Nestes casos diz-se que a representação decimal é uma dízima periódica com período 6.
Notação:
2
= 0, 6 .
3
Para escrever um número decimal como uma fração o processo é simples.
Números racionais
99
Exemplo 4.24:
4, 735 = 4 + 0, 3 + 0, 07 + 0, 005
3
7
5
=4+
+
+
10 100 1000
4000 + 300 + 70 + 5
=
1000
4375
35
=
=
.
1000
8
No caso das dízimas periódicas, utiliza-se progressões geométricas (Capítulo 5, Seção
5).
Exemplo 4.25:
0, 5 = 0, 555 . . .
= 0 + 0, 5 + 0, 05 + 0, 005 + . . .
5
5
5
+
+
+ ... .
=
10 100 1000
Assim a dízima acima é a soma dos termos da PG que possui
1
termo e 10
como razão. Logo sua soma é
0, 5 =
=
=
=
=
5
10
como primeiro
5
5
5
+
+
+ ...
10 100 1000
5
10
1
1−
10
5
10
9
10
5 10
·
10 9
5
.
9
Elementos de Aritmética e Álgebra
100
Exemplo 4.26:
1, 2 = 1 +
=1+
=1+
=1+
=1+
=
2
2
2
+
+
+ ...
10 100 1000
2
10
1
1−
10
2
10
9
10
2 10
·
10 9
2
9
11
.
9
Exemplo 4.27:
7
7
+
+ ...
100 1000
7
2
100
=1+
+
10 1 − 1
10
7
10 + 2
=
+ 100
9
10
10
12
7 10
+
·
=
10 100 9
7
12
=
+
10 90
23
=
.
18
1, 27 = 1 + 0, 2 +
Números racionais
101
Exemplo 4.28:
0, 12 =
=
=
=
=
=
1
2
1
2
1
2
+
+
+
+
+
+ ...
10 100 1000 10000 100000 1000000
12
12
12
+
+
100 10000 1000000
12
100
1
1−
100
12
100
99
100
12 100
·
100 99
12
4
=
.
99
33
Exemplo 4.29:
0, 9 = 1 .
Exemplo 4.30:
2, 9 = 3 .
Exemplo 4.31:
7, 379 = 7, 38 .
Isso indica que todo racional pode ser escrito como dízima periódica. Além disso
pode-se descobrir se uma fração representa uma dízima olhando para o denominador.
Teorema 4.2: Uma fração irredutível admite representação decimal finita quando
o denominador possui somente os fatores 2 e 5 na sua fatoração prima.
A representação será infinita periódica quando o denominador possuir pelo menos
um fator diferente de 2 e de 5.
Elementos de Aritmética e Álgebra
102
4.1. Operações
Há duas formas principais de operar números em sua forma decimal. A primeira
delas é transformar os respectivos números em frações e operá-los como vimos na
Seção 2.
Exemplo 4.32: Vamos calcular 0, 31 + 0, 0124 transformando-as em frações:
31
124
0, 31 + 0, 0124 =
+
100 10000
3100
124
=
+
10000 10000
3100 + 124
=
10000
3224
=
10000
403
=
1250
= 0, 3224 .
A segunda forma de operar números representados na forma decimal é na forma
compacta muito parecida com a que usamos para somar, multiplicar ou subtrair
números inteiros.
Para somar, fazemos ambos números terem o mesmo número de casas decimais do
lado direito da vírgula (adicionando alguns números 0 se necessário), alinhamos as
vírgulas de ambos os números e realizamos a operação.
Exemplo 4.33: Vamos calcular 0, 31 + 0, 0124, ou seja, 0, 3100 + 0, 0124:
0, 3100
+ 0, 0124
0, 3224
Exemplo 4.34: Calcule 24, 521 + 3, 1, ou seja, 24, 521 + 3, 100:
24, 521
+ 3, 100
27, 521
Para multiplicar, não é necessário que ambos números tenham o mesmo número
de algarismos no lado direito da vírgula. Faz-se a multiplicação sem considerar as
vírgulas e o número de casas decimais do resultado será a soma do número de casas
decimais de cada um dos números multiplicados.
