Lista de Números Complexos

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a matemática
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Capítulo 28 números complexos
1
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Grau de dificuldade das questões:
Fácil
zero, está assinalado, no plano complexo, sobre o
eixo real. É correto afirmar que seu conjugado está
situado:
1. Escreva na forma algébrica os números complexos
abaixo.
a) sobre o eixo real.
a) 1 2 i
b) sobre o eixo imaginário.
11i
c) no primeiro quadrante.
2 2 3i
21i
c) e
d) no segundo quadrante.
e) no terceiro quadrante.
22
11i
o
12i
2. (UEL-PR) Qual é a parte real do número complexo
8. (UEG-GO) O conjunto dos números complexos que
satisfazem a condição $z 2 3i$ 5 $z 2 2$ é representado no plano cartesiano por uma reta:
z 5 a 1 bi, com a e b reais e a . 0 e b . 0, cujo quadrado é 25 1 12i?
1
a)
3
1
b)
2
a) cuja inclinação é positiva.
b) que contém a origem do sistema.
d) 2
c) que não intercepta o eixo real.
e) 3
d) cuja inclinação é negativa.
c) 1
9. (UFC-CE) Os números complexos distintos z e w são
tais que z 1 w 5 1 e z 8 w 5 1.
3. (Ibmec) Seja z um número complexo tal que:
a) Calcule $z$.
4
2
o , onde i é a unidade imaginária. É correto
12i
afirmar que o módulo e o argumento de z são iguais,
respectivamente, a:
z 5e
a) 2 e
3π
2
π
d)4 e
2
π
2
b) Calcule o valor z4 1 w4 sabendo-se que z está no
primeiro quadrante do plano complexo.
10. (UFRJ) No jogo Batalha Complexa são dados núme-
e)4 e π
c) 2 e
b) 2 e π
ros complexos z e w, chamados mira e alvo, respectivamente.
Otiro certeiro de z em w é o número complexo t tal
que tz 5 w.
4. Determine os valores de x para que o número complexo z =
x2i
seja imaginário puro.
x1i
imaginário
5. (UFT-TO) Considere i a unidade imaginária dos nú-
|z| = 2
z
meros complexos. O valor da expressão (i 1 1)8 é:
a) 32i
Difícil
7. (PUC) O número complexo a 1 bi, diferente de
capítulo 28 números complexos
b)
Médio
b)32
c)16
30°
d)16i
real
6. (UFG-GO) O número complexo z 5 x 1 yi pode ser
30°
representado no plano, como a seguir:
|w| = 4
P
y
w
Considere a mira z e o alvo w indicados na figura
anterior. Determine o tiro certeiro de z em w.
α
θ
O
x
Considere r = (x 2 1 y 2 ) o módulo de z. O número
complexo z pode ser escrito como:
a) z 5 r 8 (cos a 1 i 8 sen a)
b) z 5 r 8 (cos a 2 i 8 sen a)
c) z 5 r 8 (sen t 1 i 8 cos t)
d) z 5 r 8 (sen a 2 i 8 cos a)
e) z 5 r 8 (cos t 1 i 8 sen t)
11. Determine o módulo dos números complexos abaixo.
a) 1 1 i
b) 3 2 4i
c) 24
d) 2i
12. (Ufal) Na figura a seguir, os pontos Pl e P2 são as res-
pectivas imagens de dois números complexos z1 e
z2, ambos de módulo r, representados no plano de
Argand-Gauss.
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16. (Unifor-CE) Seja z um número complexo dado por
Im (z)
z=
(3 1 4i) 8 (21 1 i)4
. Considerando as aproxima(3 2 3i)2
ções log 2 5 0,30 e log 3 5 0,48, o valor de log |z| é:
P2
r
P1
r
a) 0,02
c) 0,06
b) 0,04
d)0,4
e) 0,6
θ
Re (z)
O
17. (Unifor-CE) Seja o número complexo z 5 x 1 3i, em
Se t é o argumento de z1, analise as afirmações
seguintes.
