Fundamentos de Matemática em Estat´ısitca 1 Conjuntos, Relaç˜oes

Fundamentos de Matemática em Estatı́sitca
Data: 18/01/2016-03/02/2016
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Conjuntos, Relações, Funções
Exercı́cio 1: Sejam A, B e C três conjuntos tais que A ∪ B = B ∩ C.
Mostrar que A ⊂ B ⊂ C.
Exercı́cio 2: Sejam A e B dois conjuntos. Provar ou achar um contraexemplo das seguintes afirmações:
1) P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B),
2) P(A) ∩ P(B) ⊂ P(A ∩ B),
3) P(A ∪ B) ⊂ P(A) ∪ P(B),
4) P(A ∩ B) ⊂ P(A) ∩ P(B),
5) P(A ∩ B) ⊂ P(A ∪ B).
Exercı́cio 3: Seja A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3}.
a) Listar os elementos de A × B, B × A.
b) Dar exemplos de uma relação de A para B e de uma relação de B para
A, cada uma delas com 4 elementos.
c) Relembrar a definição de uma relação de equivalência e dar um exemplo
de uma relação de equivalência em A.
Exercı́cio 4: Sejam a, b ∈ Z. Definimos a relação R3 em Z, dizendo que
aR3 b se a − b é divisı́vel por 3. Mostrar que a relação R3 é uma relação de
equivalência em Z. Mostrar que o conjunto quociente desta relação está em
bijeção com o conjunto {0, 1, 2}.
Exercı́cio 5: Provar que se f : A → B e g : B → C são bijeções, tem-se
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Exercı́cio 6: Dadas as funções f : A → B e f 0 : B → A, dizemos que
f 0 é uma inversa à esquerda para f quando f 0 (f (x)) = x para todo x ∈
A. Analogamente, dizemos que f 0 é uma inversa à direita para f quando
1
f (f 0 (y)) = y para todo y ∈ B. Mostrar as seguintes proposições:
1) Uma função f : A → B possui uma inversa à esquerda se, e somente se, é
injetiva.
2) Uma função f : A → B possui uma inversa à direita se, e somente se, é
sobrejetiva.
3) Se uma função f : A → B possui uma inversa à esquerda h e uma inversa
à direita g, então h = g e f tem uma inversa.
Exercı́cio 7: Dada uma função f : A → B, consideremos uma famı́lia
(Aλ )λ∈L de subconjuntos de A e uma famı́lia (Bµ )µ∈M de subconjuntos de B.
Mostrar que:
1) f (∪Aλ ) = ∪f (Aλ ),
2) f (∩Aλ ) ⊂ ∩f (Aλ ),
3) f −1 (∪Bµ ) = ∪f −1 (Bµ ),
4) f −1 (∩Bµ ) = ∩f −1 (Bµ ).
Exercı́cio 8: Seja (Aij )(i,j)∈N×N uma famı́lia de conjuntos com ı́ndices em
N × N. Prove, ou disprove por contra-exemplo, a igualdade
∞ \
∞
[
j=1
2
∞ [
∞
\
Aij =
Aij .
i=1
i=1
j=1
Conjuntos finitos, enumeráveis e não-enumeráveis
Exercı́cio 9: Dados os números naturais a e b, prove que existe um número
natural m tal que m · a > b.
Exercı́cio 10: Seja a um número natural. Se um conjunto X ⊂ N é tal que
a ∈ X e além disso, n ∈ X ⇒ n + 1 ∈ X, então X contém todos os números
naturais ≥ a.
Exercı́cio 11: Use indução para demostrar os seguintes fatos:
1) 2(1 + 2 + · · · + n) = n(n + 1);
2) (a − 1)(1 + a + · · · + an ) = an+1 − 1, seja quais forem a, n ∈ N;
3) n ≥ 4 ⇒ n! > 2n .
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Exercı́cio 12: Mostrar que dada f : X → Y , se Y é finito e f é injetiva
então X é finito; se X é finito e f é sobrejetiva então Y é finito.
Exercı́cio 13: Provar por indução que se A tem n elementos, então P(A)
tem 2n elementos.
Exercı́cio 14: Prove que se X é infinito enumerável, o conjunto das partes
finitas de X também é infinito enumerável.
Exercı́cio 15: Seja X um conjunto finito. Mostrar que uma aplicação
f : X → X é injetiva se e somente se é sobrejetiva.
Exercı́cio 16: Defina uma função sobrejetiva f : N → N tal que para todo
n ∈ N, o conjunto f −1 (n) seja infinito.
Exercı́cio 17: Prove que todo conjunto infinito se decompõe como reunião
de uma infinidade enumerável de conjuntos infinitos dois a dois disjuntos.
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Números reais
Exercı́cio 18: (Desigualdade de Bernoulli)
Mostrar que para todo número real x ≥ −1 e todo n ∈ N, tem se
(1 + x)n ≥ 1 + nx.
Exercı́cio 19: Sejam x, y, x0 , y 0 ∈ R.
1) Se x < y e x0 < y 0 mostrar que x + x0 < y + y 0 .
2) Se 0 < x < y e 0 < x0 < y 0 mostrar que xx0 < yy 0 .
3) Se 0 < x < y, mostrar que y −1 < x−1 .
Exercı́cio 20: Prove que ||x| − |y|| ≤ |x − y| para quaisquer x, y ∈ R.
Exercı́cio 21: Se a1 /b1 , . . . , an /bn pertencem ao intervalo (α, β) e b1 , . . . , bn
são positivos, prove que
a1 + · · · + an
∈ (α, β).
b1 + · · · + bn
Exercı́cio 22: Diz-se que uma função f : X → R é limitado superiormente quando sua imagem f (X) é um conjunto limitado superiormente em
R. Então põe-se sup f = sup{f (x); x ∈ X}.
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1) Prove que se f, g : X → R são limitadas superiormente o mesmo ocorre
com a soma f + g : X → R e tem-se sup(f + g) ≤ sup f + sup g.
2) Dê um exemplo com sup(f + g) < sup f + sup g.
3) Enuncie e prove um resultado análogo para inf.
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Sequências e séries numéricas
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Noções topológicas
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Sequências e séries de funções
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