Exemplo 4.35: Vamos calcular 9, 32 · 2, 4. Note que o nosso resultado terá 3 casas
após a vírgula:
Números racionais
103
9, 32
× 2, 4
3728
+ 1864
24, 368
O princípio envolvido é que, a conta acima, pode ser aberta da seguinte forma:
932 · 24
932 24
·
=
.
100 10
1000
Ou seja, 9, 32 é um número inteiro dividido por 100 e por isso há 2 casas decimais na
sua representação. O número 2, 4 é um inteiro dividido por 10, tendo assim 1 casa
decimal em sua representação. Na multiplicação, teremos o produto de números
inteiros dividido por 1000, que resultará em 3 casas após a vírgula.
9, 32 · 2, 4 =
Exemplo 4.36: Vamos calcular 0, 1 · 3, 442:
0, 1
× 3, 442
02
04
04
+ 03
0, 3442
A subtração é feita do mesmo modo que a soma.
Exemplo 4.37: Vamos calcular 0, 233 − 0, 03, ou seja, 0, 233 − 0, 030:
0, 233
− 0, 030
0, 203
Exemplo 4.38: Calcule 24, 521 − 3, 1, ou seja, 24, 521 − 3, 100:
24, 521
− 3, 100
21, 421
Elementos de Aritmética e Álgebra
104
Exemplo 4.39: Calcule 3, 713 − 0, 247:
Observação 4.1: Para operar dízimas periódicas infinitas, basta transformá-las em
frações.
5. Exercícios
Exercício 4.1: Resolva:
a)
1 3 5 7
+ + +
2 4 6 8
b)
23
44
− 13 +
22
−3
c)
23
19
5
91
− 22 +
23
2
45
38 −
2
d)
e) 9324
f)
−32
−9
1 −3
− 1.
−2 −4
3
3
−43 −
6
8
+
2 −4
−
3
3
2 −7
h) 5
−
5
25
i)
36
3
− 34 94 +
21
12
−31 −31
−
20
−20
g) 4 +
Números racionais
Exercício 4.2: Que fração da hora é o minuto? Quantos minutos há em
Exercício 4.3: Existe fração equivalente a
105
3
de hora?
5
1
com denominador 10?
3
5 18 7 8
Exercício 4.4: Quanto se deve subtrair de cada uma das frações , , , respec3 13 4 5
tivamente, para se obter um inteiro?
Exercício 4.5: Numa sala há 20 alunos. Hoje estão presentes três quartos deles e,
dentre estes, dois quintos irão ao zoológico. Quantos estão presentes? Quantos irão
ao zoológico?
Exercício 4.6: Em qual situação 1 laranja é mais barata: 6 laranjas por 0, 34 reais
ou 8 laranjas por 0, 41 reais?
Exercício 4.7: Qual número multiplicado por
1
3
resulta em ?
3
5
1001
Exercício 4.8: Ache um número racional igual a
cuja soma do numerador
715
com o denominador seja 48.
Exercício 4.9: Ache dois números racionais de denominadores 3 e 11, cuja dife6
rença é igual a
.
33
Exercício 4.10: Quais itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos?
Elementos de Aritmética e Álgebra
106
a)
32
21
≤
43
31
b)
−32
93
≤
−4
12
c)
2
3
≤
31
21
d)
2
12
<−
−123
2387
e)
19
−23
≤
−32
42
f)
3
4
<
132
99
g)
324
1341
<
12
41
h)
−21
99
≤
31
136
i)
6347
43
≤
8743
56
j)
−9
−45
≤
2
13
k)
−2
2
=
3
−3
l)
−4
1
= .
−333
76
Exercício 4.11: Escreva como uma fração simplificada:
a) 0, 132
b) −2, 93
c) 2, 192
d) −3, 003
e) 3, 5
f) 2, 93
g) 21, 412
h) 9, 211
i) 0, 9
j) 2, 39
k) 3, 234
l) 7, 4.
Exercício 4.12: Escreva na forma decimal:
Números racionais
a)
32
43
b)
−32
−9
c)
3
31
d)
2
7
e)
19
5
f)
4
19
g)
323
20
h)
−21
6
i)
63
15
j)
−9
13
k)
−2
5
l)
−41
.
