Calor Específico para Sólidos com Confinamento

Calor Específico para Sólidos com Confinamento
Hugo de Oliveira Batael, Elso Drigo Filho, Josimar Fernando da Silva - Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho” – Campus São José do Rio Preto, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, [email protected] – PIBIC/CNPq
Palavras Chave: Mecânica Quântica, Física do Estado Sólido, Modelo de Einstein.
Introdução
Sistemas quânticos confinados tem merecido bastante atenção da comunidade científica. Nesse contexto, pode-se citar a determinação do calor específico de sólidos sob alta pressão. Para tanto, supõese que os átomos de um sólido cristalino vibram
como osciladores harmônicos confinados e o Método Variacional é usado para encontrar as energias
do sistema.
Objetivos
A proposta do presente trabalho é descrever a distorção dos níveis de energia do oscilador harmônico quântico confinado através do Método Variacional e determinar o calor específico de sólidos.
Material e Métodos
Como a equação de Schrödinger tem solução analítica restrita a poucos potencias é necessário usar
métodos aproximativos, em especial, o método variacional [1]. Esse método consiste em utilizar uma
função teste dependendo de um parâmetro variacional (µ), de modo que a energia do sistema seja
minimizada. Os níveis de energia do oscilador confinado, determinada via método variacional, é dada
por:
R
R
En= -R ψµ * Hψµ dx / -R ψµ * ψµ dx ,
(1)
onde ψµ é a função teste que deve satisfazer as
seguintes condições: ψµ ±R =0, R é o raio do confinamento e H é o Hamiltoniano para o oscilador
harmônico.
O problema de determinação do calor específico de
sólidos é conhecido há bastante tempo e uma descrição foi sugerida por Einstein [2]. Esse modelo
envolve escrever a energia térmica para N osciladores usando a energia individual de cada oscilador. A
energia total U do sistema, que tem três graus de
liberdade, é escrita como a energia média multiplicado por um fator 3. Da mecânica estatística [2], o
calor específico pode ser escrito como:
∑
3
"
#∑
$ ],
!
onde β=
!
1
Kb T
(2).
·, Kb é a constante de Boltzman, T é a
temperatura absoluta, En é a energia do oscilador e
Z é a função de partição.
No modelo tratado nesse trabalho a energia En que
utilizamos é a do oscilador harmônico confinado
obtido através do Método Variacional
XXVI Congresso de Iniciação Científica
Resultados e Discussão
Utilizando o método descrito, obteve-se a energia
para diversos estados. Na tabela 1 são mostrados
os resultados para o estado fundamental e para
terceiro estado excitado do oscilador harmônico
confinado em função do raio. As funções testes
variacionais usadas correspondem a solução do
oscilador harmônico modificada [3] e função obtida
para a partícula em uma caixa [1], o menor valor
obtido a partir da equação (1) é usado como sendo
o autovalor do sistema.
Tabela 1. Energia do estado fundamental e do terceiro estado excitado em função do raio de confinamento.
R(√&/ω m) E0(&ω) E3(&ω) R E0(&ω) E3(&ω)
0.5
4.951
78.99
2 0.538
5.761
1
1.298
19.89
4 0.500
3.505
Observa-se que existe uma distorção da energia em
função do raio. Entretanto, para raio grande a energia converge para o oscilador livre, 0.5 e 3.5[1]. A
partir da eq. 2 construiu-se um gráfico do calor específico (Figura 1).
Cv ê3NKb
1.0
R=1
0.8
R=2
0.6
R=5
0.4
R=7
0.2
R=¶
1
2
3
4
5
TêqE
Figura 1. Calor específico x temperatura.
Constatou-se que com o aumento da temperatura o
calor específico cresce até atingir um valor máximo
e depois converge para um valor constante, gás
ideal. Para R grande a curva do calor específico se
aproxima de um sistema sem confinamento (R=∞).
Conclusões
Sistemas confinados apresentam propriedades distintas dos sistemas livres, no caso do oscilador
harmônico confinado percebe-se que existe uma
distorção da energia. Observa-se que essa distorção da energia influencia o comportamento térmico
de sólidos sujeitos a alta pressão (figura1).
Agradecimentos
_______
1
___________
SCHIFF, L. I. Quantum Mechanics, 3a. Ed., Singapore:
McGraw-Hill, Inc.,1968.
2
Mandl, F. Statistical Physics. 2.ed. Chilchister:Jon Wiley,1991.
3
Drigo F., E e Ricotta, R.M. TEMA-Tendências em Matemática Aplicada e Computacional 6, 2005, 73-80