Cap 2

Cap. 2 – Hart, Eletrônica de Potência
Cálculos de potência
• Material auxiliar – Revisão de circuitos RL
Me Salva! RLC10 - Indutores: Introdução
https://www.youtube.com/watch?v=yaICEXBwTgg
Me Salva! RLC11 - Circuito RL - Condições iniciais e finais
https://www.youtube.com/watch?v=Y01d3EEHgWY
Me Salva! RLC12 - Circuito RL - Resposta Forçada
https://www.youtube.com/watch?v=Z7OBnDWUWgI
Me Salva! RLC13 - Circuito RL - Resposta Natural
https://www.youtube.com/watch?v=e08kNcUI0Kk
Me Salva! RLC14 - Circuito RL - Constante de Tempo
https://www.youtube.com/watch?v=KxGBDYAjEBA
Me Salva! RLC15 - Circuito RL - Fórmula Geral
https://www.youtube.com/watch?v=UsBMZg9sXfg
Cálculos de potência
Convenção passiva de sinal
Potência instantânea – watts (W)
Energia – joules (J)
Absorvendo
potência
p(t)>0
Fornecendo
potência
p(t)<0
Cálculos de potência
Potência média = Potência Real = Potência ativa
Potência média calculada a partir da energia em um periodo:
Potência média total absorvida = Potência média total fornecida
Carga
Fonte
Cálculos de potência
Calcule:
a) Potência instantânea absorvida
b) Energia absorvida em um periodo
c) Potência média absovida
Dicas:
Potência instantânea (W)
Potência Média (W)
Energia (J)
Potência Média (W)
Cálculos de potência
Calcule:
a) Potência instantânea absorvida
Cálculos de potência
Calcule:
b) Energia absorvida em um periodo
Cálculos de potência
Calcule:
c) Potência média absovida
Solução 1:
Solução 2:
Cálculos de potência
Cálculo de Potência absorvida ou fornecida por uma fonte DC
Aplicações comuns:
- Circuito de carregamento de bateria
- Fontes
Fonte de tensão DC (Vdc) com corrente periodica i(t)
Corrente média
Tensão DC x Corrente média
 Tensão constante Vdc
 Corrente variável no tempo i(t)
2.3 Indutores e capacitores
Exemplo
Um indutor recebe a corrente
periódica apresentada em (b).
Tensão instantânea no indutor
𝑣1 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
4
𝑣1 = 0.005
0.001
𝑣1 = 20𝑉
−4
𝑣2 = 0.005
0.001
𝑣2 = −20𝑉
𝑣1 =
Tensão média no indutor
Vm = 0 V
𝑣2 =
Potência instantânea
p(t) = v(t)i(t)
Potência média = 0
2.3 Indutores e capacitores
• Se a corrente através de um indutor for periódica:
• A energia armazenada no final do período será igual a do início do período.
• A tensão média através do indutor será sempre zero.
Corrente periódica
Energia armazenada no indutor
Tensão através do indutor
• A ausência de transferência líquida de energia indica:
• Potência média absorvida pelo indutor é zero para operação periódica em estado
permanente
• Potência instantânea pode ser diferente de zero.
A energia é absorvida em metade do periodo e devolvida
na outra metade do período
2.3 Indutores e capacitores
• Se a tensão através de um capacitor for periódica:
• A energia armazenada no final do período será igual a do início do período.
• Potência média absorvida pelo capacitor é zero.
• Corrente média no capacitor será zero:
2.4 Recuperação de energia
- Acionamento de carga indutiva com transitor
- Circuito de proteção do transistor
Exemplo:
- Bobina de um relé
AKI
2.3 Recuperação de energia
Analisando o ciclo de funcionamento do circuito:
 Carregamento do inductor
Transistor ligado: 0 < t < t1
Corrente no indutor
Corrente na fonte
Transistor desligado: t1 < t < T  Descarregamento do indutor
•
•
Corrente no source do transistor = 0
Corrente no indutor e no diodo  Exponencial decrescente
Condição inicial:
Corrente no indutor:
Pré-requisitos
- Circuitos I e II
- Equações
diferenciais
Cálculo da Potência DC fornecida pela fonte do circuito
Corrente média
Cálculo da corrente média
Corrente no indutor
Cálculo da Potência DC absorvida pelos demais componentes
- Potência média absorvida pelo indutor = 0
- Potência média absorvida pelo diodo = 0
- Potência do resistor = Potência fornecida pela fonte
Corrente na fonte
Energia de pico armazenada pelo indutor
Condição inicial
Energia absorvida pelo resistor
Recuperação de energia
Circuito que energiza o indutor e depois envia sua energia de volta para a fonte
Recuperação de energia
Os dois transistores ligam em t = 0
e desligam em t = t1
Transistores LIGADOS
0<t<t1
Tensão no indutor VL
Corrente no indutor
Corrente no indutor = corrente na fonte
Corrente na fonte
Recuperação de energia
Transistores DESLIGADOS
t1< t < T
Tensão no indutor VL
Corrente no indutor
Corrente no indutor
Corrente na fonte
Corrente na fonte
Recuperação de energia
Menos eficiente
Mais eficiente
- Teoricamente sem perdas
- Indutores, transistores e diodos
reais apresentam resistências
parasitas que provocam perdas.
2.5 Valores efetivos ou RMS (Root Mean Square)
Valor RMS = Raiz quadrada do valor médio da função ao quadrado.
“Área entre a curva e o eixo”
T
Veff  Vrms
1 2

