Apresentação do PowerPoint

Aula Introdutória Matemática Básica- março 2017
Pensamento
“Não creio em números, não creio na palavra
tudo e nem na palavra nada. São três afirmações
exatas e imóveis: o mundo está sempre dando
voltas.”
(Provérbio Chinês)
Prof. MSc. Herivelto Nunes
Unidades
•
Conjuntos.
•
Conjuntos Numéricos.
Conjuntos
A noção de conjunto usada na Matemática é a
utilizada na linguagem do dia a dia.
Georg Cantor (1845 – 1918), matemático russo,
foi quem, em seus trabalhos deu as noções
iniciais sobre conjunto, elemento e pertinência.
Conceitos Primitivos
Entende-se por conjunto, um agrupamento, uma
coleção, uma coleção.
Elemento é qualquer um dos componentes,
objetos, coisas, de uma conjunto.
Exemplos:
a) A = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si}.
b) B = { domingo, segunda, terça, quarta, quinta,
sexta, sábado}.
Formas de Representar Conjuntos
1ª) Por extensão: Esta forma consiste em
escrever os elementos do conjunto, separadas
por vírgula, entre uma par de chaves.
Ex.: A = {a, e, i, o, u}
Obs.: Podemos utilizar essa representação
mesmo que o conjunto seja finito ou infinito.
Formas de Representar Conjuntos
2ª) Por compreensão: O conjunto é representado
por meio de uma propriedade que caracteriza
seus elementos.
Ex.: A = {x/x é vogal}
Formas de Representar Conjuntos
3ª) Por diagramas: Os diagramas (figuras) que
representam os conjuntos por curvas fechadas
denominadas Diagramas de Venn
Ex.: A
a.
e.
i.
o.
u.
Conjunto Universo
É o conjunto ao qual pertencem todos os
elementos envolvidos em um determinado
assunto ou estudo é simbolizado por U ou S.
Importante: Se procuramos determinar as
soluções reais de uma equação do segundo grau,
nosso conjunto universo U é ℝ.
Conjunto Vazio e Conjunto Unitário
Conjunto Vazio – é o conjunto que não possui
elemento e é representado por { } ou ∅.
Ex.: Seja A um conjunto de números maiores que
10 e menores que 5.
Este conjunto não possui elementos, logo:
A = { } ou ∅.
Conjunto Vazio e Conjunto Unitário
Conjunto Unitário – é o conjunto que possui
apenas elemento.
Ex.: A = {x/x é solução da equação 2x – 3 = 0}
Logo, A =
𝟑
𝟐
 unitário.
Relações
Relação de Pertinência: é a relação entre uma
elemento e o conjunto ao qual pertence. Assim,
um elemento pode ou não pertencer a um
determinado conjunto.
Símbolos: ∈  pertence; ∉ não pertence
Ex.: A = {a, e, i, o, u}.
a ∈ A; c ∉ A
Relações
Relação de Inclusão (subconjuntos): dados dois
conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou A é
um subconjunto de se, e somente se, cada elemento de A
for também um elemento do conjunto B.
Indicamos a relação por: A ⊂ B ou B ⊃ A.
Símbolos: ⊂  está contido; ⊃  contém; ⊄ não
contém e; ⊅  não contém.
Conjunto das partes de um conjunto
O conjunto das partes de um conjunto A ou
conjunto potência de A é o conjunto formado por
todos os subconjuntos de A.
Se um conjunto A possui n elementos, o
número de subconjuntos de A é dado pela
expressão: P(A) = 𝟐𝒏
Exemplos:
1) Escreva o conjunto das partes de A, sendo A={1,2,3}.
Solução: P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
2) O conjunto das partes de A possui 32 elementos.
Determine o número de elementos do conjunto A:
Solução: P(A) = 𝟐𝒏  32 = 𝟐𝒏  𝟐𝟓 = 𝟐𝒏  n = 5
Operações com Conjuntos
I- União
 A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por
todos os elementos que pertencem a A ou B e é representado por
A U B.
