ÂNGULOS 1) Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 1. DEFINIÇÃO: É a reunião de duas semi-retas de mesma origem e não-colineares. Na figura: O é o vértice B OA e OB são os lado lados O lado A segundos é indicado por: 12 20 45 2. PONTOS INTERNOS E PONTOS EXTERNOS A UM ÂNGULO: 4.1) ADIÇÃO: Observe os exemplos: Ex1: Ex2: C 0 ' '' 0 ' 0 ' '' 0 ' '' 0 ' '' '' 17 15 10 30 20 40 47 35 50 13 40 30 45 0 ' 0 0 ' 0 ' 0 ' 13 40 30 45 43 85 1 25 B G 17 1510 30 20 40 Seja o ângulo AOB F O H '' 4. OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS: Vértice AOB INDICAÇÃO DO ÂNGULO: BOA O ' ' 85' 10 25'' ' 0 D E ' 0 44 25 I A 4.2) SUBTRAÇÃO: ☞ Os pontos C, D e E são alguns dos pontos internos Observe os exemplos: ao ângulo AOB Ex1: 58 40 17 10 0 ' 0 ' ☞ Os pontos F, G, H e I são alguns dos pontos externos ao ângulo AOB 3. MEDIDA DE UM ÂNGULO: Um ângulo pode ser medido através de um instrumento chamado Transferidor e que tem o grau como unidade. Ex2: A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo 1 60' 1' 60'' 0 ' 0 ' 0 ' 58 40 17 10 41 30 80 42 30 0 0 0 ' 0 ' 0 ' 58 40 17 10 41 30 ' SIMBOLICAMENTE: 4.3) MULTIPLICAÇÃO DE UM ÂNGULO POR UM 1) Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é Observe os exemplos: indicado por: 25 40 ' NÚMERO: EX1: EX2: 17 15 2 0 0 ' 0 ' A 17 15 2 34 30 ' O M 24 20 3 ' 0 B ' 0 20 3 72 60 ( 1 ) 1 73 24 Se AOM MOB , e então OM é bissetriz 0 ' de AOB . 0 7. ÂNGULOS RETO, AGUDO E OBTUSO: As ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas medidas: 0 0 4 .4 ) DIVISÃO NÚMERO: DE UM ÂNGULO POR UM ♣ Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 900 . ' 36 0 EX2: 30 3 0 12 10 ' 0 39 20 4 0 ' 0 39 3 0 ' 20 180 200 00 ' ' 4 9 0 ÂNGULO RETO ' 50 ÂNGULO AGUDO Indicação : r s Significa : r perpendicu lar a s. Dois ângulos são congruentes se as suas medidas são iguais. A C 300 O ÂNGULO OBTUSO 8. RETAS PERPENDICULARES: Quando duas retas se interceptam formando ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares. r 5. ANGULOS CONGRUENTES: 0 ♣ Ângulo reto é aquele cuja medida é 90 . ♣ Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 900 . Observe os exemplos: 0 ' EX1: 36 30 3 0 s 300 9. ÂNGULOS COMPLEMENTARES: Dois ângulos são complementares quando a B D 0 soma de suas medidas é 90 . Indicação: AOB COD (significa: AOB é congruente a A B COD ) 6. BISSETRIZ DE UM ÂNGULO: É semi-reta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes. O C m AOB m BOC m AOC 900 Exemplos: 0 12. ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL: Duas retas r e s, interceptadas pela transversal t, formam oito ângulos. t 250 são ângulos complementares, 0 0 0 porque 65 25 90 EX1: 65 e 2 A 3 500 são ângulos complementares, 0 0 0 porque 40 50 90 EX2: 40 0 1 r 4 e 6 B 7 10. ÂNGULOS SUPLEMENTARES: Dois ângulos são suplementares quando a soma 5 s 8 0 de suas medidas é 180 . B Os pares de ângulos com um vértice em A e o outro em B são assim denominados: A O C m AOB m BOC 1800 Exemplos: 0 1300 são ângulos suplementares, 0 0 0 porque 50 130 180 EX1: 50 e 550 são ângulos suplementares, 0 0 0 porque 125 55 180 EX2: 125 0 e 11. ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE: Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a dois, opostos pelo vértice. Correspond entes : 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7 Colaterais Internos : 4 e 5, 3 e 6 Colaterais Externos : 1 e 8, 2 e 7 Alternos Internos : 4 e 6, 3 e 5 Alternos Externos : 1 e 7, 2 e 8 ILUSTRANDO: ♣ ALTERNOS: Um de cada “lado” da transversal ♣ COLATERAIS: ambos do mesmo “lado” da transversal EXTERNOS â m n INTERNOS c EXTERNOS Na figura: ♣ a e c são opostos pelos vértice. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ♣ m e n são opostos pelos vértice. 1. (FRANCO) Calcule a soma: TEOREMA Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. a) 35 10 50 10 25 20 0 0 ' ' '' 45 36 10 '' 0 ' '' b) 31 45 50 13 20 40 0 0 ' ' '' 55 06 30 '' 0 ' '' Resp: Resp: c) 3 24 9 37 11 33 0 ' '' 0 ' '' 0 d) 35 35 2 22 24 58 0 ' '' 0 ' ' Resp: 40 35 42 ' '' a) 0 Resp: 58 A 2. (FRANCO) Calcule a diferença: a) 42 50 27 10 0 ' 0 b) 70 22 30 0 0 ' 0 ' 0 0 ' 0 ' Resp: 47 30 ' d) 52 30 20 50 0 0 Resp: 21 40 ' c) 120 50 45 0 3x Resp: 69 15 ' 0 Resp: 31 40 ' 0 ' Resp: 10 ' C 0 Resp: 75 30 ' A Resp: 36 120 c) 28 30 2 Resp: 57 0 ' ' d) 14 20 5 0 ' 0 0 Resp: 80 0 Resp: 71 40 O 7. (FRANCO) Resolva as equações abaixo, onde a incógnita x é um ângulo (medido em graus): Resp: 12 05 b) 75 50 5 Resp: 15 10 c) 55 2 Resp: 27 30 0 ' 0 d) 22 40 5 0 ' 0 ' a) 48 20 4 ' B x 50 350 2 ' 4. (FRANCO) Calcule os quocientes: 0 0 b) b) 12 40 3 0 5x-20◦ B 3. (FRANCO) Calcule os produtos: a) 25 10 3 O C 0 0 ' 0 0 Resp: 4 32 ' a) 5 x 20 1 2 x 0 0 b) x 2. 900 x c) 3x 20 50 d) 3 x 10 2. x 70 ' ' 0 0 Resp: 7 Resp: 60 900 0 Resp: 20 Resp: 0 0 110 5. (FRANCO) Calcule: 8. a) 2 0 de 45 3 Resp: 30 0 (FRANCO) A medida de um ângulo é igual à medida de seu complemento. Quanto mede esse ângulo? 0 5 0 b) de 84 7 c) d) Resp: 45 Resp: 60 0 3 0 ' de 48 20 4 Resp: 36 15 3 0 ' de 15 20 2 Resp: 23 0 9. (FRANCO) A medida de um ângulo é a metade da medida do seu complemento. Calcule a medida desse ângulo. ' Resp: 30 0 6. (FRANCO) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OC é bissetriz do ângulo dado. 0 10. (FRANCO) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao triplo de seu complemento. 0 Resp: 67 30 ' 11. (FRANCO) A diferença entre o dobro da medida 0 de um ângulo e o seu complemento é 45 . Calcule a medida desse ângulo. Resp: 80 0 21. (FRANCO) Calcule x: 0 Resp: 45 12. (FRANCO) A terça parte do complemento de 0 um ângulo mede 20 . Qual a medida do ângulo ? Resp: 30 x 700 a) Resp: 70 0 2x 0 13. (FRANCO) Dois ângulos complementares têm suas medidas expressas em graus por 3 x 25 0 3 x 100 b) Resp: 20 0 e 4 x 5 . Quanto medem esses ângulos ? 0 x 500 Resp: 14. 0 0 55 e 35 (FRANCO) A quarta parte da medida de um 0 ângulo mede 30 . Calcule a medida do seu suplemento. Resp: 60 Resp: 30 c) x 0 1 2 0 0 x 60 3 15. (FRANCO) A medida de um ângulo é igual à medida de seu suplemento. Calcule esse ângulo. Resp: 90 0 Resp: 30 d) 16. (FRANCO) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu suplemento. 0 x x x 0 Resp: 135 17. (FRANCO) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo. Resp: 60 22. (FRANCO) As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são expressas em graus por 15 x 140 e 3 x 100 . Quanto vale x ? 0 Resp: 18. (FRANCO) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do suplemento desse ângulo é 250 0 . Calcule a medida do ângulo. 20 23. (FRANCO) As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são expressas em graus por 2m 50 e m 35 . Quanto vale m? 0 Resp: 35 Resp: 85 19. (FRANCO) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a Resp: 72 2 do seu suplemento. 