a) z1 8 z2 tem módulo r e argumento 2t
z1
π
tem módulo unitário e argumento 2
z2
2
1
c) z2 é conjugado de
z1
d) z2 5 i 8 z1
b)
e) z12 5 z22
13. (PUC) Dado o número complexo
π
π
z = cos
1 i 8 sen , então, se P1, P2 e P3 são as res6
6
pectivas imagens de z, z2 e z3 no plano complexo,
a medida do maior ângulo interno do triângulo
P1P2P3 é:
a) 75º
c) 120º
b) 100º
d)135º
e) 150º
que x é um número real negativo. Se z = 6, então a
forma trigonométrica de z é:
a) 6 8 dcos
2π
2π
n
1 i 8 sen
3
3
b)6 8 dcos
5π
5π
n
1 i 8 sen
6
6
c) 6 8 dcos
4π
4π
n
1 i 8 sen
3
3
d)6 8 dcos
5π
5π
n
1 i 8 sen
3
3
e) 6 8 dcos
11π
11π
n
1 i 8 sen
6
6
18. (Unifesp) Considere, no plano complexo, conforme a figura, o triângulo de vértices z1 5 2, z2 5 5 e
z3 5 6 1 2i.
y
14. (UFSM-RS)
y
2
B(a, b)
0
G
A
x
Um triângulo fica determinado pelo conhecimento de 3 elementos, que são seus vértices. A figura mostra um triângulo retângulo OAB no qual
o ponto B tem por afixo o número complexo
z 5 a 1 bi, cujos módulo ú e argumento t são, respecπ
tivamente, 2 e . Assim, a equação da reta suporte
4
da altura relativa à hipotenusa do triângulo OAB é:
d) x 1 y 2
a) x 1 y 5 0
b) x 2 y 5 0
c) x 2 y 2
2 =0
2 =0
( 2)
=0
e) x 1 y 2
2
15. (UFPel-RS) O módulo de um número complexo
5
6
x
A área do triângulo de vértices w1 5 iz1, w25 iz2 e
w3 5 2iz3 é:
θ
O
2
a) 8
c) 4
b) 6
d)3
e) 2
19. (Vunesp) Considere os números complexos z1 5 2 1 i
e z2 5 x 1 2i, onde i é a unidade imaginária e x é um
número real. Determine:
a) o número complexo z1 8 z2 em função de x.
b) os valores de x tais que Re(z1 8 z2) < Im(z1 8 z2),
onde Re denota a parte real e Im, a parte imaginária do número complexo.
20. (Vunesp) O número complexo z 5 a 1 bi é vértice de
um triângulo equilátero, como mostra a figura.
z
b
z 5 a 1 bi, a Ñ R, b Ñ R, é a distância do ponto (a, b)
ao ponto (0, 0) do plano Argand-Gauss.
Com base no texto e em seus conhecimentos, é correto afirmar que o módulo do número complexo
1 1 3i
1 (1 2 i)6é, aproximadamente:
1 2 2i
a) 7,07
c)8,06
e) 9,06
z5
b) 6,08
d)6,63
f) I.R.
θ
O
a
Sabendo que a área desse triângulo é igual a 36 3,
determine z2.
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21. (FCC-SP) É dado o número complexo z 5 x 1 iy, com
x, y Ñ R. O lugar geométrico das imagens dos números z, tais que $z$ , l e x 1 y , 0, é representado no
plano Argand-Gauss pela região pintada na figura:
a)
Im(z)
31
I. Z1 8 Z1 é sempre um número real.
II. $Z1$ 8 $Z2$ é sempre um número irracional.
III. Z1 8 Z2 5 Z1 8 Z2
IV. $Z1 Z2$ i $Z1$ 8 $Z2$
A respeito dessas afirmativas, é correto afirmar que:
1
a) Somente I e II são verdadeiras.
–1
1
b) Somente II e IV são verdadeiras.
Re(z)
c) Somente I e III são verdadeiras.
d) Todas as afirmativas são verdadeiras.
–1
b)
e) Todas as afirmativas são falsas.
Im(z)
f ) I.R.
