Aula 16 - Google Sites

BC0209–Fenômenos Eletromagnéticos
Terceiro quadrimestre de 2013
Prof. José Kenichi Mizukoshi
Aula 16 (versão 10/01/2014)
Campo elétrico induzido
■
De acordo com a lei de Faraday, um fluxo magnético variável induz uma fem
e uma corrente em uma espira condutora.
■
Podemos interpretar a situação acima de uma outra abordagem: um fluxo
magnético variável induz um campo elétrico, que será responsável pela força
sobre os elétrons livres do condutor, gerando corrente elétrica.
■
Considere uma espira condutora de raio r em uma
região com campo magnético uniforme, cuja inten~ varia
sidade pode variar com o tempo. Como B
com o tempo, o fluxo magnético variará com o
tempo, o que induzirá na espira uma fem
dΦB
E =−
dt
■
Aula 16
~
B
~
E
~
E
r
~
E
~
E
~ que
A corrente induzida implica na existência de um campo elétrico E,
devido à direção da corrente, deve ser tangencial à espira.
2 / 24
Campo elétrico induzido
■
Trabalho realizado pelo campo elétrico para fazer uma carga de prova q0 dar
uma volta completa na espira:
I
I
~ · d~ℓ
WE = q0 E = F~E · d~ℓ = q0 E
Segue que o campo elétrico induzido está relacionado com a fem induzida
pela relação
I
~ · d~ℓ
E= E
◆ O campo elétrico induzido é um campo não conservativo (ao
contrário do campo elétrico eletrostático), pois o trabalho sobre um
circuito fechado dá diferente de zero;
◆ embora o resultado acima tenha sido derivado levando-se em conta uma
espira condutora, o campo elétrico é induzido no espaço, mesmo na
ausência de um condutor ou de cargas.
Aula 16
3 / 24
Campo elétrico induzido
■
Em termos do fluxo magnético, a expressão fica
Z
I
d
dΦB
~
~ · dA
~
~
=−
B
E · dℓ = −
dt
dt
➠ Se o fluxo magnético muda com o tempo, haverá um campo elétrico
induzido.
Aula 16
4 / 24
Campo elétrico induzido – exemplo
Ex. 1 Considere um solenóide de raio R com n espiras por unidade de comprimento, mostrado na figura
ao lado, conduzindo uma corrente I = Imax cos ωt.
Determine a magnitude do campo elétrico induzido
fora do solenóide, a uma distância r > R de seu eixo
longo central.
Caminho de
integração
R
r
Imax cos ωt
Solução
■
Pela lei de Faraday,
I
d
~
~
E · dℓ = −
dt
Z
~ · dA
~
B
~ é tangente a ele e
Para o caminho de integração mostrado na figura acima, E
o seu módulo é constante.
Aula 16
5 / 24
Campo elétrico induzido – exemplo
Segue que
I
I
d
Edℓ = E dℓ = − (B dA)
dt
| {z }
| {z }
2πr
■
Z
⇒
R2 dB
E=−
2r dt
= πR2
Conforme deduzida na aula 14, pp. 2-4, o campo magnético dentro de um
solenóide ideal é B = µ0 nI. Logo,
µ0 nImax R2 d
R2 d
(µ0 nI) = −
(cos ωt)
E=−
2r dt
2r
dt
| {z }
= −ω sen ωt
⇒
Aula 16
µ0 nImax ωR2
sen ωt
E=
2r
6 / 24
Campo elétrico induzido – exemplo
Determine a magnitude do campo elétrico induzido dentro do solenóide, a uma
distância r < R de seu eixo longo central.
Solução
■
Utiliza-se novamente a lei de Faraday, onde agora o caminho de integração
possui raio r < R, portanto o fluxo magnético será dado por Bπr2 :
d
E(2πr) = − (Bπr2 )
dt
⇒
Aula 16
⇒
r dB
r d
E=−
=−
(µ0 nImax cos ωt)
2 dt
2 dt
µ0 nImax ωr
E=
sen ωt
2
7 / 24
Auto-indutância
■
Considere o circuito da figura ao lado, formado por
uma fonte de fem, uma resistência e uma chave.
Quando a chave S é fechada, observa-se que
~
B
I
◆ A corrente não salta imediatamente de zero a
E/R.
◆ À medida que a corrente aumenta com o
I
tempo, haverá aumento no fluxo magnético.
■
Para conter o aumento no fluxo, surgirá uma fem induzida, no sentido
contrário à corrente, para se opor ao seu aumento. Esse efeito é conhecido
como auto-indutância e a fem em questão é uma fem auto-induzida, EL .
