ÂNGULOS.

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ÂNGULOS
1)  Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45
1. DEFINIÇÃO:
 É a reunião de duas semi-retas de mesma
origem e não-colineares.
 Na figura:
 O é o vértice
B
 OA e OB são os
lado
lados
O
lado
A
segundos é indicado por: 12 20 45

2. PONTOS INTERNOS E PONTOS EXTERNOS A
UM ÂNGULO:

4.1) ADIÇÃO:
 Observe os exemplos:
Ex1:
Ex2:
C
0
'
''
0
'
0
'
''
0
'
''
0
'
''
''
17 15 10
30 20 40
47 35 50
13 40  30 45
0
'
0
0
'
0
'
0
'

13 40
30 45

43 85
1 25
B
G
17 1510  30 20 40

 Seja o ângulo AOB
F
O
H
''
4. OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS:
Vértice
 
 AOB
 
INDICAÇÃO DO ÂNGULO:   BOA

O

'
'

 85'  10 25''

'
0
D
E
'
0
44 25
I
A
4.2) SUBTRAÇÃO:
☞ Os pontos C, D e E são alguns dos pontos internos
 Observe os exemplos:

ao ângulo AOB
Ex1:
58 40  17 10
0
'
0
'
☞ Os pontos F, G, H e I são alguns dos pontos

externos ao ângulo AOB
3. MEDIDA DE UM ÂNGULO:
 Um ângulo pode ser medido através de um
instrumento chamado Transferidor e que tem o
grau como unidade.

Ex2:
 A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e
segundo
1  60'
1'  60''

0
'
0
'
0
'
58 40
17 10
41 30
80  42 30
0
0
0
'
0
'
0
'
58 40
17 10
41 30
'
SIMBOLICAMENTE:
4.3) MULTIPLICAÇÃO DE UM ÂNGULO POR UM
1)  Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é
 Observe os exemplos:

indicado por: 25 40
'
NÚMERO:
EX1:
EX2:
17 15  2
0
0
'
0
'
A
17 15

2
34 30
'
O
M
24 20  3
'
0
B

'
0
20
3
72 60 ( 1 )
1
73
24
 Se AOM  MOB , e então OM é bissetriz

0
'

de AOB .
0
7. ÂNGULOS RETO, AGUDO E OBTUSO:
 As ângulos recebem nomes especiais de acordo
com suas medidas:
0
0
4 .4 )
DIVISÃO
NÚMERO:
DE
UM
ÂNGULO
POR
UM
♣ Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que
900 .
'
36
0
EX2:
30 3
0 12 10
'
0
39 20  4
0
'
0
39
3
0
'
20
180
200
00
'
'
4
9
0
ÂNGULO
RETO
'
50
ÂNGULO
AGUDO
Indicação : r  s
Significa : r perpendicu lar a s.
Dois ângulos são congruentes se as suas
medidas são iguais.
A
C
300
O
ÂNGULO
OBTUSO
8. RETAS PERPENDICULARES:
 Quando duas retas se interceptam formando
ângulos retos, dizemos que elas são
perpendiculares.
r
5. ANGULOS CONGRUENTES:

0
♣ Ângulo reto é aquele cuja medida é 90 .
♣ Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que
900 .
 Observe os exemplos:
0
'
EX1:
36 30  3
0

s
300
9. ÂNGULOS COMPLEMENTARES:
 Dois ângulos são complementares quando a
B
D
0
soma de suas medidas é 90 .
Indicação:



AOB  COD (significa: AOB é congruente a

A
B
COD )
6. BISSETRIZ DE UM ÂNGULO:
 É semi-reta com origem no vértice do ângulo e
que o divide em dois outros ângulos congruentes.
O
C
  
  
  
m AOB   m BOC   m AOC   900






Exemplos:
0
12. ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS
PARALELAS E UMA TRANSVERSAL:
 Duas retas r e s, interceptadas pela transversal t,
formam oito ângulos.
t
250 são ângulos complementares,
0
0
0
porque 65  25  90
EX1: 65
e
2 A
3
500 são ângulos complementares,
0
0
0
porque 40  50  90
EX2: 40
0
1
r
4
e
6
B
7
10. ÂNGULOS SUPLEMENTARES:
 Dois ângulos são suplementares quando a soma
5
s
8
0
de suas medidas é 180 .
B
 Os pares de ângulos com um vértice em A e o
outro em B são assim denominados:
A
O
C
  
  
m AOB   m BOC   1800




Exemplos:
0
1300 são ângulos suplementares,
0
0
0
porque 50  130  180
EX1: 50
e
550 são ângulos suplementares,
0
0
0
porque 125  55  180
EX2: 125
0
e
11. ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE:
 Duas retas concorrentes determinam quatro
ângulos, dois a dois, opostos pelo vértice.
       

Correspond
entes
:
1
e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7

   

Colaterais Internos : 4 e 5, 3 e 6
   


Colaterais Externos : 1 e 8, 2 e 7

   
 Alternos Internos : 4 e 6, 3 e 5

   
 Alternos Externos : 1 e 7, 2 e 8


ILUSTRANDO:
♣ ALTERNOS: Um de cada “lado” da transversal
♣ COLATERAIS: ambos do mesmo “lado” da
transversal
EXTERNOS
â


m
n
INTERNOS

c
EXTERNOS
Na figura:


♣ a e c são opostos pelos vértice.


