Equações de Maxwell – Wikipédia, a enciclopédia livre

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Equações de Maxwell
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
As equações de Maxwell são um grupo de equações de derivadas
parciais que, juntamente com a lei da força de Lorentz, compõe a
base do eletromagnetismo clássico no qual está embebido toda a
óptica clássica. O desenvolvimento das equações de Maxwell, e o
entendimento do eletromagnetismo, contribuíram significativamente
para toda uma revolução tecnológica iniciada no final do século XIX
e continuada durante as décadas seguintes.
As equações de Maxwell podem ser divididas em duas grandes
variações. O grupo "microscópico" das equações de Maxwell utiliza
os conceitos de carga total e corrente total, que inclui as cargas e
correntes a níveis atômicos, que comumente são difícieis de se
calcular. O grupo "macroscópico" das equações de Maxwell definem
os dois novos campos auxiliares que podem evitar a necessidade de
ter que se conhecer tais cargas e correntes em dimensões atômicas.
Eletromagnetismo
Eletricidade · Magnetismo
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Eletrodinâmica
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Circuitos elétricos
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Cientistas
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As equações de Maxwell são assim chamadas em homenagem ao físico e matemático escocês James Clerk
Maxwell, já que podem ser encontradas, sob outras notações matemáticas, em um artigo dividido em quatro
partes, intitulado On Physical Lines of Force (Acerca das linhas físicas de força), que Maxwell publicou
entre 1861 e 1862. A forma matemática da lei da força de Lorentz também está presente neste artigo.
Torna-se útil, geralmente, escrever as equações de Maxwell em outras formas matemáticas. Estas
representações matemáticas, ainda que possam ser completamente diferentes uma das outras, descrevem
basicamente os mesmos fenômenos físicos e ainda são chamadas de "equações de Maxwell". Uma
formulação em termos de tensores covariantes de campo é usada na relatividade restrita, por exemplo.
Dentro da mecânica quântica, é preferida uma versão baseada em potenciais elétrico e magnético.
Índice
1 História
2 Descrição conceitual
2.1 Lei de Gauss
2.2 Lei de Gauss para o magnetismo
2.3 Lei de Faraday
2.4 Lei de Ampère com a correção de Maxwell
3 Unidades e sumário de equações
3.1 Tabela das equações "microscópicas"
3.2 Tabela das equações "macroscópicas"
3.3 Tabela dos termos usados
3.3.1 Unidades gaussianas
3.4 Em materiais lineares
3.5 Vácuo
4 Detalhamento
4.1 Densidade de carga e campo elétrico
4.2 Estrutura do campo magnético
4.3 Campos magnéticos e elétricos variáveis
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4.4 Fonte do campo magnético
5 Equações de Maxwell na relatividade especial
6 Formas diferenciais
7 Espaço fibrado
8 Ver também
9 Referências
História
As formulações de Maxwell em 1865 estavam em torno de vinte equações de vinte variáveis, que incluíam
diversas equações hoje consideradas auxiliares das equações de Maxwell: a Lei de Ampère corrigida, uma
equação de três componentes; a Lei de Gauss para carga, descrita por uma equação; a relação entre
densidade de corrente total e de deslocamento, descrita por três equações, a relação entre campo magnético
e o vetor potencial, descrita por uma equação de três componentes, que implica a ausência de monopolo
magnético; a relação entre campo elétrico e os potenciais escalar e vetorial, descrita por equações de três
componentes, que implicam a Lei de Faraday; a relação entre campos elétrico e de deslocamento, descrita
por equações de três componentes, a Lei de Ohm, que relaciona intensidade de corrente e campo elétrico,
descrita por equações de três componentes; e a equação de continuidade, que relaciona a intensidade de
corrente e densidade de carga, descrita por uma equação.
A formulação matemática moderna das equações de Maxwell deve-se a Oliver Heaviside e Willard Gibbs,
que em 1884 reformularam o sistema original de equações em uma representação mais simples, utilizando-se
de cálculo vetorial. Maxwell também havia publicado seu trabalho, em 1873, utilizando notações com base
em quaterniões, que acabou se tornando impopular. A mudança para notação vetorial produziu uma
representação matemática simétrica que reforçava a percepção das simetrias físicas entre os vários campos.