Para uma bobina com N espiras, a lei de Faraday pode ser escrita como
dΦB
dI
EL = −N
= −L
dt
dt
Aula 16
8 / 24
Auto-indutância
■
L é uma constante de proporcionalidade, conhecida como indutância da
bobina, e só depende da geometria da bobina e do material o qual as espiras
estão enroladas.
Da última igualdade da equação da página anterior,
dΦB
dI
−N
dt = −L dt
| dt{z }
|dt{z }
= dΦB
⇒
−N
Z
ΦB
dΦB = −L
0
Z
i
dI
0
= di
portanto para uma bobina com N espiras,
N ΦB
L=
I
◆ Unidade da indutância no SI: [L] =
Aula 16
V·s
= henry (H)
A
9 / 24
Indutância de um solenóide – exemplo
Ex. 2 Obtenha a indutância de um solenóide ideal uniformemente enrolado com
N espiras, de comprimento ℓ.
Solução
■
O campo magnético no interior de um solenóide ideal é dado por (veja aula
14, pp. 2-4)
N
B = µ0 nI = µ0 I
ℓ
■
O fluxo magnético em cada espira de área da seção transversal A é dado por
ΦB = BA =
N ΦB
Como L =
, tem-se que
I
µ0 N 2 A
L=
ℓ
Aula 16
ou
µ0 N AI
ℓ
L = µ0 n2 Aℓ
10 / 24
Indutância de um solenóide – exemplo
Como Aℓ é o volume do solenóide, Vsolen. , temos que a indutância pode ser
dada por
L = µ0 n2 Vsolen.
Aula 16
11 / 24
Indutor
■
Um elemento de circuito que possui a finalidade de fornecer a indutância para
o circuito é conhecido como indutor, que é caracterizado pela indutância L.
Num circuito, representamos o indutor através do sı́mbolo
dI
■ Sentido (sinal) da fem induzida: é determinado pelo sinal de
.
dt
EL
I
Aula 16
EL
I
12 / 24
Circuitos RL
■
■
Considere o circuito da figura ao lado, formado por um resistor, um indutor, uma
chave e uma bateria ideal.
Se a chave S for colocada na posição a em
t = 0, surge no circuito uma corrente i que
começa a aumentar com o tempo.
I
a
c
b S
d
A variação da corrente produz uma fem EL (às vezes chamada de força
contra-eletromotriz), que se opõe ao aumento da corrente, dada por
dI
EL = −L
dt
dI
é positivo (aumento da corrente elétrica), tem-se que EL é
Como
dt
negativa, ou seja, uma queda de potencial ocorre do ponto c para o ponto d
da figura.
Aula 16
13 / 24
Circuitos RL
■
Aplicando a regra das malhas de Kirchhoff a esse circuito, obtemos
dI
dI
R
E
E − RI − L
I−
=0 ⇒
=−
dt
dt
L
R
Sabendo-se que em t = 0 a corrente é nula, temos que
Z
I
Z
t
R
dI
dt ⇒
=−
L 0
0 I − E/R
E/R − I
Rt
⇒ ln
=−
⇒
E/R
L
Aula 16
I
E
Rt
ln I − = −
R 0
L
E/R − I
− Rt
=e L
E/R
14 / 24
Circuitos RL
I
Portanto,
E
− Rt
I(t) = (1 − e L )
R
Similarmente ao circuito RC, podemos definir a
constante de tempo indutiva do circuito RL
como τL = L/R.
■
τ
A diferença de potencial no resistor é dada por ∆VR = RI, enquanto no
dI
indutor é ∆VL = L . Como
dt
E − Rt
dI
= e L
dt
L
tem-se que
∆VR = E(1 − e
− Rt
L
)
e
∆VL = Ee
− Rt
L
Conformo esperado, verifica-se que ∆VR + ∆VL = E.
Aula 16
15 / 24
Circuitos RL
■
Gráficos de ∆VR e ∆VL para R = 2000 Ω, L = 4, 0 H e E = 10 V.
E
Aula 16
E
16 / 24
Circuitos RL
■
Vamos supor agora que a chave tenha ficado muito tempo na posição a (veja
Fig. da p. 13), tal que a corrente no circuito tenha alcançado o valor máximo
E/R. Nessa situação, zera-se o cronômetro e a chave é colocada na posição b
no instante t = 0, obtendo-se um circuito RL sem a bateria.
