aula1 - Departamento de Física

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Introdução à Teoria Quântica do Espalhamento:
do Espalhamento por um Potencial ao Problema
de Muitos Corpos
Márcio H. F. Bettega
Departamento de Física
Universidade Federal do Paraná
[email protected]
Minicurso sobre Espalhamento - Aula 1/3 (Parte II)
Semana Acadêmica de Física 2017
Estrutura do minicurso
I
Aula 1/3 (Parte II) (60 min):
X Definições básicas: descrição do espalhamento; tipos de colisões; canais; seção
de choque.
X Espalhamento por um potencial: equação de Schrödinger independente do
tempo; condição de contorno para a função de onda de espalhamento; densidade
de corrente de probabilidade; relação entre seção de choque diferencial
(experimento) e amplitude de espalhamento (teoria); o teorema ótico.
X Equação de Lippmann-Schwinger; a função de Green da partícula livre;
expressão para a amplitude de espalhamento; aproximação de Born; potencial
complexo.
Definições Básicas: Descrição do Espalhamento
detetor
fonte (A)
I
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θ
colimador
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z
alvo (B)
Vamos considerar o espalhamento das partículas do tipo A (partículas A) por
partículas do tipo B (partículas B):
X o feixe de partículas A é colimado e monoenergético (pequena largura em torno
de uma energia bem definida). A interação entre as partículas A pode ser
desprezada (intensidade do feixe);
X o alvo contém um grande número de partículas B (centros espalhadores), cujas
distâncias são maiores do que o comprimento de onda das partículas A (podemos
ignorar efeitos de coerência entre as ondas espalhadas pelos centros
espalhadores);
X podemos considerar que cada partícula B atua como um centro espalhador
independente. Neste caso podemos olhar o espalhamento de uma partícula A por
uma partícula B;
X queremos observar um certo número de eventos: contagem das partículas A
espalhadas, pelo detetor.
Definições Básicas: Tipos de Colisões
I
Tipos de Colisões:
X espalhamento elástico: não há mudança na estrutura interna das partículas A e
B,
A + B → A + B;
X espalhamento inelástico : ocorre mudança no estado interno das partículas A
e/ou B,
A + B → A∗ + B∗ ;
X reação: as partículas A e B se decompõe em n ≥ 2 partículas,
A + B → C + D ou A + B → C1 + C2 + · · · + Cn .
I
Ilustração: espalhamento de elétrons por moléculas de H2 (considerando apenas a
estrutura eletrônica).
X espalhamento elástico: e− + H2 → e− + H2
X espalhamento inelástico: e− + H2 → e− + H∗2
X reação (ionização): e− + H2 → 2e− + H+
2
X reação (“electron attachment” – possibilidade de ocorrer a dissociação
molecular): e− + H2 → H−
2
Definições Básicas: Canais
I
Um canal é um possível modo de fragmentação do sistema A+B (estado do sistema
A+B) durante a colisão.
I
No caso do espalhamento de elétrons por moléculas de H2 discutido anteriormente,
temos os seguintes canais possíveis:
X canal elástico: e− + H2 → e− + H2
X canal inelástico (cada estado excitado final possível é considerado um canal
independente): e− + H2 → e− + H∗2
X canal de reação (ionização): e− + H2 → 2e− + H+
2
X canal de reação (“electron attachment”): e− + H2 → H−
2
I
Iremos considerar aqui apenas espalhamento elástico.
Definições Básicas: Seção de Choque
I
Os resultados de um processo de colisão são dados em termos de seções de
choque (total, elástica, diferencial etc).
X seção de choque diferencial (distribuição angular), fornece informações
adicionais sobre a colisão (interações, ondas parciais etc) e a partir da qual
obtemos as seções de choque integral e de transferência de momentum:
dσ
(E; θ, φ)
dΩ
I
Referencial do centro de massa (centro de massa do sistema A + B em repouso) e
referencial do laboratório (partícula B em repouso antes da colisão); em ambos z é
o eixo de incidência.