Esta notação altamente simétrica inspiraria diretamente o desenvolvimento posterior da física fundamental.
Como um dos resultados derivados das equações de Maxwell, surge a velocidade das ondas
eletromagnéticas, dada por
. Como consequência, interpretações de físicos logo em seguida
sugeriam que as equações de Maxwell expressariam o eletromagnetismo apenas no referencial inercial do
éter luminífero. Naquela época, para os físicos, o éter luminífero seria o meio pelo qual a luz oscilaria como
onda, assim como uma onda mecânica tendo como meio uma corda, e serviria como refencial absoluto para
todo o Universo. O experimento conduzido por Albert Abraham Michelson e Edward Morley produziu um
resultado nulo para a hipótese da mudança da velocidade da luz devido ao movimento hipotético da Terra
através do éter. Porém, explicações alternativas foram buscadas por Lorentz, entre outros. Isto culminou na
teoria de Albert Einstein da relatividade especial, que postulava a ausência de qualquer referencial absoluto
e a invariância das equações de Maxwell em todos os referenciais.
As equações do campo eletromagnético têm uma íntima ligação com a relatividade especial: as equações do
campo magnético podem ser derivadas de interpretações das equações do campo elétrico sob
transformações relativísticas sob baixas velocidades. Na relatividade restrita, as equações são escritas em
uma forma mais compacta, manifestamente covariante, em termos de um quadritensor da intensidade do
campo antissimétrico de segunda ordem, que unifica os campos eléctrico e magnético em um único objecto.
Descrição conceitual
Conceitualmente, as equações de Maxwell descrevem como cargas elétricas e correntes elétricas agem como
fontes dos campos elétrico e magnético. Além do mais, as equações de Maxwell descrevem como um campo
elétrico que varia no tempo gera um campo magnético que também varia no tempo, e vice-versa.
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Das quatro equações, duas delas, a lei de Gauss e a lei de Gauss para o magnetismo, descrevem como os
campos são gerados a partir de cargas. Para o campo magnético, como não há carga magnética, as linhas de
campo magnético não começam nem terminam, ou seja, as linhas são como trajetórias fechadas. As outras
duas equações descrevem como os campos "circulam" em torno de suas respectivas fontes: o campo
magnético "circula" em torno de correntes elétricas e de campos elétricos variantes com o decorrer do
tempo, conforme a lei de Ampère com a correção do prórprio Maxwell; campos elétricos "circulam" em
torno da campos magnéticos que variam com o tempo, conforme a lei de Faraday.
Lei de Gauss
A lei de Gauss, assim chamada em homenagem ao matemático e físico alemão Carl Friedrich Gauss,
descreve a relação entre um campo elétrico e as cargas elétricas geradoras do campo. O campo elétrico
aponta para fora de cargas positivas em direção a cargas negativas. Na descrição em termos de linhas de
campo, as linhas de campo elétrico começam das cargas positivas e terminam nas cargas negativas.
"Contando" o número de linhas de campo em uma superfície fechada, portanto, obtém-se o total de cargas
inclusas naquela superfície. Mais tecnicamente, a lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de qualquer
superfície gaussiana fechada para as cargas elétricas na superfície.
Lei de Gauss para o magnetismo
A lei de Gauss para o magnetismo afirma que não há cargas ou
monopolos magnéticos análogos às cargas elétricas. Em vez disso, o
campo magnético é gerado por uma configuração chamada dipolo.
Dipolos magnéticos são mais bem representadas como correntes
fechadas, mas que lembram cargas magnéticas positivas e negativas
inseparáveis, não tendo, portanto, nenhuma rede de cargas
magnéticas. Em termos de linhas de campo, esta equação afirma que
as linhas de campo magnético nunca começam ou terminam que
circulam. Em outras palavras qualquer linha de campo magnético que
entra em um determinado volume ou material devem de alguma
forma sair deste volume ou material. Em uma linguagem mais
técnica, o fluxo magnético através de qualquer superfície gaussiana é
zero, ou que o campo magnético é um campo vetorial solenoidal.
