Conjuntos Numéricos

1.1. Propriedades dos números
naturais
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Neste conjunto são definidas duas
operações
fundamentais,
a
adição
e
a
multiplicação, que apresentam as seguintes
propriedades, onde a, b, c ∈ ℕ :
Conjuntos Numéricos
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
4
Conjuntos Numéricos
1.1. Propriedades dos números
naturais
1.Conjunto dos números naturais
[A.1] Associativa da adição
2.Conjunto dos números inteiros
3.Conjunto dos números racionais
(a + b ) + c = a + ( b + c )
4.Conjunto dos números reais
[A.2] Comutativa da adição
5.Intervalos
6.Conjunto dos números complexos
a+b = b+a
7.Resumo
[A.3] Elemento neutro da adição
a+0 =a
5
1. Conjunto dos números naturais
1.1. Propriedades dos números
naturais
Chama-se conjunto dos números naturais –
símbolo ℕ – o conjunto formado pelos números
[M.1] Associativa da multiplicação
ℕ = {0,1,2,3,…}
(ab )c = a(bc )
{}
O conjunto ℕ − 0 é denotado por
[M.2] Comutativa da multiplicação
ℕ*
ℕ * = {1,2,3,…}
ab = ba
[M.3] Elemento neutro da multiplicação
OBS: De um modo geral, se A é um conjunto
numérico qualquer, tem-se
A* = A − {0}
a ⋅1 = a
3
6
1
1.1. Propriedades dos números
naturais
2. Conjunto dos números inteiros
No conjunto
juntos notáveis:
[D] Distributiva da multiplicação relativamente à
adição
ℤ
distinguimos três subcon-
ℤ + = {0,1,2,3,…} = ℕ
a( b + c ) = ab + ac
conjunto dos inteiros não negativos
ℤ − = {…, −3, −2, −1,0}
conjunto dos inteiros não positivos
ℤ * = {…, −3, −2, −1,1,2,3,…}
conjunto dos inteiros não nulos
7
1.2. A adição e a multiplicação
nos números naturais
2.1. Propriedades dos números
inteiros
O conjunto ℕ é fechado para a adição e a
multiplicação, ou seja, a soma dos números naturais
é sempre um número natural e o produto de
números naturais é sempre um número natural. Em
símbolos escrevemos:
Neste conjunto são definidas também as
operações de adição e multiplicação, que
apresentam, além de [A.1], [A.2], [A.3], [M.1],
[M.2], [M.3] e [D], a propriedade:
∀ a, b ∈ ℕ,(a + b ) ∈ ℕ e (a ⋅ b ) ∈ ℕ
[A.4] Simétrico ou oposto para a adição
Note que a subtração e a divisão nem
sempre têm significado no conjunto dos números
naturais. Por exemplo, 5 − 7 ∉ ℕ e 10 ÷ 3 ∉ ℕ.
Por isso, o conjunto ℕ não é fechado para a
subtração e a divisão.
Para todo a ∈ ℤ existe −a ∈ ℤ tal que
a + ( −a ) = 0
8
2. Conjunto dos números inteiros
Chama-se conjunto dos números inteiros
símbolo ℤ – o conjunto formado pelos números
10
11
2.1. Propriedades dos números
inteiros
–
Devido à propriedade [A.4], podemos
definir em ℤ a operação de subtração, estabelecendo que
ℤ = {…, −3, −2, −1,0,1,2,3,…}
a − b = a + ( −b )
para todos a, b ∈ ℤ
9
12
2
2.2. Operações no
dos números inteiros
conjunto
2.3. Os números inteiros e a
reta
O conjunto ℤ é fechado para a adição, a
multiplicação e a subtração. Isto é, a adição, a
multiplicação e a subtração de dois números
inteiros resulta sempre num número inteiro. Em
símbolos escrevemos:
Exercício 1: Quais das proposições abaixo são
verdadeiras?