𝑨 ∪ 𝑩 = 𝒙\𝒙 ∈ 𝑨 𝒐𝒖 𝒙 ∈ 𝑩
Obs.:
a)
𝐀∪𝐁=𝐁∪𝐀
b)
𝐀∪𝐀=𝐀
c)
𝐀∪∅=𝐀
d)
𝐀⊂𝐁↔𝐀∪𝐁=𝐁
Operações com Conjuntos
II – Intersecção
 A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos
que pertencem simultaneamente a A e a B. E é representado por 𝑨 ∩ 𝑩.
𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒙\x ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∈ 𝑩
Obs.:
a)
𝑨∩𝑩=𝑩∩𝑨
b)
𝑨∩𝑨=𝑨
c)
𝑨∩∅=∅
d)
𝑨⊂𝑩↔𝑨∩𝑩=𝑨
e)
Se 𝑨 ≠ ∅, 𝑩 ≠ ∅ 𝒆 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅, dizemos que A e B são disjuntos.
Operações com Conjuntos
III - Diferença
Dados dois conjuntos A e B, o conjunto diferença A – B é formado pelos
elementos que pertencem ao conjunto A e não pertençam a B.
𝑨 − 𝑩 = 𝒙\x ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∉ 𝑩
Obs.:
a) 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅ → 𝑨 − 𝑩 = 𝑨 𝒆 𝑩 − 𝑨 = 𝑩
b) 𝑨 − ∅ = 𝑨 𝒆 ∅ − 𝑨 = ∅.
c) A⊂ 𝑩 → 𝑨 − 𝑩 = ∅
d) 𝑨 − 𝑩 = 𝑩 − 𝑨 ↔ 𝑨 = 𝑩
e) Se 𝑩 ⊂ 𝑨, a diferença A – B denomina-se Complementar de B em relação a
A
Exemplo 1: Sejam ao conjuntos A e B
representados a seguir:
A
• 1
• 2
• 7
Determine:
a)
𝐴∪𝐵
b)
𝐴∩𝐵
c)
𝐴−𝐵
• 5
• 6
• 3
• 4
B
Solução:
a)
𝐴 ∪ 𝐵 = 1,2,3,4,5,6,7
b)
𝐴 ∩ 𝐵 = 3,6
c)
𝐴 − 𝐵 = {1,2,7}
Exemplo 2: Sejam os conjuntos A e b
representados a seguir:
•6
•5
•1
A
B
•3
Determine o complementar de B em relação a A.
Solução:
Neste caso, o conjunto B está contido em A, logo
a diferença entre A e B, será indicada por:
𝑩
𝑪𝑨 = A - B = {3,6}
Problemas que envolvem conjuntos
Na teoria dos conjuntos é possível resolver
problemas que tratam de conjuntos de elementos
que podem ou não, ter características comuns.
Exemplos:
1) Numa escola com 630 alunos, 350 deles estudam Matemática,
210 estudam Física e 90 deles estudam as duas matérias
(Matemática e Física). Pergunta-se:
a)
Quantos alunos estudam somente Matemática?
b)
Quantos alunos estudam somente Física?
c)
Quantos alunos estudam Matemática ou Física?
d)
Quantos alunos não estuda nenhuma das duas matérias?
Solução:
São dados:
n(U) = número total de alunos = 630.
n(M) = número de alunos que estudam Matemática = 350.
n(F) = número de alunos que estudam Física = 210.
n(M ∩ F) = número de alunos que estudam Matemática e
Física = 90.
Solução:(cont.)
a)
Se 350 estudam matemática, e 90 deles estudam Matemática e
Física, então o número de alunos que estudam somente
Matemática é: 350 – 90 = 260.
b)
Se 210 alunos estudam Física e 90 deles estudam Matemática e
Física, então o número de alunos que estudam somente Física é:
210 – 90 = 120.
c)
O número de alunos que estudam Matemática ou Física é: 260 +
120 + 90 = 470.
d)
O número de alunos que não estudam nenhuma das matérias é:
630 – 470 = 160
Exemplo:
2) Numa pesquisa 1 500 pessoas foram
consultadas sobre o uso de um produto A e
de um produto B. Verificou-se que o
produto A é usado por 850 pessoas e que
180 pessoas usam os dois produtos.
