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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
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AULA 02: CONJUNTOS NUMÉRICOS
SUMÁRIO
PÁGINA
1. Teoria
01
2. Resolução de questões
46
3. Questões apresentadas na aula
94
4. Gabarito
115
5. Resumo da aula
Olá!
Nesta SEGUNDA aula do nosso curso, trabalharemos os seguintes
tópicos do seu edital:
Operações com números reais; Sistemas de medidas usuais.
Introduziremos ainda a regra de três simples, para que você
consiga resolver os exercícios. Tenha uma boa aula, e fique à vontade
para me procurar através do fórum disponível na área do aluno!
TEORIA
Para dominarmos as “operações com números reais”, é preciso
conhecermos bem os diversos conjuntos numéricos (naturais, inteiros,
racionais, irracionais e reais), bem como alguns elementos relevantes
(frações,
números
decimais,
números
pares
e
ímpares
etc).
Trabalharemos estes assuntos ao longo desta aula.
1.1 NÚMEROS NATURAIS
Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais
intuitivos, de “contagem natural”. Isto é, são aqueles construídos com os
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algarismos de 0 a 9. O símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos
escrever os seus elementos entre chaves:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,
20, 21, 22…}
As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja,
existem infinitos números naturais.
Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural
propriamente dito (pois não é um número de “contagem natural”). Por
isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos,
isto é, excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…}
Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais:
a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3,
e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número
“n+1”.
b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2
é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o
número “n-1”. Observe que o número natural zero não possui
antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto.
c) Números
consecutivos:
são
números
em
sequência.
Assim,
{2,3,4} são números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n1, n e n+1} são números consecutivos.
d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao
ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par.
e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2,
deixam resto 1.
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Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que:
- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12
+ 6 = 18; 12 – 6 = 6.
- a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.:
13 + 5 = 18; 13 – 5 = 8.
- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado
ímpar. Ex.: 12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7.
- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24.
- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15.
- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado
par: 2 x 3 = 6.
1.2 NÚMEROS INTEIROS
Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos
opostos (negativos). Isto é,
Z = {..., -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11...}
Observem que todos os números Naturais são também Inteiros,
mas nem todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer
que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números
inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama
abaixo explicita esta relação entre N e Z:
P
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A
Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de
números. Vejam que os nomes dos subconjuntos são auto-explicativos:
a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os
números naturais.
b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero
também faz parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo.
c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz parte.
d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz
parte.
1.3 NÚMEROS RACIONAIS
Os números racionais são aqueles que podem ser representados na
forma da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números
que podem ser escritos na forma
(A dividido por B), onde A e B são
números inteiros. Exemplos:
é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número
inteiro 4.
é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número
inteiro 9, ou a divisão de 15 por -9.
73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195
pelo número 1.
Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer
número natural é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro
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é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da
divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma
(A
dividido por 1, onde A é um número inteiro qualquer). Veja se este novo
diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz
sentido para você:
O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito
na forma , concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional
na forma , o denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque
a divisão de um número por zero é impossível (exceto
0
, cujo valor é
0
indeterminado).
No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de
números:
a) Frações. Ex.: , ,
etc.
b) Números decimais. Ex.: 1,25
Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um
número definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também
poderia ser escrito na forma . Neste caso, poderíamos representálo como
, ou mesmo simplificá-lo para .
c) Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente
indica que o algarismo 3 repete-se indefinidamente).
P
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(a barra
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As dízimas periódicas são consideradas racionais porque
também podem ser escritas na forma
. O número deste exemplo
poderia ser escrito na forma . Existem métodos que nos permitem
encontrar qual fração
é equivalente a uma determinada dízima
periódica. Outro exemplo de dízima periódica: 1,352525252... ou
.
Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão
origem a dízimas periódicas. Divida 1 por 3 e você obterá 0,333... , ou
simplesmente 0,3 . Assim, dizemos que a “fração geratriz” da dízima 0,3 é
igual a
1
. Existem métodos que nos permitem, a partir de uma dízima
3
periódica, chegar até a fração que deu origem a ela.
Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a
vírgula. Isto é o caso em:
0,333...
0,353535...
0,215215215...
Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início
da repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo:
0,1333...
0,04353535...
0,327215215215...
Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa
logo após a vírgula, para a seguir estender o método aos casos onde
existem números entre a vírgula e o início da repetição.
Casos onde a repetição começa logo após a vírgula:
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Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos de X a fração
que dá origem a esta dízima. Ou seja,
X = 0,333...
Como a repetição é formada por um único número (3), se
multiplicarmos esta dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado
da vírgula, o primeiro número da repetição:
10X = 10 x 0,333... = 3,333...
Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte subtração:
10X – X = 3,333... – 0,333...
Os dois números à direita da igualdade acima possuem infinitas
casas decimais idênticas. Portanto, o resultado desta subtração é:
9X = 3
X
3 1
9 3
Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é
1
X .
3
Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da
dízima 0,216216216... . Repare que temos a repetição de 216, e não há
nenhuma casa separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de
X a fração geratriz da dízima, temos:
X = 0,216216216...
Para passar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula,
precisamos multiplicar X por 1000:
1000X = 216,216216216...
Efetuando a subtração 1000X – X podemos obter a fração geratriz:
1000X – X = 216,216216216... – 0,216216216...
P
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999X = 216
X
216 24
999 111
Assim, a geratriz de 0, 216 é a fração
24
.
111
Casos onde existem números entre a vírgula e o início da
repetição:
Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1,327215215215...
. Veja que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e
o início da repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de
X a fração geratriz, temos:
X = 1,327215215215...
Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula,
apenas os termos que se repetem:
1000X = 1327,215215215...
E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a primeira
repetição “215” para o lado esquerdo da vírgula:
1000000X = 1327215,215215215...
Assim, podemos efetuar a seguinte subtração:
1000000X – 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215...
999000X = 1327215 – 1327
999000X = 1325888
X
1325888
999000
Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1,327215215215... .
Poderíamos ainda simplificá-la, se quiséssemos.
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1.3.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes
números são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em
detalhes cada uma delas.
a) Adição:
A adição de dois números é dada pela soma destes dois números.
Isto é, a adição de 15 e 6 é:
15 + 6 = 21
Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois
números? Vamos exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente,
você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela
direita (casa das unidades):
728
+46
A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando
8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades
(4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a
próxima soma:
1
728
+46
4
Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e
adicionar também o número que veio da soma anterior (1). Assim,
obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado:
728
+46
74
P
A
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A
L
A
Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728.
Como o segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos
simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo:
728
+46
774
Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a
próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de
adição.
- propriedade comutativa: dizemos que a adição de números racionais
possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a
soma. Isto é, 728 + 46 é igual a 46 + 728.
- propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números racionais,
podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em
qualquer
ordem,
que
obteremos
o
mesmo
resultado.
Logo,
esta
propriedade está presente na adição. Ex.:
2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14.
- elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição,
pois qualquer número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 =
2; 45 + 0 = 45.
- propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de
dois números racionais SEMPRE gera outro número racionais. Ex: a soma
dos números racionais 2 e 5 gera o número racional 7 (2 + 5 = 7).
b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de
um deles, o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5
unidades de 9, restando 4 unidades:
P
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L
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9–5=4
Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a
subtração de números racionais (veja que, por simplicidade, estamos
usando números inteiros nos exemplos, que não deixam de ser também
racionais). Vamos efetuar a operação 365 – 97:
365
- 97
Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do
outro, alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a
subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não
podemos subtrair 5 – 7. Devemos, portanto, “pegar” uma unidade da
casa das dezenas de 365. Levando este valor para a casa das unidades,
temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim
podemos subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado:
365
- 97
8
Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5
– 9, e não 6 – 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração
acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade
da casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6.
Vamos anotar este resultado:
365
- 97
68
Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos
mais um 3 na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma
P
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unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta
levarmos este 2 para o resultado:
365
- 97
268
E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como
97 é menor que 365, devemos:
- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97;
- colocar o sinal negativo (-) no resultado.
Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades
da operação de subtração.
- propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números racionais
NÃO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA
o resultado. Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268.
- propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois
(A – B) – C pode ser diferente de (C – B) – A
- elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao
subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado.
Ex.: 2 – 0 = 2.
- propriedade do fechamento: a subtração de números racionais possui
essa propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE
gera outro número racional.
- elemento oposto: para todo número racional A, existe também o seu
oposto, com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e
P
A
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-5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é
aquele número que, somado a A, resulta em zero:
A + (-A) = 0
c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de
adições. Por exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número
15 três vezes (15 + 15 + 15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 +
3 + 3 + ... + 3). Vejamos como efetuar uma multiplicação:
57
x 13
Novamente
alinhamos
os
números
pela
direita.
Começamos
multiplicando os números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o
algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das
dezenas (2) para a próxima operação:
2
57
x 13
1
Agora devemos multiplicar os números das unidades do segundo
número (3) pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15.
Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio
da operação anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos:
57
x 13
171
Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo
número (1) pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 =
7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos
P
A
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A
L
A
colocá-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1).
Veja:
57
x 13
171
7
A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo
número (1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 =
5. Assim, temos:
57
x 13
171
57
Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo:
57
x 13
171
570
741
Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do
57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57)
surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13).
Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2
zeros, e assim por diante.
É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de
números. Você deve se lembrar que:
- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo.
Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25.
- a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo.
Ex.: 5x(-5) = -25.
P
A
L
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A
L
A
Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (13), deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13)
deveríamos obter 741.
Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação:
- propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A
x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5
x 3 = 15).
- propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois
(A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x
3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24.
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação,
pois ao multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá
inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5.
- propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade,
pois a multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número
racional (ex.: 5 x 7 = 35, que é racional).
-
propriedade
distributiva:
apenas
a
multiplicação
propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que:
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC)
Exemplificando:
5x(3+7) = 5x(10) = 50
ou, usando a propriedade:
5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50
P
A
L
possui
essa
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A
L
A
d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A
em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao
dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No
caso, 10 2 5 . Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso
abaixo, onde dividimos 715 por 18:
715 |18
Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido)
e o 18 de divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor
possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da
esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71).
Já 18x3 = 54. Assim, temos:
715 |18
3
Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a
seguir efetuar a subtração:
715 |18
-54
3
17
Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5):
715 |18
-54
3
175
Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no
resultado, à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo
do 175, para efetuarmos a subtração:
715 |18
-54
P
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39
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A
175
-162
13
Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto,
encerramos a divisão. Obtivemos o
quociente (resultado) 39 e o resto
igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um
resto.
Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor
(18) pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é:
715 = 18 x 39 + 13
Como regra, podemos dizer que:
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto
As regras de sinais na divisão de números racionais são as
mesmas da multiplicação:
- a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo.
- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo.
Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2),
deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos
obter 5.
Vejamos as principais propriedades da operação de divisão:
- propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A
/ B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5.
P
A
L
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L
A
constantemente presentes na resolução de exercícios, motivo pelo qual é
essencial lembrar como efetuamos cada operação com elas: soma,
subtração, multiplicação e divisão.
a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o
mesmo denominador, isto é, com um denominador comum. Este
denominador
é,
simplesmente,
um
múltiplo
comum
entre
os
denominadores das frações originais. Falaremos sobre múltiplos adiante,
de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos entender isto com o
exemplo abaixo:
1 3
6 8
Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois
8x3 = 24).
Para trocar o denominador da fração
1
6
para 24, é preciso
multiplicar o denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o
numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto,
Já para trocar o denominador da fração
1 4
.
6 24
3
para 24, é preciso
8
multiplicar o denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o
numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto,
3 9
.
8 24
Agora sim podemos efetuar a soma:
1 3 4
9 4 9 13
6 8 24 24
24
24
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo
numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da
outra. Veja nosso exemplo:
1 3 1 3 3
6 8 6 8 48
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da
segunda. Veja isso em nosso exemplo:
1
6 1 3 18 8
3 6 8 6 3 18
8
*** Dica importantíssima: trabalhando com frações, normalmente
podemos substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como:
- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente
- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é
1
1000 !
3
2
25 .
7
- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de
mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente
1
(700 600) .