Lei de Faraday
Concepção artística da magnetosfera
terrestre sendo pertubada por ventos
solares. Esta perturbação cria campo e
corrente elétrica, que podem interferir
e prejudicar as comunicações em torno
e na Terra
Linhas de campo magnético em torno
de um magneto: As linhas de campo
magnético nunca começam ou
terminam, tais linhas têm "trajetórias"
fechadas
A lei de Faraday, assim
chamada em homenagem ao
físico inglês Michael Faraday,
descreve como um campo magnético que varia com o tempo cria, ou
induz, um campo elétrico. Este aspecto da indução eletromagnética é
o princípio operante por trás de muitos geradores elétricos. Por
exemplo, um magneto em forma de barra, em rotação, cria um campo
magnético que varia com o tempo, que por sua vez gera um campo
elétrico que também varia com o tempo em um condutor próximo.
Há duas equações grandemente relacionadas que são chamadas de lei
de Faraday. A forma usada nas equações de Maxwell é sempre
válida, embora mais restrita do que a equação originalmente
formulada por Faraday.
Lei de Ampère com a correção de Maxwell
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A lei de Ampère, assim chamada em homenagem ao físico francês
André-Marie Ampère, afirma que campos magnéticos podem ser
gerados em duas formas: através de correntes elétricas, que é a lei de
Ampère original, e por campos elétricos que variam no tempo, que é
a correção proposta por Maxwell.
A correção de Maxwell proposta à lei de Ampère é particularmente
importante: significa que um campo magnético que varia no tempo
cria um campo elétrico que varia no tempo, e que um campo elétrico
que varia no tempo gera um campo magnético que varia no tempo.
Portanto, estas equações permitem a existência de "ondas
eletromagnéticas" autosustentadas através do espaço vazio.
Memória de núcleo magnético de An
Wang (1954), uma aplicação da lei de
Ampère. cada núcleo armazena um bit
de memória
A velocidade calculada para as ondaeletromagnéticas, que podia ser
prevista através de experimentos em cargas e correntes, coincide
exatamente com a velocidade da luz. Portanto, a luz é uma forma de onda eletromagnética. Maxwell
entendeu esta relação entre a luz e o eletromagnetismo em 1861, unificando, portanto, duas áreas da Física
até então distintas: o eletromagnetismo e a óptica.
Unidades e sumário de equações
As equações de Maxwell variam conforme o sistema de unidades usado. Embora a forma geral permaneça,
várias definições são alteradas e diferentes constantes aparecem emdiferentes lugares. As equações nesta
seção são dadas no Sistema Internacional de Unidades (SI). Outras unidades comumente usadas são as
unidades gaussianas, baseado no sistema CGS de unidades, as unidades de Lorentz-Heaviside, usado
principalmente em física de partículas e as unidades naturais, conhecidas também como unidades de Planck,
usada em física teórica.
Nas equações abaixo, símbolos em negrito representam grandezas vetoriais, e símbolos em itálico
representam grandezas escalares. As definições dos termos usados abaixo são dadas logo abaixo em tabelas
a parte.