b) ( 2 − 3 ) ∈ ℕ
∀ a, b ∈ ℤ,(a + b ) ∈ ℤ, (a ⋅ b ) ∈ ℤ e (a − b ) ∈ ℤ
f) ( −3 ) ∈ ℤ −
2
a) 0 ∈ ℕ
c) ℕ ⊂ ℤ
d) ℕ ∪ ℤ − = ℤ
g) ( −4 )( −5 ) ∈ ℤ +
h) 0 ∈ ℤ −
i) ( 5 − 11) ∈ ℤ
e) ℤ + ∩ ℤ − = ∅
13
2.3. Os números inteiros e a
reta
2.3. Os números inteiros e a
reta
Exercício 2: Sabendo que um número inteiro p é
primo quando p ≠ 0, 1 e -1, e Dp = {1, -1, p e –p},
pergunta-se: Quais dos elementos de Z, abaixo
relacionados, não são primos?
Os
números
inteiros
podem
ser
representados sobre uma reta orientada por meio
do seguinte procedimento:
a) sobre a reta estabelecemos um sentido positivo
e um ponto O (origem), que representa o inteiro 0
(zero) :
{12, −13,0,5,31, −1,2, −4,1, 49,53}
0
14
2.3. Os números inteiros e a
reta
3. Conjuunto dos números racionais
b) A partir de 0, no sentido positivo, marcamos um
segmento unitário u ≠ 0 cuja extremidade representará o inteiro 1:
Dado um número inteiro q ≠ 1 e − 1, o inverso
1
de q não existe em ℤ : ∉ ℤ . Por isso não podemos
q
definir em ℤ a operação de divisão, dando signifip
cado ao símbolo
. A superação dessa dificuldade
q
se dará com a introdução dos números racionais.
u
0
1
c) para cada inteiro positivo n, a partir de 0,
marcamos um segmento de medida nu no sentido
positivo cuja extremidade representará n e
marcamos um segmento de medida nu no sentido
negativo cuja extremidade representará o inteiro
–n.
u
-4
u
-3
17
u
-2
u
-1
u
0
u
1
u
2
u
3
4
15
18
3
3. Conjunto dos números racionais
3. Conjunto dos números racionais
São válidas as mesmas propriedades
formais vistas para os números inteiros. Além
dessas, temos também a seguinte:
Chama-se conjunto dos números racionais
– símbolo ℚ – o conjunto dos pares ordenados (ou
frações) a , em que a ∈ ℤ e b ∈ ℤ * , para os quais
b
[M.4] Simétrico ou inverso para a multiplicação
adotam-se as seguintes definições:
1a) igualdade: a = c ⇔ ad = bc
2a)
Para todo
b d
a
c ad + bc
adição:
+ =
b d
bd
3a) multiplicação: a ⋅ c = ac
b d
bd
a
a
∈ ℚ e ≠ 0 , existe
b
b
b
a b
∈ ℚ tal que ⋅ = 1
a
b a
19
3. Conjunto dos números racionais
22
3. Conjunto dos números racionais
No conjunto ℚ destacamos os subconjuntos:
Devido à propriedade [M.4], podemos
definir em ℚ* a operação de divisão, estabelecendo
que
ℚ + : conjunto dos racionais não negativos
a c a d
÷ = ⋅
b d b c
ℚ − : conjunto dos racionais não positivos
para a e c racionais quaisquer não nulos.
b
d
ℚ * : conjunto dos racionais não nulos
20
3. Conjunto dos números racionais
23
3.1. Representação decimal
Na fração a , a é o numerador e b o denomi-
Notemos que todo número racional a pode
b
nador. Se a e b são primos entre si, isto é, se
mdc(a, b) = 1, dizemos que a é uma fração irredub
tível. Assim, as frações 2 , 3 e 7 são irredu3 7
15
tíveis, mas 6 não é.
10
b
ser representado por um número decimal. Passa-se
a para a forma de número
b
decimal dividindo o inteiro a pelo inteiro b. Na
um número racional
passagem de uma notação para outra podem
ocorrer dois casos:
21
24
4
3.1. Representação decimal
3.1. Representação decimal
1o) o número decimal tem uma quantidade finita de
algarismos, diferentes de zero, isto é, uma decimal
exata.
Quando a decimal é exata, podemos
transformá-lo em uma fração cujo numerador é o
numeral decimal sem a vírgula e cujo denominador
é o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas
forem as casas decimais do numeral dado.