■
Aplicando a regra das malhas de Kirchhoff para esse circuito, obtemos a
equação diferencial
RI + L
dI
=0
dt
⇒
dI
R
=− I
dt
L
Resolvemos a equação de forma análoga ao caso anterior, lembrando que a
condição inicial agora é I(0) = E/R:
Z
Aula 16
I
E/R
dI
R
=−
I
L
Z
t
dt
0
⇒
I
ln I E/R
Rt
=−
L
17 / 24
Circuitos RL
i
Segue que
I
Rt
ln
=−
E/R
L
∴
■
E − τt
I(t) = e L
R
Diferenças de potencial no resistor e no indutor:
∆VR = Ee
Aula 16
⇒
E − Rt
I(t) = e L
R
− Rt
L
e
∆VL = −Ee
− Rt
L
⇒
∆VR + ∆VL = 0
18 / 24
Energia armazenada em um campo
magnético
■
Conforme visto na p. 14, a equação de um circuito RL com a bateria
conectada é dada por
dI
E − RI − L
=0
dt
Isolando E e multiplicando toda a equação pela corrente, obtemos
dI
EI = RI + LI
dt
2
Temos que:
◆ o lado esquerdo da equação acima é a potência (energia por unidade de
tempo) fornecida pela bateria;
◆ o primeiro termo do lado direito é a energia dissipada por unidade de
tempo no resistor (efeito Joule);
◆ Identificamos o segundo termo como sendo a energia fornecida ao
indutor por unidade de tempo.
Aula 16
19 / 24
Energia armazenada em um campo
magnético
■
Se UB é a energia armazenada no indutor para um dado instante, temos
que a energia transferida por unidade de tempo ao indutor é dada por
dUB
dI
= LI
dt
dt
⇒
dUB = LIdI
Integrando ambos os lados, obtemos
Z
Aula 16
UB
dUB = L
0
Z
I
IdI
0
⇒
1
UB = LI 2
2
■
Observa-se uma similaridade com a energia armazenada num capacitor de
1 q2
.
capacitância C, carregado com carga q: UE =
2C
■
No caso do capacitor, associamos UE à energia armazenada no campo
elétrico. No caso do indutor, identificamos UB como sendo a energia
armazenada no campo magnético.
20 / 24
Densidade de energia magnética
■
No intuito de se obter a densidade de energia magnética, vamos calcular a
energia armazenada num solenóide ideal.
Conforme calculado na p. 11, a indutância é L = µ0 n2 Vsolen. , enquanto que o
campo magnético em seu interior é B = µ0 nI. Segue que
1 2 1
B
2
UB = LI = µ0 n Vsolen.
2
2
µ0 n
2
⇒
B 2 Vsolen.
UB =
2µ0
Logo, a densidade de energia (energia por volume) é
UB
uB =
Vsolen.
⇒
B2
uB =
2µ0
➠ Embora a expressão acima tenha sido deduzida para um solenóide ideal, o
resultado é geral. Se existe um campo magnético numa região do espaço, há
uma energia magnética acumulada por unidade de volume associada a ele,
dada pela expressão acima.
Aula 16
21 / 24
Energia magnética armazenada num
indutor – exemplo
Ex. 3
Considere novamente o circuito RL
mostrado na figura ao lado, com a chave colocada na posição b em t = 0, após ter ficado muito
tempo na posição a. Mostre que a energia total
transferida ao resistor é igual à energia total inicialmente armazenada no indutor.
I
a
c
b S
d
Solução
■
Para um dado instante t, a corrente no circuito é (veja p. 18)
I(t) = I0 e
− τt
L
onde I0 = E/R e τL = L/R.
■
A potência no resistor é dada por
2
PR = RI = R I0 e
Aula 16
− τt
L
2
2t
⇒
PR =
−
RI02 e τL
22 / 24
Energia magnética armazenada num
indutor – exemplo
■
Como a potência é a taxa de variação da energia, tem-se que
dER
PR =
dt
dER = PR dt
⇒
Para encontrar a energia total ER transferida para o resistor, integra-se a
expressão acima de t = 0 até t → ∞:
Z
ER
dER =
0
Z
∞
PR dt =
0
RI02
Z
∞
dt
}
|0
2t
τL − τ ∞
=− e L
2
Como τL = L/R, segue que
− τ2t
e
{z
L
⇒
1
ER = RI02 τL
2
0
1 2
ER = LI0
2
que é exatamente a energia magnética armazenada no indutor no instante
t = 0.
Aula 16
23 / 24
Referências
Aula 16
■
R. A. Serway, e J. W. Jewett Jr., Princı́pios de Fı́sica, Vol. 3, Cengage
Learning;
■
D. Halliday, R. Resnick e K. S. Krane, Fı́sica, Vol. 3, LTC;
■
H. D. Young e R. A. Freedman – Sears e Zemansky, Fı́sica III:
Eletromagnetismo, Pearson Addison Wesley.
24 / 24