Lista de Exercıcios de SMA0300 - Geometria Analıtica 1) Indique

Lista de Exercı́cios de SMA0300 - Geometria Analı́tica
1) Indique qual das seguintes afirmações é falsa:
a) Os vetores (m, 0, 0); (1, m, 0); (1, m, m2 ) são L.I. se, somente se, m 6= 0.
b) Se ~u, ~v 6= 0, então ~u + ~v , ~u − ~v são L.I.
c) Se ~u, ~v , w
~ são L.I, então ~u + ~v , ~u + w
~ e ~v + w
~ são L.I.
d) Se E = {~e1 , ~e2 , ~e3 } é uma base de V 3 , então ~u = (1, −2, 3)E é uma combinação linear
dos vetores ~v = (2, −2, −4)E e w
~ = (0, −1, −3)E .
2) Marque a única alternativa incorreta:
a) Os vetores (3, 5, 1); (2, 0, 4) e (1, m, 3) são L.I. se, somente se, m 6= −1.
b) Se {~e1 , ~e2 , ~e3 } gera V 3 , então {~e1 − ~e2 , ~e2 − ~e3 , ~e3 } são L.D.
c) Se {~e1 − ~e2 , ~e2 − ~e3 , ~e3 } são L.D., então {~e1 , ~e2 , ~e3 } são L.D.
d) Se ~v1 , ~v2 são L.I. em V 3 e w
~ ∈ V 3 com w
~ 6= ~0 tal que {~v1 + w,
~ ~v2 + w}
~ são L.I. em V 3 ,
então {~v1 , ~v2 , w} são L.I.
3) Considere as afirmações:
I) Se {~v1 , ~v2 } são L.I. em V 3 , então {~v1 , ~v2 , w}
~ são L.I. para qualquer w
~ 6= ~0 .
II) Seja {~v1 , ~v2 , ~v3 } vetores L.D. em V 3 , então existem a, b ∈ R tal que ~v3 = a~v1 + b~v2 .
III) Os vetores (m, 1, m) e (1, m, 1) são L.D. se, somente se, |m| = 1
As afirmações corretas são somente:
a) (I) e (III)
b) (II) e (III)
c) (II)
d) (III)
e) (I), (II) e (III)
4) Assinale a afirmação incorreta.
a) Seja o conjunto B = (~u, ~v , w)
~ linearmente dependente. Então qualquer vetor de B é
combinação linear dos demais.
−−→ −−→ −→
b) Se AX + Y B = AB, então necessariamente X = Y .
−→ −−→
−→
c) Sejam AB e CD vetores não-nulos e paralelos de mesmo sentido de modo que AB =
−−→
−→
−−→
αCD. Então pode-se afirmar que necessariamente ||AB|| = α||CD||.
d) Se ~0 + ~u = ~v e ~v − ~u = ~0, então necessariamente ~u é o vetor nulo.
1
5) Considere um triângulo ABC e seja X um ponto pertencente ao segmento AB. Assinale
−−→
a alternativa que apresenta uma expressão correta para o vetor CX.
−−→
a) CX =
−−→ −
→
||AX|| −
−→ CB
||AB||
+
−−→
||BX|| −→
−→ CA
||AB||
−−→
b) CX =
−−→ −
→
||AX|| −
−→ CB
||AB||
−
−−→
||BX|| −→
−→ CA
||AB||
−−→
c) CX =
−−→ −
→
||BX|| −
−→ CB
||AB||
+
−−→
||AX|| −→
−→ CA
||AB||
−−→
d) CX =
−−→ −
→
||BX|| −
−→ CB
||AB||
−
−−→
||AX|| −→
−→ CA
||AB||