v (t)dt
T0

- Tensões e correntes de sistemas de potência AC são normalmente dadas em RMS.
- Especificações de equipamentos (motores, transformadores, fontes, etc) também
são dados em RMS.
Exemplo: Aparelhos de 220V (RMS)  311 V pico
Exemplos:
Valor eficaz de uma onda quadrada
(PWM – Modulação por largura de pulso)
Vm
v(t)  
0
Calcule:
0  t  DT
DT  t  T
Exemplos:
Valor eficaz de uma onda quadrada
(PWM – Modulação por largura de pulso)
0  t  DT
Vm
v(t)  
0
T
Vrms 
1
v 2  t  dt 
T0

1

T 
DT  t  T
DT

0

 0 dt  

DT

T
Vm2 dt

2


1 2
Vm DT  Vm D
T
Exemplos: Onda Senoidal Completa
Vrms 
1
2
2

0
Vm2 sin 2 (t)d(t)

Vm
2
Note que o valor RMS na senoide não depende da frequência
Revisão de Cálculo:
Exemplos: Onda Senoidal Completa Retificada
Vrms 
1
2
2

0
Vm2 sin 2 (t)d(t) 
Vm
2
- Resultado idêntico ao da senoide completa não retificada.
- Valor RMS calcula a área entre a curva e o eixo independentemente de ser
positiva ou negativa
Exemplos: Meia Onda Senoidal Retificada
Zero para o resto
Multiplica-se o limite de
integração por 2 e divide-se a
função por 2
Atenção
Vrms 
-
1
2
2

Vm2 sin 2 (t)d(t)

Vm
0
Período duas vezes menor
Ausência de intervalo com a onda em zero
2
-
Período maior
Intervalo com a onda em zero
Valor eficaz da meia onda senoidal não é metade da senoidal completa
Corrente no neutro de um sistema trifásico não-linear
- Em um sistema linear as correntes de fase se
anulam no neutro.
- Em um sistema com distorção as correntes não se
anulam. Dimensionar condutor
corrente
Valor RMS da corrente em cada fase:
𝐼𝑟𝑚𝑠 = 20 𝐴
-
A corrente no neutro é igual a soma das 3 curvas de
correntes.
Redução no período da corrente do neutro com relação
às correntes de fase
𝐼𝑛,𝑟𝑚𝑠 = 3 . 20 = 34.6 A
Corrente no neutro de um sistema trifásico
- A corrente de neutro não é a corrente de fase
multiplicada por 3.
- Em um sistema trifásico onde as cargas são
altamente não-lineares, o condutor neutro precisa
suportar 3 vezes a corrente de uma fase.
Diferentemente de um sistema com cargas lineares
onde a corrente de neutro é zero.
Valor RMS de somas de formas de ondas senoidais
Se as ondas v1 e v2 possuirem frequências diferentes, o produto v1.v2 é zero.
v(t)  v1 (t)  v 2 (t)
Cálculo do valor RMS de v(t):
Duas ondas senoidais com
frequências diferentes são
ortogonais entre si.
Valor RMS de somas de formas de ondas senoidais
Se uma tensão for resultado da soma de varias ondas periódias, todas ortogonais,
o valor RMS será:
De forma similar:
Potência Aparente (S) e Fator de Potência (pf)
Potência Aparente (S)
S  Vrms I rms
Em circuitos AC (lineares e com fontes senoidais), a potência aparente é
a magnitude da potência complexa.
Fator de Potência (pf)
P
P
pf  
S Vrms Irms
Razão entre potência média e a potência aparente
*** Quando corrente e tensão são senoidais o fator de potência é calculado por:
𝑃
𝑝𝑓 = cos 𝜃 = 𝑉 𝐼
𝑟𝑚𝑠 𝑟𝑚𝑠
Circuitos Senoidais AC
v(t)  Vm cos(t  )
i(t)  Im cos(t  )
Potência ativa
 Vm Im
P
 2

