Lista 1 - labMA/UFRJ

Cálculo I - 2012/01 - Marco Cabral
Graduação em Matemática Aplicada - UFRJ
Monitores: Gabriel Sanfins & Raphael Lourenço
Lista 01 - “Introdução à Matemática”
“The curiosity and knowledge production in man
often outweigh any carnal pleasure, what makes
man different from any other animal.”
Thomas Hobbes
Considerações Iniciais: Na matemática, um axioma é uma hipótese inicial de qual outros enunciados
são logicamente derivados. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados por princı́pios de
dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmente porque eles são hipóteses iniciais.
Partindo dos Axiomas, toda a teoria é desenvolvida e os resultados obtidos em sequência, podem (e devem)
ser utilizados para que outros teoremas sejam provados. Os teoremas podem ser deduzidos por uma sequência
de raciocı́nios lógicos, a qual chamamos de Demonstração. Os tipos mais usados são:
• Demonstração Direta
• Demonstração por Contradição
• Demonstração por contraposição (Fazemos o uso da contrapositiva de uma afirmação)
→ A contrapositiva de uma afirmação tem o mesmo significado porém é dita de maneira reversa.
Vejamos um exemplo: “Se como laranjas, então gosto de frutas”, a contrapositiva dessa afirmação é:
“Se não gosto de frutas, então não como laranjas”
• Na realidade, o porquê desses métodos de demonstração funcionarem também é um teorema. Estranho
não? Esse resultado é explicado no livro “A Mathematical Introduction to Logic” do Matemático
Americano Herbert Enderton. Independentemente do método usado, lembre-se de sempre escrever
todos os seus passos. Procure ser claro e não omita informações ainda que pareçam irrelevantes.
1. (Demonstrações por Contradição)
O método de demonstração por contradição é usado da seguinte forma:
→ Suponha que o que se quer concluir é falso. Assim, uma sequência de deduções lógicas levará a uma
conclusão que contradiz suas hipóteses iniciais ou a um fato que é sabidamente falso. Essa contradição
implica a validade do que se queria concluir.
√
Exemplo: Vamos mostrar que 2 é irracional. Para isso, vamos mostrar primeiramente, um teorema
que será útil durante a demonstração principal. Em geral quando precisamos mostrar um teorema para
depois usa-lo em outra demonstração, damos a ele o nome de Lema.
Lema: Se a2 é múltiplo de 2, então a é múltiplo de 2.
Vamos usar a contraposição para demonstrar isso. Ou seja, iremos mostrar que se a é ı́mpar, então a2 é
ı́mpar. Se a é impar, então, para algum p ∈ N, a = 2p + 1. Logo, a2 = (2p + 1)(2p + 1) = 4p2 + 4p + 1
= 2(2p2 + 2p) + 1 = 2q + 1 com q = 2p2 + 2p, que é um número ı́mpar, como queriamos demonstrar.
√
√
Demonstração: Suponha que 2 não é irracional, logo, podemos escrever 2 = ab , onde a,b ∈ N∗
e ab é irredutı́vel. Logo, a2 = 2b2 ; portanto, a2 é múltiplo de 2, então a é múltiplo de 2 e com isso
podemos escrever a=2k, com k ∈ N∗ . Então ficamos com 4k 2 =2b2 ⇒ 2k 2 =b2 . Logo,
b é múltiplo de
√
2. Com isso, ab não é irredutı́vel o que contradiz uma de nossas hipóteses. Logo 2 é irracional.
i. Generalize para mostrar que
√
p sendo p um número primo, também é irracional.
√
ii. Tente generalizar o argumento acima para n p sendo p um número primo.
1
iii. Agora mostre que
√
n
pm , sendo p primo e mdc(n, m) = 1, também é irracional.
iv. Você sabe que existem infinitos números primos. Mas já parou para pensar sobre como demonstrar
isso? Então, vamos lá. Suponha que o conjunto dos números primos é finito. Com isso podemos
representar esse conjunto de primos (P) como: P = {p1 , p2 , . . . pn }.
v. Então tome K = p1 p2 . . . pn +1. Chegue a uma contradição.
vi. Tente provar que existem infinitos primos nas Progressões Aritméticas 4n + 3 e 6n + 5 com n ∈ N.