−→ −−→ −→
6) Considere um tetraedro ABCO. Seja G o baricentro da face ABC e F = {OA, BO, OC}
−→
uma base. Se (x, y, z) são as coordenadas do vetor OG na base F , então é verdade que
x + y + z é igual a:
a) 1
b) 1/2
c) 1/3
d) 2/3
7) Seja {e~1 , e~2 } uma base ortonormal de R2 e ~v = 6e~1 + 7e~2 e ~u = e~1 + 4e~2 , qual é projeção
de ~v na direção do vetor ~u?
a) 34e~1 + 7e~2
b) 17e~1 + 34e~2
c) e~1 + 4e~2
d) 2e~1 + 8e~2
e) 4e~1 + e~2
8) Se ~a e ~b são dois vetores não nulos e ~a · ~b = 0, então considere as seguintes afirmações:
I) ~a + ~b e ~a − ~b são ortogonais.
II) ||~a + ~b||2 = ||~a||2 + ||~b||2 + 2||~a||||~b||
III) ||~a + ~b||2 = ||~a||2 + ||~b||2
IV) |(~a − ~b) · (~a + ~b)| ≤ ||~a + ~b||2 + ||~a − ~b||2
V) |(~a + ~b) · (~a − ~b)| = ||~a||2 + ||~b||2
Marque a alternativa correta.
2
a) os itens (I) e (III) são corretos.
b) os itens (III) e (IV) são corretos.
c) os itens (IV) e (V) são corretos.
d) os itens (V) e (II) são corretos.
e) os itens (I) e (II) são corretos.
9) Em cada item abaixo temos duas bases ordenadas de R3 . Marque o único item em que as
bases tem a mesma orientação.
a) {(0, 1, 0), (1, 0, 0)(0, 0, 1)} e {(1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1)}
b) {(2, 0, 0), (0, 2, 0)(0, 0, 1)} e {(1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1)}
c) {(1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1)} e {(1, 0, 0), (0, −1, 0)(0, 0, 1)}
d) {(1, 0, 0), (0, 0, 1)(0, 1, 0)} e {(1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1)}
e) {(0, 1, 1), (2, 3, 2)(5, 0, 3)} e {(1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1)}
10) Sejam ~u, ~v , w
~ vetores L.I. em R3 . Qual é a única das alternativas abaixo que nos dar o
volume da pirâmide de base quadrangular inscrito no paralelepı́pedo gerado por ~u, ~v , w?
~
a) ||(~u · ~v ) · w||
~
b) |(~u ∧ ~v ) · w|
~
c) ||~u ∧ (~v ∧ w)||
~
d)
1
|~u
3
· (~v ∧ w)|
~
e) |( 12 ~u ∧ ~v ) · w|
~
11) Considere os vetores ~u = (1, 2, 0) e ~v = (1, 0, 2) em R3 . Qual é área do paralelogramo
gerado por ~u e ~v ?
√
a) 10
√
b) 20
√
c) 24
√
d) 26
√
e) 31
12) Sejam (x1 , x2 , x3 )E ∈ R3 na base E e (y1 , y2 , y3 ) na base F tal que x1 = 2y1 + y2 − y3 ,
x2 = 3y1 −2y2 −y3 e x3 = y1 −y2 −2y3 , então a matriz de mudança da base F para a base E é:
3

