PI-B - Instituto de Matemática

Álgebra I
IM-UFRJ
2013-2
Bachalerado
Prova 1 - turma B
Questão 1.
[3pts] Um número da forma
n
Fn = 22 + 1
é chamado de número de Fermat.
a) Prove por indução matemática que por todo n ≥ 1 a seguinte relação se verica
F0 F1 · · · Fn−1 = Fn − 2
b) Deduza que dois números de Fermat distintos Fn e Fm são relativamente primos.
[2pts] Usando o algoritmo de Euclides, calcule d := mdc(484, 1521) e determine
dois inteiros x e y tais que
Questão 2.
d = 484x + 1521y
[3pts] Um certo número de três algarismos no sistema decimal aumenta de 36
quando se invertem os dois algarismos da direita e diminui de 270 quando se invertem os dois
algarismos da esquerda. O que acontece ao número quando se invertem os dois algarismos
extremos?
Questão 3.
[2pts] Mostre que (n − 1)2 |(nk − 1) ⇔ (n − 1)|k .
Dica: observe que nk = ((n − 1) + 1)k .
Questão 4.