Exemplos:
3
=3
1
1
= 0,5
2
1
= 0,05
20
27
= 0,027
1000
Exemplos:
0,37 =
37
100
2,631 =
2631
1.000
63,4598 =
634598
10.000
25
3.1. Representação decimal
3.2. Determinação da fração
geratriz
2o) o número decimal tem uma quantidade infinita
de algarismos que se repetem indefinidamente,
isto é, uma dízima periódica.
Quando a decimal é uma dízima periódica,
devemos procurar sua geratriz, conforme o
exemplo a seguir:
Exemplos:
Como exemplo, vamos determinar a fração
geratriz do número 1,3212121…
1
= 0,333… = 0,3 (período 3)
3
2
= 0,285714285714… = 0,285714 (período 285714)
7
11
= 1,8333… = 1,83 (período 3)
6
Seja x a fração procurada. Então,
x = 1,3212121…
26
3.1. Representação decimal
29
3.2. Determinação da fração
geratriz
1o passo: Multiplicamos o número por uma potência
conveniente de dez (isto é, 10, 100, 1000, etc…),
com o propósito de deslocar a vírgula de modo a
posicioná-la imediatamente antes do primeiro
período.
Podemos notar também que todo número na
forma de decimal exata ou de dízima periódica
pode ser convertido à forma de fração a e, portanto, representa um número racional.
28
b
Neste exemplo, a vírgula deve deslocar-se
uma casa para a direita. Para isso, basta multiplicar
o número por 10.
10 x = 13,212121…
27
(1)
30
5
3.2. Determinação da fração
geratriz
3.2. Determinação da fração
geratriz
2o passo: Multiplicamos o número obtido,
novamente, por uma potência conveniente de dez,
de modo que a vírgula se desloque e se posicione
imediatamente antes do segundo período.
Exercício 4: Colocar na forma de uma fração
irredutível os seguintes números racionais:
a) 0,444 …
b) 0,32
c) 0,323232…
d) 54,2
e) 5,423423423 …
No exemplo, a vírgula deve deslocar-se duas
casas para a direita. Para isso, multiplicamos ambos
os membros da igualdade (1) por 100, obtendo a
igualdade (2):
100 ⋅ 10 x = 100 ⋅ 13,212121…
1000 x = 1321,2121…
(2)
31
3.2. Determinação da fração
geratriz
4. Conjunto dos números reais
Subtraindo a igualdade (1) da igualdade (2),
membro a membro, eliminamos todas as casas
decimais. Em seguida, é só isolar x e simplificar a
fração obtida.
Números irracionais: Existem números cuja
representação decimal com infinitas casas
decimais não é periódica. Por exemplo, o numeral
decimal 0,1010010001… (em que o número de
algarismos 0 intercalados entre os algarismos 1 vai
crescendo) é não periódico. Ele representa um
número não racional.
1000 x = 1321,212121…
− 10 x = −13,212121…
Outros exemplo de números irracionais:
990 x = 1321 − 13
990 x = 1308
1308
218
x=
⇒x=
990
165
1,234567891011…
6,202002000…
32
3.2. Determinação da fração
geratriz
b) ℤ ⊂ ℚ
c) 0 ∈ ℚ
d) 517 ∈ ℚ
e) 0,474747 … ∈ ℚ
35
4. Conjunto dos números reais
Exercício 3: Quais das seguintes proposições são
verdadeiras?
a) ℕ ⊂ ℚ
34,5678910112…
 4 11
f)  ,  ⊂ ℚ
7 3 
g) 1∈ ℚ − ℤ
2
h) ∈ ℚ − ℤ
7
14
i)
∈ℚ − ℤ
2
21
j)
é irredutível
14
Chama-se conjunto dos números reais - ℝ aquele formado por todos os números com
representação decimal, isto é, as decimais exatas
ou periódicas (que são números racionais) e as
decimais não exatas e não periódicas (chamadas
números irracionais).