5
Exercício 4.13: Resolva:
a) 2, 4 + 3, 12 + 1, 11 − 7, 99
b) 0, 002 − 3, 034 + 5, 4
c) 3, 1 − 1, 3 + 5, 55
d) 12, 44 − 42, 3
e) 0, 1 + 1, 2 + 2, 3
f) 3, 1234 − 2, 833
g) 4, 33 − 8, 44(3, 21 − 6, 9) − 32, 11
h) 9, 9 · 1, 1
i) 1, 2 · 3, 02 + 1, 9
j) 8, 44(1, 31 + 3, 9)
k) 9, 12 · 4, 22 · 0, 01
l) 0, 34 · 3, 45 − 2, 1.
107
CAPíTULO 5
Números reais
1. Existência de números que não são racionais
Existem números que não podem ser escritos como frações, e de fato é fácil encontrálos: ao construir um quadrado de lado medindo 1, a diagonal não é racional!
Teorema 5.1: Não existe número racional cujo quadrado é 2.
Demonstração: Suponha por absurdo que seja possível. Ou seja, existe
tível (mdc(a, b) = 1) tal que
a
irredub
2
a
= 2.
b
Assim a2 = 2b2 e portanto 2|a2 . Como 2 é primo segue pela Proposição 3.16 que
2|a. Então a é par e pode-se escrever a = 2c com c ∈ Z. Substituindo na igualdade
acima obtém-se
4c2 = 2b2 ⇒ 2c2 = b2 ,
daí 2|b2 e pelo mesmo argumento acima tem-se que b é par. Portanto a fração ab não
é irredutível e segue um absurdo.
Logo não há fração cujo quadrado seja igual a 2, ou seja,
√
2 não é racional.
Tais números são ditos Irracionais. Outros números além do
√
e, p com p primo etc.
√
2 são irracionais: π,
2. Potenciação
Considere um número real r e um número natural a.
Definição 5.1: Definimos o número real ra como sendo o número
ra = r| · r{z· · · r} .
a vezes
Exemplo 5.1: Temos
32 = 3 · 3 = 9 .
109
110
Elementos de Aritmética e Álgebra
Exemplo 5.2: Note que
3
5
2
=
5 5 5
5·5·5
125
· · =
=
.
2 2 2
2·2·2
8
Exemplo 5.3: Segue que
(−2)5 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = −32 .
Podemos também definir potências negativas. Considere um número real r e um
número natural a.
Definição 5.2: Definimos o número real r−a como sendo o número
r−a =
1
.
ra
Exemplo 5.4: Então
3−2 =
1
1
1
=
= .
32
3·3
9
Exemplo 5.5: Segue que
−3
5
2
1
1
1
8
= 3 =
.
=
=
5
125
5
5
125
5
· ·
2 2 2
8
2
Exemplo 5.6: Vale que
−
3
8
−2
=
1
1
64
.
= 9 =
9
3 2
−
64
8
Exemplo 5.7: Expresse em uma fração irredutível
10−1 + 15−2 + 6 · 7−1 + (4 · 8)−1 .
Números reais
111
Tem-se
10−1 + 15−2 + 6 · 7−1 + (4 · 8)−1 =
=
=
(8)
=
=
=
6
1
1
1
+ +
+
10 152 7 32
225 + 10 6 · 32 + 7
+
225 · 10
7 · 32
199
135
+
2250 224
135 · 224 + 199 · 2250
2250 · 224
477990
504000
5311
.
5600
Vejamos algumas propriedades que envolvem a potenciação.
Proposição 5.1: Sejam r, s ∈ R e a, b ∈ N. Então:
1) ra · rb = ra+b .
2) ra · sa = (rs)a .
3) r0 = 1.
Demonstração: 1) Segue da definição de potência:
ra · rb = r| · r{z· · · r} · |r · r{z· · · r} = |r · r{z· · · r} = ra+b .
a vezes
b vezes
a+b vezes
2) Será verdade pois a multiplicação de números reais é comutativa:
a
ra · sa = r| · r{z· · · r} · s| · s{z· · · s} = rs
| · rs
{z· · · rs} = (rs) .
a vezes
a vezes
a vezes
3) Segue:
r0 = r1−1 = r1 · r−1 = r ·
r
1
= = 1.
r
r
É imediato concluir que a propriedade acima vale também para potências negativas.
Corolário 5.1: Sejam r, s ∈ R e a, b ∈ Z. Então:
1) ra · rb = ra+b .
2) ra · sa = (rs)a .