A generalização disso para qualquer progressão kn + p com mdc(k, p) = 1 é o chamado Teorema
de Dirichlet, porém a demonstração é surpreendentemente difı́cil.
2. (Utilizando a Indução)
Imagine uma fileira com infinitos dominós, um atrás do outro. Suponha que eles estejam de tal modo
distribuı́dos que, uma vez que um dominó caia, o seu sucessor tambám cai. O que acontece quando
derrubamos o primeiro dominó?
Esperamos que, com isso, mesmo infinitos, todos os dominós caiam. Assim é o princı́pio da indução
finita, que é um método de demonstração muito utilizado quando se quer provar teoremas válidos para
os números naturais ou inteiros.
Teorema: Princı́pio da indução finita - Dada uma propriedade P(n) que depende de um inteiro n, então:
→ Se P (n0 ), P (n0 + 1), . . . , P (n0 + m) são verdadeiras para algum inteiro positivo n0 e um inteiro não-negativo m, e se ∀ k > n0 + m, P (j) ser verdade para todo n ≤ j < k implicar que P (k) é
verdade, então P (n) é verdadeira ∀ n ≥ n0 .
Exemplo: Vamos mostrar usando indução que: Seja p um primo e n um inteiro positivo. Então
np − n é um múltiplo de p. Esse resultado é conhecido como Pequeno Teorema de Fermat.
O caso n=1 é óbvio. Então assumamos que isso é verdade ∀ k ≤ n e vamos mostrar que isso implica
a validade para o caso n + 1:
p
(n + 1)
p
− (n + 1) = n
n X
p j
n + 1 − n − 1
+
i
i=1
Como pi nj é múltiplo de p quando 1 ≤ j ≤ p − 1 e pela nossa hipótese de indução np − n é
múltiplo de p, concluimos que (n + 1)p − (n + 1) é múltiplo de p. Logo o teorema é valido ∀ n ∈ N.
n(n+1)
2
n2 = n(n+1)(2n+1)
6
n(n+1) 2
3
n =[ 2 ]
i. Mostre que 1 + 2 + 3 + . . . + n =
ii. Mostre que 12 + 22 + 32 + . . . +
iii. Mostre que 13 + 23 + 33 + . . . +
iv. Quanto vale 1k + 2k + 3k + . . . + nk ? É possı́vel dar uma fórmula fechada para essa expressão
∀ k ∈ N?
v. Vamos mostrar que as funções da forma F (x) =
Eles são os chamados Polinômios de Tchebyshev
cos(n arccos(x)) são polinômios ∀ n ∈ N.
vi. Mostre que para n = 1 e para n = 2, F é Polinômio.
vii. Suponha que F é um polinômio ∀ k ∈ N tal que k ≤ n. Mostre que isso implica que F é polinômio
para o caso n + 1.
2
3. (Funções Convexas e Desigualdade de Jensen)
Def: Uma função ξ : I → R é dita convexa se ∀ a, b ∈ I, onde I ⊂ R é um intervalo, vale
ξ(λa + (1 − λ)b) ≤ λξ(a) + (1 − λ)ξ(b) ∀λ ∈ [0, 1].
i. Pense nessa definição e em alguns exemplos de funções convexas. É importante que você à
compreenda pois essa, provavelmente, é a primeira definição rigorosa de algo em matemática que
você viu na vida. Procure saber por que essa definição é boa. O que seria convexidade para você?
Pense em polı́gonos..
ii. ξ é convexa se e somente se ∀ a, b ∈ I, a 6= b, ∀λ ∈]0, 1[ vale
ξ(b) − ξ(a)
ξ(b) − ξ(a + λ(b − a))
ξ(a + λ(b − a)) − ξ(a)
≤
≤
.