Dessa forma, todo número racional é número
real, ou seja:
ℚ⊂ℝ
36
6
4. Conjunto dos números reais
4. Conjunto dos números reais
Além dos racionais, estão em ℝ
No conjunto ℝ destacamos os subconjuntos:
números
como:
2 = 1,4142136…
ℝ + : conjunto dos reais não negativos
π = 3,1415926…
a = 1,010010001…
ℝ − : conjunto dos reais não positivos
chamados números irracionais.
ℝ * : conjunto dos reais não nulos
37
4. Conjunto dos números reais
40
4.1. Operações
dos números reais
no
conjunto
Se quisermos outros números irracionais,
As operações de adição e multiplicação
poderemos obtê-los, por exemplo, por meio da
em ℝ gozam das mesmas propriedades vistas para
p é primo e positivo. São
o conjunto ℚ . Em ℝ é também definida a operação
expressão
p , em que
irracionais: 3, 5, 7, etc….
de subtração e em ℝ * é definida a divisão.
38
4. Conjunto dos números reais
Outro
41
4.2. Os números reais e a
reta
recurso
para
construção
Já vimos que os números inteiros podem ser
representados por pontos de uma reta:
de
irracionais é usar o fato de que, se α é irracional e
r é racional não nulo, então: α + r, α . r, α/r e r/α
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
u
são todos irracionais.
Exemplos:
2 + 1, 3 2,
3 3
,
são irracionais.
2
5
39
42
7
4.2. Os números reais e a
reta
4.2. Os números reais e a
reta
Analogamente, os números racionais não
inteiros também podem. Se queremos, por
exemplo, representar o número ½ sobre a reta,
marcamos a partir de 0 um segmento de medida
½u no sentido positivo. A extremidade desse
segmento representa ½. Na figura abaixo
representamos sobre a reta vários números
racionais.
-3
-2
−
5
2
-1
−
5
3
0
−
−
4
3
1
2
1
1
2
2
3
2
Na reta real os números estão ordenados.
Um número a é menor que qualquer número x
colocado à sua direita e maior que qualquer número
x à sua esquerda.
a
3
9
4
{x ∈ ℝ / x < a}
11
4
{x ∈ ℝ / x > a}
43
4.2. Os números reais e a
reta
Os
46
4.2. Os números reais e a
reta
números
racionais,
entretanto,
Exercício 5: Quais das proposições abaixo são
verdadeiras?
não
preenchem completamente a reta, isto é, há pontos
da reta que não representam nenhum racional. Por
exemplo, entre os pontos 1,41 e 1,42 fica um ponto
que representa 2 = 1,414215… (irracional).
a) 3 ∈ ℝ
f)
b) ℕ ⊂ ℝ
g)
c) ℤ ⊂ ℝ
h)
d)
e)
44
4.2. Os números reais e a
reta
1
∈ℝ − ℚ
2
i)
3
(
4 ∈ℝ − ℚ
)
2 −3 3 ∈ℝ −ℚ
3 2
5
3 2
5 2
∈ℝ − ℚ
∈ℚ
4 ∈ℝ − ℚ
4.2. Os números reais e a
reta
Quando representamos também sobre a
reta os números irracionais, cada ponto da reta
passa a representar necessariamente um número
racional ou irracional (portanto, real), isto é, os
reais preenchem completamente a reta.
-3
-2
−
5
2
− 3
-1
−
5
3
−
4
3
0
−
1
2
1
1
2
2
3
2
2
Exercício 6: Mostrar que
4 + 2 3 = 1+ 3
3
9
4
11
4
π
Essa reta, que representa ℝ , é chamada
reta real ou reta numérica.
45
8
5. Intervalos
5. Intervalos
Dados dois números reais a e b, com a < b,
definimos:
Exemplos:
1o ) ]2, 5[ = { x ∈ ℝ / 2 < x < 5} é intervalo aberto
a) intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto
2o ) [ −1, 4] = { x ∈ ℝ / −1 ≤ x ≤ 4} é intervalo fechado
]a, b[ = {x ∈ ℝ / a < x < b}
que também pode ser indicado por a
2
2  

3o )  , 7  =  x ∈ ℝ / ≤ x < 7  é intervalo fechado à esquerda
5
5  

b.
