Teste de Matemática A 2018 / 2019 Teste N.º 1 Matemática A Duração do Teste: 90 minutos NÃO É PERMITIDO O USO DE CALCULADORA 10.º Ano de Escolaridade Nome do aluno: __________________________________________ N.º: ___ Turma: ___ Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato. Teste N.º 1 de Matemática A_10.º Ano Expoente 10 | Daniela Raposo e Luzia Gomes 1. Considere uma pirâmide quadrangular regular cujas arestas medem 𝑎𝑎. A área total da pirâmide pode ser dada em função de 𝑎𝑎 por: (A) �1 + √3�𝑎𝑎2 (B) �1 + √3 � 𝑎𝑎2 4 (C) �1 + √2�𝑎𝑎2 1+√3 � 𝑎𝑎2 3 (D) � 2. Determine o valor exato da área de um quadrado inscrito numa circunferência de raio Apresente o resultado sob a forma de fração com denominador racionalizado. 1 . √7−1 3. No plano munido de um referencial o.n. 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂, considere o conjunto de pontos definido pela condição ~( 𝑂𝑂 < 0 ∨ 𝑂𝑂 ≥ 𝑂𝑂 ). Em qual das opções seguintes se encontra esse conjunto de pontos representado? (A) (B) (C) (D) Teste N.º 1 de Matemática A_10.º Ano Expoente 10 | Daniela Raposo e Luzia Gomes 4. Considere, num plano munido de um referencial o.n. 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂, os pontos 𝑃𝑃(1, 2), 𝑄𝑄(−2, −2) e 𝑅𝑅(𝑘𝑘, 𝑘𝑘 − 1), com 𝑘𝑘 ∈ ℝ. 4.1. Escreva uma equação vetorial da reta paralela à bissetriz dos quadrantes pares e que contém o ponto médio de [𝑃𝑃𝑄𝑄]. 4.2. Determine o valor de 𝑘𝑘 de modo que 𝑅𝑅: 4.2.1. pertença à reta 𝑃𝑃𝑄𝑄; 4.2.2. pertença à mediatriz de [𝑃𝑃𝑄𝑄]. �����⃗ , de sentido contrário ao de �����⃗ 4.3. Determine as coordenadas do vetor colinear com 𝑃𝑃𝑄𝑄 𝑃𝑃𝑄𝑄 e de norma √15. 1 5. A expressão (2𝑎𝑎6 𝑏𝑏 8 )− 4 × √8𝑎𝑎−2 é igual, para quaisquer números reais positivos 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏, a: 4 (A) √2𝑎𝑎𝑏𝑏 (B) 2𝑎𝑎𝑏𝑏 (C) − (D) √2 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 √2 (𝑎𝑎𝑏𝑏)2 6. Na figura estão representadas, num referencial o.n. 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂, a circunferência definida pela condição 𝑂𝑂 2 + 𝑂𝑂 2 − 4𝑂𝑂 − 10𝑂𝑂 = 0, duas retas, 𝑟𝑟 e 𝑠𝑠, e um ponto 𝐴𝐴 no segundo quadrante. Sabe-se ainda que: 𝐴𝐴 é um ponto de ordenada 7 e pertence à circunferência; a reta 𝑟𝑟 passa no ponto 𝐴𝐴 e na origem do referencial; a reta 𝑠𝑠 contém o ponto 𝐴𝐴 e é paralela ao eixo das abcissas. 