λ(b − a)
b−a
(1 − λ)(b − a)
Pn
iii. Se ξ é convexa e a1 , . . . an ∈ I, p1 , . . . , pn > 0 e k=1 pk = 1, mostre a Desigualdade de Jensen:
ξ(
n
X
pk ak ) ≤
k=1
n
X
pk ξ(ak ).
k=1
iv. Façamos a demonstração por indução: Para n=1, o caso é trivial. Para n=2, a validade vem da
definição de função convexa. Então suponha que a desigualdade é válida ∀ k ∈ N tal que k ≤ n,
e mostre que isso implica a validade para o caso n+1.
4. (Algumas Desigualdades legais)
i. Dados a1 , a2 , . . . , an ∈ R∗+ , temos: (1 + a1 )(1 + a2 ) . . . (1 + an ) ≥ (1 + a1 + a2 + . . . + an )
ii. Dados a1 , a2 , . . . , an pertencentes aos Reais positivos, tem-se:
r
a1 + a2 + . . . + an
a21 + a22 + . . . + a2n
≤
n
n
√
√
√
iii. Sejam a ≥ 0, b ≥ 0 e c ≥ 0, mostre que: (ab + bc + ac) ≥ a bc + b ac + c ab
iv. Prove a Desigualdade de Bernoulli : (1 + x)n ≥ 1 + nx, se n ∈ N e x≥ − 1
v. Prove a Desigualdade de Cauchy-Schwarz :
|a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn | ≤
q
a21 + . . . + a2n
q
b21 + . . . + b2n
5. (Identidades Trigonométricas: Acredite, em pouco tempo você verá o quão úteis elas são).
Nessa questão você deve demonstrar algumas identidades:
i. sec2 (γ) = tan2 (γ) + 1 e csc2 (γ) = cot2 (γ) + 1
ii. Prove as seguintes igualdades:
α−β
a. sin(α) + sin(β) = 2 sin( α+β
2 ) cos( 2 )
α+β
b. sin(α) − sin(β) = 2 sin( α−β
2 ) cos( 2 )
α−β
c. cos(α) + cos(β) = 2 cos( α+β
2 ) cos( 2 )
α+β
d. cos(α) − cos(β) = −2 cos( α−β
2 ) cos( 2 )
iii. Se x + y + z = π então: tan(x) + tan(y) + tan(z) = tan(x) tan(y) tan(z).
iv. Mostre por indução a Fórmula ou Identidade de De Moivre:
(cos(x) + i sin(x))n = cos(nx) + i sin(nx)
3
6. (Somas Infinitas ou Uma noção inicial de Limite:)
Comentário: É possı́vel que somas infinitas tenham como resultado algo finito? Sim, e quando
acontece dizemos que essa soma converge. Caso contrário dizemos que diverge. Um exemplo simples
é: 13 = 0, 3 + 0, 03 + 0, 003 + . . . Uma soma infinita na matemática é conhecida como série.
i. O que você acha do seguinte “Paradoxo” do Filósofo Grego Zenão: Aquiles, o herói grego, e a
tartaruga decidem apostar uma corrida. Como a velocidade de Aquiles é maior que a da tartaruga,
esta recebe uma vantagem, começando a corrida um trecho na frente da linha de largada. Aquiles,
então, nunca alcançará a tartaruga, pois terá que correr a distância que os separa, mas ao chegar a
esse ponto, a tartaruga terá percorrido uma nova distancia, e assim sucessivamente. Pesquise sobre
esse paradoxo e sobre as contradições levantadas por Zenão. Ele chegou a diversos argumentos
contra a teoria fı́sica do movimento usando esse, e outros paradoxos que são citados na obra de
Aristóteles.
ii. Mostre a fórmula da soma dos termos da Progressão Aritmética de termo inicial a1 : a1 + a2 +
. . . + an = n(a12+an )
iii. Mostre a fórmula da soma dos termos da Progressão Geométrica finita de termo inicial a1 e razão
n
−1)
q : Sn = a1 (q
q−1
P∞
iv. Se |q| < 1, quanto vale : n=0 aq n ? Por que?
P∞
v. A Soma 1 + 12 + 13 + 14 + . . . = n=1 n1 , converge?