Espalhamento por um Potencial: Equação de Schrödinger
I
Vamos considerar o espalhamento de uma partícula A por uma partícula B:
X vamos utilizar a mecânica quântica (λA & d) não relativística (vA c),
considerando que as partículas A e B, ambas sem spin, não possuem estrutura
interna;
X vamos assumir que a interação entre as partículas é do tipo VAB = V (rA − rB ) (V
real e de curto alcance).
I
Com estas considerações, a equação de Schrödinger independente do tempo que
descreve a colisão (elástica) é
HΨ(rA , rB ) = EΨ(rA , rB ); H =
p2A
p2
+ B + V (rA − rB ); pα = −i~∇α , α = A,B
2mA
2mB
Definimos a coordenada relativa r e a coordenada do centro de massa R como
r = rA − rB ; R =
mA rA + mB rB
mA + mB
onde
pα = mα ṙα , α = A,B → P = M Ṙ, p = mṙ; M = mA + mB , m =
mA mB
mA + mB
Espalhamento por um Potencial: Equação de Schrödinger
I
Fazendo as substituições, a equação de Schrödinger fica
2
P
p2
+
+ V (r) Ψ(rA , rB ) = EΨ(rA , rB )
2M
2m
ou
~2 2
~2 2
−
∇R + −
∇r + V (r) Ψ(rA , rB ) = EΨ(rA , rB )
2M
2m
onde agora é possível escrever
Ψ(rA , rB ) = χ(R)ψ(r)
o que fornece
−
~2 2
∇R χ(R) = Ecm χ(R);
2M
~2 2
−
∇r + V (r) ψ(r) = Erel ψ(r); E = Ecm +Erel
2m
Espalhamento por um Potencial: Equação de Schrödinger
I
Vamos discutir primeiro a solução da equação
~2 2
∇R χ(R) = Ecm χ(R)
2M
que descreve uma partícula livre e cuja solução é uma onda plana
−
χ(R) =
eiK·R
3
(2π) 2
onde
~2 K 2
2M
X o centro de massa do sistema A+B move-se como uma partícula livre;
X se mB mA → m ∼ mA e como consequência o centro de massa do sistema
coincide com a partícula B.
Ecm =
Espalhamento por um Potencial: Equação de Schrödinger
I
O interesse está na solução da equação que contem a interação V
~2 2
−
∇r + V (r) ψ(r) = Erel ψ(r)
2m
que representa o espalhamento de uma partícula de massa reduzida m pelo
potencial V (r) (de “curto alcance”).
I
Na ausência de interação (fazendo V = 0), a solução é
ψ(r) =
eik·r
3
(2π) 2
com
Erel =
~2 k 2
2m
Espalhamento por um Potencial: Equação de Schrödinger
I
Na presença de V (r), a solução não é mais uma onda plana. Neste caso, podemos
sugerir uma condição de contorno para a função de onda deste problema na forma
eikr
(+)
ψki (r) −−−−→ N eiki ·r + fk (θ, φ)
|r|→∞
r
onde fizemos k = ki = kẑ (ẑ define a direção de incidência). A interpretação de
cada termo nesta expressão é (como estamos considerando apenas colisão
elástica temos que |ki | = |kf | = k)
X N : “constante de normalização”
X eiki ·r : onda plana incidente
X eikr /r: onda esférica emergindo do alvo (“outgoing”)
X fk (θ, φ): amplitude de espalhamento (depende da direção r̂ = (θ, φ) e da energia
k)
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
kf
dΩ
|r|
ki
I
^r
θ
z
Vamos obter a relação entre a amplitude de espalhamento e a seção de choque
diferencial. Para isso, vamos considerar o esquema acima para o detetor colocado
a uma distância |r| → ∞ (fora do alcance de V ).
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I
Definição de seção de choque diferencial [dσ/dΩ(k; θ, φ)]dΩ:
A seção de choque diferencial é igual ao número de partículas espalhadas, por
unidade de tempo e por unidade de fluxo incidente, dentro do ângulo sólido dΩ em
torno da direção r̂ = Ω(θ, φ). É portanto igual ao fluxo emergente (“outgoing") de
partículas espalhadas através da superfície esférica r2 dΩ (considerando |r| → ∞)
dividido pelo fluxo incidente.