1
–1
24. (Unifesp) Os números complexos z1, z2 5 2i e
z3 5 a 3 1 ai, onde a é um número real positivo,
representam no plano complexo vértices de um
triângulo equilátero. Dado que $z 2 2 z 1$5 2, o
valor de a é:
1
a) 2
c) 3
e)
2
3
b) 1
d)
2
1
Re(z)
–1
Im(z)
c)
1
–1
25. (UPF-MG) Sendo o número complexo z 5
Re(z)
–1
a) i e 21
c) 2i e 1
Im(z)
b) i e 11
d) 2i e 21
1
d)
–1
2i
e) 1 e 1
26. (Mackenzie-SP) Que números complexos representam dois vértices de um triângulo equilátero
inscrito numa circunferência de centro na origem,
onde um dos três vértices do triângulo é dado por
V1 5 22i?
1
Re(z)
a)
–1
3 1 i e 3 2i
b) 2 3 2 i e 3 2 i
e)
Im(z)
c)
1
–1
e) 2i e 2
1
27. (Unir-RO) Fixado um ângulo t, em radianos, a
–1
22. (Fuvest-SP) Sabendo que a é um número real e que
21i
é
a parte imaginária do número complexo
a
1 2i
zero, então a é:
b)22
31ie2 3 1i
d) 2 3 1 i e 2 3 2 i
Re(z)
a) 24
61
,
8
as expressões de z3 e z6 são dadas, respectivamente,
por:
1
c) 1
d) 2
e) 4
23. (UFPel-RS) Na eletrônica e na eletricidade, a análise de
circuitos de corrente alternada é feita com a ajuda
de números complexos. Grandezas como a impedância (em ohms) e a potência aparente (em volt-ampère) são exemplos de quantidades complexas.
Considerando Z1 e Z2 dois números complexos, Z1
e Z2 seus respectivos conjugados e $Z1$ e $Z2$ seus
respectivos módulos, analise as afirmativas.
multiplicação complexa (cos t 2 i 8 sen t) 8 (x 1 iy)
representa a rotação de t radianos, no sentido anti-horário, em torno da origem, do número complexo
x 1 iy. Rotacionando 30 graus, no sentido anti-horário e em torno da origem, o número complexo
3 11
3 21
1
i, obtém-se:
2
2
a)
3 1i
b) 1 1 i 3
c) 1 1 2i
e) 1 1 i
d) 2 1 4i
28. (Fuvest-SP) Dentre os números complexos z 5 a 1 bi,
π
, aquele
4
cuja representação geométrica está sobre a parábola y 5 x2 é:
não nulos, que têm argumento igual a
a) 1 1 i
c) 21 1 i
b) 1 2 i
d)
2 1 2i
e) 2 2 1 2i
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Capítulo 28 números complexos
29. (Unicamp-SP) Dado o número complexo z 5 x 1 iy,
o seu conjugado é o número complexo z 5 x 2 iy.
a) Resolva as equações z 8 z 5 4 e (z) 5 z .
2
2
b) Ache os pontos de intersecção dos lugares geométricos que representam as soluções dessas
equações.
30. (UFSCar-SP) Sejam i a unidade imaginária e an o
n-ésimo termo de uma progressão geométrica com
a2 5 2 8 a1. Se a1 é um número ímpar, então
ia1 1 ia2 1 ia3 1 ... 1 ia10 é igual a:
34. Escreva o número complexo w = z2 2 z1 na forma
trigonométrica, dados os complexos z1 5 21 1 t
e z2 5 t 1 1.
35. (Cesgranrio-RJ) O lugar geométrico das imagens dos
complexos z tais que z2 é real é:
a) um par de retas paralelas.
b) um par de retas concorrentes.
c) uma reta.
d) uma circunferência.
e) uma parábola.
a) 9i ou 29i
36. Considere os números complexos
b) 29 1 i ou29 2 i
z1 5 10(cos 75° 1 i 8 sen 75°) e z2 5 2(cos 15° 1 i 8 sen 15°)
e determine:
z1
4
a) z1 8 z2
b)
c) z 1
z2
c) 9 1 i ou9 2 i
d) 8 1 i ou8 2 i
e) 7 1 i ou 7 2 i
31. (UFBA) Na figura, tem-se uma circunferência de
centro na origem dos eixos coordenados e raio igual
a 2 u.c. O comprimento do menor arco de origem
π
em A e extremidade em P1 é igual a
u.c.