P∞
1
+ . . . = n=1 n12 , converge?
vi. E essa: 1 + 41 + 19 + 16
P∞ 1
vii Procure saber se a série
i=1 pi , sendo cada pi o i-ésimo número primo, diverge. Uma bela
demonstração para isso é devida a Paul Erdös, um matemático húngaro considerado o mais
produtivo de toda a matemática. Um livro feito por dois alunos de Erdös chamado proofs from
the book, reúne algumas das mais belas demonstrações já feitas na Matemática.
7. (Princı́pio da Casa dos Pombos)
Teorema: PCP - Se distribuirmos nk + 1 pombos em n casas, então alguma das casas contém pelo
menos k + 1 pombos.
Esse princı́pio é muito utilizado em diversos problemas, sendo necessário apenas decidir quem são os
pombos e quem são as casas.
Exemplo: Dados n números inteiros distintos, mostre que existem 2 deles cuja diferença seja um
múltiplo de n − 1.
Consideramos os n números como os pombos e as casas como os n − 1 restos possı́veis na divisão por
n − 1. Como n = (n − 1) + 1 o PCP nos diz que existem dois números dentro dos n dados que tem o
mesmo resto quando divididos por n − 1. Então, vemos que se dois números deixam o mesmo resto na
divisão por n − 1, a diferença deles é um múltiplo de n − 1.
Usando o PCP, resolva os seguintes problemas:
i. Se n, m ∈ N, então o conjunto C = {m + 1, m + 2, . . . , m + n} possui algum divisor de n.
ii. Prove que entre n + 1 elementos escolhidos no conjunto {1, 2, 3, . . . , 2n} existem dois que são
primos entre si.
iii. Dado qualquer conjunto A formado por 10 números naturais escolhidos entre 1 e 99, inclusos,
mostre que existem dois subconjuntos disjuntos e não-vazios de A tal que a soma dos seus respectivos elementos é igual.
iv. Mostre que todo poliedro convexo tem duas faces com o mesmo número de arestas.
v. Escolhem-se ao acaso 9 pontos em um cubo de aresta 2. Mostre
que pelo menos um dos segmentos
√
que eles determinam tem comprimento menor ou igual a 3.
4
8. (Demonstrações Diretas, Conjuntos e algo mais...)
Nesta Questão veremos algumas propriedades de conjuntos e faremos suas demonstrações usando o
método direto. Algo que sempre se deve ter em mente é: Nem sempre os resultados que julgamos serem
fáceis, possuem uma demonstração fácil, em outras palavras, provar algo elementar, na matemática,
geralmente, não é elementar.
→ A demontração direta é aquela em que assumimos a hipótese inicial como verdadeira e através de
uma série de argumentos verdadeiros e deduções lógicas concluı́mos a veracidade da tese.
Exemplo: Quando queremos mostrar que dois conjuntos A e B são iguais, mostramos que A ⊂ B e
depois que B ⊂ A. Logicamente, se todos os elementos do cconjunto A são elementos de B, e todos os
elementos de B são elementos de A, conclui-se que A = B. Vejamos um exemplo.
Vamos mostrar que dados dois conjuntos A e B, se B ⊂ A então A ∪ B = A . Se B ⊂ A, significa que
∀x ∈ B ⇒ x ∈ A. Como A ⊂ A, temos que A ∪ B ⊂ A. Mas, ∀x ∈ A temos x ∈ A ∪ B e portanto
A ⊂ A ∪ B. Logo, se B ⊂ A então A ∪ B = A.
i. Mostre que, dados os conjuntos A, B e C tem-se: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
ii. Mostre que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
iii. Mostre que se A ⊂ B, então, B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪ A, para qualquer conjunto C.
iv. O que são números algébricos e números transcendentes?
v. Ao número de elementos de um conjunto damos o nome de Cardinalidade. Procure saber o que
são Conjuntos Enumeráveis e Conjuntos Não-Enumeráveis. Lembre-se que é seu dever sempre
procurar boas fontes de informações e conhecimento.