Tabela das equações "microscópicas"
Nome
Formulação em termos de carga e corrente totais
Forma diferencial
Forma integral
Lei de Gauss
Lei de Gauss para o
magnetismo
Lei de Faraday da indução
Lei de Ampère
(com a correção de Maxwell)
Tabela das equações "macroscópicas"
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Formulação em termos de carga e corrente "livres"
Nome
Forma diferencial
Forma integral
Lei de Gauss
Lei de Gauss para o magnetismo
Lei de Faraday da indução
Lei de Ampère
(com a correção de Maxwell)
Tabela dos termos usados
A tabela a seguir fornece o significado de cada símbolo e da unidade SI de medida:
Símbolo
Definições e unidades
Significado (o primeiro termo é o mais comum)
Unidade SI de medida
Campo elétrico
volt por metro
Também chamado de intensidade de campo elétrico newton por coulomb
Campo magnético
Também chamado de indução magnética
Densidade de campo magnético
Densidade de fluxo magnético
tesla
weber por metro
quadrado,
volt-segundo por metro
quadrado
Campo de deslocamento elétrico
Também chamado de indução elétrica
Densidade de fluxo elétrico
coulombs por metro
quadrado
newton por volt-metro
Campo magnetizante
Também chamado de campo magnético auxiliar
Intensidade de campo magnético
Campo magnético
ampère por metro
Operador divergência
Operador rotacional
Derivada parcial com respeito ao tempo
Elemento vetoral diferencial da superfície "A", com
magnitude infinitesimalmente pequena e direção
Metro quadrado
normal à superfície "S"
Elemento vetorial diferencial do comprimento
tangencial à curva
metro
Permissividade do vácuo, também chamada de
constante elétrica, uma constante universal
farads por metro
por metro
Segundo
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Permeabilidade do vácuo, também chamada de
constante magnética, uma constante universal
henries por metro, ou
newtons por ampère
quadrado
Densidade de carga livre (cargas ligadas)
coulombs por metro
cúbico
Densidade de carga total (incluindo cargas livres e
ligadas)
coulombs por metro
cúbico
Densidade de corrente livre (não incluindo
correntes ligadas)
ampères por metro
quadrado
Densidade de corrente total (incluindo correntes
livres e ligadas)
ampères por metro
quadrado
Rede de cargas elétricas livres dentro de um
volume tridimensionalV (não incluindo cargas
ligadas)
coulombs
Rede de cargas elétricas ligadas a um volume
tridimensionalV (incluindo cargas livres e ligadas)
coulombs
Integral de linha ao longo da fronteira ∂S de uma
superfície S (∂S é sempre uma curva fechada - se
início nem fim).
joules por coulomb
Intergral de linha do campo magnético sobre a
fronteira fechada ∂S da superfície S
tesla-metro
O fluxo elétrico (integral de superfície do campo
elétrico) por meio da superfície fechada
(a
fronteira do volume V)
joule-metro por coulomb
O fluxo magnético (Integral de superfície do campo
tesla-metro-quadrado ou
magnético) por meio da superfície fechada
(a
weber
fronteira do volume V)
Fluxo magnético através de qualquer superfície S,
weber ou volt-segundo
não sendo necessariamente uma superfície fechada
Fluxo elétrico através de qualquer superfície S, não
joule-metro por coulomb
sendo necesariamente fechada
Fluxo de campo de deslocamento elétrico através
de qualquer superfície S, não sendo
necessariamente fechada
coulomb
Rede de corrente elétrica livre passando através da
ampère
superfície S (não incluindo correntes ligadas)
Rede de corrente elétrica passando através da
superfície S (incluindo correntes livres e ligadas)
ampère
Unidades gaussianas
As equações de Maxwell são dadas normalmente no Sistema Internacional de Unidades (SI). No sistema
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gaussiano de unidades, as equações tomam forma mais simétrica. Os termos em negrito representam vetores:
Onde c é a velocidade da luz no vácuo. A simetria é mais aparente quando o campo eletromagnético é
considerado no vácuo. As equações tomam a seguinte forma altamente simétrica:
A força exercida por um campo elétrico e um campo magnético sobre uma partícula carregada é dada pela
equação da força de Lorentz:
onde é a carga da partícula e é a velocidade da partícula. Note que esta é levemente diferente da
expressão do SI acima. Por exemplo, aqui o campo magnético tem as mesmas unidades do campo elétrico
.
Em materiais lineares
Em materiais lineares, os campos D e H são relacionados a E e B por:
nos quais:
ε é a constante dieléctrica ou permissividade elétrica.
µ é a permeabilidade magnética.
Isto pode ser estendido para materiais não-lineares, fazendo ε e µ dependentes da intensidade do campo. Por
exemplo, o efeito Kerr, o efeito Pockels e materiais não-isotrópicos, ε e µ passam a ser tensores que mudam
a direção do campo ao qual são aplicados.
