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Energia Magnética
- Um circuito indutivo sempre gera um campo induzido E quando excitado por qualquer agente
externo. Este campo realiza trabalho sobre as cargas livres, e se desejarmos gerar algum tipo suave
de dinâmica de cargas, precisamos a cada instante do tempo compensar o efeito do campo induzido.
Como então calcular o trabalho dispendido na geração de qualquer eletrodinâmica?.
- Comecemos com o cálculo da potência dispendida pelo agente externo:
P ext = F ext⋅v = q E ext⋅v .
(1)
Eext é o campo externo (não interessa qual sua origem – ele é definido como E ext ≡ F ext /q , onde
Fext designa qualquer tipo de força externa que acelera as partículas, de carga q, a uma velocidade
v) que deve então satisfazer E ext =−E . Consideremos também um meio contínuo para o qual
q   d 3 r , para chegar então à expressão final da potência:
P ext =−∫ j⋅E d 3 r ,
(2)
onde reconhecemos o produto de densidade de carga e velocidade como densidade de corrente.
-
A seguir
nos
lembremos
que
e
da
j =∇ × H
∇⋅ A× B = B⋅∇ × A − A⋅ ∇ × B  para reescrever (2) na forma
∂B 3
P ext =∫ H⋅
d r ,
∂t
identidade
vetorial
(3)
onde usamos o argumento de que os campos se cancelam no infinito para cancelar a integral de
superfície associada ao termo do divergente.
- Suponhamos a seguir que B = µ H para finalmente concluir que
P ext =
d 1
H⋅B d 3 r .
∫
dt 2
(4)
- Finalmente, escrevendo a potência como a derivada temporal do trabalho, P = dτ/dt , concluímos
que a energia de formação do sistema, que nada mais é do que o trabalho externo total usado para
trazer o sistema a uma configuração ativa, pode ser escrita como
U mag =
1
∫ H⋅B d 3 r . (5)
2
- Agora que conhecemos a energia, podemos nos perguntar questões mais compexas. A de maior
interesse tecnológico é qual a força mecânica necessária para mover um circuito com corrente
controlada por baterias externas. Já que neste caso as correntes são mantidas constantes pelas
baterias, é de interesse re-expressar (5) em termos delas. Para tanto, usemos B =∇ × A , onde A
é o potencial vetor, j =∇ × H , e a identidade acima da Eq. 3, para chegarmos a expressão
equivalente de (5):
U mag =
1
j⋅A d 3 r .
∫
2
(6)
- A seguir executemos uma ação externa constituída por um trabalho mecânico
d  mecânico=F mecânica⋅dr combinado com o trabalho dispendido pela bateria em um intervalo dt,
3
3
d  bateria=−dt ∫ j⋅E d r=∫ j⋅d A d r . Aqui usamos fato da corrente ser constante para que o
dt comute com a corrente, e B=∇ × A com ∇× E=− Ḃ para concluir que E=− Ȧ .
3
- Com tudo isto, e com dU mag =½ ∫ j⋅d A d r , chegamos à expressão F mec⋅dr =−d U mag ,
de onde finalmente concluímos que para sistemas com corrente controlada,
F mecânica=−∇ U magnética .
(7)
- A partir disto vimos aplicações a solenóides e eletroimãs. O campo do solenóide é apenas interno,
e para o cálculo de campos em eletroimãs, vimos que no ferro doce os campos são muito mais
intensos do que em regiões externas. Pode-se então considerar que para todos os efeitos práticos, as
linhas de campo estão aprisionadas dentro do ferro-doce.
Problema: Com exercício, suponham o circuito magnético da figura abaixo, com um solenóide de N
voltas transportando uma corrente I. Supondo um material “azul” com permeabilidade µ, calculem a
força de atração (ou repulsão) entre as partes verticalmente “móveis” A e B. Desconsiderem os
campos nas partes excedentes verticais.
A
Δx
B
l1
l2