4
- por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a
resposta é dada pela expressão
5
(X Y ) .
9
Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao
longo dos exercícios!
1.3.3 Operações com números decimais
Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da
divisão não-exata de dois números inteiros. São os números que possuem
“casas após a vírgula”. A manipulação deles é essencial para a resolução
de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los,
subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes
dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes.
a) Adição de números decimais:
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição
comum. Isto é:
- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a
vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma
embaixo da outra
- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita
para a esquerda.
- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser
transferidas para a próxima adição (das casas logo à esquerda).
Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os
números um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra,
temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical:
13,47
+
2,9
Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo
acima da casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa
decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal
do segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do
7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, basta começar a somar as
casas
correspondentes,
começando
pelas
da
direita,
anotando
o
resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a
dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com
isso, temos:
13,47
+
2,9
16,37
b) Subtração de números decimais:
Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro,
com a vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita
para a esquerda. Vejamos:
13,47
-
2,9
10,57
Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4
– 9 foi preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3)
e “transformá-la” em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14
– 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos
que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do “3” já havia sido utilizada.
c) Multiplicação de números decimais:
Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum,
com duas observações:
- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na
subtração, isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro.
- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número
de casas decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você
saberá posicionar a vírgula.
Vejamos o nosso exemplo:
13,47
x
2,9
12123
+
26940
39,063
Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação
de 13,47 por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por
2. Nesta linha há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à
frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se 39063. E,
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
lembrando
que
existem
3
casas
decimais
nos
números
sendo
multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas
decimais no resultado, o que leva ao número 39,063.
d) Divisão de números decimais:
Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente
multiplicar ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de
10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais
presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente.
Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o
número que possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2
casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100,
de modo a retirar ambas as casas decimais:
3,5 x 100 = 350
0,25 x 100 = 25
Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer,
tendo como resultado o número 14.
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi
visto aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em
seguida.
a) 2,25 + 1,7
b) 2,25 – 1,7
c) 2,25 x 1,7
d) 2,25 / 1,5
e) 0,898 + 1,12
f) 0,898 – 1,12
g) 0,898 x 1,12
h) 0,898 / 0,01
Respostas:
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
a) 3,95
b) 0,55
c) 3,825
d) 1,5
e) 2,018
f) -0,222
g) 1,00576
h) 89,8
1.3.4 REPRESENTAÇÃO NA RETA
Veja abaixo a reta numérica, onde podemos representar todos os
números racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce
infinitamente para ambos os lados:
É possível localizar a posição exata de um número racional na reta
numérica, ainda que ele seja fracionário. Por exemplo, vamos localizar o
3
, ou 0,75 (na forma decimal). Na reta numérica, basta
4
número
dividirmos o espaço entre 0 e 1 em quatro partes, e colocar o número
3
ao final da terceira delas:
4
Ainda observando a reta numérica acima, observe que a distância
do 0 até o 1 é a mesma distância do 0 até o -1. Essa distância mede “1
unidade”. Da mesma forma, a distância de 0 a 2 é a mesma distância de
0 a -2. Aqui a distância é de “2 unidades”.
P
A
L
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P
A
L
A
Chamamos de módulo de um número a distância entre esse número
e o zero. Utilizamos o símbolo |A| para representar o módulo do número
A. Assim, como vimos acima, podemos dizer que:
|1| = 1
|-1| = 1
|2| = |-2| = 2
Repare que, se o número A é positivo (como no caso do 2), o
módulo é ele mesmo. Se o número A é negativo (como no caso do -2), o
módulo é o seu oposto (isto é, -(-2) = 2). De maneira mais formal,
podemos dizer que:
A, se A 0
| A |
A, se A<0
1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS
Os Números Irracionais são aqueles que, ao
contrário
dos
Racionais, não podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não
podem ser escritos na forma
(onde A e B são números inteiros). Isto
porque esses números são formados por uma sequência infinita de
algarismos.
Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos
deparamos com um número irracional:
(as reticências indicam que este número é composto por infinitos
algarismos)
Da mesma forma, o conhecido número
(“pi”), muito utilizado na
trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como
em uma dízima periódica, o que faz dele um número irracional:
P
A
L
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P
A
L
A
No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence
aos Números Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto
pertence aos Números Irracionais e Reais.
1.5.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
As propriedades das operações com números reais são as mesmas
já vistas para os racionais. Falaremos a seguir sobre Potenciação e
Radiciação, que são operações adicionais que podemos efetuar com os
números reais.
1.5.2 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS NA RETA
Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos
(racionais e irracionais), sabemos que alguns números reais podem ser
posicionados precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não
podem ser localizados exatamente (os irracionais).
1.6 POTENCIAÇÃO
Observe o exemplo abaixo:
53 5 5 5 125
(lê-se: “cinco elevado à terceira potência é igual a cinco vezes cinco vezes
cinco”)
Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a
uma determinada potência “n” é simplesmente multiplicar X por ele
mesmo, “n” vezes. Outro exemplo, para não deixar dúvida:
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
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P
A
L
A
24 2 2 2 2 16
(“dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicado por ele mesmo 4
vezes”)
Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma
base (número X) elevada a um expoente (“n”). Entendido o conceito
básico, podemos analisar algumas propriedades das potências. Essas
propriedades facilitarão bastante o manuseio de equações que envolvam
potências:
a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1.
Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos
dizer que:
50 1
( 25)0 1
0,30 1
b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero.
Isso é bem lógico, pois zero elevado a “n” significa zero multiplicado
por ele mesmo, “n” vezes. Ex.:
03 0 0 0 0
c) Multiplicação de potências de mesma base (X):
A questão aqui é como multiplicar 4 2 43 . Normalmente você faria
assim:
4 2 43 (4 4) (4 4 4) 1024
Veja que basta somar os expoentes (“n”), uma vez que as duas
potências têm a mesma base 4:
4 2 43 42 3 45 1024
d) Divisão de potências de mesma base (X):
Como você faria a divisão
45
? Provavelmente seria assim:
43
45 4 4 4 4 4
4 4 16
43
4 4 4
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes (“n”), pois o
numerador e denominador da divisão tem a base 4. Veja:
45
45 3 42 16
3
4
Analogamente, observe que
1
43 . Isto porque:
3
4
1 40
403 43
43 4 3
O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador
para o denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente
trocando o sinal da potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão
43 45 . Temos duas formas:
Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base,
somando os expoentes:
4 3 45 4( 3)5 42 16
Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 43 para o
denominador e, a seguir, fazendo a divisão de potências de mesma
base:
4 3 4 5
45
453 42 16
3
4
e) Potência de potência:
A questão agora é resolver (22 )3 . Você poderia inicialmente elevar 2
à segunda potência (isto é, ao quadrado), e a seguir elevar o resultado à
terceira potência (ao cubo):
(22 )3 (4)3 64
Entretanto,
veja
que
basta
você
elevar
multiplicação entre os dois expoentes:
(22 )3 223 26 64
f) Raiz de potência:
P
A
L
2
ao
resultado
da
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
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P
A
L
A
Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo,
basta usar as propriedades que vimos acima. Veja exemplos:
1
1
0,001
3
10
1000
1
1
6
0,000001
10
1000000
103
106
i) Potência de base negativa:
Quando a base da potência é um número negativo, devemos
analisar qual será o sinal do resultado. Por ex.: (-2)3 = 8 ou -8 ?
Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado é
positivo. Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste caso,
como 3 é ímpar, o resultado correto é -8. Você pode visualizar isso
melhor fazendo a conta em etapas:
(-2)3 = (-2) (-2) (-2) (4) (-2) 8
Veja um exemplo com expoente par:
(-2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) (4) (4) 16
j) Fração elevada a um expoente:
Uma fração elevada a um expoente é igual a outra fração onde
numerador e denominador estão elevados àquele expoente. Veja:
3
23
2
33
3
Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas:
3
2 2 2 2 2 2 23
8
2
3
3 3 3 333 3
27
3
1.7 RADICIAÇÃO
Como já disse acima, a radiciação é uma operação inversa à
potenciação. Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é 3, isso significa
que 3 elevado ao quadrado será igual a 9. A operação de radiciação pode
P
A
L
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P
A
L
A
numérica, basta resolvê-la no momento que você resolveria aquela
operação de divisão.
1.9 REGRA DE TRÊS SIMPLES
A regra de três simples é uma ferramenta essencial na resolução de
várias questões. Apesar de a aula 03 ser dedicada ao estudo da
proporcionalidade, vamos neste momento relembrar os conceitos mais
básicos para já começar a resolver exercícios requeiram este assunto.
Imagine
uma
empresa
onde
o
salário
dos
profissionais
é
diretamente proporcional ao tempo de serviço. Isso quer dizer que, à
medida que o tempo de serviço aumenta, o salário do profissional
também aumenta, e vice-versa. Esse crescimento ocorre de maneira
proporcional, isto é, de maneira a manter a mesma razão entre o salário
e o tempo trabalhado. Assim, se S1 é o salário de um empregado e T1 é o
tempo trabalhado por ele atualmente, e S2 é o salário de outro
empregado que já trabalhou pelo período T2.
Neste caso, podemos montar uma regra de três simples para
relacionar essas grandezas:
Tempo...........................................Salário
T1
S1
T2
S2
Uma vez montada essa regra de três, basta usar a “multiplicação
cruzada”, isto é, multiplicar os termos das diagonais para obter a seguinte
igualdade:
T 1 S 2 T 2 S1
Vamos usar números para entender melhor esse exemplo: nessa
empresa
onde
salários
e
tempos
de
serviço
são
diretamente
proporcionais, João tem 5 anos de serviço e ganha R$1000 por mês. Se o
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
salário de Kléber é de R$1500 por mês, há quanto tempo ele trabalha
nesta empresa?
Temos duas grandezas envolvidas (tempo trabalhado e salário). Para
encontrar o tempo trabalhado por Kléber (que chamaremos de T),
montamos a seguinte regra de três:
Tempo (anos)...........................................Salário (reais)
5
1000
T
1500
Assim, basta multiplicar os termos de uma diagonal (5 x 1500) e
igualar à multiplicação dos termos da outra diagonal (T x 1000):
5 1500 T 1000
7500 T 1000
T
7500
7,5
1000
Portanto, Kléber trabalha na empresa há 7,5 anos.
1.10 SISTEMAS DE MEDIDAS USUAIS
Uma unidade de medida é uma quantidade de uma grandeza física
que é usada como um “padrão” para a medida de outras quantidades da
mesma grandeza. Por exemplo, o “metro” é uma quantidade específica da
grandeza física “comprimento”, sendo utilizado para medir o comprimento
de outros corpos. Para cada grandeza física, o Sistema Internacional de
Unidades define uma unidade padrão de medida.
Para efetuar os cálculos de comprimento, área, volume, massa e
tempo que faremos ao longo desta e de outras aulas, você precisa
conhecer:
- qual a unidade padrão de medida daquela grandeza no Sistema
Internacional de Unidades;
- quais os principais múltiplos e submúltiplos da unidade padrão de
medida;
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
para obter o valor de 1 tonelada em gramas, basta multiplicar 1.000 por
10 três vezes seguidas (de kg para hg, de hg para dag, e de dag para g),
chegando a 1.000.000 gramas.
Exercício de fixação – Unidades) Efetue as conversões de unidades
solicitadas:
a) 5litros para m3
b) 10dam em cm
c) 40hm2 em km2
d) 2 dias em minutos
e) 36 horas em dias
f) 150 milissegundos em segundos
g) 20 cm3 em m3
h) 15dag em hg
Respostas:
a) 0,005m3
b) 10000cm
c) 0,40km2
d) 2880minutos
e) 1,5dias
f) 0,150s
g) 0,000020 cm3
h) 1,5hg
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
RESOLUÇÃO DE QUESTÕES
1. FCC – CETAM – 2014) O número que corresponde ao resultado da
expressão numérica: (3 0,1+ 4 0,01+ 5 0,001) ÷ (69 ÷ 100) é igual a
(A) 50.
(B) 5.
(C) 0,05.
(D) 2.