Elementos de Aritmética e Álgebra
112
3. Radiciação
Considere um número real r e um número natural b.
1
Definição 5.3: Definimos o número real r b como sendo o número
√
b
r,
que satisfaz
√
b
b
r = r.
√
Quando b = 2 escreve-se apenas r. Acredita-se que o símbolo originou-se do r da
palavra radix, que em latim é o nome dessa operação.
Uma consequência direta da definição é que, no conjunto dos números reais, é impossível calcular raízes de ordem par de números negativos. Tais raízes resultam em
números do conjunto dos números complexos C.
√
Exemplo 5.8: Note que 32 = 9. Portanto 9 = 3.
Exemplo 5.9: Já que
3
5
2
=
125
,
8
segue que
r
3
125
5
= .
8
2
Com as definições acima, podemos definir expoentes fracionários. Considere um
a
número real r e um número racional .
b
a
Definição 5.4: Definimos o número real r b como sendo o número
√
b a
r
ou
√
a
b
r .
2
Exemplo 5.10: Vamos calcular
2
1
8
3
=
1
8
3
. Note que
s 1 2
3
8
s
=
3
1
64
=
1
.
4
Números reais
113
A radiciação satisfaz algumas importantes propriedades que veremos abaixo.
Proposição 5.2: Sejam r, s ∈ R e a, b ∈ Z. Então:
√
√
√ a+b
a
b
1) √
r·√
r = (√ab r) .
2) a r · a s = a rs.
Demonstração: 1) Note que:
√
√ ab 1 1 ab
ab
ab
a
r· br
= ra · rb
= r a · r b = rb · ra = ra+b .
Ou seja:
√
a
2) Note que:
r·
√
b
r=
√
a
1
ab
√
r·
√
a
√ a+b
r
.
ra+b =
1
ab
1
s = ra · sa .
1
Também, já que r a · s a elevado a potência a resulta em rs, segue que
√
1
1
r a · s a = a rs .
4. Progressões aritméticas
Definição 5.5: Uma PA (Progressão aritmética) é uma sequência de números cuja
diferença entre um termo e seu antecessor é sempre constante. Essa diferença é dita
razão da PA.
É comum denotar uma PA por a1 , a2 , a3 . . . , an . . ..
Exemplo 5.11: A sequência dos números naturais ímpares
1, 3, 5, 7 . . . , 2n − 1 . . .
é uma PA com razão 2.
n
Exemplo 5.12: A sequência definida por an = , para n = 1, 2, 3 . . ., pode ser vista
2
como
1 2 3
n
, , ..., ... ,
2 2 2
2
1
uma PA com razão .
2
Elementos de Aritmética e Álgebra
114
Proposição 5.3: A soma dos n primeiros termos de uma PA com primeiro termo
a1 e n-ésimo termo an é
(a1 + an )n
.
2
Demonstração: Seja então uma PA com termos a1 , a2 . . . , an . . . e razão r e denote
S a soma dos n primeiros termos. Então:
S = a1 + a2 + . . . + an−1 + an ,
S = an + an−1 + . . . + a2 + a1 .
Somando as equações acima obtemos
2S = (a1 + an ) + (a2 + an−1 ) + . . . + (an + a1 )
= (a1 + an ) + (a1 + n + an − n) + . . . + (an + a1 )
= (a1 + an ) + (a1 + an ) + . . . + (an + a1 )
= (a1 + an )n .
Portanto
S=
(a1 + an )n
.
2
Exemplo 5.13: Considere a progressão aritmética
1, 2, 3 . . . , n . . . ,
cuja razão é 1. Assim a soma dos n primeiros termos é:
(a1 + an )n
2
(1 + n)n
=
2
n(n + 1)
=
.
2
1 + 2 + ... + n =
Exemplo 5.14: Seja a progressão aritmética
1 2 3
n
, , ..., ... ,
8 8 8
8
Números reais
cuja razão é
115
1
. Assim a soma dos 15 primeiros termos é:
8
1 15
15
+
(a1 + an )n
8
8
=
2
2
16
15
8
=
2
2 · 15
=
2
= 15 .
5. Progressões geométricas
Definição 5.6: Uma PG (Progressão geométrica) é uma sequência de números cuja
divisão entre um termo e seu antecessor é sempre constante. Essa divisão é dita
razão da PG.