1
 1
 

4o )  − , 2  =  x ∈ ℝ / − < x ≤ 2  é intervalo fechado à direita
3
 3
 

49
5. Intervalos
52
5. Intervalos
b) intervalo fechado de extremos a e b é o
Também consideramos intervalos lineares os
“intervalos infinitos” assim definidos:
conjunto
[a, b] = {x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b}
que também pode ser indicado por a
a ) ]−∞, a[ = { x ∈ ℝ / x < a}
b.
que também podemos indicar por -∞
c) intervalo fechado à esquerda (ou aberto à
direita) de extremos a e b é o conjunto
b ) ]−∞, a ] = { x ∈ ℝ / x ≤ a}
[a, b[ = {x ∈ ℝ / a ≤ x < b}
que também pode ser indicado por a
que também podemos indicar por -∞
b.
a
a
50
5. Intervalos
53
5. Intervalos
d) intervalo fechado à direita (ou aberto à
esquerda) de extremos a e b é o conjunto
c ) ]a, + ∞[ = { x ∈ ℝ / x > a}
que também podemos indicar por a
]a, b] = {x ∈ ℝ / a < x ≤ b}
que também pode ser indicado por a
+∞
d ) [a, + ∞[ = { x ∈ ℝ / x ≥ a}
b.
que também podemos indicar por a
+∞
e ) ]−∞, + ∞[ = ℝ
Os números reais a e b são denominados,
respectivamente, extremo inferior e extremo
superior do intervalo.
que também podemos indicar por -∞
51
+∞
54
9
5.1. Representação gráfica
5.1. Representação gráfica
Os intervalos têm uma representação
geométrica sobre a reta real como segue:
]a, b[
[ a, b]
[ a, b[
]a, b]
]-∞, a ]
]a, + ∞[
a
b
a
b
a
b
a
b
Exercício 9: Utilizando a representação gráfica
dos intervalos sobre a reta real, determinar
AWB e AUB sendo A = [0, 3] e B = [1, 4].
a
a
55
5.1. Representação gráfica
Exercício 7: Representar sobre a reta real, cada
um dos seguintes conjuntos
5.1. Representação gráfica
Solução:
0
A = {x ∈ ℝ / 1 ≤ x ≤ 2}
B = {x ∈ ℝ / 0 < x < 3}
C = {x ∈ ℝ / x ≤ 0 ou x > 2}
D = {x ∈ ℝ / −1 < x < 0 ou x ≥ 3}
1
3
4
A
B
AWB
AUB
Então: AWB = [1, 3] e AUB = [0, 4]
5.1. Representação gráfica
5.1. Representação gráfica
Exercício 8: Descrever, conforme a notação da
teoria dos conjuntos, os seguintes intervalos:
Exercício 10: Descrever os seguintes conjuntos
a) [ −1,3 ]
 9 
a) [ −1, +∞[ ∩  − ,2 
 2 
b) [1,2] ∩ [0,3] ∩ [ −1, 4 ]
b) [0,2[
c) ]−3, 4[
d) ]−∞,5[
e) [1, +∞[
10
5.1. Representação gráfica
7. Resumo
Exercício 11: Determinar os seguintes conjuntos
Os conjuntos numéricos
representados esquematicamente
abaixo:
a) ]−2,1] ∪ ]0,5[
podem ser
pela figura
b) [ −1,3] ∪ [3,5 ]
ℕ ℤ ℚℝ ℂ
Observamos que ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.
64
6. Conjunto dos números complexos
Vimos que n a ∈ ℝ , qualquer que seja o real a
5
17
não negativo. Assim, por exemplo, 2 , 3 5 , 4 8 , 2 ,
e
6
π são números reais.
Desde que o índice da raiz seja ímpar, os
radicais da forma
n
−a , em que a ∈ ℝ + , também re-
presentam números reais. É o caso, por exemplo,
de
3
−1 , 5 −32 e
7
−3 .
62
6. Conjunto dos números complexos
Se o radicando é negativo e o índice da raiz
é par, entretanto, o radical
n
−a
não representa
elemento de ℝ . Por exemplo, −1 não é real, pois:
−1 = x ⇒ −1 = x 2
e isso é impossível, pois se x ∈ ℝ , então x 2 ≥ 0 .
63
11