X depende da direção de espalhamento (r̂ = Ω(θ, φ)), da energia incidente (k ou
E = ~k2 /2m), mas não depende de r (devido a condição |r| → ∞).
X tem dimensões de área, o que permite uma interpretação geométrica: as
partículas do feixe incidente que atravessam a área igual a [dσ/dΩ(k; θ, φ)]dΩ,
colocada perperdicularmente à direção de incidência, são espalhadas dentro do
ângulo sólido dΩ e são portanto registradas pelo detetor.
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I
Associada à equação de Schrödinger (dependente do tempo), temos uma equação
de continuidade dada por
∂ρ(r, t)
+ ∇ · j(r, t) = 0
∂t
onde ρ(r, t) é a densidade de probabilidade e j(r, t) é a densidade de corrente de
probabilidade. ρ(r, t) e j(r, t) são definidos como
~
Im {Ψ∗ (r, t)∇Ψ(r, t)}
m
No caso estacionário (V = V (r) → Ψ(r, t) = ψ(r) exp(−iωt); ω = E/~)
ρ(r, t) = |Ψ(r, t)|2 ; j(r, t) =
I
ρ(r) = |ψ(r)|2 ;
∂ρ(r)
~
= 0; ∇ · j(r) = 0; j(r) = Im {ψ ∗ (r)∇ψ(r)}
∂t
m
Z
I
∇ · j = 0 → dV ∇ · j = dS · j = 0
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I
(+)
Considerando a condição assintótica de ψki (r) e lembrando que
∇ = r̂
∂
∂
1 ∂
1
φ̂
+ θ̂
+
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
e que
eiki ·r = eikz = eikr cos θ
temos
jout (r, t) · r̂
=
=
(
)
(+)
∂ψki (r)
~
(+)∗
Im ψki (r)
m
∂r
~
e−ikr
Im N ∗ N e−ikr cos θ + fk∗ (θ, φ)
×
m
r
∂
eikr
×
eikr cos θ + fk (θ, φ)
∂r
r
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I
Temos então 3 termos: o termo incidente, associado à onda plana incidente, o
espalhado, associado à onda esférica modulada pela amplitude de espalhamento, e
o de interferência, envolvendo os termos cruzados entre as ondas plana e esférica.
X termo de incidência: jinc (r, t) · ẑ, onde
N eiki ·r = N eikz ; ∇ = x̂
∂
∂
∂
+ ŷ
+ ẑ
∂x
∂y
∂z
O fluxo através de uma área unitária perpendicular à direção de incidência k̂i é
d[N e(ikz) ]
~
~k
jinc (r, t) · ẑ = Im N ∗ e−ikz
= N ∗N
m
dz
m
X termo espalhado (considerando apenas o termo da onda esférica)
jout (r, t) · r̂
=
=
~
e−ikr ∂
eikr
Im N ∗ fk∗ (θ, φ)
N fk (θ, φ)
m
r ∂r
r
~k
1
N ∗N
|fk (θ, φ)|2
m r2
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I
Por último, vamos considerar o termo de interferência jint (r) · r̂
jint (r) · r̂
=
+
=
+
eikr
~
∂
N fk (θ, φ)
+
Im N ∗ e−ikr cos θ
m
∂r
r
e−ikr ∂ h ikr cos θ i
Ne
N ∗ fk∗ (θ, φ)
=
r ∂r
~
1
N ∗ N Im ik fk (θ, φ)e[ikr(1−cos θ)] +
m
r
1 ∗
ik cos θ fk (θ, φ)e[−ikr(1−cos θ)] + . . .
r
onde termos de ordem superior a 1/r foram desprezados.
X pode-se mostrar que os termos jint (r) · θ̂ e jint (r) · φ̂ são de ordem 1/r3 e
portanto podem ser desprezados no limite |r| → ∞.