É comum denotar uma PG por a1 , a2 , a3 . . . , an . . ..
Exemplo 5.15: A sequência
3, 9, 27, 81 . . . , 3n . . .
é uma PG com razão 3.
Exemplo 5.16: A sequência definida por an = (−2)n , para n = 1, 2, 3 . . ., pode ser
vista como
−2, 4, −8 . . . , (−2)n . . .
uma PG com razão −2.
Proposição 5.4: A soma dos n primeiros termos de uma PG com razão q e primeiro
termo a1 é
(1 − q n )a1
.
1−q
Demonstração: Seja então uma PG com termos a1 , a2 . . . , an . . . e razão q e denote
S a soma dos n primeiros termos. Então:
S = a1 + a2 + . . . + an−1 + an ,
qS = q(a1 + a2 + . . . + an−1 + an ) = a2 + a3 + . . . + an + an+1 .
Elementos de Aritmética e Álgebra
116
Fazendo a primeira equação menos a segunda:
(1 − q)S = a1 − an+1 = a1 − a1 q n = a1 (1 − q n ) .
Logo
S=
(1 − q n )a1
.
1−q
Foge do escopo deste livro, porém não é difícil concluir o seguinte corolário, baseado
na proposição anterior.
Corolário 5.2: Se a razão q de uma PG satisfaz −1 < q < 1, então a soma de
todos os termos dessa PG é
a1
.
1−q
Exemplo 5.17: Considere a progressão geométrica
1
1 1 1
, , ..., n ... ,
2 4 8
2
que pode ser vista como
1 1 1
1
, 2, 3 ..., n ... ,
1
2 2 2
2
1
cuja razão é . Vamos somar os primeiros 10 termos:
2
10 !
1
1
1−
10
2
2
(1 − q )a1
=
1
1−q
1−
2 !
1
210
1
− 10
10
2
2
2
=
1
2
210 − 1
=
210
1
= 1 − 10 .
2
A soma de todos os termos, já que a razão está entre −1 e 1, é:
1
a1
= 2
1
1−q
1−
2
=
1
2
1
2
= 1.
Números reais
117
Exemplo 5.18: Vamos escrever o número decimal 0, 231 como uma fração. Note
que
0, 231 = 0, 23 + 0, 001
23
=
+ 0, 001 + 0, 0001 + 0, 00001 + . . . .
100
A soma
0, 001 + 0, 0001 + 0, 00001 + . . .
é a soma dos termos de uma PG com primeiro termo 0, 001 e razão
0, 001 + 0, 0001 + 0, 00001 + . . . =
=
=
=
=
1
10 .
Ou seja:
a1
1−q
0, 001
1
1 − 10
1
1000
9
10
1
10
·
1000 9
1
.
900
Portanto
0, 231 = 0, 23 + 0, 001
1
23
+
=
100 900
207 + 1
=
900
208
=
900
52
=
.
225
6. Equações polinomiais
Definição 5.7: Uma equação polinomial de uma variável é uma igualdade de expressões que envolvem números, operações e variáveis, sendo que essas últimas só
podem estar elevadas a números naturais.
118
Elementos de Aritmética e Álgebra
Aqui estaremos interessados em equações polinomiais que possuem apenas uma variável, por exemplo:
x2 − 3x + 1 = 0 ,
y 3 − y 2 = 3y − 1 ,
z2 = 1 .
O grau de uma equação é o maior expoente da variável envolvida. O que queremos
é saber quais valores para a variável tornam tais equações verdadeiras. Tais valores
são chamados raízes da equação e para encontrá-las temos de isolar, quando possível,
a variável.
O princípio envolvido é: ao termos uma equação, podemos realizar a mesma operação de soma, subtração, multiplicação ou divisão em ambos lados da equação e a
igualdade se mantém.
Exemplo 5.19: Vamos resolver a equação 5x − 21 = −2x:
5x − 21 = −2x
5x + 2x − 21 + 21 = −2x + 2x + 21
7x = 21
x = 3.
Todas as equações de grau 1 se resolvem como acima.
Exemplo 5.20: Vamos encontrar as raízes da equação −2x − 12 = 3x + 31.
−2x − 12 = 3x + 31
−2x − 12 + 2x = 3x + 31 + 2x
−12 = 31 + 5x
5x = −43
43
x=− .