Quantas pessoas usam o produto B?
Solução:
São dados:
n(A U B) = número que usam os produtos A ou B = 1500.
n(A) = número que usam o produto A = 850.
n(B) = número que usam o produto B = ?.
n(A ∩ B) = número que usam o produto A e B = 180.
Assim, temos: 1500 = 850 + B – 180
B = 2030 – 1500 = 530
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Naturais
São todos os números inteiros positivos,
incluindo o zero. É representado pela letra
maiúscula ℕ.
Caso queira representar o conjunto dos
números naturais não-nulos (excluindo o
zero), deve-se colocar um * ao lado do N:
ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
ℕ* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}
Conjuntos Numéricos
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos,
eles são:
-
Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são
negativos. Logo percebemos que este conjunto é
igual ao conjunto dos números naturais.
ℤ+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}
Conjuntos Numéricos
-
Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são
positivos.
ℤ- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
Conjuntos Numéricos
- Inteiros positivos
É o conjunto ℤ+ excluindo o zero.
ℤ*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
ℤ*+ = ℕ*
Conjuntos Numéricos
-
Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Zexcluindo o zero.
ℤ*- = {... -4, -3, -2, -1}
Conjuntos Numéricos
-
Conjunto dos Números Racionais (ℚ)
Os números racionais é um conjunto que
engloba os números inteiros , números
decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os
números decimais infinitos periódicos (que
repete uma sequência de algarismos da parte
decimal infinitamente), como "12,050505...",
são também conhecidas como dízimas
periódicas.
Conjuntos Numéricos
-
Conjunto dos Números Irracionais
É formado pelos números decimais infinitos nãoperiódicos. Um bom exemplo de número irracional
é o número 𝜋 (resultado da divisão do perímetro de
uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale
3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já
conseguiram calcular bilhões de casas decimais
para o 𝜋.
Também são irracionais todas as raízes não
exatas, como 2 =(1,4142135 ...).
Conjuntos Numéricos
-
Conjunto dos Números Reais (ℝ)
É formado por todos os conjuntos citados
anteriormente (união do conjunto dos racionais
com os irracionais).
Conjuntos Numéricos
-
Resumindo:
Importante: Dízima Periódica
As dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos
números racionais, representado pela letra ℚ e que
engloba os números inteiros (ℤ), os números decimais
finitos…
Classificação das dízimas
As dízimas periódicas podem ser classificadas em:
•
Dízimas periódicas simples: Quando o período
apresenta-se logo após a vírgula.
Observe os exemplos a seguir:
•
4/13 = 0, 307692307692… (Período: 307692)
•
2/3 = 0, 666666 … (Período: 6)
•
31/33 = 0, 93939393 … (Período: 93)
Classificação das dízimas
•
Dízimas periódicas compostas: Quando há uma parte
não periódica (não repetitiva) entre o período e a vírgula.
Observe os exemplos a seguir:
•
44/45 = 0, 9777777 … (Período: 7; parte não periódica: 9)
•
35/36 = 0, 972222 … (Período: 2 ; parte não periódica: 97)
•
35/42 = 0, 833333 … (Período: 3 ; parte não periódica: 8)
Geratriz de uma dízima periódica
A geratriz da dízima periódica é a fração (número
racional) que deu origem a essa dízima periódica.
Exemplos:
1)
1/3 é a geratriz da dízima periódica simples 0,333…
2)
23/30 é a geratriz da dízima periódica composta
0, 7666 …
Referências Bibliográficas:
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar: conjuntos,
funções. Vol.1. São Paulo: Atual, 2000.
DANTE, L. Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. Único. São Paulo: Ática,
2013.
GOES, H.; TONA, U. Matemática para concursos. São Paulo: Editora ABC, 2010.
http://www.estudopratico.com.br/dizimas-periodicas/
http://www.infoescola.com/matematica/intervalo/
http://www.somatematica.com.br/emedio.php
https://pt.khanacademy.org/