6.1. Indique o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: 6.1.1. “O centro da circunferência pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.” 𝑂𝑂 = 𝜋𝜋 + 6𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ∈ ℝ.” 6.1.2. “A reta 𝑟𝑟 é paralela à reta 𝑡𝑡 definida por � 𝑂𝑂 = √2 − 14𝑘𝑘 6.2. Defina por uma condição o conjunto de pontos a sombreado na figura, incluindo a fronteira. Teste N.º 1 de Matemática A_10.º Ano Expoente 10 | Daniela Raposo e Luzia Gomes 7. Considere as proposições: 𝑝𝑝: �(−2019)2 = −2019 3 𝑞𝑞: �(−2018)3 = −2018 Qual das seguintes proposições é verdadeira? (A) 𝑝𝑝 ∧ 𝑞𝑞 (B) 𝑝𝑝 ∨ 𝑞𝑞 (C) 𝑞𝑞 ⟹ 𝑝𝑝 (D) 𝑝𝑝 ⟺ 𝑞𝑞 8. Fixado um referencial o.n. 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂, considere uma reta 𝑟𝑟 paralela ao eixo das ordenadas. Qual das seguintes equações pode definir essa reta? (A) (𝑂𝑂, 𝑂𝑂) = (1,1) + 𝑘𝑘(2018, 2018), 𝑘𝑘 ∈ ℝ (B) (𝑂𝑂, 𝑂𝑂) = (2,2) + 𝑘𝑘(2018, 0), 𝑘𝑘 ∈ ℝ (C) (𝑂𝑂, 𝑂𝑂) = (3, 3) + 𝑘𝑘(0, 2018), 𝑘𝑘 ∈ ℝ (D) (𝑂𝑂, 𝑂𝑂) = (4,4) + 𝑘𝑘(−2018, 2018), 𝑘𝑘 ∈ ℝ FIM COTAÇÕES Item Cotação (em pontos) 1. 2. 3. 4.1. 4.2.1. 4.2.2. 4.3. 5. 6.1.1. 6.1.2. 6.2. 7. 8. 8 20 8 20 20 20 20 8 20 20 20 8 8 Teste N.º 1 de Matemática A_10.º Ano Expoente 10 200 | Daniela Raposo e Luzia Gomes TESTE N.º 1 – Proposta de resolução 1. Opção (A) Seja A a área total da pirâmide quadrangular regular de aresta 𝑎𝑎. A = 𝑎𝑎2 + 4 × Assim: A = 𝑎𝑎2 + 4 × = 𝑎𝑎2 + 4 2 𝑎𝑎×ℎ , 2 onde ℎ é a altura de cada uma das faces. √3 𝑎𝑎× 𝑎𝑎 2 2 √3𝑎𝑎2 Cálculo auxiliar 𝑎𝑎 2 𝑎𝑎2 ℎ2 + � � = 𝑎𝑎2 ⇔ ℎ2 = 𝑎𝑎2 − 4 2 3𝑎𝑎2 ⇔ ℎ2 = = = 4 3𝑎𝑎2 Logo, ℎ = � = 𝑎𝑎 + √3𝑎𝑎2 = = 𝑎𝑎2 (1 + �3) 4 = √3 𝑎𝑎. 2 4 2. Seja 𝑙𝑙 o lado do quadrado inscrito na circunferência de raio 𝑟𝑟 e A a área do quadrado. A = 𝑙𝑙 2 = = = = = = 2 = 2 �√7−1� 2 2 �√7� −2√7+1 2 = 8−2√7 1 4−√7 = 4+√7 4+√7 2 4 2 −�√7� 4+√7 𝑙𝑙 2 + 𝑙𝑙 2 = (2𝑟𝑟)2 ⇔ 2𝑙𝑙 2 = 4 × � = �4−√7)�4+√7�� Cálculo auxiliar 1 𝑟𝑟 = √7 − 1 = ⇔ 𝑙𝑙 2 = 2 �√7−1� 1 √7−1 2 � 2 = = 16−7 = = 4+√7 9 3. Opção (B) ~(𝑦𝑦 < 0 ∨ 𝑦𝑦 ≥ 𝑥𝑥) ⇔ 𝑦𝑦 ≥ 0 ∧ 𝑦𝑦 < 𝑥𝑥 Teste N.