5
Para resolver equações de grau 2, utilizamos o método chamado de “completar quadrados”, ilustrado abaixo.
Números reais
119
Exemplo 5.21: Vamos resolver a equação −2x = −x2 + 3.
−2x = −x2 + 3
x2 − 2x − 3 = 0
(x − 1)2 − 4 = 0
(x − 1)2 = 4
√
x−1=± 4
x = ±2 + 1
x = 3 ou x = −1 .
O método consiste em escrever as equações de grau 2 no formato
(x + a)2 = b .
Exemplo 5.22: Encontre as raízes de x2 = x + 6.
x2 = x + 6
x2 − x = 6
1
x−
2
2
−
1
=6
4
1 2
x−
2
1 2
x−
2
1
x−
2
1
x−
2
=6+
=
1
4
25
4
r
=±
25
4
5
2
5 1
x=± +
2 2
x = 3 ou x = −2 .
=±
Para as equações de grau maior que 2, devemos encontrar raízes separadamente.
Cada vez que encontrarmos uma raiz, conseguiremos diminuir o grau do polinômio
envolvido. Repetindo esse processo quantas vezes forem necessárias, chegaremos a
polinômios de grau 2, que já sabemos resolver.
Exemplo 5.23: Encontre os valores de x para os quais x3 = 2x.
120
Elementos de Aritmética e Álgebra
Há uma resposta óbvia: x = 0. Portanto, o que fazemos é colocar x−0 em evidência
na igualdade acima.
x3 = 2x
x3 − 2x = 0
(x − 0)(x2 − 2) = 0 .
Assim, as raízes do polinômio x3 = 2x são as raízes já calculadas (x = 0), juntamente com as raízes de x2 − 2. Vamos encontrá-las:
x2 − 2 = 0
x2 = 2
√
x = ± 2.
Logo as raízes são x = 0, x =
√
√
2 e x = − 2.
Exemplo 5.24: Encontre as raízes do polinômio x4 − x3 − 7x2 + x + 6.
Note que x = 0 não é uma raiz. Vamos checar se x = 1 é raiz:
(1)4 − (1)3 − 7(1)2 + (1) + 6 = 1 − 1 − 7 + 1 + 6
= 0.
Logo podemos colocar x − 1 em evidência no polinômio acima, obtendo:
x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = 0
(x − 1)(x3 − 7x − 6) = 0 .
Agora precisamos calcular as raízes do polinômio x3 − 7x − 6. Novamente há uma
raiz óbvia: x = −1. Portanto podemos colocar x − (−1) = x + 1 em evidência:
x3 − 7x − 6 = 0
(x + 1)(x2 − x − 6) = 0 .
Pelo Exemplo 5.22 sabemos que as raízes de x2 − x − 6 são x = 3 e x = −2. Logo,
as raízes de x4 − x3 − 7x2 + x + 6 são
x = 1,
x = −1 ,
x = 3,
x = −2 .
Números reais
121
7. Inequações polinomiais
Definição 5.8: Uma inequação polinomial de uma variável é uma desigualdade de
expressões que envolvem números, operações e variáveis, sendo que essas últimas só
podem estar elevadas a números naturais.
Aqui estaremos interessados em inequações polinomiais que possuem apenas uma
variável, por exemplo:
x2 − 3x + 1 < 0 ,
y 3 − y 2 ≥ 3y − 1 ,
z2 ≤ 1 .
O grau de uma inequação é o maior expoente da variável. Estaremos interessados
em resolver tais inequações, isto é, saber quais valores para a variável tornam as
respectivas inequações verdadeiras. Para isso, o que temos de fazer é isolar, quando
possível, a variável.
O princípio envolvido é: ao termos uma inequação, podemos realizar a mesma operação de multiplicação ou divisão por um número positivo, soma ou subtração em
ambos lados e a desigualdade se mantém. Ao se multiplicar ou dividir ambos os
lados por um número negativo, a desigualdade se inverte (análogo à Proposição 4.2
ii) e iii)). Comecemos com inequações de grau 1.
Exemplo 5.25: Vamos resolver a inequação 5x − 21 ≤ −2x.
5x − 21 ≤ −2x
5x + 2x − 21 + 21 ≤ −2x + 2x + 21
7x ≤ 21
x ≤ 3.