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I
Note que jint (r) difere dos dois termos anteriores (inc e out), contribuindo apenas
quando θ = 0 (onde ocorre a interferência da onda plana com a onda esférica). Isso
pode ser visto analisando a seguinte integral, onde consideramos uma
superposição de ondas planas com vetores de onda em um intervalo ∆k em torno
de ki .
k+∆k
Z
dke[ikr(1−cos θ)] =
k
1
e[ikr(1−cos θ)]
ir(1 − cos θ)
Para θ 6= 0 a integral acima oscila, e neste caso
k+∆k
Z
dke[ikr(1−cos θ)] = 0
lim
r→∞
k
k+∆k
k
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I
A seção de choque diferencial pode ser escrita como
|jout |r2 dΩ
dσ
(k; θ, φ) =
= |fk (θ, φ)|2 dΩ
dΩ
|jinc |
ou
dσ
(k; θ, φ) = |fk (θ, φ)|2
dΩ
Temos portanto uma relação entre a seção de choque diferencial (medida em
laboratório) e a amplitude de espalhamento (calculada, e que deve ser obtida a
partir do comportamento assintótico da função de onda de espalhamento). A partir
da seção de choque diferencial obtemos
X seção de choque total:
Z
Z
dσ
(k; θ, φ) = dΩ|fk (θ, φ)|2
σtot (k) = dΩ
dΩ
X seção de choque de transferência de momentum:
Z
Z
dσ
σmt (k) = dΩ(1 − cos θ)
(k; θ, φ) = dΩ(1 − cos θ)|fk (θ, φ)|2
dΩ
Ilustração: Colisões e− –HCOOH
Estrutura do ácido fórmico.
Ilustração: Colisões e− –HCOOH
10
60
10
0
30 60 90 120 150 180
10
30 eV
1
0.1
0
40 eV
1
cm )
2
cm /sr)
40
-16
-16
cross section (10
30 60 90 120 150 180
SMCPP
Kohn
Allan
2
1
15 eV
0
Kohn
SMCPP (SE)
expt.
SMCPP (SEP)
cross section (10
1
-16
20 eV
2
cm /sr)
10
momentum transfer cross section (10
Gianturco
Vizcaino et al.
SMCPP
10
20
1
0.1
30 60 90 120 150 180 0 30 60 90 120 150 180
scattering angle (degrees)
0
1
10
energy (eV)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
energy (eV)
3.5
4
4.5
Seções de choque diferenciais (esquerda), de transferência de momentum (centro), e
diferencial a 130◦ (direita).
X M. H. F. Bettega, Phys. Rev. A 74, 054701 (2006)
5
Ilustração: Colisões e− –C3 H7 OH
Estrutura do isopropanol (direita), n-propanol (esquerda).
Ilustração: Colisões e− –C3 H7 OH
2 eV
5 eV
50
120
40
15 eV
20 eV
30 eV
10
-16
90
cross section (10
-16
1
100
2
2
cm )
cm )
10
cross section (10
cross section (10
150
10 eV
-16
2
cm /sr)
100
60
30
30
20
10
1
0 60 120180 60 120180 60 120180
scattering angle (degrees)
0
0
5
10
15
energy (eV)
20
25
30
0
0
5
10
15
20
energy (eV)
X M. H. F. Bettega, C. Winstead, V. McKoy, A. Jo, A. Gauf, J. Tanner, L. R. Hargreaves, M. A. Khakoo,
Phys. Rev. A 84, 042702 (2011)
25
30
Espalhamento por um Potencial: O Teorema Ótico
I
O teorema ótico diz que
I
4π
Imfk (θ = 0)
k
Para demonstrar este teorema vamos considerar o arranjo ilustrado abaixo
σtot =
δθ
ki
r2 δΩ
z
Integrando o termo de interferência entre θ = 0 e δθ temos
Z 1
o
i
eikr n −ikr
e
− e(−ikr cos δθ) =
d(cos θ)e[ikr(1−cos θ)] =
+ temos oscilantes
−ikr
kr
cos δθ
e portanto
Z
Z
dΩr2 jint · r̂ =
δΩ
2π
Z
1
dφ
0
d(cos θ)r2 jint · r̂ = −4πN ∗ N
cos δθ
onde fk independe de φ na direção de incidência.