3
y
37. Dado o número complexo z = cos π 1 i 8 sen π ,
16
16
determine o valor da expressão: w 5 z4 1 z8 1 z16
38. (Unicamp-SP)
Identifique o lugar geométrico
dos pontos z 5 x 1 iy do plano complexo tal que
Re d 1 n 5 1 . Determine a equação cartesiana e faça
z
4
o gráfico desse lugar.
2
39. (Fuvest-SP)
O
A
2
–2
x
a) Se z15 cos t1 1 i 8 sen t1 e z2 5 cos t2 1 i 8 sen t2,
mostre que o produto z1 8 z2 é igual a
cos (t1 1 t2) 1 i 8 sen (t1 1 t2).
P1
b) Mostre que o número complexo
z 5 cos 48º 1 i 8 sen 48º é raiz da equação
–2
z101z5 1 1 5 0.
Considere os pontos P1, P2 e P3 vértices de um triângulo equilátero inscrito na circunferência e representado, nessa ordem, no sentido anti-horário.
40. (Unicamp-SP) Se z 5 x 1 iy é um número complexo,
Sendo P1, P2 e P3, respectivamente, afixos dos núme-
a) Mostre que o conjunto dos pontos (x, y) que sa-
o número real x é chamado “parte real de z” e é indicado por Re(z), ou seja, Re(x 1 iy) 5 x.
z 1 2i
1
o = , ao qual se
z22
2
acrescenta o ponto (2, 0), é uma circunferência.
tisfazem a equação Re e
5
ros complexos z1, z2 e z3, calcule z1 1 z2 1 z3 .
32. (ITA-SP) O conjunto A, definido por
A = $z Ñ Y ; (z 2 i) (z 2 i) = 4., representa no plano
complexo:
a) uma elipse cujos focos se encontram nos pontos
i e 2i.
b) uma circunferência de centro no ponto (0, 1) e
raio 2.
c) uma circunferência de centro no ponto (0, 0) e
raio 4.
d) um par de retas que se cortam no ponto (1, 1).
e) nenhuma das anteriores.
33. Escreva os números complexos abaixo na forma trigonométrica.
a) z 5 2
41. (Unicamp-SP) Um número complexo z 5 x 1 iy, z i 0,
podeser escrito na forma trigonométrica: z 5 $z$
x
(cos t 1 i 8 sen t), onde $z$ 5 x 21 y 2 , cos t 5
$z$
y
e sen t 5
. Essa forma de representar os núme$z$
ros complexos não nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de
números complexos, em virtude da fórmula de De
Moivre:
[$z$(cos t 1 i 8 sen t)]k 5 |z|k (cos kt 1 i 8 sen kt), que é
válida para todo k Ñ Z. Use essas informações para:
a) calcular ( 3 1 i)12.
b) z 5 23i
2
2
1i
, calcular o valor de
2
2
2
3
1 1 z1z 1z 1 ... 1 z 15.
b) sendo z 5
c) z 5 2 1 2i
d) z = 21 1
b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto
(22, 0) e é tangente àquela circunferência.
3i
4
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42. (Fuvest-SP) O numero complexo z i 0 e o seu inverso
1
têm o mesmo módulo. Conclui-se que:
z
a) z e
b) z 1
5
b) Represente essas soluções no plano complexo,
usando o sistema de coordenadas desenhado a
seguir.
1
são conjugados.
z
Im (z)
1
5i
z
c) este módulo é 2.
1
são reais.
z
e) z2 5 1
d) z e
Re (z)
43. (Fuvest-SP) Determine os números complexos z
que satisfazem, simultaneamente, |z| 5 2 e
Im e
1
z2i
o= .
2
11i
Lembretes: i 5 21; w 5 a 1 bi, com a e b reais, então
2
w =
a 2 1 b 2 e Im(w) 5 b.
44. (Fuvest-SP)
a) Determine todas as soluções, no campo complexo, da equação z 5 iz2 , onde i é a unidade imaginária, isto é, i2 5 21, e z é o conjugado de z.
45. (Fuvest-SP) Nos itens a seguir, z denota um número
complexo e i aunidade imaginária (i2 5 21). Suponha z i i.
z1i
a) Para quais valores de z tem-se
5 2?
1 1 iz
b) Determine o conjunto de todos os valores de z
para os quais
z1i
é um número real.
1 1 iz