Exemplo 5.26: Encontre os valores de x onde vale −5x − 21 ≤ −2x.
−5x − 21 ≤ −2x
−5x + 2x − 21 + 21 ≤ −2x + 2x + 21
−3x ≤ 21
x ≥ −7 .
Existem várias maneiras gráficas ou analíticas para resolver inequações de grau maior
ou igual a 2. Veremos como resolver de forma analítica. Basicamente começamos
encontrando as raízes para escrever a inequação como um produto de polinômios de
grau 1.
Exemplo 5.27: Resolva x2 < x + 6.
Elementos de Aritmética e Álgebra
122
Vimos no Exemplo 5.22 que as raízes do polinômio x2 − x − 6 são x = 3 e x = −2.
Portanto o problema pode ser visto como:
x2 < x + 6
x2 − x − 6 < 0
(x − 3)(x + 2) < 0 .
Note que precisamos descobrir quando que o produto de duas parcelas é menor que
0. Para que isso ocorra, uma das parcelas deve ser menor que 0 e a outra deve ser
maior que 0. Ou seja, precisamos que:
x−3<0 e x+2>0
ou
x − 3 > 0 e x + 2 < 0.
Cada uma das linhas se resume a:
x < 3 e x > −2 ou seja, − 2 < x < 3
ou
x > 3 e x < −2 que nunca acontece.
Logo a solução da inequação x2 < x + 6 é −2 < x < 3.
Exemplo 5.28: Resolva 3x2 − 24 ≤ −6x.
Temos:
3x2 − 24 ≤ −6x
3x2 + 6x − 24 ≤ 0
3(x2 + 2x − 8) ≤ 0
3(x − 2)(x + 4) ≤ 0 .
Portanto, precisamos que:
x−2≤0 e x+4≥0
ou
x − 2 ≥ 0 e x + 4 ≤ 0.
Então, segue que:
x ≤ 2 e x ≥ −4 ou seja, − 4 ≤ x ≤ 2
ou
x ≥ 2 e x ≤ −4 que nunca acontece.
Logo a solução da inequação 3x2 − 24 ≤ −6x é −4 ≤ x ≤ 2.
Números reais
8. Exercícios
Exercício 5.1: Simplifique:
a)
c)
8
125
−3
√
64
−23
√
d) 34
b)
− 3
4 2
9
e)
5
−4
3
g)
4
12
i)
√ !−6
2
√
3
4
k)
m)
√
12
f) √
3
−3
h)
2
q√
81
√
23 · 52
j) q√
100
√
3
−343
l) √
49
!− 5
√
5
2
2
√
7
√
3
√ 5
n)
−1000
√
5
32
p)
10
.
(10)−1
3
√ 6
3
o) − 5
Exercício 5.2: Em cada progressão aritmética abaixo, encontre o termo an , a razão
e a soma dos n primeiros termos:
a) n = 15 na PA: −5, −2, 1, 4 . . .
b) n = 23 na PA: 10,
20 10
,
...
3 3
c) n = 7 na PA: −7,
−41 −40 −39
,
,
...
6
6
6
d) n = 71 na PA: 0,
−1 −1 −1
,
,
...
6 3 2
2 4 10
e) n = 20 na PA: − , ,
...
9 9 9
123
Elementos de Aritmética e Álgebra
124
5 4 3
f) n = 16 na PA: − , − , − . . .
7 7 7
g) n = 23 na PA:
−1 6 13
, ,
...
7 7 7
h) n = 22 na PA: an = 7 − n
i) n = 312 na PA: an =
8n
.
3
Exercício 5.3: Encontre a razão e a soma de todos os termos das progressões geométricas abaixo:
2 2
2 2
a) 2, − , , − ,
...
3 9 27 81
1 1 1
b) 1, √ , , √ . . .
2 2 2 2
c) 1, 3, 9, 27 . . .
d) 32, 16, 8, 4, 2 . . .
e) 31,
1 1
,
...
31 313
f) 1000, 100, 10, 1,
g)
1
...
10
7 7 7
, ,
...
3 9 27
3
3 3 3
h) √
,√
, , √ ...
3
3
2
4 2 232
i) 5,
10 20
,
...
3 9
j) an = 5n
k) an =
7n
.