Em meios isotrópicos e não dispersivos, ε e µ são escalares independentes do tempo, e as equações de
Maxwell se reduzem a
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Em um meio uniforme, homogêneo, ε e µ são constantes independentes da posição, e podem portanto ser
trocadas pelas derivadas espaciais.
De modo geral, ε e µ podem ser tensores de segunda ordem, descritos por matrizes 3×3, e descrevem
materiais birrefringentes ou anisotrópicos.
Embora para muitos propósitos a dependência tempo/freqüência destas constantes possa ser desprezada,
todo material real exibe alguma dispersão material pela qual ε e/ou µ dependem da freqüência, e a
causalidade vincula esta dependência às relações de Kramers-Kronig.
Vácuo
O vácuo é um meio linear, homogêneo e isotrópico, e suas constantes elétricas são designadas por ε0 e µ0,
desprezando-se pequenas não-linearidades devido a efeitos quânticos. Caso não haja presença de correntes
ou cargas elétricas, obtêm-se as equações de Maxwell no vácuo:
Estas equações têm uma solução simples em termos de ondas progressivas planas senoidais, com as direções
dos campos elétricos e magnéticos ortogonais um ao outro e à direção do deslocamento, e com os dois
campos em fase:
Mas:
O que permite obter a equação da onda eletromagnética:
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De onde se obtem a velocidade da onda eletromagnética (c):
Maxwell percebeu que essa quantidade "v" poderia estar relacionada à velocidade da luz no vácuo, e
concluiu que a própria luz poderia ser uma forma de radiação eletromagnética, confirmada por Heinrich
Hertz em 1888.
Detalhamento
Densidade de carga e campo elétrico
A forma integral equivalente (dada pelo teorema da Divergência), também conhecida como Lei de Gauss, é:
pelo teorema da Divergência:
e pela Lei de Gauss:
logo
onde
é a área de um quadrado diferencial numa superfície fechada A com uma normal dirigida para fora
definindo sua direção, e Qenglobado é a carga livre abrangida pela superfície. portanto:
logo
,
onde ρ é a densidade volumétrica de carga elétrica livre (SI: C/m3), não incluindo dipolos de cargas ligadas
no material, e
é a densidade superficial de carga elétrica (SI: C/m2). Esta equação corresponde à lei de
Coulomb para cargas estacionárias no vácuo.
Em um material linear,
está diretamente relacionado ao campo elétrico
por meio de uma constante
dependente do material chamada permissividade ε:
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.
Qualquer material pode ser tratado como linear, desde que o campo elétrico não seja extremamente intenso.
A permissividade do espaço livre é referida como ε0, e aparece em:
onde, novamente,
é o campo elétrico (SI: V/m), ρt é densidade de carga total, incluindo as cargas ligadas,
e ε0 (aproximadamente 8,854 pF/m) é a permissividade do vácuo. ε também pode ser escrito como
,
onde εr é a permissividade relativa do material ou sua constante dieléctrica.
Estrutura do campo magnético
é a densidade de fluxo magnético (SI: tesla, T), também chamada a indução magnética.
A sua forma integral equivalente é:
é a área de um quadrado diferencial A com uma normal superficial apontando para fora, definindo sua
direção. Semelhantemente à forma integral do campo elétrico, esta equação funciona somente se a integral
for calculada sobre uma superfície fechada.
Esta equação é relacionada à estrutura do campo magnético porque, dado o elemento de volume, a
magnitude líquida dos componentes vectoriais que apontam para fora da superfície deve ser igual à
magnitude dos componentes vectoriais que apontam para dentro.E struturalmente, isto significa que as linhas
do campo magnético devem ser linhas ou trajetórias fechadas. Outra maneira de se afirmar isto é que as
linhas de campo não podem se originar de outro lugar. Esta é a formulação matemática da hipótese de que
não há monopólos magnéticos.