(E) 0,5
RESOLUÇÃO:
Resolvendo essa expressão:
(3 0,1+ 4 0,01+ 5 0,001) ÷ (69 ÷ 100) =
(0,3+ 0,04+ 0,005) ÷ (0,69) =
(0,345) ÷ (0,69) =
345 / 690 =
5 x 69 / 690 =
5 x 1 / 10 =
5 / 10 =
0,5
RESPOSTA: E
2. FCC – CETAM – 2014) Analise as três afirmações relativas a
operações com inteiros não negativos:
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a
7.
P
A
L
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P
A
L
A
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao
divisor, o maior resto é igual a 7.
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três
algarismos terá, no máximo, 7 algarismos.
Está correto o que se afirma APENAS em
(A) I e II.
(B) I e III.
(C) II e III.
(D) II.
(E) III.
RESOLUÇÃO:
Vamos avaliar cada uma das afirmações. Vale lembrar que estamos
tratando apenas de números inteiros não negativos, ou seja: 0, 1, 2, 3,
4, ...
Note que este é simplesmente o conjunto dos números naturais.
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a
7.
ERRADO, pois o resto sempre deve ser menor que o divisor.
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao
divisor, o maior resto é igual a 7.
Lembrando que:
Dividendo = divisor x quociente + resto,
Como o divisor é igual ao quociente, podemos escrever:
Dividendo = divisor x divisor + resto
88 = divisor x divisor + resto
Veja que o divisor por igual a 8, teríamos:
88 = 8 x 8 + resto
88 = 64 + resto
resto = 22,
P
A
L
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P
A
L
A
o que é impossível, pois o resto deve ser menor que o divisor.
Por outro lado, se tivermos divisor igual a 9, ficamos com:
88 = 9 x 9 + resto
88 = 81 + resto
7 = resto
Veja que, de fato, o maior resto é 7. Item CORRETO.
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três
algarismos terá, no máximo, 7 algarismos.
Para verificarmos essa afirmação, basta multiplicar o maior número
de 4 algarismos (9.999) pelo maior número de três algarismos (999):
9.999 x 999 =
9.999 x (1000 - 1) =
9999x1000 - 9999x1 =
9.999.000 - 9.999 =
9.999.000 - 10.000 + 1 =
9.989.000 + 1 =
9.989.001
Veja que esse número tem 7 algarismos,
o que confirma a
afirmação deste item. CORRETO.
RESPOSTA: C
3. FCC – CETAM – 2014) O quociente entre a menor e a maior fração do
1 2 3 5 1
conjunto C = , , , , , nessa ordem, é igual
2 5 4 6 3
(A) ao triplo de uma fração pertencente à C.
(B) à metade de uma fração pertencente à C.
(C) ao dobro de uma fração pertencente à C.
(D) a uma fração pertencente à C.
P
A
L
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P
A
L
A
(E) à terça parte de uma fração pertencente à C.
RESOLUÇÃO:
A menor fração do conjunto é 1/3, e a maior é 5/6. O quociente é:
(1/3) / (5/6) =
(1/3) x (6/5) =
6/15 =
2/5
Veja que 2/5 é uma fração que pertence ao conjunto C.
RESPOSTA: D
4. FCC – SABESP – 2014) Somando-se certo número positivo x ao
numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da
fração
(A)
52
25
(B)
13
6
(C)
7
3
(D)
5
2
(E)
47
23
2
obtém-se como resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a
3
RESOLUÇÃO:
Temos:
2 x
5
3 x
Veja que o termo (3 – x) está DIVIDINDO. Ele pode ser transferido
para o outro lado da igualdade invertendo-se esta operação, ou seja,
MULTIPLICANDO. Ficamos com:
P
A
L
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P
A
L
A
2 + x = 5 . (3 – x)
2 + x = 15 – 5x
x + 5x = 15 – 2
6x = 13
x = 13/6
RESPOSTA: B
5. FCC – SABESP – 2014) A propaganda de uma tinta para paredes
anuncia que uma lata de 3,6 litros de tinta é suficiente para fazer a
pintura de uma superfície de 120 m². Supondo verdadeira a informação
da propaganda, a quantidade de tinta, em litros, para fazer a pintura de
50 m² é igual a
(A) 1,2.
(B) 2,4.
(C) 1,5.
(D) 0,5.
(E) 0,36.
RESOLUÇÃO:
Utilizando a informação fornecida podemos montar a seguinte regra
de três:
120 metros quadrados ------------- 3,6 litros de tinta
50 metros quadrados --------------- N litros de tinta
120 x N = 50 x 3,6
N = 1,5 litros
RESPOSTA: C
6. FCC – METRÔ/SP – 2014) O resultado dessa expressão numérica:
2
2
P
A
L
2
22
2 2 2
.
(22 ) 2
2
2
2 2
) (2 )
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
é igual a
(A) 256.
(B) 128.
(C) 64.
(D) 512.
(E) 1.
RESOLUÇÃO:
Vamos utilizar as propriedades das operações com potências para
resolver essa questão. Acompanhe a seguir:
2
22
2
2 )
2 2 2
.
(22 )2
2
22 2
(2 )
4
22 (22 )4
. 4 2
4 2
(2 ) (2 )
216 28
.
28 28
1
2168.
1
28
256
RESPOSTA: A
7. FCC – METRÔ/SP – 2014) Quatro números inteiros serão sorteados.
Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente
deve ser acrescido 17. Se o número sorteado for ímpar, ele deve ser
dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 15. Após
esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados.
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Sabendo que os números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida
ao final é igual a
(A) 87.
(B) 59.
(C) 28.
(D) 65.
(E) 63.
RESOLUÇÃO:
Os números pares sorteados foram 40 e 66. Devemos dividir cada
um deles por 2 e acrescentar 17 unidades no resultado, ficando com:
40/2 + 17 = 37
66/2 + 17 = 50
Os números ímpares sorteados foram 35 e 27.
Os maiores divisores
deles são eles mesmos, ou seja, 35 e 27. Assim, dividindo cada número
por seu maior divisor e subtraindo 15 unidades do resultado,
ficamos
com:
35 / 35 - 15 = -14
27 / 27 - 15 = -14
Assim, a soma obtida ao final é igual a:
37 + 50 - 14 - 14 = 59
RESPOSTA: B
8. FCC – METRÔ/SP – 2014) Se P e Q são números distintos do
2 3
9
conjunto , , , então o maior valor possível de P−Q é:
20 3 5
(A)
3
.
20
(B)
13
.
60
(C)
P
A
21
.
20
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
(D)
(E)
19
.
15
3
.
10
RESOLUÇÃO:
Para que uma subtração do tipo P - Q tenha o maior valor possível,
é preciso que P
possível.
o maior número possível, e Q
seja o menor número
Observe que o conjunto é formado apenas por números
negativos. Assim, o maior deles é -9/20, que é o "menos negativo" (veja
que ele é o único onde o numerador é menor do que a metade do
denominador).
Para saber qual o número é menor, -2/3 ou -3/5,
podemos escrevê-los na forma decimal:
-2/3 = - 0,666...
-3/5 = -0,6
Assim,
observe que o menor desses números é -2/3 (ele é o "mais
negativo"). Portanto, temos a subtração:
P-Q=
-9/20 - (-2/3) =
-9/20 + 2/3 =
-27/60 + 40/60 =
13/60
RESPOSTA: B
9. FCC – METRÔ/SP – 2014) O resultado da expressão:
4 7 . 4 6 . 4 5 5 8 . 5 7 .5 6
2
é igual a
(A) 144.
(B) − 192.
(C) 0.
(D) − 144.
P
A
L
3
4
2
3
5
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
(E) 192.
RESOLUÇÃO:
Temos:
4 7 . 4 6 . 4 5 5 8 . 5 7 . 5 6
2
3
4
2
3
3 . 2 . 1 3 . 2 . 1
2
3
4
2
3
5
5
9. 8 .1 (9). 8 . 1
72 9.8
72 72
144
RESPOSTA: D
10. FCC – METRÔ/SP – 2014) O algarismo da milhar do resultado da
soma
6+66+666+6666+66666+666666+6666666+66666666+666666666
é igual a
(A) 0.
(B) 6.
(C) 4.
(D) 8.
(E) 7.
RESOLUÇÃO:
Temos a soma:
6
+66
+666
+6.666
+66.666
+666.666
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
+6.666.666
+66.666.666
+666.666.666
Podemos começar esta soma, a partir da casa das unidades
(direita). Somando as casas das unidades, temos 9 x 6 = 54. Deixamos o
4 no resultado, e levamos o 5 para a próxima soma. Somando as casas
das dezenas, temos 8 x 6 = 48. Somando o 5 que veio da operação
anterior, temos 48 + 5 = 53. Deixamos o 3 no resultado e levamos o 5
para a próxima operação. Somando as casas das centenas, temos 7 x 6
= 42. Somando as 5 unidades que vieram da operação anterior, ficamos
com 47.
Deixamos o 7 no resultado e levamos o 4 para a próxima
operação. Somando as casas da milhar, temos 6 x 6 = 36. Somando
com o 4 que veio da operação anterior, temos 36 + 4 = 40. Portanto na
casa da milhar vai ficar um 0, indo o 4 para a próxima operação.
Podemos parar esta soma por aqui, pois chegamos na casa da milhar.
RESPOSTA: A
11. FCC – METRÔ/SP – 2014) A lei de formação de uma sequência de
números é a partir do primeiro termo, um número qualquer diferente de
zero, multiplicá-lo por −4 (quatro negativo) para obter o segundo termo.
O terceiro termo é obtido a partir do segundo termo dividindo-o por 2.
Alternam-se esses cálculos na obtenção dos termos seguintes, assim o 4º
termo é obtido a partir do 3º termo multiplicado por −4 e segue. A soma
dos 13 primeiros termos dessa sequência quando o número inicial for 3
será igual a
(A) 381.
(B) −192.
(C) 48.
(D) −395.
(E) 183.
RESOLUÇÃO:
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Podemos escrever esta sequência de números utilizando a regra
fornecida pelo enunciado, ou seja, alternando uma multiplicação por -4
com uma divisão por 2.
Dessa forma,
partindo do número 3,
os 13
primeiros termos são:
3, -12, -6, 24, 12, -48, -24, 96, 48, -192, -96, 384, 192
Somando esses termos, veja que vários deles se anulam:
3 + (-12) + (-6) + 24 + 12 + (-48) + (-24) + 96 + 48 +(-192) + (-96) +
384 + 192 =
3 + (-6) + 384 =
381
RESPOSTA: A
12. FCC – TRF/3ª – 2014) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se
fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na
segunda, 16 grãos na terceira, 64 grãos na quarta, 256 na quinta, e
assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser colocado
na 64a casa desse tabuleiro seria igual a
(A) 2256.
(B) 264.
(C) 2126.
(D) 266.
(E) 2128.
RESOLUÇÃO:
Veja que na primeira casa colocamos 40 grãos (ou seja, 1), na
segunda casa colocamos 41 grãos (isto é, 4), na terceira 42 grãos (ou 16),
na quarta 43 grãos (ou 64), e assim por diante. Na 64ª casa colocaremos,
portanto, 463 grãos, ou:
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
463 = (22)63 = 22 x 63 = 2126
RESPOSTA: C
13. IADES – EBSERH – 2014) Metade de 4/5 é igual a 2/3 de outra
fração. O valor dessa outra fração é:
a) 4/15
b) 8/16
c) 6/5
d) 2/5
e) 3/5
RESOLUÇÃO:
A metade de 4/5 é:
(1/2) x (4/5) = 2/5
Isto é igual a 2/3 da fração “F” que queremos descobrir:
2/5 = (2/3) x F
(2/5) x (3/2) = F
F = 3/5
Resposta: E
14.
CESGRANRIO
–
CEFET/RJ
–
2014)
De
acordo
com
as
recomendações das principais agências de saúde do mundo, uma pessoa
adulta deve consumir, por dia, cerca de 0,8 g de proteína animal para
cada quilograma de sua massa. Isso significa que uma pessoa de 80 kg,
por exemplo, deve consumir diariamente 64 g de proteína animal.