~
Imfk (θ = 0)
m
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I
Lembrando que
I
∇·j=0→
Z
dS · j =
dΩr2 j · r̂ = 0
que é a relação que expressa a conservação do número de partículas (como V é
real, não há fontes nem sumidouros).
Fazendo j = jinc + jout + jint , integrando e
R
considerando |r| → ∞ e dΩjint · r̂ = 0 temos
Z
~
N ∗N
k dΩ|fk (θ, φ)|2 − 4πImfk (θ = 0) = 0
m
ou, colocando em outra forma
Z
4π
σtot = dΩ|fk (θ, φ)|2 =
Imfk (θ = 0)
k
que é a expressão desejada.
A equação de Lippmann-Schwinger
I
Vamos discutir a equação
~2 2
(+)
(+)
−
∇r + V (r) Ψki (r) = EΨki (r)
2m
(onde fizermos ψ → Ψ) utilizando a notação de Dirac. Desta forma temos
(+)
(+)
H|Ψki i = E|Ψki i
onde
p2
2m
A equação homogênea para o mesmo autovalor de energia E é
H = H0 + V ; H0 =
H0 |Ski i = E|Ski i
onde
hr|Ski i =
eiki .r
3
(2π) 2
X espalhamento elástico (V é real): |ki | = |kf | = k
A equação de Lippmann-Schwinger
I
Lembrando da condição assintótica da função de onda de espalhamento . . .
1
eikr
1
(+)
iki .r
Ψki (r) −−−−→
e
+
f
(k
,
k
)
, N=
i
f
3
3
|r|→∞ (2π) 2
r
(2π) 2
I
A equação de Lippmann-Schwinger (solução da equação não homogênea) é
(±)
(±)
(±)
|Ψki,f i = |Ski,f i + G0 V |Ψki,f i
Os sinais (+) e (-) correspondem aos índices ki e kf respectivamente. O operador
de Green da partícula livre é
~2
(E − H0 ± i)−1
2m
Multiplicando a equação de Lippmann-Schwinger por V , obtemos uma outra forma
para esta equação dada por
(±)
G0
(±)
=
(±)
A(±) |Ψki,f i = V |Ski,f i ; A(±) = V − V G0 V
A equação de Lippmann-Schwinger
I
(+)
(−)
As soluções |Ψki i e |Ψkf i possuem interpretações físicas diferentes (ambas são
(+)
I
soluções aceitáveis do problema). |Ψki i representa a solução para o problema no
qual uma partícula com momento ki incide em um alvo representado pelo potencial
V . Ondas esféricas saindo do alvo fazem parte da condição de contorno, a qual
(+)
está embutida em G0 a partícula é espalhada com momentum kf .
R
(±)
Projetando |Ψki,f i na base de coordenadas, onde dr|rihr| = 11
temos
Z
(±)
(±)
(±)
hr|Ψki,f i = hr|Ski,f i + dr 0 hr|G0 |r 0 ihr 0 |V |Ψki,f i
Nesta base é, o operador de Green fica
G0 (r, r 0 ) = hr|G0 |r 0 i
(±)
(±)
podendo ser escrito como
G0 (r, r 0 ) =
(±)
~2
1
hr|
|r 0 i
2m E − H0 ± i
A equação de Lippmann-Schwinger
I
Na base de ondas planas:
R
dk|kihk| = 11
A solução de H0 é
H0 |ki =
~2 k2
|ki
2m
(±)
Com isto, a função G0 (r, r 0 ) é dada por
G0 (r, r 0 )
(±)
=
=
=
=
Z
~2
1
hr|
dk 0 |k 0 ihk 0 | |r 0 i =
2m E − H0 ± i
Z
hr|k 0 ihk 0 |r 0 i
~2
dk 0 ~2 k2
=
2 k 02
2m
− ~ 2m
± i
2m
Z
0
0
~2
dk 0
eik .(r−r )
=
2m
(2π)3 ~2 k2 − ~2 k 0 2 ± i
2m
2m
Z
0
0
eik .(r−r )
1
dk 0 0 2
− 3
8π
k − k2 ∓ i 0
A equação de Lippmann-Schwinger
z
Im k ’
−k + i η
x
k’
θ
Re k ’
x
−k − i η
r − r’
I
k + iη
x
x
k − iη
Considerando a geometria na figura (a) acima temos
G0 (r, r 0 )
(±)
=
=
−
−
1
8π 3
Z
1
8π 2
Z
∞
dk0 k 0
2
2π
Z
Z
+∞
−∞
dk0
0
0
0
eik |r−r | cos θ
=
k 0 2 − k2 ∓ i 0
o
n 0
0
0
0
eik |r−r | − e−ik |r−r |
d(cos θ)
−1
0
0
+1
dφ
k
k 0 2 − k2 ∓ i 0
O integrando tem polos para k 0 ' ±(k ± iη), como mostra a figura (b) acima.
