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Movimento Circular
Restrições ao movimento:
●
Rotação de corpo rígido;
●
Rotação em torno de um eixo fixo.
Estudo:
●
Posição, velocidade e aceleração angular;
●
Grandezas angulares e lineares;
●
Inércia de Rotação e Energia Cinética de
Rotação.
Posição Angular
Dado um corpo rígido executando um movimento circular
em torno de um eixo fixo:
Unidades:
●
y
[θ]=rad
●
Graus
π rad=180 °
r
●
θ>0
0
Radianos
θ '<0
+ sentido horário
– sentido anti-horário
Grados
π rad=200 gon
x
●
Revoluções
2 π rad=1 rev
Posição Angular
Posição angular é uma grandeza adimensional.
Radianos:
y
“é definido como sendo o
comprimento do arco de
circunferência em um círculo
de raio unitário.”
π / 2 rad
1
1uc
π rad
−1
θ
0
1
0
x
2 π rad
π:
−1
3 π/2 rad
“é o comprimento de meia
circunferência em um círculo
de raio unitário.”
Variação da
Posição Angular
Movimento circular de um corpo rígido ⇒ raio constante:
Δ θ=θ f −θi
y
θf
θi
0
x
Velocidade Angular
y
ω
̄
tf
Unidades:
[ω]=
ti
θf
θi
0
x
[Δ θ] rad
=
=rad / s
[Δ t ]
s
Outras unidades:
rev /s=rps
1 rev / s=2 π rad / s
Média:
Δθ
ω
̄=
Δt
rev /min=rpm
2π
1 rev /min=
rad / s
60
Velocidade Angular
Instantânea:
y
tf
ωi
ti
θf
θi
0
x
ω= lim Δ θ
Δ t →0 Δ t
ω=
dθ
dt
Aceleração Angular
ωf
Média:
tf
Δω
α
̄=
Δt
y
ωi
ti
θf
θi
0
x
Instantânea:
α= lim Δ ω
Δ t →0 Δ t
α=
dω
dt
Aceleração Constante
Grandezas
Linear
Angular
x
θ
Δθ
ω
̄=
Δt
Δω
α
=
̄
Δt
Δx
Δt
Δv
̄a=
Δt
̄v =
dx
dt
dv
a=
dt
v=
dθ
dt
dω
α=
dt
ω=
Aceleração constate
̄a=a
v f +v i
̄v =
2
Δx
Δt
Δv
a
=
̄
Δt
̄v =
α
̄ =α
ω f +ωi
ω
̄=
2
Δθ
ω
̄=
Δt
Δω
α
̄=
Δt
Aceleração Constante
Aceleração constate
Linear
Angular
v=v 0 +a t
ω=ω 0 +α t
(v +v 0 )
Δ x=
t
2
1 2
Δ x=v 0 t+ a t
2
ω+ω 0
Δ θ=
t
2
1 2
Δ x=v t− a t
2
1 2
Δ θ=ω t− α t
2
v 2=v 02 +2 a Δ x
ω 2=ω 02 +2 α Δ θ
1 2
Δ θ=ω 0 t + α t
2
Grandezas Lineares e
Angulares
Relacionar as grandezas Lineares às grandezas
Angulares.
y
1
1uc
θ
x
−1
1
0
−1
Grandezas Lineares e
Angulares
Relacionar as grandezas Lineares às grandezas
Angulares.
S=r θ
y
v
derivando esta expressão em
relação ao tempo:
1
r
S=r θ
x
−1
1
0
d S d (r θ) d r
dθ
=
= θ+r
dt
dt
dt
dt
com r constante
−1
dS
dθ
=r
dt
dt
v=r ω
Grandezas Lineares e
Angulares
A velocidade tangencial é proporcional a distância do
eixo de rotação.
v 1=r 1 ω
v 2=r 2 ω
y
v1
v2
v3
S3
0
v 3 =r 3 ω
S1
S2
x
ω
r 1 >r 2 >r 3 ⇒ v 1 >v 2 >v 3
Grandezas Lineares e
Angulares
Derivando a velocidade tangencial
v=r ω
y
ainda com r constante
v
dv
dω
=r
dt
dt
at
x
at =r α
0
Esta aceleração mede a taxa
com que o módulo da
velocidade tangencial varia
no tempo.