Seguindo essa recomendação, uma pessoa de 65 kg deve consumir 1 kg
de proteína animal em, aproximadamente,
(A) 2 dias
(B) 1 semana
(C) 2 semanas
(D) 20 dias
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
(E) 1 mês
RESOLUÇÃO:
Em um dia, uma pessoa com 65kg deve consumir 65 x 0,8 = 52
gramas de proteína animal. Para consumir 1000 gramas (ou seja, 1kg), o
tempo necessário é:
Dias = 1000g / 52g por dia = 19,23 dias
Portanto, são necessários 20 dias.
RESPOSTA: D
15. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2014) Uma empresa de prestação
de serviço possui um serviço que é cobrado por m2. Para realizar 20 m2
desse serviço, a empresa utiliza os seguintes parâmetros de custo,
descritos no Quadro a seguir.
De acordo com as informações apresentadas, o custo unitário por m2 do
serviço, em reais, é
(A) 79,80
(B) 65,00
(C) 3,99
(D) 3,25
(E) 0,74
RESOLUÇÃO:
Para sabermos o custo de cada um dos empregados e dos materiais
utilizados, precisamos multiplicar a quantidade pelo custo apresentado na
tabela. Assim, ficamos com:
Empregados = 0,5 x 20 + 0,4 x 12 = 14,80 reais
Materiais = 1,5 x 10 + 2,5 x 20 = 65 reais
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Total = 14,80 + 65 = 79,80 reais
Esse é o valor total para 20 metros quadrados. Portanto o custo do
metro quadrado é igual a:
Custo por metro quadrado = 79,80 / 20 = 3,99 reais
RESPOSTA: C
16. CONSULPLAN – PREF. CAMPO VERDE/MT – 2011) Qual das
desigualdades a seguir é verdadeira?
A) 0,2m3 < 200.000ml
B) 10dm2 > 0,2m2
C) 35cm < 340mm
D) 22cm3 > 0,23dm3
E) 15mm2 > 0,13cm2
RESOLUÇÃO:
Vamos avaliar cada alternativa, convertendo o primeiro valor para a
mesma unidade do segundo valor, para então poder comparar.
A) 0,2m3 < 200.000ml
0,2m3 = 0,2 x 1000 litros = 200 litros =
200.000ml. A desigualdade
está incorreta, pois 0,2m3
é igual a
200.000ml, e não menor.
B) 10dm2 > 0,2m2
10dm2 = 10 / 100 m2 = 0,1m2 < 0,2m2
desigualdade incorreta.
C) 35cm < 340mm
incorreto.
P
A
L
35cm = 35 x 10 mm = 350mm > 340mm
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
D) 22cm3 > 0,23dm3 22cm3 = 22 / 1000 dm3 = 0,022dm3 < 0,23dm3
Incorreto.
E) 15mm2 > 0,13cm2 15mm2 = 15 / 100 cm2 = 0,15cm2 > 0,13cm2
correto.
Resposta: E
17. CONSULPLAN – CORREIOS – 2008) Nelson partiu do quilômetro
321 de uma estrada e foi até uma cidade que fica no quilômetro 620
dessa mesma estrada. Dessa cidade, ele voltou até uma fazenda que fica
no quilômetro 452 dessa mesma estrada. Quantos metros Nelson
percorreu?
a) 489m
b) 467.000m
c) 489.000m
d) 4.670m
e) 139.300m
RESOLUÇÃO:
Do quilômetro 321 ao 620 temos:
620 – 321 = 299km
No retorno do 620 para o 452, ele percorreu mais:
620 – 452 = 168km
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Ao todo, Nelson percorreu 299 + 168 = 467km = 460.000 metros.
Resposta: B
18. CONSULPLAN – CORREIOS – 2008 – adaptada) Uma torneira mal
fechada goteja cem vezes a cada 5 minutos. Admitindo-se que todas as
gotas têm a capacidade de 3ml, a quantidade de água que vaza por hora
é:
a) menor que 1 litro.
b) maior que 1 litro.
c) igual a 1 litro.
d) maior que 10 litros.
e) igual a 10 litros.
RESOLUÇÃO:
Em 5 minutos temos 100 gotas de 3ml cada, totalizando um volume
de 100 x 3 = 300ml. Em 1 hora temos 60 minutos, que correspondem a
60 / 5 = 12 intervalos de 5 minutos. Portanto, neste período o vazamento
é de 12 x 300 = 3600ml = 3,6 litros.
Resposta: B
19. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Um programa de computador foi
executado durante 2 horas, 20 minutos e 40 segundos. O tempo total, em
segundos, dessa execução correspondeu a:
A) 5840
B) 6420
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
C) 7280
D) 8440
E) 9260
RESOLUÇÃO:
Sabemos que 2 horas correspondem a 2 x 60 minutos = 120
minutos que, por sua vez, correspondem a 120 x 60 segundos = 7200
segundos.
Já 20 minutos correspondem a 20 x 60 = 1200 segundos.
Assim, 2horas, 20 minutos e 40 segundos correspondem a:
7200 + 1200 + 40 = 8440 segundos
Resposta: D
20. FCC – METRÔ/SP – 2014) Um painel de operação do Metrô
necessita 24 horas diárias de monitoramento. Um turno de trabalho de
Lúcia no monitoramento desse painel é das 22:38 do dia 08/10/2013 até
02:46 do dia 09/10/2013. Durante esse turno de trabalho Lúcia é
obrigada a parar para descanso, sendo substituída por Marisa por 10
minutos. Se a parada de descanso de Lúcia divide seu tempo de trabalho
no monitoramento em duas metades idênticas, então a parada se inicia
no dia 09/10/2013 às
(A) 00:42.
(B) 02:04.
(C) 01:59.
(D) 01:02.
(E) 00:37.
RESOLUÇÃO:
Veja que de 22:38h para 23:00h temos 22 minutos. Temos ainda
mais 3 horas até as 02:00h do dia seguinte. E temos mais 46 minutos
até o final do turno de Lúcia. Assim, turno de Lúcia é formado por:
22 minutos + 3 horas + 46 minutos =
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
22 minutos + 180 minutos + 46 minutos =
248 minutos
Tirando os 10 minutos de descanso,
trabalho.
sobram 238 minutos de
A metade deste tempo ocorre aos 119 minutos.
Portanto,
podemos dizer que o descanso começa 119 minutos após o início do
expediente.
Como 119 minutos é o mesmo que 120 menos 1, e 120
minutos correspondem a 2 horas,
podemos adiantar duas horas em
relação ao início do expediente (chegando a 00:38h)
minuto (chegando a 00:37h),
e retornar um
obtendo assim o momento do início do
descanso.
RESPOSTA: E
21. FCC – TJAP – 2014) Juliano começou a assistir um filme às 20
horas e 35 minutos. A duração do filme era de 148 minutos. Juliano
terminou de assistir às
(A) 22 horas e 58 minutos.
(B) 23 horas e 8 minutos.
(C) 23 horas e 3 minutos.
(D) 22 horas e 53 minutos.
(E) 22 horas e 3 minutos.
RESOLUÇÃO:
Veja que de 20:35h para 21:00 temos 25 minutos. Até as 22:00h
temos mais 60 minutos, totalizando 85 minutos, e até as 23:00 temos
mais 60 minutos, totalizando 145 minutos. Com mais 3 minutos que
faltam para 148 minutos, chegamos a 23:03h.
RESPOSTA: C
22. FGV – BESC – 2004) Quantos mililitros há em um milímetro cúbico?
(A) 103
(B) 1
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
(C) 10−3
(D) 10−6
(E) 10−9
RESOLUÇÃO:
Aqui devemos começar nos lembrando que 1 litro equivale a 1
decímetro cúbico:
1 litro -------------------------- 1dm3
Sabemos também que 1 litro equivale a 1000 mililitros (1000ml).
Fazendo essa substituição na relação acima, temos:
1000ml -------------------------- 1dm3
Por outro lado, 1dm3 equivale
a 1000cm3, que equivale
a
1.000.000mm3. Fazendo essa substituição na relação acima, temos:
1000ml -------------------------- 1000000mm3
ou melhor,
103ml ---------------------106mm3
Igualando essas duas grandezas, temos:
103ml = 106mm3
Como o enunciado pede o equivalente a 1mm3, podemos dividir
ambos os lados da equação acima por 106. Veja:
103 ml 106 mm3
103
106
ml
mm3
106
106
103 ml 1mm3
Portanto, 1mm3 equivale a 10-3ml.
Resposta: C
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
23. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Renata estava organizando
um evento e calculou que seriam necessários 150 copos, de 200 mL, de
suco. No mercado, havia duas marcas diferentes do mesmo suco, sendo
que uma era vendida, em lata de 350 mL, por R$ 3,85 e outra, em
garrafa de 2 L, por R$ 21,00. Renata comprou o suco da marca mais
barata e gastou
(A) R$ 307,00.
(B) R$ 330,00.
(C) R$ 326,00.
(D) R$ 315,00.
(E) R$ 300,00.
RESOLUÇÃO:
Podemos calcular o preço de um litro de cada suco usando regras
de três simples:
- suco em lata:
0,350 litro -------------- 3,85 reais
1 litro --------------------- P
P x 0,350 = 1 x 3,85
P = 11 reais
- suco em garrafa:
2 litros -------------- 21 reais
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
1 litro --------------------- P
P x 2 = 1 x 21
P = 10,50 reais
Portanto, o suco mais barato é aquele em garrafa. O volume
necessário é de 150 copos de 200mL, ou seja, de 0,2 litros, totalizando:
Volume = 150 x 0,2 = 30 litros
Como 1 litro custa 10,50 reais, então 30 litros custam 30 x 10,50 =
315 reais.
RESPOSTA: D
24. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) De um trajeto, percorri
um terço de skate, três oitavos de bicicleta, um quarto de patins e os
últimos 100 metros a pé. O trajeto todo percorrido tem
(A) 2 km.
(B) 2,1 km.
(C) 2,2 km.
(D) 2,3 km.
(E) 2,4 km.
RESOLUÇÃO:
Chamemos de T o tamanho do trajeto. Um terço de T, ou seja,
foram percorridos de skate. Da mesma forma,
bicicleta,
P
A
L
1
T
3
3
T foram percorridos de
8
1
T foram percorridos de patins. Até aqui temos:
4
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
1
3
1
T T T
3
8
4
Para efetuarmos esta soma, precisamos calcular um denominador
comum, que deve ser um múltiplo de 3, 8 e 4. Veja que 24 é um múltiplo
desses três números. Assim, temos:
1
3
1
T T T
3
8
4
8
9
6
T T T
24
24
24
896
T
24
23
T
24
Veja que foram percorridos
T
23
T até aqui. Para completar T, falta:
24
23
24
23
1
T T T T
24
24
24
24
Repare que este restante (
1
T ) corresponde aos 100 metros finais.
24
Portanto,
1
T 100m
24
T 24 100m 2400m
T = 2,4km
Resposta: E
25. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) As temperaturas da
semana passada, em Roma, foram anotadas na tabela a seguir.
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
* Saldo de gols é a diferença entre os gols marcados e sofridos por uma
equipe.
(A) – 6 gols.
(B) – 7 gols.
(C) – 8 gols.
(D) – 9 gols.
(E) – 10 gols.
RESOLUÇÃO:
Como foi dito, a equipe tinha um saldo de – 6 gols. Na 11.ª rodada,
essa equipe ganhou de 3 x 1. Assim, o número de gols marcados pela
equipe aumentou em 3 (o que aumenta o saldo em 3 gols), mas o
número de gols sofridos aumentou em 1 (o que diminui o saldo em 1 gol).
Após esta rodada, o saldo passou a ser de:
-6 + 3 – 1 = -4 gols
Na 12.ª rodada, ela perdeu por 4 x 0 e na 13.ª rodada, ganhou de 2
x 1. Somando essas duas rodadas, a equipe marcou 2 gols (na vitória da
13ª rodada), o que aumenta o saldo, e sofreu 5 gols (4 na 12ª e 1 na 13ª
rodadas), o que reduz o saldo. Assim, o saldo de gols passou a ser:
-4 + 2 – 5 = -7 gols
Assim, ao final da 13.ª rodada, o saldo de gols dessa equipe era de
-7 gols.
Resposta: B
27. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) Ao caminhar, cada passo
de João tem 80cm, e os de seu filho Jonas, 60 cm. Caminhando juntos,
após percorrerem 2,4 km, o número de passos que Jonas deu a mais que
seu pai João foi
(A) 100.