Temos assim
G0 (r, r 0 )
→
+k ± +iη; −k − iη
(−)
G0 (r, r 0 )
→
+k ± −iη; −k + iη
(+)
A equação de Lippmann-Schwinger
I
A solução (por resíduos) é
0
G0 (|r − r 0 |) = −
(±)
I
1 e±k|r−r |
4π |r − r 0 |
Para potenciais locais: hr|V |r 0 i = V (r 0 )δ(r − r 0 ). Assim, a equação de
Lippmann-Schwinger na base de coordenadas fica
(±)
hr|Ψki,f i =
eiki,f .r
3
(2π) 2
−
2m
~2
Z
0
dr 0
e±ik|r−r |
(±)
V (r 0 )hr 0 |Ψki,f i
4π|r − r 0 |
kf
r
ki
I
r −r ’
o
r’
z
(+)
Estamos interessados no comportamento de hr|Ψki i no limite em que |r| → ∞ ou,
de maneira equivalente, |r| >> |r0 |. Considerando o arranjo acima, podemos
escrever
|r − r 0 | = r − r̂ · r 0
A equação de Lippmann-Schwinger
I
Definindo kf como kf = kr̂ e utilizando |r − r 0 | = r − r̂ · r 0 (no denominador
fazemos |r − r 0 | = r), a função de Green fica
(±)
G0
=−
1 e±ikr e∓ikf .r
4π
r
0
(+)
Considerando apenas a solução |Ψki i, temos
Z
0
eiki .r
1 2m eikr
(+)
(+)
hr|Ψki i =
dr 0 e−ikf .r V (r 0 )hr0 |Ψki i
3 −
2
4π
~
r
2
(2π)
I
Vamos agora comparar a solução acima com o comportamento assintótico
eikr
1
(+)
(+)
eiki ·r +
f (kf , ki )
hr|Ψki i = Ψki (r) −−−−→
3
|r|→∞ (2π) 2
r
A amplitude de espalhamento
I
Obtemos assim uma expressão para a amplitude de espalhamento f (kf , ki )
envolvendo |Skf i, o potencial de interação V e a função de onda de espalhamento
(+)
|Ψki i
f (kf , ki ) = −
1 2m
(+)
(2π)3 hSkf |V |Ψki i
4π ~2
com
hSkf |ri =
I
e−ikf .r
3
(2π) 2
(−)
Uma expressão alternativa para f (kf , ki ), correspondente à solução |Ψkf i
(−)
(+)
(utilizando hSkf |V = hΨkf |A(+) e A(+) |Ψki i = V |Ski i) é
f (kf , ki ) = −
1 2m
(−)
(2π)3 hΨkf |V |Ski i
4π ~2
(+)
Da equação de Lippmann-Schwinger (escrita na forma V |Ski i = A(+) |Ψki i)
obtemos outra forma para f (kf , ki )
f (kf , ki ) = −
1 2m
(−)
(+)
(2π)3 hΨkf |A(+) |Ψki i
4π ~2
Princípio Variacional de Schwinger
I
Podemos combinar as 3 expressões para f (kf , ki ) obtidas anteriormente de forma
a construir um funcional, que será o ponto de partida para desenvolvermos um
método variacional para a amplitude de espalhamento (o qual será discutido na
aula 3/3). A forma deste funcional é
[f (kf , ki )] = −
o
n
1 2m
(−)
(+)
(+)
(−)
(2π)3 hSkf |V |Ψki i + hΨkf |V |Ski i − hΨkf |A(+) |Ψki i
2
4π ~
onde
(+)
A(+) = V − V G0 V
X J. Schwinger, Phys. Rev. 72, 742 (1947)
I
Estados ligados:
X Hartree-Fock: E[χ∗ , χ]
X DFT: E[ρ(r)]
Aproximação de Born
I
O cálculo da amplitude de espalhamento f (kf , ki ) depende do conhecimento da
função de onda de espalhamento (solução da equação de Lippmann-Schwinger).