º 1 de Matemática A_10.º Ano Expoente 10 | Daniela Raposo e Luzia Gomes 4. 1+(−2) 2+(−2) , � 2 2 4.1. Coordenadas do ponto médio de [𝑃𝑃𝑃𝑃]: � 1 2 = �− , 0� Coordenadas de um vetor diretor da bissetriz dos quadrantes pares: (−1,1) 1 2 Equação vetorial da reta pretendida: (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �− , 0� + 𝑘𝑘(−1,1), 𝑘𝑘 ∈ ℝ 4.2. 4.2.1. �����⃗ 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑃𝑃 − 𝑃𝑃 = (−2, −2) − (1, 2) = (−3, −4) 𝑚𝑚 = −4 −3 = 4 3 4 3 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 4 3 Como 𝑃𝑃 pertence à reta 𝑃𝑃𝑃𝑃, vem 2 = × 1 + 𝑏𝑏. 4 3 2 3 Logo, 𝑏𝑏 = 2 − = . 4 3 Equação reduzida da reta 𝑃𝑃𝑃𝑃: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 2 3 Para que 𝑅𝑅(𝑘𝑘, 𝑘𝑘 − 1) pertença à reta 𝑃𝑃𝑃𝑃, tem que se verificar: 4 3 2 3 4 3 2 3 1 3 𝑘𝑘 − 1 = × 𝑘𝑘 + ⇔ 𝑘𝑘 − 𝑘𝑘 = + 1 ⇔ − 𝑘𝑘 = 5 3 ⇔ 𝑘𝑘 = −5 4.2.2. Para que 𝑅𝑅(𝑘𝑘, 𝑘𝑘 − 1) pertença à mediatriz de [𝑃𝑃𝑃𝑃], tem que se verificar 𝑑𝑑(𝑅𝑅, 𝑃𝑃) = 𝑑𝑑(𝑅𝑅, 𝑃𝑃). Temos que: 𝑑𝑑(𝑅𝑅, 𝑃𝑃) = 𝑑𝑑(𝑅𝑅, 𝑃𝑃) ⇔ �(𝑘𝑘 − 1)2 + (𝑘𝑘 − 1 − 2)2 = �(𝑘𝑘 + 2)2 + (𝑘𝑘 − 1 + 2)2 ⇔ 𝑘𝑘 2 − 2𝑘𝑘 + 1 + 𝑘𝑘 2 − 6𝑘𝑘 + 9 = 𝑘𝑘 2 + 4𝑘𝑘 + 4 + 𝑘𝑘 2 + 2𝑘𝑘 + 1 ⇔ −8𝑘𝑘 + 10 = 6𝑘𝑘 + 5 ⇔ −14𝑘𝑘 = −5 ⇔ 𝑘𝑘 = 5 14 Logo, o valor de 𝑘𝑘 para o qual 𝑅𝑅 pertence à mediatriz de [𝑃𝑃𝑃𝑃] é 5 . 14 �����⃗ = (−3, −4) 4.3. 𝑃𝑃𝑃𝑃 �����⃗ , tem de ser da forma 𝜆𝜆𝑃𝑃𝑃𝑃 �����⃗ , isto é,(−3𝜆𝜆, −4𝜆𝜆), 𝜆𝜆 ∈ ℝ. Para o vetor ser colinear com 𝑃𝑃𝑃𝑃 Para que tenha norma √15, tem que acontecer: �(−3𝜆𝜆)2 + (−4𝜆𝜆)2 = √15 ⇔ 9𝜆𝜆2 + 16𝜆𝜆2 = 15 ⇔ 25𝜆𝜆2 = 15 ⇔ 𝜆𝜆2 = Teste N.º 1 de Matemática A_10.º Ano 15 25 Expoente 10 | Daniela Raposo e Luzia Gomes 15 25 ⇔ 𝜆𝜆 = ±� ⇔ 𝜆𝜆 = √15 ∨ 𝜆𝜆 5 =− √15 5 �����⃗ , tem-se que 𝜆𝜆 = − √15. Para que o vetor tenha sentido contrário ao de 𝑃𝑃𝑃𝑃 5 3√15 4√15 , 5 �. 5 Assim, o vetor nas condições pretendidas tem coordenadas � 5. Opção (D) 1 (2𝑎𝑎6 𝑏𝑏 8 )−4 × √8𝑎𝑎−2 = 4 4 1 √2𝑎𝑎 6 𝑏𝑏8 4 4 × √8𝑎𝑎−2 = � 4 8𝑎𝑎−2 2𝑎𝑎6 𝑏𝑏8 = 4 = �𝑎𝑎8 𝑏𝑏8 = = 1 44 1 (𝑎𝑎8 𝑏𝑏8 )4 1 = (22 )4 = 𝑎𝑎2 ×𝑏𝑏2 = = 1 22 (𝑎𝑎𝑏𝑏)2 = √2 = (𝑎𝑎𝑏𝑏)2 6. 6.1. 6.1.1. 