Logaritmo como Inversa da Exponencial

Logaritmo como Inversa da Exponencial
Logaritmos
Dado
e
, com
ser elevado para obter . Ou seja,
, o logaritmo de na base b, escrito
significa exatamente que
é o expoente no qual b deve
. Portanto, as funções
e
são inversas uma da outra. O domínio do logaritmo de base é o conjunto de todos os números positivos. A
imagem do logaritmo base é o conjunto de todos os números reais.
Logaritmos em Geral
Relembre que o domínio e a imagem de uma função invertível são apenas a imagem e o domínio da
inversa. Portanto, o domínio da função logarítmica base
positivos) e a imagem da função logarítmica base
é a imagem da função
é o domínio da função
(todos os números
(todos os números reais).
Exemplos:
pois
pois
pois a função logarítmica
e a função exponencial
são inversas uma
sa outra.
para qualquer base , pois
para todo
.
A Função Logarítmica Natural
Uma certa função exponencial é tão importante na matemática que é distinta das demais chamando-a de a
função exponencial. Esta função exponencial é escrita como ou, particularmente qualdo a expressão no
expoente é complicada,
. A inversa desta função é muito importante na matemática e a veremos
abaixo:
A Função Logaritmo Natural
A função logaritmo natural é a inversa da função exponencial, , onde
. Esta
função é tão importante na matemática, nas ciências e na engenharia que ela recebe o nome de "ln":
.
O gráfico da função logaritmo natural pode ser obtido da função exponencial pela reflexão através da reta
:
Explorando a função logb(a) com a base maior que 1 e
entre 0 e 1
Use os deslizadores abaixo dos gráficos para mudar os valores de , a base da função logarítmica
e a sua função exponencial correspondente
. Para o gráfico da esquerda, é um número
maior que 1. Para o gráfico da direita, a base é um númro entre 0 e 1. Note que não existe uma função
logarítmica com base
. Você pode ver o porquê?
Base
1,0
4,0
7,0
10,0
Base
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9