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
(B) 400.
(C) 800.
(D) 1 000.
(E) 1 200.
RESOLUÇÃO:
Primeiramente, podemos escrever os tamanhos dos passos em
metros, bem como a distância total. É essencial trabalhar sempre com
uma única unidade de comprimento!
Os passos de João e Jonas medem, respectivamente, 0,80m e
0,60m. E a distância total vale 2400m. Portanto, o número de passos de
João é:
Passos de João = 2400 / 0,80 = 24000 / 8 = 3000 passos
E o de Jonas é:
Passos de Jonas = 2400 / 0,60 = 24000 / 6 = 4000 passos
Portanto, Jonas deu 4000 – 3000 = 1000 passos a mais do que seu
pai.
Resposta: D
28. VUNESP – SEAP/SP – 2012) Dona Marta fez 1 litro de suco com 12
laranjas. Deu 250 mL de suco para sua filha e o restante guardou na
geladeira. Pode-se afirmar que o suco guardado na geladeira corresponde
a
(A) 3 laranjas.
(B) 5 laranjas.
(C) 7 laranjas.
(D) 9 laranjas.
(E) 11 laranjas.
RESOLUÇÃO:
Veja que 250mL correspondem a 0,25 litro. Portanto, após dar esta
quantidade de suco para a filha, Marta guardou na geladeira:
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
1 – 0,25 = 0,75 litro de suco
Sabemos que 12 laranjas correspondem a 1 litro de suco. Podemos
fazer uma regra de três simples para saber quantas laranjas (L)
correspondem a 0,75 litro:
1 litro ---------------------- 12 laranjas
0,75 litro------------------- L laranjas
Efetuando a multiplicação cruzada, temos:
1xL = 0,75 x 12
L = 9 laranjas
Resposta: D
29. VUNESP – SEAP/SP – 2012) Valdomiro cronometrou as voltas que
correu em uma pista de 400 m e anotou os tempos na tabela a seguir.
Pode-se afirmar que o tempo médio dessas quatro voltas foi, em
segundos, de
(A) 80.
(B) 82.
(C) 84.
(D) 86.
(E) 88.
RESOLUÇÃO:
Sabemos que 1 minuto corresponde a 60 segundos. Assim, os
tempos das voltas foram 60+15, 60+18, 60+23 e 60+24 segundos, isto
é, 75s, 78s, 83s e 84s.
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
O tempo médio de uma volta é dado pela soma do tempo das 4
voltas, dividido pelo número de voltas (4):
Média
75 78 83 84 320
80 s
4
4
Resposta: A
30. VUNESP – SAP/SP – 2012) Uma nova penitenciária foi projetada
para acomodar 400 detentos em duas alas, sendo que a capacidade da
ala maior corresponde a 5/3 da capacidade da ala menor. A ala maior foi
projetada para acomodar
(A) 150 detentos.
(B) 180 detentos.
(C) 240 detentos.
(D) 250 detentos.
(E) 280 detentos.
RESOLUÇÃO:
Seja m a quantidade de detentos da ala menor, e M a da ala maior.
Como a capacidade da ala maior corresponde a 5/3 da capacidade da ala
menor, podemos dizer que:
Ala maior = 5/3 da ala menor
5
M m
3
Como o total de detentos é igual a 400, podemos dizer que:
M + m = 400
Como já vimos que M é igual a
substituição na equação acima:
P
A
L
5
m , podemos efetuar esta
3
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
5
m m 400
3
5
3
m m 400
3
3
8
m 400
3
3
m 400 150detentos
8
Sabendo isso, podemos calcular o número de detentos da ala
maior:
M + m = 400
M + 150 = 400
M = 400 – 150 = 250 detentos
Resposta: D
31. VUNESP – SAP/SP – 2012) Quatro agentes penitenciários fizeram
um determinado número total de horas extras no último mês. Sabe-se
que Luís fez 1/5 desse total, que Mário fez o triplo de Luís, que João fez
1/3 do que Luís fez e que Otávio fez 5 horas extras. Pode-se concluir,
então, que o número de horas extras que Mário fez
nesse mês foi
(A) 2,5.
(B) 7,5.
(C) 15,5.
(D) 22,5.
(E) 37,5.
RESOLUÇÃO:
Seja H o total de horas extras efetuadas. Assim, Luis fez
1
H . Mário
5
1
fez o triplo de Luis, ou seja, 3 H . João fez 1/3 do que Luis fez, ou seja,
5
João fez
P
A
1 1
H . Até aqui temos:
3 5
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
1
1
1 1
H 3 H H
5
5
3 5
1
3
1
H H H
5
5
15
3
9
1
H H H
15
15
15
3 9 1
H
15
13
H
15
Faltam ainda:
H
13
15
13
2
H H H H
15
15
15
15
Este restante é justamente o número de horas extras de Otávio, ou
seja,
2
H 5
15
H 5
15
37, 5
2
1
Mário fez 3 H , ou seja:
5
1
Horas extras de Mário = 3 37, 5 22,5horas
5
Resposta: D
32. VUNESP – Pref. São José dos Campos – 2012) Um produto de
beleza é vendido em 3 tipos de frascos: 20 mL, 100 mL e 250 mL. Em
três dias, foram vendidos um total de 45 frascos, totalizando 5 400 mL.
Alguns dados dessa venda estão registrados na tabela seguinte:
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Os números que faltam nessa tabela, em relação aos frascos de 100 mL e
250 mL, respectivamente, são
(A) 6 e 6.
(B) 5 e 7.
(C) 4 e 8.
(D) 3 e 9.
(E) 2 e 10.
RESOLUÇÃO:
Sejam X o número de frascos de 100mL vendidos na quarta-feira, e
Y o número de frascos de 250mL vendidos na segunda-feira.
Considerando apenas os números apresentados na tabela, sabemos
que foram vendidos 5+5+5 = 15 frascos de 20mL, 10+2 = 12 frascos de
100mL e 4+2 = 6 frascos de 250mL.
Assim, ao todo temos:
15 + 12 + 6 = 33 frascos
Como o total é de 45 frascos, então faltam 12 frascos. Logo,
X + Y = 12 frascos
ou seja,
Y = 12 – X
O volume total dos frascos que aparecem na tabela é dado pela
multiplicação das quantidades (15, 12 e 6 frascos) pelos volumes de cada
tipo de frasco (20, 100 e 250mL). Assim,
Volume total = 15 x 20 + 12 x 100 + 6 x 250 = 3000mL
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Como o total vendido foi de 5400mL, faltam 2400mL. Logo, o
volume dos frascos X e Y somam 2400mL:
2400 = X x 100 + Y x 250
Como Y é igual a 12 – X, podemos efetuar esta substituição na
equação acima:
2400 = 100X + 250Y
2400 = 100X + 250 x (12 – X)
2400 = 100X + 3000 – 250X
250X – 100X = 3000 – 2400
150X = 600
X = 600 / 150 = 4 frascos
Portanto, Y = 12 – X = 12 – 4 = 8 frascos.
Resposta: C
33. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012 – Adaptada) São necessários
50 litros de água para irrigar um gramado retangular de 8 metros de
largura por 10 metros de comprimento. Sabendo que a área do retângulo
é dada pela multiplicação entre largura e comprimento, para que outro
gramado, também retangular, de 4 metros de largura por 20 metros de
comprimento,
tenha
uma
irrigação
na
mesma
proporção,
serão
necessários
(A) 24 litros.
(B) 36 litros.
(C) 42 litros.
(D) 50 litros.
(E) 56 litros.
RESOLUÇÃO:
O primeiro gramado tem área de 8 x 10 = 80m2 (veja que o
resultado é dado em metros quadrados, uma vez que tanto a largura
quanto o comprimento são dados em metros).
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Já o segundo gramado tem área de 4 x 20 = 80m2. Repare que
ambos os quadrados possuem a mesma área, logo vão exigir a mesma
quantidade de água: 50 litros.
Resposta: D
34. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) A cada 40 minutos, decola de
São Paulo um avião para a Europa. O primeiro decolou às 12 horas, o
sétimo avião irá decolar para a Europa às
(A) 15 h.
(B) 15 h e 20 min.
(C) 15 h e 40 min.
(D) 16 h.
(E) 16 h e 40 min.
RESOLUÇÃO:
Repare que entre o 1º avião e o 7º, teremos 6 intervalos de 40
minutos cada, totalizando 6 x 40 = 240 minutos de intervalo. Como 1
hora corresponde a 60 minutos, temos que 240 minutos correspondem a:
1 hora ------------------- 60 minutos
T horas ----------------- 240 minutos
T x 60 = 1 x 240
T = 240 / 60 = 4 horas
Portanto, o 7º avião decolará 4 horas após o primeiro, ou seja, às
12 + 4 = 16 horas.
Resposta: D
35. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Uma telha de barro custa R$
1,50 se comprada por unidade (avulsa). Na compra de um milheiro (mil
telhas), o preço é de R$1.250,00. Na compra de um milheiro dessa telha,
cada unidade custa mais barato do que a comprada por unidade (avulsa)
(A) R$ 0,05.
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
(B) R$ 0,10.
(C) R$ 0,15.
(D) R$ 0,20.
(E) R$ 0,25.
RESOLUÇÃO:
Se 1000 telhas custam 1250 reais, vejamos quanto custa 1 telha:
1000 telhas ------------------ 1250 reais
1 telha ------------------------- T
T x 1000 = 1 x 1250
T = 1,25 real
Portanto, ao comprar o milheiro temos que o preço de cada telha é
de apenas R$1,25, enquanto ao comprar a telha avulsa o preço seria de
R$1,50. Logo, a economia é de R$1,50 – R$1,25 = R$0,25 em cada telha.
Resposta: E
36. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Em uma sala de aula, um
quarto dos alunos são homens. Sendo o número de mulheres 33, o
número de homens é
(A) 9.
(B) 11.
(C) 13.
(D) 15.
(E) 17.
RESOLUÇÃO:
Como ¼ dos alunos são homens, as mulheres correspondem ao
restante, ou seja,
1–¼=¾
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Assim,
como
¾
correspondem
a
33
mulheres,
podemos
rapidamente obter a quantidade de homens que correspondem a ¼ do
total:
¾ ------------------------ 33
¼ ------------------------ H
H x ¾ = 33 x ¼
H x 3 = 33 x 1
H = 33 / 3 = 11
Portanto, temos 11 homens na sala.
Resposta: B
37. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Um ciclista percorreu, de um
determinado trajeto, um quarto no asfalto, um terço na pista e os últimos
600 metros do trajeto
em terreno acidentado. O total desse trajeto, em km, é
(A) 1,22.
(B) 1,33.
(C) 1,44.
(D) 1,55.
(E) 1,66.
RESOLUÇÃO:
Seja T o comprimento total do trajeto. Sabemos que ao somar o
1
1
trecho percorrido no asfalto ( T ) com o trecho percorrido na pista ( T ) e
4
3
com o trecho percorrido no terreno acidentado (600m) temos o total, ou
seja, T. Assim:
1
1
T T 600 T
4
3
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Ao invés de escrever todas as frações com mesmo denominador,
usemos um outro artifício: vamos multiplicar ambos os lados desta
igualdade por 12. Veja o que acontece:
1
1
12 T T 600 12T
3
4
3T 4T 7200 12T
7200 = 12T – 3T – 4T
7200 = 5T
T = 1440m = 1,44km
Resposta: C
38. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Devido a um erro de cálculo,
um aluno recebeu média anual 6,0 em matemática. Suas notas estão na
tabela a seguir.
O erro no cálculo foi de
(A) 0,2.
(B) 0,3.
(C) 0,4.
(D) 0,5.
(E) 0,6.
RESOLUÇÃO:
Para obter a média, devemos somar as notas e dividir pelo total de
notas (5, pois devemos considerar também o exame final). Assim,
Média
P
A
L
4,5 5 7,5 5,5 6 28, 5
5, 7
5
5
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Portanto, o erro de cálculo foi de 6 – 5,7 = 0,3.