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 4𝑥𝑥 − 10𝑦𝑦 = 0 ⇔ 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 22 + 𝑦𝑦 2 − 10𝑦𝑦 + 52 = 22 + 55 ⇔ (𝑥𝑥 − 2)2 + (𝑦𝑦 − 5)2 = 29 O centro da circunferência é o ponto de coordenadas (2, 5). Como este ponto não pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, pois não verifica a condição 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥, a proposição apresentada é falsa. 6.1.2. Determinação das coordenadas do ponto 𝐴𝐴: 𝐴𝐴(𝑥𝑥, 7) Como 𝐴𝐴 pertence à circunferência, vem que: (𝑥𝑥 − 2)2 + (7 − 5)2 = 29 ⇔ (𝑥𝑥 − 2)2 + 4 = 29 ⇔ (𝑥𝑥 − 2)2 = 25 ⇔ 𝑥𝑥 − 2 = 5 ∨ 𝑥𝑥 − 2 = −5 ⇔ 𝑥𝑥 = 7 ∨ 𝑥𝑥 = −3 Teste N.º 1 de Matemática A_10.º Ano Expoente 10 | Daniela Raposo e Luzia Gomes Como 𝐴𝐴 pertence ao 2.º quadrante, tem--se que 𝑥𝑥 < 0. Logo, 𝑥𝑥 = −3. Assim, 𝐴𝐴(−3, 7). �����⃗ é um vetor diretor da reta 𝑟𝑟 e �����⃗ 𝑂𝑂𝐴𝐴 𝑂𝑂𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 − 𝑂𝑂 = (−3, 7). Logo, a equação reduzida é do 7 3 7 3 tipo𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏. Como a reta passa na origem, vem que 𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥. 𝑥𝑥 = 𝜋𝜋 + 6𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ∈ ℝ tem como vetor diretor 𝑢𝑢 A reta 𝑡𝑡 definida por � �⃗(6, −14) (por exemplo) 𝑦𝑦 = √2 − 14𝑘𝑘 e o seu declive é, então, − 14 6 7 3 =− . Como os declives das retas 𝑟𝑟 e 𝑡𝑡 são iguais, as retas são paralelas (não são retas coincidentes pois, por exemplo, o ponto da reta 𝑡𝑡 de coordenadas (𝜋𝜋, √2) não pertence à 7 3 reta 𝑟𝑟, já que √2 ≠ − 𝜋𝜋 ). Assim, a proposição apresentada é verdadeira. 7 3 ((𝑥𝑥 − 2)2 + (𝑦𝑦 − 5)2 ≤ 29 ∧ 𝑦𝑦 ≥ 7) ∨ �(𝑥𝑥 − 2)2 + (𝑦𝑦 − 5)2 ≤ 29 ∧ 𝑦𝑦 ≤ − 𝑥𝑥� 6.2. 7 3 ⇔ (𝑥𝑥 − 2)2 + (𝑦𝑦 − 5)2 ≤ 29 ∧ �𝑦𝑦 ≥ 7 ∨ 𝑦𝑦 ≤ − 𝑥𝑥� 7. Opção (B) 𝑝𝑝: �(−2019)2 = −2019 é uma proposição falsa. 3 𝑞𝑞: �(−2018)3 = −2018 é uma proposição verdadeira. Assim: (𝑝𝑝 ∧ 𝑞𝑞) ⇔ (F ∧ V) ⇔ F (𝑝𝑝 ∨ 𝑞𝑞) ⇔ (F ∨ V) ⇔ V (𝑞𝑞 ⇒ 𝑝𝑝) ⇔ (V ⇒ F) ⇔ F (𝑝𝑝 ⇔ 𝑞𝑞) ⇔ (F ⇔ V) ⇔ F 8. Opção (C) Das opções apresentadas, apenas o vetor de coordenadas (0, 2018) tem a direção do eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦. Assim, a única equação que pode definir a reta 𝑟𝑟 é (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (3, 3) + 𝑘𝑘(0, 2018), 𝑘𝑘 ∈ ℝ. Teste N.º 1 de Matemática A_10.º Ano Expoente 10 | Daniela Raposo e Luzia Gomes