Aceleração Radial
Suponha um corpo executando um movimento circular a
velocidade constante.
vi
∣v i∣=∣v f∣=v
y
vx
vi
vy
θ
θ
−v y
vf
θ
θ
0
vf
r
x
v x =v cos θ
v y =v sen θ
Calculando a aceleração
média no intervalo if:
Δ v Δ vx Δ vy
=
i+
j
̄a =
Δt Δt
Δt
̄a = ā x i+ ̄a y j
Δ v x =v xf −v xi=0
Δ v x =v yf −v yi=−2 v y
Aceleração Radial
̄a = ā y j
y
S
vi
vf
θ
̄a
Como a velocidade é constante:
θ
S 2(r θ)
v= =
Δt
Δt
x
0
−2 v y −2 v sen θ
⇒ ̄a y =
=
Δt
Δt
2r θ
⇒ Δ t=
v
−2 v 2 sen θ
v 2 sen θ
=−
̄a y =
2r θ
r θ
v2
sen θ
a y =a r =− ⋅lim θ
r θ→0
v2
ar =−
r
Aceleração
Num movimento circular pode haver dois tipos de
aceleração:
Aceleração tangencial:
y
ar
θ
r
0
dv
at = =r α
dt
v (t)
at
x
Que mede a taxa com que a
velocidade tangencial muda no
tempo.
Aceleração radial:
v2
ar =−
r
É sempre diferente de zero em
todo movimento circular
Aceleração
Δv
A aceleração tangencial pode
ser zero em um movimento
circular:
v
at =0 ⇒ v=const ; α=0
Δv
Δv
ar
v
v
ar v
ar
ar
v
ar
v
ar
r
0
v
ar
ar
v
v
ar
ar
ar
v
v
Já a aceleração radial é
necessária para o corpo fazer o
movimento circular, alterando a
direção do seu movimento a
cada instante.
v2
ar =−
r
Energia Cinética
de Rotação
Duas massas são fixadas nas extremidades de uma
haste rígida, de massa desprezível, giram em torno de
um ponto fixo.
A energia cinética do sistema:
v2
ω
m1
K =K 1 + K 2
m2
r2
r1
0
v1
v 1=r 1 ω
v 2=r 2 ω
1
1
K = m1 v 12 + m 2 v 22
2
2
1
2 2 1
K = m1 r 1 ω + m2 r 22 ω2
2
2
1
K = (m1 r 12 +m2 r 22 )ω 2
2
I =m1 r 12 +m2 r 22
Energia Cinética
de Rotação
Energia Cinética de Rotação
1 2
K R= I ω
2
Se comparado a
Energia Cinética de
Translação:
1
K T= M v2
2
Inércia de Rotação para corpos puntiformes:
I =∑ mi r i 2
Unidade:
[ I ]=[m][r 2 ]=kg⋅m2
Exemplo
Uma esfera pequena, de 250g, é presa a uma haste de
massa despresível, inicialmente a a 1,00m de uma
extremidade que está fixada a um eixo giratório.
(a) determine a inércia de rotação deste sistema e a sua
energia cinática, quando este girar a 10rps.
I=∑ mi r i 2=0,250⋅1,00 2 ⇒ I =0,250 kg m2
ω=10⋅2 π=62,8 rad / s
1
1
K R = I ω2= ⋅0,250⋅62,8 2 ⇒ K R =493 J
2
2
Exemplo
(a) se a massa for movida para a 1,30m de distância do
eixo de rotação, calcule novamente sua inércia de
rotação e energia cinética.
I=∑ mi r i 2=0,250⋅1,30 2 ⇒ I =0,423 kg m2
1 2 1
K R = I ω = ⋅0,423⋅62,8 2 ⇒ K R =833 J
2
2
(1,30−1,00)m
=30 %
1,00 m
(833−493) J
=69 %
493 J
Observe que um aumento de 30% na distância entre a massa
e o eixo de rotação gerou um aumento de 69% na energia
cinética de rotação do sistema, a mesma velocidade angular.