Campos magnéticos e elétricos variáveis
Usando a forma integral equivalente e usando o teorema de Stokes, temos:
e como pela lei de Faraday :
onde
logo
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onde
ΦB é o fluxo magnético através da área A descrita pela segunda equação
E é o campo elétrico gerado pelo fluxo magnético
c é um contorno fechado na qual a corrente é induzida, tal como um fio.
S é a superfície enlaçada pela curva c.
A força eletromotriz, algumas vezes denotada como e não deve ser confundida com a permissividade
acima, é igual ao valor desta integral. Esta lei corresponde à lei de Faraday de indução eletromagnética.
Esta equação relaciona os campos elétrico e magnético, mas isso também tem várias aplicações práticas.
Esta equação descreve como motores elétricos e geradores elétricos trabalham. Especificamente, isto
demonstra que a voltagem pode ser gerada pela variação do fluxo magnético passando através de uma dada
área no tempo, tal como acontece com uma espira girando uniformemente através de um campo magnético
fixado.
Em um motor ou gerador, a excitação fixa é fornecida pelo circuito de campo e a voltagem variável é
medida pelo circuito da armadura. Em alguns tipos de motores/geradores, o circuito de campo é montado
sobre o rotor e o circuito da armadura é montado sobre o estator, mas outros tipos de motores/geradores
empregam a configuração contrária.
Fonte do campo magnético
onde H é a intensidade de campo magnético (SI: A/m), relacionado ao campo magnético B por uma
constante chamada permeabilidade magnética µ (B = µH), e J é a densidade de corrente elétrica, definida
por:
, onde v é o campo vetorial chamado de velocidade de arraste que descreve as velocidades de
um portador de carga que tem uma densidade descrita pela função escalar ρq.
Utilizando o Teorema de Stokes temos:
logo:
Lei de Ampere:
Contribuição de Maxwell:
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Icirculada é a corrente circulada pela curva c (a corrente através de qualquer superfície é definida pela
equação:
.
No vácuo, a permeabilidade µ é a permeabilidade do espaço vazio, µ0, que é definida como sendo
exactamente 4π×10-7 W/A m. Também, a permissividade torna-se a permissividade ε0. Portanto, no vácuo, a
equação torna-se:
Usando a forma integral equivalente:
s é a aresta de uma superfície A, onde qualquer superfície com a curva s como sendo sua aresta deverá
servir, e Icirculada é a corrente circulada pela curva s. A corrente através de qualquer superfície é definida
pela equação: Iatravés de A =∫AJ dA. Se a densidade de fluxo elétrico não variar muito rapidamente, o
segundo termo do membro direito, o fluxo de deslocamento, é desprezível, e a equação se reduz à lei de
Ampère.
Equações de Maxwell na relatividade especial
Na relatividade especial, para expressar mais claramente o fato de que as equações de Maxwell no vácuo
tomam a mesma forma em todos os sistemas de coordenadas inerciais, as equações de Maxwell são escritas
em termos de quadrivetores e quadritensores na forma manifestamente covariante:
,
e
onde J é a quadricorrente, F é o tensor intensidade de campo ou tensor de Faraday, escrito como uma matriz
4×4,e
é o quadrigradiente, tal que
é o operador d'Alembertiano. O α na
primeira equação é implicitamente somado de acordo com a convenção da notação de Einstein. A primeira
equação tensorial expressa as duas equações inomogêneas de Maxwell: lei de Gauss e a lei de Ampère com a
correção de Maxwell. A segunda equação expressa as outras duas equações homogêneas: a lei de indução de
Faraday e a ausência de monopólos magnéticos.
Mais explicitamente, J = (cρ, J), um vetor contravariante, em termos da densidade de carga ρ e a densidade
de corrente J. Em termos de quadripotencial, como um vetor contravariante,
, onde φ é o
potencial elétrico e A é o potencial vetor magnético pelo calibre de Lorenz
, F pode ser
expresso como:
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o que conduz a uma matriz 4 × 4 (tensor de segunda ordem):
O fato de que ambos os campos elétrico e magnético são combinados em um único tensor, que expressa que,
de acordo com a relatividade, ambos os campos são diferentes aspectos da mesma coisa. E assim pela troca
dos referenciais, o que parecia ser um campo elétrico em um referencial se afigura como um campo
magnético em outro referencial, e vice-versa.