(+)
No caso de espalhamento “fraco", podemos aproximar Ψki (r) por uma onda plana
(neste caso Ski (r)). Dentro desta aproximação, a amplitude fica
1 2m
(2π)3 hSkf |V |Ski i
4π ~2
que é conhecida como “Primeira Aproximação de Born". Na base de coordenadas
f (B) (kf , ki ) fica
Z
0
1 2m
f (B) (kf , ki ) = −
dr 0 ei(ki −kf )·r V (r 0 )
4π ~2
f (B) (kf , ki ) = −
A expressão acima representa a transformada de Fourier do potencial (calculada
dentro do alcance de V ).
Ilustração - Colisões e− – OCS
Estrutura do sulfeto de carbonila.
Ilustração - Colisões e− – OCS
X M. H. F. Bettega, M. A. P. Lima e L. G. Ferreira, Aust. J. Phys. 53, 399 (2000)
Potencial Complexo
I
Potencial Complexo? V (r) = VR (r) + iVI (r)
X Utilizado como ferramenta para descrever processos de espalhamento incluindo
efeitos de absorção, o que permite considerar outros canais além do canal elástico
(há perda de fluxo do canal elástico para outros canais). Não leva em conta o tipo
de processos inelásticos ou de ionização específicos associados à absorção.
X É empregado, por exemplo, no estudo de espalhamento de elétrons por
moléculas.
I
A equação da continuidade com V (r) = VR (r) + iVI (r) fica
∂ρ
2
+ ∇ · j = ρVI
∂t
~
e no caso estacionário
∇·j=
2
ρVI
~
A seção de choque fica
σtot (k) = σel (k) + σreac (k)
onde σel (k) representa a seção de choque elástica e σreac (k) a seção de choque
de reação, a qual inclui todos os processos “não elásticos".
Ilustração - Colisões e− – Si(CH3 )4 (tetramethylsilane - TMS)
Estrutura do TMS.
Ilustração - Colisões e− – Si(CH3 )4 (tetramethylsilane - TMS)
X R. T. Sugohara, M.-T. Lee, G. L. C. de Souza, M. G. P. Homem, e I. Iga, Phys. Rev. A. 84, 062709 (2011)
Referências
X H. J. Lipkin, Quantum Mechanics - New Approaches to Selected Topics, Dover (2007).
X C. J. Joachain, Quantum Collision Theory, North-Holland, Terceira Edição (1983).
X L. S. Rodberg e R. M. Thaler, Introduction to the Quantum Theory of Scattering,
Academic Press (1970).
X P. G. Burke e C. J. Joachain, Theory of Electron-Atom Collisions - Part 1 Potential
Scattering, Plenum Press (1995).
X S. Geltman, Topics in Atomic Collision Theory, Krieger Publishing Company;
Corrected edition (May 1, 1997).
X J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Addison Wesley, Revised Edition (1994).
X E. Merzbacher, Quantum Mechanics, Wiley, Third Edition (1997).
X Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë, Quantum Mechanics ,Volume II,
John Wiley & Sons (1977).
X Leslie E. Ballentine, Quantum Mechanics, Prentice Hall (1990).
X R. C. Greenhow, Am. J. Phys. 61, 23 (1993).
Agradecimentos
e ao Prof. Carlos de Carvalho pelo suporte computacional no DFis-UFPR e no
LCPAD-UFPR.
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