 
 
 
 

2 1 −1
2
3
1
1 −1 −2
−1 1 2
2 1 −1
a)  3 −2 −1  b)  1 −2 −1  c)  3 −2 −1  d)  −1 −2 3  e)  1 −1 −2 
1 −1 −2
−1 −1 −2
2 1 −1
−2 −1 1
3 −2 −1
13) Sejam os vetores ~u = (3, −1, 2) e ~v = (1, 0, 3), então a expresão 2(~u ·~v )−(||~u||2 +||~v )||2 )
é igual a:
a) 4
b) -2
c) 6
d) -4
e) -6
14) Sejam os vetores ~v1 , ~v2 L.I em V 3 , então podemos afirmar que:
a) existe w
~ ∈ V 3 tal que {~v1 , ~v2 , w}
~ é uma base de V 3 .
b) {~v1 , ~v2 , ~v1 + ~v2 } gera V 3
c) Não existe w
~ ∈ V 3 , diferente do vetor nulo tal que w
~ seja combinação linear de ~v1 e ~v2 .
d) Se w
~ ∈ V 3 tal que {w,
~ ~v1 } e {w,
~ ~v2 } seja conjuntos L.D., então w
~ 6= 0
15) Consideremos em R3 três pontos distintos A, B, C não colineares. Se P, Q, M são pontos
médios dos segmentos AB, BC, AC, respectivamente, então é correto afirmar que:
−→ −→ −−→
a) o conjunto {AQ, CP , BM } é L.I.
−→ −→ −→
b) o conjunto {AB, AC, AQ} é L.I.
−−→
−→
−−→
c) BM = 12 BA + 12 BC
−→ −→ −→
d) Se E é um ponto qualquer diferente de A, B, C, então {AB, AC, AE} são L.D.
16) Seja ABCD um losango no plano R2 como na figura,
B
A
D
C
Marque a única alternativa correta,
−−→ −−→ −−→
a) DC + DB = DA
−→ −→ −−→
b) AB − AC = BC
4
−→ −−→ −−→
c) AC + CD = CB
−→ −−→ −→
d) CA + DB = AB
−→ −→ −−→
e) AB + CA = AD
17) Para o vetor ~a nós definimos o vetor unitario e~a := ||~~aa|| . Sejam ~a e ~b dois vetores tais que
||~a|| = ||~b|| = ||~a − ~b|| então qual é ângulo entre e~a e ea+b
~ ?
a) 30◦
b) 60◦
c) 45◦
d) 90◦
e) 37◦
18) Sejam {~i, ~j, ~k} a base canônica de R3 , ~a = 2~i + 3~j + ~k e ~b = ~i − ~j + ~k. Quem é cos θ onde
θ é o ângulo entre ~a − ~b e ~b?
a) 0
q
5
b)
17
c) −
d)
q
q
e) −
5
17
3
17
q
3
17
19) Considere o retângulo ABCD e seja O o ponto de interseção das diagonais do retângulo.
−→
−−→
−→ −→ −→ −−→
Sabendo que ||AB|| = 12 e ||BC|| = 5. Calcule AO · AB + AO · AD.
a)
169
2
b)
97
2
c) 97
d)
61
2
e) 61
20) Dada as bases E = (~e1 , ~e2 , ~e3 ) e F = (f~1 , f~2 , f~3 ) tal que f~1 = 2~e2 + ~e3 , f~2 = ~e1 − 2~e2 + ~e3 e
f~3 = ~e1 + ~e2 , logo podemos afirmar que:
a) (1, 0, 2)F = (2, 3, 0)E
5
b) (1, 2, 0)F = (2, 1, 2)E
c) (0, 1, 2)F = (1, 2, 0)E
d) (3, 1, 2)F = (1, 2, 5)E
e) (1, 1, 1)F = (3, 0, 2)E
21) Sejam E = {~e1 , ~e2 , ~e3 } uma base de V 3 e f~1 = ~e1 − ~e2 − ~e3 , f~2 = ~e1 + 2~e2 + ~e3 e
f~3 = ~e1 + ~e2 + 4~e3 . Então é correto afirmar que :


1 −1 −1
1 
a) F = {f~1 , f~2 , f~3 } é LI e a matriz mudança de base E para F é dada por  1 2
2 1
4
.
b) {f~1 , f~2 , f~3 } é L.D.


1 1 2
c) F = {f~1 , f~2 , f~3 } é LI e a matriz mudança da base E para F é dada por  −1 2 1  .
−1 1 4
d) f1 , f2 e f3 são vetores coplanares.
22) Fixada a base canônica {~i, ~j, ~k} de R3 , considere os vetores ~u = (1, −3, 1) e ~v = (−3, 3, 3)
representados nesta base. Então os vetores ortogonais tanto a ~u quanto a ~v podem ser
representados por:
a) (x, x, x), para x um número real não nulo.
b) (3x, 2x, 1), para x um número real qualquer.
c) (0, 0, 2x), para x um número real não nulo.
d) (2x, x, x), para um número real qualquer.
23) Sejam {~i, ~j, ~k} a base canônica de R3 e ~u, ~v , w
~ vetores quaisquer. Quais das afirmações
abaixo é falsa?
a) |~u.~v | = ||u||||v|| se, e somente se, ~u e ~v são LD.
b) ||~u ∧ ~v || = ||~u||||~v || cos θ.
c) Se w
~ 6= 0 e w
~ = ~u ∧ ~v então ~u, ~v , w
~ são LI.
d) Se a base canônica é positivamente orientada então ~i ∧ ~j = ~k, ~k ∧ ~i = ~j e ~j ∧ ~k = ~i.
6