Resposta: B
39. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) São necessárias cinco peças
iguais de cerâmica para pavimentar 3/20 de uma sala. Para pavimentar
três salas iguais a essa, o número mínimo necessário dessas peças de
cerâmica, sendo que não ocorreu perda, pois os retalhos foram utilizados,
será
(A) 80.
(B) 85.
(C) 90.
(D) 95.
(E) 100.
RESOLUÇÃO:
Veja que são necessárias 5 peças para cobrir (3/20)S, onde S é a
área da sala. Para sabermos quantas peças são necessárias para cobrir
3S (área de 3 salas), podemos usar a regra de três abaixo:
5 peças ----------------------------- (3/20)S
N peças ----------------------------- 3S
Logo,
5x3S = N x (3/20)S
15 = N x (3/20)
15 x 20/3 = N
N =100 peças
Resposta: E
40. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) A tabela mostra o tempo de
duração de cada etapa do treinamento de um atleta.
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
O tempo de duração de cada etapa é sempre maior do que a anterior.
Mantendo-se sempre a sequência lógica de aumento, na 7.ª etapa, o
número de minutos que ele deverá correr é
(A) 27.
(B) 28.
(C) 29.
(D) 30.
(E) 31.
RESOLUÇÃO:
Observe a sequência de tempos de corrida a cada etapa:
{3, 5, 8, 12, 17, 23, X}
Repare que, da primeira para a segunda etapa, temos um aumento
de 2 minutos. Da segunda para a terceira, o aumento é de 3 minutos. Da
terceira para a quarta, 4 minutos, e assim por diante. Como da quinta
para a sexta etapa o aumento é de 6 minutos, isto nos indica que da
sexta para a sétima o aumento deve ser de 7 minutos.
Portanto, X = 23 + 7 = 30 minutos.
Resposta: D
41. VUNESP – UNESP – 2012) Érica é três anos mais velha que
Gabriel, que é oito anos mais novo que Lara. Sabendo-se que a idade de
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Lara é, pelo menos, 22 anos, e, no máximo, 27 anos, pode-se afirmar que
a soma das possíveis idades de Érica é
(A) 39.
(B) 73.
(C) 84.
(D) 117.
(E) 147.
RESOLUÇÃO:
Note que Érica é 3 anos mais velha que Gabriel, e Lara é 8 anos
mais velha que ele. Assim, a diferença de idade entre Érica e Lara é de 5
anos, sendo Lara a mais velha. As idades possíveis para Lara são 22, 23,
24, 25, 26 ou 27 anos. Logo, as idades possíveis para Érica são sempre 5
anos a menos, ou seja:
Idades possíveis p/ Érica = {17, 18, 19, 20, 21 ou 22 anos}
Somando as idades possíveis p/ Érica, temos 117.
Resposta: D
42. VUNESP – UNESP – 2012) Cinco pesos etiquetados de A a E são
tais que:
• os pesos A e B pesam o mesmo que os pesos C e E;
• A pesa mais que B;
• B e D pesam mais que B e C;
• B pesa mais que D.
Dessa forma, o mais leve e o mais pesado desses pesos são,
respectivamente,
(A) C e A.
(B) C e E.
(C) D e A.
(D) D e B.
(E) D e E.
RESOLUÇÃO:
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Vamos interpretar as informações do enunciado. Para facilitar,
vamos chamar de a, b, c, d, e os valores dos pesos A, B, C, D, E.
• os pesos A e B pesam o mesmo que os pesos C e E;
Observe que “A e B” tem sentido de adição, assim como “C e E”.
Portanto, esta informação nos diz que a + b = c + e.
• A pesa mais que B;
Esta informação nos diz que a > b (o peso A é maior que o peso
B).
• B e D pesam mais que B e C;
Aqui vemos que b + d > b + c, ou seja, d > c (podemos cancelar
os valores “b” em cada lado).
• B pesa mais que D.
Aqui temos que b > d.
Observe que, como b é maior que d (b > d) e, por sua vez, d é
maior que c (d > c), podemos dizer que b > d > c.
Sabemos ainda que a > b. Logo, podemos dizer que a > b > d > c.
Falta apenas posicionar o valor “e”. Sabemos que a + b = c + e.
Como b é maior do que c, só há uma forma desta igualdade acontecer: é
preciso que “e” seja maior do que “a”, para compensar o fato de b ser
maior que c. Portanto, temos:
e>a>b>d>c
Assim, o peso mais leve é C, e o mais pesado é E.
Resposta: B
43. VUNESP – TJ/SP – 2004) Em uma loja, o metro de corda é vendido
por R$ 3,00, e o rolo com 60 metros de corda, por R$ 150,00. Três
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
amigos compraram juntos um rolo de corda, ficando o primeiro com 1/4
do rolo, o segundo com 1/12 e o terceiro com o restante. Se a divisão dos
gastos foi proporcional à quantidade de corda que cada um recebeu,
aquele que comprou a maior quantidade de corda economizou, em
relação à compra da mesma quantidade de corda por metro, o total de
(A) R$ 18,00.
(B) R$ 19,00.
(C) R$ 20,00.
(D) R$ 21,00.
(E) R$ 22,00.
RESOLUÇÃO:
Se um amigo ficou com 1/4 do rolo e o outro com 1/12, o terceiro
amigo ficou com o restante para completar 1 unidade do rolo. Chamando
de X a proporção do rolo que ficou para o terceiro amigo, temos:
1/4 + 1/12 + X = 1
Multiplicando todos os membros desta equação por 12, temos:
3 + 1 + 12X = 12
12X = 12 – 3 – 1
X = 8 / 12 = 2/3
Observe que o terceiro amigo ficou com a maior proporção do rolo:
2/3 (que é maior que 1/4 e também que 1/12). Como o rolo tem 60
metros de corda, e ele ficou com 2/3, a quantidade de corda que ele ficou
é:
2/3 x 60 = 40 metros
E como o rolo custou 150 reais, ele pagou 2/3 deste valor:
2/3 x 150 = 100 reais
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Portanto, o terceiro amigo adquiriu 40 metros de rolo por 100 reais.
Se ele tivesse comprado os mesmos 40 metros de rolo isoladamente,
pagando 3 reais por metro, ele teria gasto:
40 x 3 = 120 reais
Portanto, ao comprar junto com os demais amigos, o terceiro amigo
economizou 120 – 100 = 20 reais.
Resposta: C
44. VUNESP – TJ/SP – 2006) Na maquete de uma praça pública
construída na escala 1:75, o edifício da prefeitura, de 13,5 m de altura,
está representado com uma altura de
(A) 16 cm.
(B) 18 cm.
(C) 20 cm.
(D) 22 cm.
(E) 24 cm.
RESOLUÇÃO:
A escala 1:75 significa que 1 unidade na maquete corresponde a 75
unidades no mundo real. Assim, podemos fazer uma regra de três para
saber quanto 13,5m na vida real (altura do edifício) correspondem na
maquete:
75 unidades no mundo real ---------------------------- 1 unidade na
maquete
13,5m no mundo real -------------------------------------- X unidades na
maquete
75X = 1 x 13,5
X = 13,5 / 75 = 0,18m = 18cm
Assim, a representação do prédio na maquete terá 18cm de altura.
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Resposta: B
45. VUNESP – TJ/SP – 2006) Ricardo participou de uma prova de
atletismo e, no final, observou que, do número total de atletas
participantes, 1/4 havia terminado a prova na sua frente, e 2/3 haviam
chegado
depois
dele. Considerando-se
que
todos
os
participantes
completaram a prova, e que nenhum atleta cruzou a linha de chegada no
mesmo tempo que outro, pode-se concluir que, pela ordem de chegada
nessa prova, Ricardo foi o
(A) 3.º colocado.
(B) 4.º colocado.
(C) 5.º colocado.
(D) 6.º colocado.
(E) 8.º colocado.
RESOLUÇÃO:
Seja N o total de atletas na prova. Observe que se somarmos os
que chegaram antes de Ricardo (1/4 de N) com Ricardo (1 pessoa) e com
os que chegaram após Ricardo (2/3 de N) obtemos o total de
participantes (N). Isto é:
1
2
N 1 N N
4
3
Usando novamente o artifício de multiplicar todos os membros da
equação por 12, temos:
3N + 12 + 8N = 12N
12 = 12N – 11N
12 = N
Portanto, ao todo temos 12 atletas participantes. Os que chegaram
à frente de Ricardo são:
¼ x N = ¼ x 12 = 3 atletas
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Portanto, Ricardo foi o 4º colocado.
Resposta: B
46. VUNESP – TJ/SP – 2008) Um estagiário de um escritório de
advocacia aproveitou o mês de férias na faculdade para fazer várias horas
extras. Do valor total líquido recebido nesse mês, 3/4 correspondem ao
seu salário fixo. Do valor restante, 3/5 correspondem às horas extras
trabalhadas, e o saldo, de R$ 140,00, corresponde a uma bonificação
recebida. Pelas horas extras trabalhadas, nesse mês, o estagiário recebeu
(A) R$ 210,00.
(B) R$ 217,00.
(C) R$ 250,00.
(D) R$ 336,00.
(E) R$ 364,00.
RESOLUÇÃO:
Seja S o salário do estagiário. Sabemos que ¾ x S corresponde ao
salário líquido, restando ainda ¼ x S.
Deste valor restante (¼ x S), 3/5 correspondem às horas extras.
Assim,
3 1
3
Horas Extras S
S
5 4
20
O valor restante são os 140 reais da bonificação recebida. Assim,
podemos dizer que:
Salário = salário líquido + horas extras + bonificação
S
3
3
S S 140
4
20
Multiplicando todos os membros por 20, podemos eliminar as
frações:
20S = 15S + 3S + 2800
2S = 2800
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
S = 1400
Sendo o salário igual a 1400 reais, as horas extras foram:
Horas Extras
3
3
S 1400 210reais
20
20
Resposta: A
47. VUNESP – TJ/SP – 2011) Do valor total recebido por um trabalho
executado, Pedro ficou com 2/5 e João ficou com o restante. Da parte que
lhe coube, João emprestou R$800,00 a Pedro, para que ele pudesse
comprar uma televisão e, assim, Pedro ficou com o quádruplo da quantia
que restou a João. Após o empréstimo, Pedro ficou com:
a) R$2000,00
b) R$1800,00
c) R$1700,00
d) R$1600,00
e) R$1400,00
RESOLUÇÃO:
Seja T o total recebido. Pedro ficou com (2/5)T e João com o
restante, ou seja, (3/5)T. João emprestou 800 reais a Pedro. Assim, João
ficou com:
João = (3/5)T – 800
E Pedro ficou com 800 reais a mais:
Pedro = (2/5)T + 800
Essa quantia nas mãos de Pedro é o quádruplo da quantia restante
com João. Ou seja,
Pedro = 4 x João
(2/5T) + 800 = 4 x (3/5)T – 4 x 800
800 + 4 x 800 = 4 x (3/5)T –(2/5T)
4000 = (4x3 – 2)T/5
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
4000 x 5 = 10T
T = 2000 reais
Portanto, após o empréstimo Pedro ficou com:
Pedro = (2/5)T + 800 = (2/5)x2000 + 800 = 1600 reais
Resposta: D
48. VUNESP – TJ/SP – 2011) Um recipiente, com paredes de
espessura desprezível, tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo,
medindo 15cm de comprimento por 10cm de largura, e contém uma
quantidade de água que ocupa a metade da sua capacidade total. Se
retirarmos 2/5 da água, o volume da água restante no recipiente será
igual a 360cm3. Conclui-se, então, que a medida da altura deste
recipiente,
em
centímetros,
é
igual
a
(obs.:
o
volume
de
um
paralelepípedo é dado pela multiplicação da largura, altura e comprimento
do mesmo):
a) 14
b) 12
c) 10
d) 9
e) 8
RESOLUÇÃO:
Seja V o volume total de água inicialmente encontrado no
recipiente. Retirando-se 2/5 de V, sobram 360cm3, ou seja:
V – (2/5)V = 360
(3/5)V = 360
V = 360x5/3 = 600cm3
Como só temos água na metade do paralelepípedo, então o seu
volume total é o dobro do volume de água. Ou seja, o volume total do
paralelepípedo é de 2 x 600 = 1200cm3. Como este volume é dado pela
multiplicação da altura, comprimento (15cm) e largura (10cm), temos:
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
V = altura x comprimento x largura
1200 = altura x 15 x 10
altura = 1200 / 150 = 8cm
Resposta: E
49. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma pessoa quer trocar duas notas de
dez reais por moedas de 5, 10, 25 e 50 centavos de real. Se ela deseja
receber moedas de todos esses valores, então o número mínimo de
moedas a receber em troca será de
(A) 40.
