Lista 2

Lista 2
ESPAÇOS VETORIAIS
Exemplo 2. \'cri fique st. o cspa�·o de todas as funções contínuJ.s em um intcrví.ll
IR com a soma e a multiplicação de funções é um espaço vetorial.
J:
a, b. \< hrc o corpo
SOLUÇÃO. A soma de duas funções contínuas em um determinado intervalo :a, b\ q e pode 5er
infinito > é dada por f ( x) + g ( x), onde somam-se todos o \·ai ores f ( x) e g ( x J tais que
x E [a, b]. O produto de uma função contínua por um escalar, af(x), é o valor da função
1
1
_____________________________ I
1
1
1
para cada ponto x E [a, bJ multiplicado pelo número real ex.
·--1
1
S5)
Vamos agora mostrar que o conjunto V das funções contínuas em um intervalo [a, b] com
as operações dadas, onde os escalares são elementos pertencentes a lR, apresenta todas as
propriedades de um espaço vetorial. Para isso, consideramos as funções f ( x), g ( x J e h( x),
pertencentes a V, e os escJlares a e (3, pertencentes a IR.
f(x) + g(x) = h(x), que pertence ,lO conjunto V (fechado quanto à soma);
f(x) + g(x) = g(x) + f(x) (comutativa);
f(x) + [g(x) + h(x)] = f(x) + g(x) + h(x) = [f(x) + g(x)] + h(x) (associativa);
e,-,iste a função o(x) = O tal que o(x) + f(x) = f(x), para qualquer f(x) E V (elemento
neutro);
para toda f(x) E V existe uma -f(x) em V tal que -f(x) + f(x) = o(x) (elemento
Pl)
P2)
Ml)
M2)
inverso).
a [/3f(x)] = af3f(x) = f3af(x) = f3 [af(x)] (comutativa);
para o número 1 E .IR, l · f(x) = f(x) (elemento neutro);
a[f(x) + g(x)] = af(x) + ag(x) (distributiva da soma em relação ao produto escalar);
(a+ f3 )f(x) = af(x) + f3gfx) (distributiva do produto escalar em relação à soma).
Sl)
S2)
S3)
S4)
Com isto, mostramos que V sobre .IR é um espaço vetorial.
E2) Verifique se os seguintes conjuntos, para os quais são definidas as operações
de soma e de produto por um escalar (onde o escalar pertence ao conjunto
dos números reais), são espaços vetoriais:
a)
{O, l}.
b)
conjunto de todos os polinômios de grau � n:
P n (X)
c)
= {Oo + 01X + 02X + · · · + OnX I Oo, Oi, 02, · · ·
conjunto de todas as matrizes
Mmxn
d)
n
2
=
{ (au
m
x
, On E JR}.
n:
01n
:
:
Om1
Omn
)
1 011, · · · , Omn
E
lR .
}
conjunto <Q dos números racionais.
Nível 2
El) Verifique se os seguintes conjuntos, com as operações de soma e multip
lica­
ção por um escalar dadas, são espaços vetoriais.
a) Conjunto IR com a soma x+y
usual,
cxx
= cxx.
b) Conjunto IR com a soma
x+Y
= x+ ky, k E IR, e o produto por um escalar
= xy e o produto por um escalar cxx = x<X.
=
c) Conjunto IR 2 com a soma (xi, yi) + (x2, Y2)
{x 1
k E IR, e o produto por um escalar usual, ex( x 1 , y 1)
+ kx 2 , y 1 + ky 2), onde
= ( cxx 1 , cxy ).
1
d) Conjunto JR2 com a soma usual, (x i ,yi) + (x 2 ,Y 2 )
oprodutopor um escalar ex(x 1 ,y 1) = ( cxx 1 ,O).
= (x 1 + X2, 1J 1 + Y2L e
e) ConjuntolR2 com a soma(x 1 ,1Ji)+(x 2,y 2 ) = (Y1+Y 2,x 1 +x2)e oproduto
por um escalar usual, ex( x 1 ,y 1 ) = ( cxx 1, cxy 1).
Resposta
E2) a) Não é um espaço vetorial.
d) É um espaço vetorial.
NíVEL
e)
b)
É um espaço vetorial.
b)
e)
É um espaço vetorial.
Não é um espaço vetorial.
r. um espaço vetoriaJ.
2
El) a) Não é um espaço vetorial.
d) Não é um espaço vetorial.
e)
Não é um espaço vetorial.