Integrais duplas

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 24
Assunto: Integrais Duplas
Palavras-chaves: integrais duplas,somas de Riemann, teorema de Fubini
Integrais duplas
Seja R o retângulo do plano cartesiano dado por
R = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
em que a, b, c e d são números reais tais que a < b e c < d.
Sejam
P1 : a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
e
P2 : c = y0 < y1 < y2 < ... < ym = d
partições dos intervalos [a, b] e [c, d] respectivamente.
O conjunto P = P1 × P2 , isto é,
P = {(xi , yj ); i = 0, 1, 2, ..., n , j = 0, 1, 2, ..., m}
é chamado de partição do retângulo R.
A partir de uma partição P obtemos nm retângulos menores
Rij = {(x, y) ∈ R2 ; xi−1 < x < xi , yj−1 < y < yj }
chamados de sub-retângulos da partição P .
O retângulo original R ca então dividido em nm sub-retângulos de P .
Consideremos os números
4xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, ..., n
e
4yj = yj − yj−1 , y = 1, 2, ..., n
O número
4 = máx{4x1 , 4x2 , ..., 4xn , 4y1 , 4y2 , ..., 4ym }
é chamado de norma da partição P .
Seja agora outra partição P 0 = P10 × P20 do retângulo R. Se P ⊂ P 0 dizemos que P 0 é uma partição mais
na que P ou que P 0 é um renamento de P . É claro que a norma 40 de P 0 é tal que 40 ≤ 4.
Um conjunto de mn elementos
X = {Xij ; i = 1, 2, ..., n , j = 1, 2, ..., m}
é dito admissível à partição P se, para quaisquer i, j , temos Xij ∈ Rij .
Podemos entender um conjunto admissível à partição P como sendo uma escolha de mn pontos no retângulo
R de modo que cada sub-retângulo da partição P contenha algum de tais pontos.
Um subconjunto B do R2 é limitado se B está contido em algum retângulo do R2 .
Sejam f : B ⊂ R2 → R uma função em que B é um conjunto limitado, R = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, c ≤
y ≤ d} um retângulo do R2 que contém B e P = {(xi , yj ); i = 0, 1, 2, ..., n , j = 0, 1, 2, ..., m} uma partição do
retângulo R e X = {Xij ; i = 1, 2, ..., n , j = 1, 2, ..., m} um conjunto admissível à partição P .
O somatório duplo
n X
m
X
f (Xij )4xi 4yj
i=1 j=1
é chamado de soma de Riemann de f relativa à partição P e ao conjunto admissível X . Nesse somatório,
convencionamos que f (Xij ) = 0 se Xij 6∈ B .
Observemos que se f (Xij ) > 0, então a parcela da soma de Riemann f (Xij )4xi 4yj é o volume do
paralelepípedo cuja base é o sub-retângulo Rij e a altura é f (Xij ).
Dizemos que um número L é o limite da soma de Riemann de f se , para todo > 0, existe δ > 0, tal que,
para qualquer partição P , com seu respectivo conjunto admissível X , que satisfaz 4 < δ , temos
2
n m
X X
<
f
(X
)4x
4y
−
L
ij
i
j
i=1 j=1
O número L, quando existe, é chamado de integral dupla de f sobre B e é denotada por
ou por
Z Z
f (x, y)dxdy
B
Z Z
f (x, y)dA. Escrevemos
B
Z Z
f (x, y)dxdy = lim
n X
m
X
4→0
B
f (Xij )4xi 4yj
i=1 j=1
Quando esse limite existe, dizemos que a função f é integrável em B .
Sejam f (x, y) uma função integrável em B , com f (x, y) ≥ 0 em B e o conjunto
A = {(x, y, z) ∈ R3 ; (x, y) ∈ B e 0 ≤ z ≤ f (x, y)}
O volume de B é dado por
volume de B =
Z Z
f (x, y)dxdy
B
Quando f (x, y) é a função constante e igual a 1, a integral dupla de f nos dá a área de B , ou seja,
área de B =
Z Z
f (x, y)dxdy
B
A integral dupla satisfaz as seguintes propriedades.
Se f e g são funções integráveis em um conjunto B e k é uma constante, então f + g e kf são integráveis e
1.
Z Z
Z Z
[f (x, y) + g(x, y)]dxdy =
f (x, y)dxdy +
B
2.