EXERCÍCIOS PROPOSTOS
♣ m e n são opostos pelos vértice.
1. (FRANCO) Calcule a soma:
TEOREMA
 Dois ângulos opostos pelo vértice são
congruentes.
a) 35 10 50  10 25 20
0
0
'
'
''
45 36 10
''
0
'
''
b) 31 45 50  13 20 40
0
0
'
'
''
55 06 30
''
0
'
''
Resp:
Resp:
c) 3 24 9  37 11 33
0
' ''
0
'
''
0
d) 35 35 2  22 24 58
0
' ''
0
'
'
Resp: 40 35 42
'
''
a)
0
Resp: 58
A
2. (FRANCO) Calcule a diferença:
a) 42 50  27 10
0
'
0
b) 70  22 30
0
0
'
0
'
0
0
'
0
'
Resp: 47 30
'
d) 52 30  20 50
0
0
Resp: 21 40
'
c) 120  50 45
0
3x
Resp: 69 15
'
0
Resp: 31 40
'
0
'
Resp: 10
'
C
0
Resp: 75 30
'
A
Resp: 36 120
c) 28 30  2
Resp: 57
0
'
'
d) 14 20  5
0
'
0
0
Resp: 80
0
Resp: 71 40
O
7. (FRANCO) Resolva as equações abaixo, onde a
incógnita x é um ângulo (medido em graus):
Resp: 12 05
b) 75 50  5
Resp: 15 10
c) 55  2
Resp: 27 30
0
'
0
d) 22 40  5
0
'
0
'
a) 48 20  4
'
B
x
 50 350
2
'
4. (FRANCO) Calcule os quocientes:
0
0
b)
b) 12 40  3
0
5x-20◦
B
3. (FRANCO) Calcule os produtos:
a) 25 10  3
O
C
0
0
'
0
0
Resp: 4 32
'
a) 5 x  20  1  2 x
0
0


b)
x  2. 900  x
c)
3x  20   50
d)
3 x  10  2. x  70
'
'
0

0


Resp: 7
Resp: 60
 900

0
Resp: 20
Resp:
0
0
110
5. (FRANCO) Calcule:
8.
a)
2
0
de 45
3
Resp: 30
0
(FRANCO) A medida de um ângulo é igual à
medida de seu complemento. Quanto mede esse
ângulo?
0
5
0
b)
de 84
7
c)
d)
Resp: 45
Resp: 60
0
3
0
'
de 48 20
4
Resp: 36 15
3
0
'
de 15 20
2
Resp: 23
0
9. (FRANCO) A medida de um ângulo é a metade
da medida do seu complemento. Calcule a
medida desse ângulo.
'
Resp: 30
0
6. (FRANCO) Calcule x em cada caso, sabendo-se
que OC é bissetriz do ângulo dado.
0
10. (FRANCO) Calcule a medida de um ângulo cuja
medida é igual ao triplo de seu complemento.
0
Resp: 67 30
'
11. (FRANCO) A diferença entre o dobro da medida
0
de um ângulo e o seu complemento é 45 .
Calcule a medida desse ângulo.
Resp: 80
0
21. (FRANCO) Calcule x:
0
Resp: 45
12. (FRANCO) A terça parte do complemento de
0
um ângulo mede 20 . Qual a medida do ângulo
?
Resp: 30
x  700
a)
Resp: 70
0
2x
0
13. (FRANCO) Dois ângulos complementares têm
suas medidas expressas em graus por 3 x  25
0
3 x  100
b)
Resp: 20
0
e 4 x  5 . Quanto medem esses ângulos ?
0
x  500
Resp:
14.
0
0
55 e 35
(FRANCO)
A quarta parte da medida de um
0
ângulo mede 30 . Calcule a medida do seu
suplemento.
Resp: 60
Resp: 30
c)
x 0
1
2
0
0
x
 60
3
15. (FRANCO) A medida de um ângulo é igual à
medida de seu suplemento. Calcule esse ângulo.
Resp: 90
0
Resp: 30
d)
16. (FRANCO) Calcule a medida de um ângulo que é
igual ao triplo de seu suplemento.
0
x
x
x
0
Resp: 135
17. (FRANCO) O dobro da medida de um ângulo é
igual à medida do suplemento desse ângulo.
Calcule a medida do ângulo.
Resp: 60
22. (FRANCO) As medidas de dois ângulos opostos
pelo vértice são expressas em graus por
15 x  140 e 3 x  100 . Quanto vale x ?
0
Resp:
18. (FRANCO) O triplo da medida de um ângulo
mais a medida do suplemento desse ângulo é
250 0 . Calcule a medida do ângulo.
20
23. (FRANCO) As medidas de dois ângulos opostos
pelo vértice são expressas em graus por
2m  50 e m  35 . Quanto vale m?