 cos       Vrms Irms cos     

Potência reativa
Q  Vrms I rms sin     
Circuitos Senoidais AC
Potência Complexa – combina potência ativa e reativa em circuitos AC
S  P  jQ  (Vrms )(I rms )*
(Forma vetorial)
Conjugado:
para as operações serem consistentes
com a convenção de absorção de energia
de capacitores e indutores.
Potência Aparente – magnitude da potência complexa em sistemas AC
S  S  P 2  Q2  Vrms I rms
Fator de potência
v(t)  Vm cos(t  )
i(t)  Im cos(t  )
pf  cos     
Séries de Fourier
A série de Fourier de uma função periódica f(t) pode ser expressa na forma trigonométrica
como:
f (t)  a 0 

a
n 1
Onde:
n
cos(n0 t)  b n sin(n0 t) 
Séries de Fourier
Senos e cossenos da mesma frequência podem ser combinados em uma única forma
senoidal, gerando uma expressão alternativa da Série de Fourier:
f (t)  a 0 

C
n
cos  n0 t  n 
n 1
Onde:
O termo a0 representa a componente DC (valor médio da função).
O coeficiente C1 representa a amplitude da componente fundamental.
Os coeficientes C2, C3, C4, … representam as amplitudes dos demais harmônicos.
Séries de Fourier
Valor RMS de uma série de Fourier
f (t)  a 0 

C
n
cos  n0 t  n 
n 1
Valor RMS de onda senoidal:
Vrms 
1
2
2

Vm2 sin 2 (t)d(t) 
0
Vm
2
Cada termo alternado da série de Fourier é senoidal, logo:
Frms 