Z Z
g(x, y)dxdy
B
Z Z
B
Z Z
kf (x, y)dxdy = k
f (x, y)dxdy
B
3. f (x, y) ≥ 0 em B ⇒
B
Z Z
f (x, y)dxdy ≥ 0
B
4. f (x, y) ≤ g(x, y) em B ⇒
Z Z
Z Z
f (x, y)dxdy ≤
g(x, y)dxdy
B
B
Cálculo da integral dupla
Seja f (x, y) uma função integrável no retângulo
R = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
3
Para cada y xadi em [c, d], consideremos a função
[a, b] → R
ϕ:
7→ f (x, y)
x
Portanto, ϕ(x) = f (x, y). Podemos então calcular a integral da função ϕ de a até b
b
Z
b
Z
ϕ(x)dx =
f (x, y)dx
a
a
essa integral depende do y xado em [c, d], ou seja, para cada y , temos um valor para essa integral. Temos
assim, uma função α : [c, d] → R dada por
b
Z
f (x, y)dx
α(y) =
a
O teorema que apresentaremos a seguir conhecido por teorema de Fubini, nos diz que a integral dessa
função α(y) é igual a integral dupla da função f (x, y) em R, ou seja
Z Z
Z
d
f (x, y)dx =
d
Z
"Z
α(y)dy =
R
#
b
f (x, y)dx dy
c
c
a
De forma análoga, poderíamos ter começado xando um x em [a, b] e considerado a função
[c, d] → R
ψ:
7→ f (x, y)
y
Assim, ψ(y) = f (x, y) e podemos então calcular a integral dessa função de c até d
Z
d
Z
d
ψ(x)dy =
c
f (x, y)dy
c
para cada x xado em [a, b], obtemos um valor para essa integral de modo que podemos considerar a função
β : [a, b] → R denida por
d
Z
β(x) =
f (x, y)dy
c
O teorema de Fubini arma que a integral dupla de f (x, y) em R, isto é,
Z Z
Z
f (x, y)dx =
R
b
Z
b
"Z
β(x)dx =
a
#
f (x, y)dy dx
a
4
d
c
Teorema 1
(Teorema de Fubini) Seja
f (x, y) integrável no retângulo
R = {(x, y) ∈ R2 ; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
Se
Z
b
Z
f (x, y)dx existe para todo y ∈ [c, d] e
f (x, y)dy existe para todo x ∈ [a, b], então
c
a
Z Z
Z
d
"Z
Calcule
Z Z
#
b
Z
b
"Z
c
a
#
d
f (x, y)dy dx
f (x, y)dx dy =
f (x, y)dxdy =
R
Exemplo 1
d
a
c
(2x + 4y)dxdy em que
R
R = {(x, y) ∈ R2 ; 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2}
Resolução:
Temos então que
Z Z
Z
3
2
Z
(2x + 4y)dxdy =
R
1
(2x + 4y)dy dx
1
Resolvendo a integral mais interna obteremos:
"
2
Z
(2x + 4y)dy
=
1
4y 2
2xy +
2
#2
#2
"
= 2xy + 2y
2
1
1
=
2x.2 + 2.22 − (2x.1 + 2.12 )
=
4x + 8 − 2x − 2
=
2x + 6
Portanto,
Z Z
(2x + 4y)dxdy
=
R
"
3
2x2
+ 6x
(2x + 6)dx =
2
1
"
#3
Z
=
x2 + 6x
=
9 + 18 − 7
=
20
#3
1
= 32 + 6.3 − [12 + 6.1]
1
Vamos agora calcular essa mesma integral invertendo a ordem de integração
Z Z
Z
2
Z
3
(2x + 4y)dx dy
(2x + 4y)dxdy =
R
1
5
1
Resolvendo a integral mais interna obteremos:
"
3
Z
(2x + 4y)dx
=
1
#3 "
#3
2x2
2
+ 4yx = x + 4xy
2
1
1
=
32 + 4.3y − (12 + 4.1.y)
=
9 + 12y − (1 + 4y)
=
8y + 8
Portanto,
Z Z
(2x + 4y)dxdy
R
"
2
8y 2
+ 8y
=
(8y + 8)dy =
2
1
"
#2
Z
=
4y 2 + 8y
=
16 + 16 − 12
=
20
#2
1
= 4.22 + 8.2 − [4.12 + 8.1]
1
Exemplo 2
Calcule o volume do sólido constituído por todos os pontos
(x, y, z) tais que
0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ z ≤ x2 + y 2
Resolução:
O volume
V desse sólido é dado por
Z Z
(x2 + y 2 )dxdy
V =
R
com
R = {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2}
Pelo teorema de Fubini, temos:
2
Z
Z
V =
0
2
(x2 + y 2 )dydx
0
Assim
Z
0
2
"
y3
(x + y )dy = x y +
3
2
2
#2
= x2 .2 +
2
6
0
23
8
= 2x2 +
3
3
Logo
Z
V =
0
2
"
#2
8
8
32
8
2x3
23
+ x = 2. + .2 =
(2x + )dx =
3
3
3
3
3
3
2
0
7