3 24. (FRANCO) Sabendo que r // s , calcule x: a) Resp: 20 t 2x 0 r 20. (FRANCO) A soma do complemento com o 0 suplemento de um ângulo é 110 . Quanto mede o ângulo ? 3x 200 s 0 0 Resp: 45 t Resp: 20 b) 0 TESTES r 3 x 150 x 55 3x 10 y s 0 a) 30 c) x 250 e 1. (FRANCO) Se 0 Resp: 46 t 2x 0 r 0 y 200 , então é igual a: 0 0 b) 45 c) 55 d) 0 85 x y 10 ' y 18020' , x 150 e 2. (FRANCO) Se então é igual a: s 3 x 500 0 a) 32 30 0 43 20 d) t 36 Resp: 0 ' 0 b) 33 30 ' d) ' 0 ' ângulo de 47 30 medem respectivamente: r a) s b) 3x c) t Resp: 52030' e 152030' 42030' e 132030' 132030' e 42030' 152030' e 52030' d) 4. (FRANCO) A terça parte de um ângulo mede 380 21030 ' . Quanto mede esse ângulo? 0 r 3x 20 a) 7 10 0 ' 64 30 0 b) 8 10 ' 0 c) 63 30 ' d) ' 0 s 2 x 300 5. (FRANCO) Os valores de x, y, z e w, na figura, são, respectivamente: a) b) 25. (FRANCO) As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são expressas em graus por 4 x 100 e 2 x 400 . Quanto vale x? Resp: 15 0 c) 34 30 3. (FRANCO) O complemento e o suplemento do 2x e) ' 0 c) d) 350 ,600 ,950 ,600 350 ,400 ,950 ,400 350 ,500 ,950 ,500 950 ,350 ,500 ,650 6. (FRANCO) 950 x w y z 350 Se a soma das medidas de dois 0 26. (FRANCO) O triplo da medida de um ângulo é ângulos é 150 e a medida de um deles é o dobro da medida do outro, então o menor deles mede: 0 igual a 141 . Qual é a medida do seu suplemento? 0 Resp: 133 27. (FRANCO) Calcule a medida de um ângulo cuja medida de seu suplemento é o triplo da medida de seu complemento. a) 40 100 0 b) 50 0 c) 80 0 d) 0 7. (FRANCO) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3 x 10 e x 50 . Um deles mede: 0 0 a) 20 0 b) 70 0 c) 30 0 d) 0 80 13. (FRANCO) O ângulo igual a 5 do seu 4 suplemento mede: 8. (FRANCO) Um estudante desenhou numa folha 0 ' de papel um ângulo de 10 20 . Em seguida, resolveu admirar o próprio desenho (limitando célebre detetive), através de uma lupa que aumentava quatro vezes um objeto qualquer. Ele enxergará, olhando através da lupa, um ângulo de: 0 a) 10 20 0 41 20 0 ' b) 20 40 ' c) 410 d) a) 100 80 0 b) 1440 c) 36 0 d) 0 14. (FRANCO) A diferença entre o suplemento e o complemento de um ângulo qualquer é: a) um ângulo raso c) um ângulo reto obtuso b) um ângulo agudo d) um ângulo ' 9. (FRANCO) Na figura ao lado, o ângulo x mede: a) 115 0 b) 125 0 c) 135 0 15. (FRANCO) Na figura abaixo, sendo r paralela a s, o valor de x é: a) 15 d) 30 1450 0 b) 20 0 0 c) 25 d) 0 t x x r x 100 60 0 x s 10. (FRANCO) Calcule x e determine o valor dos ângulos adjacentes: a) 0' 105 0 16. (FRANCO) Sendo a paralela a b, então o valor de x é: 0 e 75 3 x 300 e 800 b) 100 c) 1200 e 600 d) 900 e 900 x 100 a) 18 0 0 b) 45 18 0 b) 14 0 c) 16 0 a 135 0 d) b 0 1 x 2x 2 2x 5x 12. (FRANCO) As medidas de dois ângulos opostos 15 x 200 e pelo vértice são expressas por 3 x 16 . O valor de x é: 0 50 d) u 7 x 20 a) 0 60030'10'' 11. (FRANCO) Na figura abaixo, o valor de x em graus é: a) 13 c) 90 2 0 0 b) 3 17. (FRANCO) Uma transversal intercepta duas paralelas formando ângulos alternos internos expressos em graus por 5x 8 e 7 x 12 . A soma das medidas desses ângulos é: a) 40 116 c) 4 0 d) 0 0 b) 58 c) 80 0 d) 0 18. (FRANCO) Na figura abaixo tem-se são transversais. O valor de x y é: r // s , t e u a) 140 100 0 0 b) 130 0 c) 120 0 d)