Note que diferentes autores algumas vezes empregam diferentes convenções de sinal para os tensores e
quadrivetores, o que não afeta a interpretação física. Note também que Fαβ e Fαβ não são os mesmos: eles
são as formas do tensor contravariante e covariante , relacionados pelo tensor métrico g. Na relatividade
especial o tensor métrico introduz as mudanças de sinal em algumas componentes de F; dualidades métricas
mais complexas são encontradas na relatividade geral.
Formas diferenciais
No vácuo, onde ε e µ são constantes em toda parte, as equações de Maxwell simplificam-se
consideravelmente uma vez que se use a linguagem da geometria diferencial e formas diferenciais. Com isso,
os campos elétrico e magnético são conjuntamente descritos por uma 2-forma em um espaçotempo
quadridimensional, a qual é usualmente chamada F. As equações de Maxwell então se reduzem à identidade
de Bianchi
onde d é a derivada exterior, e a equação fonte
onde o asterisco * é a estrela de Hodge. Aqui, os campos são representados em unidades naturais onde ε0 é
1. Aqui, J é a 1-forma, chamada de corrente elétrica, que satisfaz a equação da continuidade
Espaço fibrado
A formulação mais concisa e abrangente das equações de Maxwell e da eletrodinâmica clássica em geral é
como um espaço fibrado com fibra U(1). A conexão no espaço fibrado é d+A com A sendo o quadrivetor
compreendendo o potencial elétrico e o potencial vetor magnético. A curvatura da conexão F=dA é a
intensidade de campo. Há um resultado criticamente importante dentro do conceito de espaço fibrado que
mostra que esta é a abordagem correta: a holonomia em um espaço fibrado descreve o efeito
Aharonov-Bohm. Embora o efeito Aharonov-Bohm seja algumas vezes admitido como um efeito quântico,
sua explicação não requer qualquer quantização do campo eletromagnético. O efeito pode ser entendido em
termos puramente clássicos como a holonomia de uma curva em um espaço fibrado. Sem a formulação do
espaço fibrado, o efeito Aharonov-Bohm parece ser uma fantasmagórica ação a distância, inexplicável pelas
tradicionais equações de Maxwell.[1][2]
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Ver também
Cálculo vectorial
Unidades naturais
A Wikipédia possui o portal:
Portal de Física
Referências
1. ↑ Micheal Murray, Line Bundles (http://www.maths.adelaide.edu.au/people/mmurray/dg99/line_bundles.pdf) ,
2002 (PDF web link)
2. ↑ R. Bott, On some recent interactions between mathematics e physics, Canadian Mathematical Bulliten, 28
(1985)) no. 2 pp 129-164.)
James Clerk Maxwell, "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", Philosophical
Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865). (Este artigo acompanha uma
apresentação de 8 de dezembro de 1864 à Royal Society.)
James Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity e Magnetism, 3rd ed., vols. 1-2 (1891) (reprinted:
Dover, New York NY, 1954; ISBN 0-486-60636-8 e ISBN 0-486-60637-6).
John David Jackson, Classical Electrodynamics (Wiley, New York, 1998).
Edward M. Purcell, Electricity e Magnetism (McGraw-Hill, New York, 1985).
Banesh Hoffman, Relativity e Its Roots (Freeman, New York, 1983).
Charles F. Stevens, The Six Core Theories of Modern Physics, (MIT Press, 1995) ISBN
0-262-69188-4.
Landau, L. D., The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2),
(Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987).
Fitzpatrick, Richard, "Lecture series: Relativity e electromagnetism (http://farside.ph.utexas.edu
/~rfitzp/teaching/jk1/lectures/node6.html) ". Advanced Classical Electromagnetism, PHY387K.
University of Texas at Austin, Fall 1996.
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New
York; ISBN 0-7167-0344-0. (Fornece um tratamento das equações de Maxwell em termos de formas
diferenciais.)
Obtida de "http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%B5es_de_Maxwell"
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13/09/2011 23:05
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