 

0
Resp: 35
Resp: 85
19. (FRANCO) Calcule a medida de um ângulo cuja
medida é igual a
Resp: 72
2
do seu suplemento.
3
24. (FRANCO) Sabendo que r // s , calcule x:
a)
Resp: 20
t
2x
0
r
20. (FRANCO) A soma do complemento com o
0
suplemento de um ângulo é 110 . Quanto mede
o ângulo ?
3x  200 s
0
0
Resp: 45
t
Resp: 20
b)
0
TESTES
r
3 x  150
x  55
3x  10  y
s
0
a) 30
c)
x  250 e
1. (FRANCO) Se
0
Resp: 46
t
2x
0
r
0
y  200 ,
então
é igual a:
0
0
b) 45
c) 55
d)
0
85
x  y  10
'
y  18020' ,
x  150 e
2. (FRANCO) Se
então
é igual a:
s
3 x  500
0
a) 32 30
0
43 20
d)
t
36
Resp:
0
'
0
b) 33 30
'
d)
'
0
'
ângulo de 47 30 medem respectivamente:
r
a)
s
b)
3x
c)
t
Resp:
52030' e 152030'
42030' e 132030'
132030' e 42030'
152030' e 52030'
d)
4. (FRANCO) A terça parte de um ângulo mede
380
21030 ' . Quanto mede esse ângulo?
0
r
3x  20
a) 7 10
0
'
64 30
0
b) 8 10
'
0
c) 63 30
'
d)
'
0
s
2 x  300
5. (FRANCO) Os valores de x, y, z e w, na figura,
são, respectivamente:
a)
b)
25. (FRANCO) As medidas de dois ângulos opostos
pelo vértice são expressas em graus por
4 x  100 e 2 x  400 . Quanto vale x?
Resp: 15
0
c) 34 30
3. (FRANCO) O complemento e o suplemento do
2x
e)
'
0
c)
d)
350 ,600 ,950 ,600
350 ,400 ,950 ,400
350 ,500 ,950 ,500
950 ,350 ,500 ,650
6. (FRANCO)
950
x
w
y
z
350
Se a soma das medidas de dois
0
26. (FRANCO) O triplo da medida de um ângulo é
ângulos é 150 e a medida de um deles é o dobro
da medida do outro, então o menor deles mede:
0
igual a 141 . Qual é a medida do seu
suplemento?
0
Resp: 133
27. (FRANCO) Calcule a medida de um ângulo cuja
medida de seu suplemento é o triplo da medida
de seu complemento.
a) 40
100
0
b) 50
0
c) 80
0
d)
0
7. (FRANCO)
Dois ângulos opostos pelo vértice
medem 3 x  10 e x  50 . Um deles mede:
0
0
a) 20
0
b) 70
0
c) 30
0
d)
0
80
13. (FRANCO) O ângulo igual a
5
do seu
4
suplemento mede:
8. (FRANCO) Um estudante desenhou numa folha
0
'
de papel um ângulo de 10 20 . Em seguida,
resolveu admirar o próprio desenho (limitando
célebre detetive), através de uma lupa que
aumentava quatro vezes um objeto qualquer. Ele
enxergará, olhando através da lupa, um ângulo
de:
0
a) 10 20
0
41 20
0
'
b) 20 40
'
c)
410
d)
a) 100
80
0
b)
1440
c) 36
0
d)
0
14. (FRANCO) A diferença entre o suplemento e o
complemento de um ângulo qualquer é:
a) um ângulo raso
c) um ângulo reto
obtuso
b) um ângulo agudo
d) um ângulo
'
9. (FRANCO) Na figura ao lado, o ângulo x mede:
a) 115
0
b) 125
0
c) 135
0
15. (FRANCO) Na figura abaixo, sendo r paralela a
s, o valor de x é:
a) 15
d)
30
1450
0
b) 20
0
0
c) 25
d)
0
t
x
x
r
x  100
60 0  x
s
10. (FRANCO) Calcule x e determine o valor dos
ângulos adjacentes:
a)
0'
105
0
16. (FRANCO) Sendo a paralela a b, então o valor
de x é:
0
e 75
3 x  300
e 800
b)
100
c)
1200 e 600
d)
900 e 900
x  100
a) 18
0
0
b) 45
18
0
b)
14
0
c) 16
0
a
135
0
d)
b
0
1
x  2x
2
2x
5x
12. (FRANCO) As medidas de dois ângulos opostos
15 x  200 e
pelo vértice são expressas por
3 x  16 . O valor de x é:
0
50
d)
u
7 x  20
a)
0
60030'10''
11. (FRANCO) Na figura abaixo, o valor de x em
graus é:
a) 13
c) 90
2
0
0
b) 3
17. (FRANCO) Uma transversal intercepta duas
paralelas formando ângulos alternos internos
expressos em graus por 5x  8 e 7 x  12 . A
soma das medidas desses ângulos é:
a) 40
116
c)
4
0
d)
0
0
b) 58
c) 80
0
d)
0
18. (FRANCO) Na figura abaixo tem-se
são transversais. O valor de x  y é:
r // s , t e u
a) 140
100
0
0
b) 130
0
c) 120
0
d)
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