(B) 41.
(C) 42.
(D) 43.
(E) 44.
RESOLUÇÃO:
Para ter o menor número possível de moedas, devemos pegar o
máximo possível de moedas de maior valor, e o mínimo possível de
moedas de baixo valor.
Pegando R$19,50 em moedas de 50 centavos, são necessárias 39
moedas deste valor.
Para chegar aos 20 reais (duas notas de 10), são necessárias ainda
1 moeda de 25 centavos, 2 de 10 centavos e 1 de 5 centavos. Ao todo,
são necessárias pelo menos:
39 + 1 + 2 + 1 = 43 moedas
Resposta: D
50. VUNESP – TJ/MT – 2008) Se uma indústria farmacêutica produziu
um volume de 2800 litros de certo medicamento, que devem ser
acondicionados em ampolas de 40 cm3 cada uma, então será produzido
um número de ampolas desse medicamento na ordem de
(A) 70.
(B) 700.
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
(C) 7 000.
(D) 70 000.
(E) 700 000.
RESOLUÇÃO:
Sabemos que 1 litro corresponde a 1dm3, portanto 2800 litros
equivalem
a
2800dm3.
Por
sua
vez,
2800dm3
correspondem
a
2800000cm3.
Portanto, temos 2800000cm3 para distribuir por ampolas de 40cm3
cada. O total de ampolas que precisaremos é:
Número de ampolas = 2800000 / 40 = 70000
Resposta: D
51. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma pequena doceira bem sucedida
comprou 1 800 embalagens para seus docinhos. Do total de embalagens,
inicialmente 1/6 foi utilizado para embalar brigadeiros e 2/5 para os
beijinhos. Sabendo que para os cajuzinhos seriam necessárias ½ do total
das embalagens compradas, a doceira observou que iriam faltar ___
embalagens. Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna
do texto.
(A) 120
(B) 110
(C) 100
(D) 90
(E) 80
RESOLUÇÃO:
Para embalar os brigadeiros foram utilizadas:
Embalagens p/ brigadeiros = (1/6) x 1800 = 300
Para embalar os beijinhos foram utilizadas:
Embalagens p/ beijinhos = (2/5) x 1800 = 720
Para embalar os cajuzinhos seriam necessárias:
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Embalagens p/ cajuzinhos = (1/2) x 1800 = 900
Portanto, ao todo seriam necessárias 300 + 720 + 900 = 1920
embalagens.
Como
foram
compradas
apenas
1800,
embalagens.
Resposta: A
Fim de aula. Até o próximo encontro! Abraço,
Prof. Arthur Lima
P
A
L
faltaram
120
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi
visto aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em
seguida.
a) 2,25 + 1,7
b) 2,25 – 1,7
c) 2,25 x 1,7
d) 2,25 / 1,5
e) 0,898 + 1,12
f) 0,898 – 1,12
g) 0,898 x 1,12
h) 0,898 / 0,01
Exercício de fixação – Unidades) Efetue as conversões de unidades
solicitadas:
a) 5litros para m3
b) 10dam em cm
c) 40hm2 em km2
d) 2 dias em minutos
e) 36 horas em dias
f) 150 milissegundos em segundos
g) 20 cm3 em m3
h) 15dag em hg
1. FCC – CETAM – 2014) O número que corresponde ao resultado da
expressão numérica: (3 0,1+ 4 0,01+ 5 0,001) ÷ (69 ÷ 100) é igual a
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
(A) 50.
(B) 5.
(C) 0,05.
(D) 2.
(E) 0,5
2. FCC – CETAM – 2014) Analise as três afirmações relativas a
operações com inteiros não negativos:
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a
7.
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao
divisor, o maior resto é igual a 7.
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três
algarismos terá, no máximo, 7 algarismos.
Está correto o que se afirma APENAS em
(A) I e II.
(B) I e III.
(C) II e III.
(D) II.
(E) III.
3. FCC – CETAM – 2014) O quociente entre a menor e a maior fração do
1 2 3 5 1
conjunto C = , , , , , nessa ordem, é igual
2 5 4 6 3
(A) ao triplo de uma fração pertencente à C.
(B) à metade de uma fração pertencente à C.
(C) ao dobro de uma fração pertencente à C.
(D) a uma fração pertencente à C.
(E) à terça parte de uma fração pertencente à C.
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
4. FCC – SABESP – 2014) Somando-se certo número positivo x ao
numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da
fração
(A)
52
25
(B)
13
6
(C)
7
3
(D)
5
2
(E)
47
23
2
obtém-se como resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a
3
5. FCC – SABESP – 2014) A propaganda de uma tinta para paredes
anuncia que uma lata de 3,6 litros de tinta é suficiente para fazer a
pintura de uma superfície de 120 m². Supondo verdadeira a informação
da propaganda, a quantidade de tinta, em litros, para fazer a pintura de
50 m² é igual a
(A) 1,2.
(B) 2,4.
(C) 1,5.
(D) 0,5.
(E) 0,36.
6. FCC – METRÔ/SP – 2014) O resultado dessa expressão numérica:
2
2
22
2
2 2 2
é igual a
(A) 256.
(B) 128.
P
A
L
.
(22 ) 2
2
2
2 2
) (2 )
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
(C) 64.
(D) 512.
(E) 1.
7. FCC – METRÔ/SP – 2014) Quatro números inteiros serão sorteados.
Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente
deve ser acrescido 17. Se o número sorteado for ímpar, ele deve ser
dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 15. Após
esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados.
Sabendo que os números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida
ao final é igual a
(A) 87.
(B) 59.
(C) 28.
(D) 65.
(E) 63.
8. FCC – METRÔ/SP – 2014) Se P e Q são números distintos do
2 3
9
conjunto , , , então o maior valor possível de P−Q é:
20 3 5
(A)
3
.
20
(B)
13
.
60
(C)
21
.
20
(D)
19
.
15
(E)
3
.
10
9. FCC – METRÔ/SP – 2014) O resultado da expressão:
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
4 7 . 4 6 . 4 5 5 8 . 5 7 .5 6
2
3
4
2
3
5
é igual a
(A) 144.
(B) − 192.
(C) 0.
(D) − 144.
(E) 192.
10. FCC – METRÔ/SP – 2014) O algarismo da milhar do resultado da
soma
6+66+666+6666+66666+666666+6666666+66666666+666666666
é igual a
(A) 0.
(B) 6.
(C) 4.
(D) 8.
(E) 7.
11. FCC – METRÔ/SP – 2014) A lei de formação de uma sequência de
números é a partir do primeiro termo, um número qualquer diferente de
zero, multiplicá-lo por −4 (quatro negativo) para obter o segundo termo.
O terceiro termo é obtido a partir do segundo termo dividindo-o por 2.
Alternam-se esses cálculos na obtenção dos termos seguintes, assim o 4º
termo é obtido a partir do 3º termo multiplicado por −4 e segue. A soma
dos 13 primeiros termos dessa sequência quando o número inicial for 3
será igual a
(A) 381.
(B) −192.
(C) 48.
(D) −395.
(E) 183.
P
A
L
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
12. FCC – TRF/3ª – 2014) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se
fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na
segunda, 16 grãos na terceira, 64 grãos na quarta, 256 na quinta, e
assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser colocado
na 64a casa desse tabuleiro seria igual a
(A) 2256.
(B) 264.
(C) 2126.
(D) 266.
(E) 2128.
13. IADES – EBSERH – 2014) Metade de 4/5 é igual a 2/3 de outra
fração. O valor dessa outra fração é:
a) 4/15
b) 8/16
c) 6/5
d) 2/5
e) 3/5
14.
CESGRANRIO
–
CEFET/RJ
–
2014)
De
acordo
com
as
recomendações das principais agências de saúde do mundo, uma pessoa
adulta deve consumir, por dia, cerca de 0,8 g de proteína animal para
cada quilograma de sua massa. Isso significa que uma pessoa de 80 kg,
por exemplo, deve consumir diariamente 64 g de proteína animal.
Seguindo essa recomendação, uma pessoa de 65 kg deve consumir 1 kg
de proteína animal em, aproximadamente,
(A) 2 dias
(B) 1 semana
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
(C) 2 semanas
(D) 20 dias
(E) 1 mês
15. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2014) Uma empresa de prestação
de serviço possui um serviço que é cobrado por m2. Para realizar 20 m2
desse serviço, a empresa utiliza os seguintes parâmetros de custo,
descritos no Quadro a seguir.
De acordo com as informações apresentadas, o custo unitário por m2 do
serviço, em reais, é
(A) 79,80
(B) 65,00
(C) 3,99
(D) 3,25
(E) 0,74
16. CONSULPLAN – PREF. CAMPO VERDE/MT – 2011) Qual das
desigualdades a seguir é verdadeira?
A) 0,2m3 < 200.000ml
B) 10dm2 > 0,2m2
C) 35cm < 340mm
D) 22cm3 > 0,23dm3
E) 15mm2 > 0,13cm2
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
17. CONSULPLAN – CORREIOS – 2008) Nelson partiu do quilômetro
321 de uma estrada e foi até uma cidade que fica no quilômetro 620
dessa mesma estrada. Dessa cidade, ele voltou até uma fazenda que fica
no quilômetro 452 dessa mesma estrada. Quantos metros Nelson
percorreu?
a) 489m
b) 467.000m
c) 489.000m
d) 4.670m
e) 139.300m
18. CONSULPLAN – CORREIOS – 2008 – adaptada) Uma torneira mal
fechada goteja cem vezes a cada 5 minutos. Admitindo-se que todas as
gotas têm a capacidade de 3ml, a quantidade de água que vaza por hora
é:
a) menor que 1 litro.
b) maior que 1 litro.
c) igual a 1 litro.
d) maior que 10 litros.
e) igual a 10 litros.
19. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Um programa de computador foi
executado durante 2 horas, 20 minutos e 40 segundos. O tempo total, em
segundos, dessa execução correspondeu a:
A) 5840
B) 6420
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
C) 7280
D) 8440
E) 9260
20. FCC – METRÔ/SP – 2014) Um painel de operação do Metrô
necessita 24 horas diárias de monitoramento. Um turno de trabalho de
Lúcia no monitoramento desse painel é das 22:38 do dia 08/10/2013 até
02:46 do dia 09/10/2013. Durante esse turno de trabalho Lúcia é
obrigada a parar para descanso, sendo substituída por Marisa por 10
minutos. Se a parada de descanso de Lúcia divide seu tempo de trabalho
no monitoramento em duas metades idênticas, então a parada se inicia
no dia 09/10/2013 às
(A) 00:42.
(B) 02:04.
(C) 01:59.
(D) 01:02.
(E) 00:37.
21. FCC – TJAP – 2014) Juliano começou a assistir um filme às 20
horas e 35 minutos. A duração do filme era de 148 minutos. Juliano
terminou de assistir às
(A) 22 horas e 58 minutos.
(B) 23 horas e 8 minutos.
(C) 23 horas e 3 minutos.
(D) 22 horas e 53 minutos.
(E) 22 horas e 3 minutos.
22. FGV – BESC – 2004) Quantos mililitros há em um milímetro cúbico?
(A) 103
(B) 1
(C) 10−3
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
(D) 10−6
(E) 10−9
23. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Renata estava organizando
um evento e calculou que seriam necessários 150 copos, de 200 mL, de
suco. No mercado, havia duas marcas diferentes do mesmo suco, sendo
que uma era vendida, em lata de 350 mL, por R$ 3,85 e outra, em
garrafa de 2 L, por R$ 21,00. Renata comprou o suco da marca mais
barata e gastou
(A) R$ 307,00.
(B) R$ 330,00.
(C) R$ 326,00.
(D) R$ 315,00.
(E) R$ 300,00.
24. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) De um trajeto, percorri
um terço de skate, três oitavos de bicicleta, um quarto de patins e os
últimos 100 metros a pé. O trajeto todo percorrido tem
(A) 2 km.
(B) 2,1 km.
(C) 2,2 km.
(D) 2,3 km.
(E) 2,4 km.
25. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) As temperaturas da
semana passada, em Roma, foram anotadas na tabela a seguir.
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
A maior oscilação de temperatura ocorreu de
(A) segunda para terça-feira.
(B) terça para quarta-feira.
(C) quarta para quinta-feira.
(D) quinta para sexta-feira.
(E) sexta para sábado.
26. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) O saldo de gols de uma
equipe de futebol na 10.ª rodada era de – 6 gols. Na 11.ª rodada, essa
equipe ganhou de 3 x 1, na 12.ª rodada, ela perdeu por 4 x 0 e na 13.ª
rodada, ganhou de 2 x 1. Ao final da 13.ª rodada, o saldo de gols* dessa
equipe era de:
* Saldo de gols é a diferença entre os gols marcados e sofridos por uma
equipe.
(A) – 6 gols.
(B) – 7 gols.
(C) – 8 gols.
(D) – 9 gols.
(E) – 10 gols.
27. VUNESP – Pref. São Carlos/SP – 2012) Ao caminhar, cada passo
de João tem 80cm, e os de seu filho Jonas, 60 cm. Caminhando juntos,
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
após percorrerem 2,4 km, o número de passos que Jonas deu a mais que
seu pai João foi
(A) 100.
(B) 400.
(C) 800.
(D) 1 000.
(E) 1 200.
28. VUNESP – SEAP/SP – 2012) Dona Marta fez 1 litro de suco com 12
laranjas. Deu 250 mL de suco para sua filha e o restante guardou na
geladeira. Pode-se afirmar que o suco guardado na geladeira corresponde
a
(A) 3 laranjas.
(B) 5 laranjas.
(C) 7 laranjas.
(D) 9 laranjas.
(E) 11 laranjas.
29. VUNESP – SEAP/SP – 2012) Valdomiro cronometrou as voltas que
correu em uma pista de 400 m e anotou os tempos na tabela a seguir.
Pode-se afirmar que o tempo médio dessas quatro voltas foi, em
segundos, de
(A) 80.
(B) 82.
(C) 84.
(D) 86.
(E) 88.
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
30. VUNESP – SAP/SP – 2012) Uma nova penitenciária foi projetada
para acomodar 400 detentos em duas alas, sendo que a capacidade da
ala maior corresponde a 5/3 da capacidade da ala menor. A ala maior foi
projetada para acomodar
(A) 150 detentos.
(B) 180 detentos.
(C) 240 detentos.
(D) 250 detentos.
(E) 280 detentos.
31. VUNESP – SAP/SP – 2012) Quatro agentes penitenciários fizeram
um determinado número total de horas extras no último mês. Sabe-se
que Luís fez 1/5 desse total, que Mário fez o triplo de Luís, que João fez
1/3 do que Luís fez e que Otávio fez 5 horas extras. Pode-se concluir,
então, que o número de horas extras que Mário fez
nesse mês foi
(A) 2,5.
(B) 7,5.
(C) 15,5.
(D) 22,5.
(E) 37,5.
32. VUNESP – Pref. São José dos Campos – 2012) Um produto de
beleza é vendido em 3 tipos de frascos: 20 mL, 100 mL e 250 mL. Em
três dias, foram vendidos um total de 45 frascos, totalizando 5 400 mL.
Alguns dados dessa venda estão registrados na tabela seguinte:
P
A
L
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P TJ SP
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
P
A
L
A
Os números que faltam nessa tabela, em relação aos frascos de 100 mL e
250 mL, respectivamente, são
(A) 6 e 6.
(B) 5 e 7.
(C) 4 e 8.
(D) 3 e 9.
(E) 2 e 10.
33. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012 – Adaptada) São necessários
50 litros de água para irrigar um gramado retangular de 8 metros de
largura por 10 metros de comprimento. Sabendo que a área do retângulo
é dada pela multiplicação entre largura e comprimento, para que outro
gramado, também retangular, de 4 metros de largura por 20 metros de
comprimento,
tenha
uma
irrigação
na
mesma
proporção,
serão
necessários
(A) 24 litros.
(B) 36 litros.
(C) 42 litros.
(D) 50 litros.
(E) 56 litros.
34. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) A cada 40 minutos, decola de
São Paulo um avião para a Europa. O primeiro decolou às 12 horas, o
sétimo avião irá decolar para a Europa às
(A) 15 h.
(B) 15 h e 20 min.
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(C) 15 h e 40 min.
(D) 16 h.
(E) 16 h e 40 min.
35. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Uma telha de barro custa R$
1,50 se comprada por unidade (avulsa). Na compra de um milheiro (mil
telhas), o preço é de R$1.250,00. Na compra de um milheiro dessa telha,
cada unidade custa mais barato do que a comprada por unidade (avulsa)
(A) R$ 0,05.
(B) R$ 0,10.
(C) R$ 0,15.
(D) R$ 0,20.
(E) R$ 0,25.
36. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Em uma sala de aula, um
quarto dos alunos são homens. Sendo o número de mulheres 33, o
número de homens é
(A) 9.
(B) 11.
(C) 13.
(D) 15.
(E) 17.
37. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Um ciclista percorreu, de um
determinado trajeto, um quarto no asfalto, um terço na pista e os últimos
600 metros do trajeto
em terreno acidentado. O total desse trajeto, em km, é
(A) 1,22.
(B) 1,33.
(C) 1,44.
(D) 1,55.
(E) 1,66.
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38. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) Devido a um erro de cálculo,
um aluno recebeu média anual 6,0 em matemática. Suas notas estão na
tabela a seguir.
O erro no cálculo foi de
(A) 0,2.
(B) 0,3.
(C) 0,4.
(D) 0,5.
(E) 0,6.
39. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) São necessárias cinco peças
iguais de cerâmica para pavimentar 3/20 de uma sala. Para pavimentar
três salas iguais a essa, o número mínimo necessário dessas peças de
cerâmica, sendo que não ocorreu perda, pois os retalhos foram utilizados,
será
(A) 80.
(B) 85.
(C) 90.
(D) 95.
(E) 100.
40. VUNESP – Pref. Sorocaba – 2012) A tabela mostra o tempo de
duração de cada etapa do treinamento de um atleta.
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O tempo de duração de cada etapa é sempre maior do que a anterior.
Mantendo-se sempre a sequência lógica de aumento, na 7.ª etapa, o
número de minutos que ele deverá correr é
(A) 27.
(B) 28.
(C) 29.
(D) 30.
(E) 31.
41. VUNESP – UNESP – 2012) Érica é três anos mais velha que
Gabriel, que é oito anos mais novo que Lara. Sabendo-se que a idade de
Lara é, pelo menos, 22 anos, e, no máximo, 27 anos, pode-se afirmar que
a soma das possíveis idades de Érica é
(A) 39.
(B) 73.
(C) 84.
(D) 117.
(E) 147.
43. VUNESP – UNESP – 2012) Cinco pesos etiquetados de A a E são
tais que:
• os pesos A e B pesam o mesmo que os pesos C e E;
• A pesa mais que B;
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• B e D pesam mais que B e C;
• B pesa mais que D.
Dessa forma, o mais leve e o mais pesado desses pesos são,
respectivamente,
(A) C e A.
(B) C e E.
(C) D e A.
(D) D e B.
(E) D e E.
43. VUNESP – TJ/SP – 2004) Em uma loja, o metro de corda é vendido
por R$ 3,00, e o rolo com 60 metros de corda, por R$ 150,00. Três
amigos compraram juntos um rolo de corda, ficando o primeiro com 1/4
do rolo, o segundo com 1/12 e o terceiro com o restante. Se a divisão dos
gastos foi proporcional à quantidade de corda que cada um recebeu,
aquele que comprou a maior quantidade de corda economizou,
em relação à compra da mesma quantidade de corda por metro, o total
de
(A) R$ 18,00.
(B) R$ 19,00.
(C) R$ 20,00.
(D) R$ 21,00.
(E) R$ 22,00.
44. VUNESP – TJ/SP – 2006) Na maquete de uma praça pública
construída na escala 1:75, o edifício da prefeitura, de 13,5 m de altura,
está representado com uma altura de
(A) 16 cm.
(B) 18 cm.
(C) 20 cm.
(D) 22 cm.
(E) 24 cm.
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45. VUNESP – TJ/SP – 2006) Ricardo participou de uma prova de
atletismo e, no final, observou que, do número total de atletas
participantes, 1/4 havia terminado a prova na sua frente, e 2/3 haviam
chegado
depois
dele. Considerando-se
que
todos
os
participantes
completaram a prova, e que nenhum atleta cruzou a linha de chegada no
mesmo tempo que outro, pode-se concluir que, pela ordem de chegada
nessa prova, Ricardo foi o
(A) 3.º colocado.
(B) 4.º colocado.
(C) 5.º colocado.
(D) 6.º colocado.
(E) 8.º colocado.
46. VUNESP – TJ/SP – 2008) Um estagiário de um escritório de
advocacia aproveitou o mês de férias na faculdade para fazer várias horas
extras. Do valor total líquido recebido nesse mês, 3/4 correspondem ao
seu salário fixo. Do valor restante, 3/5 correspondem às horas extras
trabalhadas, e o saldo, de R$ 140,00, corresponde a uma bonificação
recebida. Pelas horas extras trabalhadas, nesse mês, o estagiário recebeu
(A) R$ 210,00.
(B) R$ 217,00.
(C) R$ 250,00.
(D) R$ 336,00.
(E) R$ 364,00.
47. VUNESP – TJ/SP – 2011) Do valor total recebido por um trabalho
executado, Pedro ficou com 2/5 e João ficou com o restante. Da parte que
lhe coube, João emprestou R$800,00 a Pedro, para que ele pudesse
comprar uma televisão e, assim, Pedro ficou com o quádruplo da quantia
que restou a João. Após o empréstimo, Pedro ficou com:
a) R$2000,00
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b) R$1800,00
c) R$1700,00
d) R$1600,00
e) R$1400,00
48. VUNESP – TJ/SP – 2011) Um recipiente, com paredes de
espessura desprezível, tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo,
medindo 15cm de comprimento por 10cm de largura, e contém uma
quantidade de água que ocupa a metade da sua capacidade total. Se
retirarmos 2/5 da água, o volume da água restante no recipiente será
igual a 360cm3. Conclui-se, então, que a medida da altura deste
recipiente,
em
centímetros,
é
igual
a
(obs.:
o
volume
de
um
paralelepípedo é dado pela multiplicação da largura, altura e comprimento
do mesmo):
a) 14
b) 12
c) 10
d) 9
e) 8
49. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma pessoa quer trocar duas notas de
dez reais por moedas de 5, 10, 25 e 50 centavos de real. Se ela deseja
receber moedas de todos esses valores, então o número mínimo de
moedas a receber em troca será de
(A) 40.
(B) 41.
(C) 42.
(D) 43.
(E) 44.
50. VUNESP – TJ/MT – 2008) Se uma indústria farmacêutica produziu
um volume de 2800 litros de certo medicamento, que devem ser
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acondicionados em ampolas de 40 cm3 cada uma, então será produzido
um número de ampolas desse medicamento na ordem de
(A) 70.
(B) 700.
(C) 7 000.
(D) 70 000.
(E) 700 000.
51. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma pequena doceira bem sucedida
comprou 1 800 embalagens para seus docinhos. Do total de embalagens,
inicialmente 1/6 foi utilizado para embalar brigadeiros e 2/5 para os
beijinhos. Sabendo que para os cajuzinhos seriam necessárias ½ do total
das embalagens compradas, a doceira observou que iriam faltar ___
embalagens. Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna
do texto.
(A) 120
(B) 110
(C) 100
(D) 90
(E) 80
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12
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15
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16
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17
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18
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19
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C
23
D
24
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25
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29
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30
D
31
D
32
36
B
37
C
38
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43
C
44
B
45
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50
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51
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A
7
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13 E
14
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D
20 E
21
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27 D
28
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33
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34 D
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40
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41 D
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48 E
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