vi. Uma função f : A → B é chamada injetiva (biunı́voca ou injetora) quando, dados x,y quaisquer
em A, se f (x) = f (y) então x = y. Uma função f : A → B é chamada sobrejetiva (sobrejetora)
quando para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A tal que f (x) = y. Quando f : A → B é
injetiva e sobrejetiva, chamamos f de bijetiva (ou bijeção). Procura alguns exemplos de funções
bijetoras e verifique você mesmo se elas de fato são bijetoras.
vii. Por definição, se dois conjuntos A e B possuem a mesma cardinalidade então existe uma bijeção
f : A → B. Tente encontrar bijeções entre N e Z. E entre N e Q. Ou seja, N, Z e Q possuem
o mesmo número de elementos. Estranho não? Mas N ⊂ Z ⊂ Q? Pois é. É estranho mas é
verdade. Isso nos leva a ver que quando falamos de coisas infinitas, nem tudo é tão simples assim.
9. (Análise Combinatória: “é, você não está nem um pouco livre dela”)
A Análise Combinatória é uma área que dá muitas ferramentas úteis para outras áreas da matemática.
O supracitado Princı́pio da Casa dos Pombos, por exemplo, é um teorema que pertence a essa área.
Portanto, saber manipular números binomiais,arranjos, permutações e etc, é algo fundamental.
→ Mostre as seguintes identidades:
i. k nk = n n−1
k−1
ii. nk = n−1
+ n−1
k
k−1
m
Ph
h
iii. h+m
=
k=0 k c−k
c
k
n n−m
iv. nk m
= m
k−m para 0 ≤ m ≤ k ≤ n
Pn
j
v.
= n+1
j=k k
k+1
5
10. (Patologias e Sutilezas: “As coisas podem ser mais delicadas e estranhas do que você pensa”)
Em matemática, patologias são resultados que de certa maneira vão de encontro às idéias intuitivas, matematicamente falando, de um certo perı́odo da história. Um exemplo é a descoberta de que
existem números irracionais, na grécia antiga. Parece bobo nos dias de hoje, mas na época foi algo
que deixou os matemáticos bastante assustados.
i. O que é o Axioma da Escolha? Ele faz sentido para você? Procure saber o por quê desse axioma
ser tão polêmico na matemática. Procure pelo Paradoxo de Banach-Tarski.
ii. Você já ouviu falar do Teorema da Incompletude de Gödel ? O que diz esse teorema?
iii. Pesquise sobre a Conjectura de Goldbach.
iv. O que é um Fractal ? Para que ele serve?
v. Se um Hotel possui infinitos quartos, mas todos estão cheios, é possı́vel esse hotel receber mais
hóspedes? Pesquise sobre o Hotel de Hilbert.
vi. Todas as pessoas do mundo torcem para o Mesmo Time. Vamos demonstrar por indução. Podemos
observar que num conjunto que contém uma única pessoa, todas torcem pro mesmo time. Se
supusermos que a proposição é verdadeira para todos os conjuntos de dimensão inferior a n e
para os de dimensão n, então se houver n + 1 pessoas num conjunto, retiramos uma delas para
obter um conjunto resultante com n pessoas, e pela hipótese de indução, todos as pessoas nesse
conjunto torcem pro mesmo time. Devolvemos a pessoa retirada ao conjunto inicial, e retiramos
outra diferente. Pela hipótese de indução, todas as n pessoas torcem pro mesmo time. Logo as
n + 1 pessoas torcem pro mesmo time. Então para qualquer n ∈ N, as n pessoas torcem para o
mesmo time. E agora? Isso está errado? e se estiver, onde está o erro?
vii. Considere-se o conjunto M como sendo “o conjunto de todos os conjuntos que não se têm a si
próprios como membros”. Formalmente: A é elemento de M se e somente se A não é elemento
de A. Esse conjunto é membro de si próprio? Suponha que sim e depois que não. O que você
conclui?
viii. Será que existe o conjunto universo, isto é, um conjunto que contenha todos os conjuntos?
→ As pessoas, em geral, pensam que a matemática é algo completamente certinho e exato, onde
tudo sempre funciona e faz perfeito sentido. Bom, você acaba de ver que elas estão completamente enganadas, e que, mesmo nos dias de hoje, ainda existem diversas coisas que deixam o mundo matemático
bastante intrigado.
6