n 1
2
Fn,rms


C 
a 02   n 
n 1  2 

2
Séries de Fourier
Se um dispositivo apresentar uma tensão e uma corrente descritos por series de Fourier:
Representação geral para qualquer
formato de onda periódica
Sua potência média será calculada por:
A média dos produtos do termos DC é:
V0.I0
A média dos produtos do termos senoidais de mesma frequência é dada por:
A média dos produtos do termos senoidais de frequência diferente é zero
Séries de Fourier
Logo, a potência média de formas de onda periodicas não senoidais de tensão e corrente
Será:
Ou
A potência média total é a soma das potências de todas as frequências da série de Fourier
Séries de Fourier
Exemplo:
𝑣 𝑡 = 5 + 3 cos(𝜔1 𝑡 + 𝜃1 ) + 7 cos(𝜔2 𝑡 + 𝜃2 ) + 2 cos(𝜔3 𝑡 + 𝜃3 ) + 4 cos(𝜔4 𝑡 + 𝜃4 ) …
𝑖 𝑡 = 2 + 8 cos(𝜔1 𝑡 + 𝜙1 ) + 3 cos(𝜔2 𝑡 + 𝜙2 ) + 5 cos(𝜔3 𝑡 + 𝜙3 ) + 9 cos(𝜔4 𝑡 + 𝜙4 ) + ⋯
Cálculo da potência media total:
Ou
𝑃 = 5.2 +
3 8
2 2
cos(𝜃1 − 𝜙1 ) +
7 3
2 2
cos(𝜃2 − 𝜙2 ) +
2 5
2 2
cos 𝜃3 − 𝜙3 + ⋯
Cálculo de potência de fontes não-senoidais e uma carga linear
Princípio da superposição
Pode-se usar:
ou
Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear
*** Condição mais encontrada na prática
Fonte senoidal
Carga não-linear
(Representação por série de Fourier)
Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear
Cálculo da potência média absorvida pela carga:
Único termo que não é zero está
na frequência da tensão aplicada
𝑉𝑑𝑐 = 0
𝑉1 componente
fundamental
Fonte senoidal – hamônicos = 0
Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear
Exemplo:
𝑣 𝑡 = 311 cos(𝜔1 𝑡 + 𝜃1 )
𝑖 𝑡 = 2 + 8 cos(𝜔1 𝑡 + 𝜙1 ) + 3 cos(𝜔2 𝑡 + 𝜙2 ) + 5 cos(𝜔3 𝑡 + 𝜙3 ) + 9 cos(𝜔4 𝑡 + 𝜙4 ) + ⋯
Cálculo da potência media total:
Ou
𝑃 = 0.2 +
311 8
2
2
cos(𝜃1 − 𝜙1 ) + 0
3
2
cos(𝜃2 − 𝜙2 ) + 0
5
2
cos 𝜃3 − 𝜙3 + ⋯
Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear
Fator de distorção (DF)
Fator de potência
Valor rms da corrente da carga não-linear (série de Fourier)
Fator de potência (pf) em
circuitos senoidais
**também conhecido
como fator de potência
de deslocamento
Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear
Fator de distorção
Redução do fator de potência devido a propriedade
não-linear da corrente.
representa
Exemplo:
𝑖 𝑡 = 2 + 8 cos(𝜔1 𝑡 + 𝜙1 ) + 3 cos(𝜔2 𝑡 + 𝜙2 ) + 5 cos(𝜔3 𝑡 + 𝜙3 ) + 9 cos(𝜔4 𝑡 + 𝜙4 ) + ⋯
8
2
𝐷𝐹 =
22
+
8
2
2
+
3
2
2
+
2
5
2
2
+
9
2
2
+⋯
Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear
Outra forma de expressar o Fator de Potência (pf):
Distorção Harmônica Total (THD)
- Outra forma de quantificar a propriedade não-senoidal de uma onda.
- Razão entre o valor RMS de todos os termos de frequência não fundamental e o
termo fundamental
THD
Exemplo:
𝑖 𝑡 = 2 + 8 cos(𝜔1 𝑡 + 𝜙1 ) + 3 cos(𝜔2 𝑡 + 𝜙2 ) + 5 cos(𝜔3 𝑡 + 𝜙3 ) + 9 cos(𝜔4 𝑡 + 𝜙4 ) + ⋯
Cálculo do THD:
22 +
𝑇𝐻𝐷 =
3
2
2
5
+
2
8
2
2
+
2
9
2
2
+⋯
Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear
O fator de Distorção Harmônica Total (THD) é muito aplicado em situações onde o termo DC
é zero.
Desta forma:
Exemplo:
𝑖 𝑡 = 0 + 8 cos(𝜔1 𝑡 + 𝜙1 ) + 3 cos(𝜔2 𝑡 + 𝜙2 ) + 5 cos(𝜔3 𝑡 + 𝜙3 ) + 9 cos(𝜔4 𝑡 + 𝜙4 ) + ⋯
Termo DC
(igual a zero)
Termo
fundamental (1)
Termo 2
𝑇𝐻𝐷 =
Termo 4
Termo 3
3
2
2
+
5
2
2
+
8
2
2
9
2
2
+⋯
Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear
Outra forma de expressar o Fator de Distorção (DF):
Outros termos utilizados para correntes ou tensões não senoidais:
Fator de forma
Fator de crista
Exercícios
Solução:
Exercícios
𝑉1
𝑉0
𝑣 𝑡 = 20 +
𝐼0
𝑖 𝑡 =5+
𝑉2
𝑉3
𝑉4
20
20
20
20
cos(1𝜋𝑡) +
cos(2𝜋𝑡) +
cos(3𝜋𝑡) +
cos(4𝜋𝑡) + ⋯
1
2
3
4
𝐼1
𝐼2
𝐼3
𝐼4
5
5
5
5
cos(1𝜋𝑡)
+
cos(2𝜋𝑡)
+
cos(3𝜋𝑡)
+
cos(4𝜋𝑡) + ⋯
12
22
32
42
Exercícios
𝐼9,𝑟𝑚𝑠 = 𝑇𝐻𝐷. 𝐼1,𝑟𝑚𝑠
𝐼9,𝑟𝑚𝑠 = 𝑇𝐻𝐷.
2
2
𝐼𝑟𝑚𝑠
− 𝐼1,𝑟𝑚𝑠
𝑇𝐻𝐷 =
𝐼1,𝑟𝑚𝑠
2
2
2
𝐼1,𝑟𝑚𝑠
+ 𝐼9,𝑟𝑚𝑠
− 𝐼1,𝑟𝑚𝑠
𝑇𝐻𝐷 =
𝐼1,𝑟𝑚𝑠
=
𝐼9,𝑟𝑚𝑠
𝐼1,𝑟𝑚𝑠
10 2
2
= 𝑇𝐻𝐷. 10
Exercícios
Exercícios
Exercícios
2
2
𝐼𝑟𝑚𝑠
− 𝐼1,𝑟𝑚𝑠
𝑇𝐻𝐷 =
𝐼1,𝑟𝑚𝑠