11n
Exercício 5.4: Resolva:
a) 35x = 7 + 30x − 2
Números reais
b) 123x − 71 = 23 + 101x
c)
3x
=6
2
d) x2 = x + 6
e) −12x − 5 = 7
f) 5x = 6 − x2
g) 8 − 3x =
2
+x
3
h) x3 = 27
i) x2 = 8
j) x4 − x2 = 6
k) x3 = x
l) x4 = x
m) x5 + 4x = 5x3 .
Exercício 5.5: Resolva:
a) 35x ≤ 7 + 30x − 2
b) 123x − 71 > 23 + 101x
c)
3x
<6
2
d) x2 ≥ x + 6
e) −12x − 5 ≥ 7
f) 5x ≤ 6 − x2
g) 8 − 3x >
h) x3 < 27
i) x2 ≥ 8
2
+x
3
125
Elementos de Aritmética e Álgebra
126
j) x4 − x2 ≤ 6
k) x3 ≤ x
l) x4 ≤ x
m) x5 + 4x < 5x3 .
Referências Bibliográficas
[1] BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da Matemática - Tradução da 3a Edição
Americana. Edgard Blucher, São Paulo, 2012.
[2] BRANDT, C. F.; MORETTI, M. Aprendizagem do Sistema de Numeração. Editora Prismas,
Curitiba, 2013.
[3] BURTON, D. M. Teoria Elementar dos Números. LTC, Rio de Janeiro, 2016.
[4] CARAÇA, B. J. Os conceitos fundamentais da Matemática. Editora Gradiva, Lisboa, 1998.
[5] CARRAHER, D.; SCHLIEMANN, A. A compreensão dos conceitos aritméticos. Editora
Papirus, Campinas, 1998.
[6] CARVALHO, N. T. B.; GIMENEZ, C. S. C. Fundamentos de Matemática I. Universidade
Aberta do Brasil, Florianópolis, 2009.
[7] DOMINGUES, H. H. Fundamentos de Aritmética. Editora da UFSC, Florianópolis, 2009.
[8] EUCLIDES. Os Elementos. Editora UNESP, Tradução de Irineu Bicudo. São Paulo, 2009.
[9] EVES, H. Introdução à História da Matemática. Editora da UNICAMP, Campinas, 1995.
[10] GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. IMPA, Rio de Janeiro, 2015.
[11] HEFEZ, A. Elementos de aritmética. Coleção Textos Universitários. IMPA, Rio de Janeiro,
2005.
[12] IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 6 - Complexos, Polinômios, Equações.
Atual Editora, São Paulo, 2013.
[13] SANTOS, J. P. O. Introdução à Teoria dos Números. IMPA, Rio de Janeiro, 2007.
127
Índice Remissivo
Algarismo, 3
Algoritmo da divisão
em , 39
em , 40
Axiomas de Peano, 1
adição, 88, 89
divisão, 91
multiplicação, 89, 90
relação de ordem, 95, 96
subtração, 90
Números reais, 109
potências, 109, 111
progressão aritmética, 113, 114
progressão geométrica, 115
raízes, 112, 113
Números relativamente primos, 67
N
Z
Congruências, 72
Conjunto limitado inferiormente, 34
Demais bases
adição, 13
multiplicação, 14
subtração, 15
Demonstração por absurdo, 33
Divisibilidade, 42, 43
critérios, 45
quantidade de divisores, 57
N
Princípio da boa ordem em , 33
Princípio de indução, 2
Princípio do menor inteiro em , 34
Produto cartesiano, 2
Z
Representação decimal, 97, 102, 117
operações, 102
Representação polinomial, 3, 5, 11
Elemento mínimo, 34
Equações diofantinas, 67
solução geral, 70
Equações polinomiais, 118
Tabuada, 17
Teorema fundamental da aritmética, 53
Fatoração, 56, 58
Frações, 85
irredutíveis, 91, 102
nomenclatura de frações, 87
Inequações polinomiais, 121
Mínimo múltiplo comum, 64, 65
Máximo divisor comum, 58, 60, 64
Números inteiros, 23
adição, 24
multiplicação, 25
relação de ordem, 29
subtração, 26
Números irracionais, 109
Números naturais, 1
adição, 2, 4
multiplicação, 5
subtração, 6
Números primos, 51, 52
teorema de Euclides, 56
Números racionais, 85
129