Capítulo 3

Capítulo 3 – Amperímetros e Voltímetros DC – Prof. Fábio Bertequini Leão / Sérgio Kurokawa
Capítulo 3 – Amperímetros e Voltímetros DC
3.1.
Amperímetros DC
Um galvanômetro, cuja lei de Deflexão Estática (relação entre a corrente na bobina e a
posição angular do ponteiro) é conhecida, pode ser representado pelo circuito mostrado na
Figura 3.1.
Figura 3.1 – Circuito modelo para o galvanômetro.
Na Figura 3.1 Rm é a resistência da bobina que é conectada em série com um
galvanômetro ideal. Quando a corrente no galvanômetro e, portanto em Rm é Im, a tensão entre os
pontos A e B ou sobre Rm é VAB. Uma vez que a escala do instrumento está calibrada para medir
corrente, diz-se que o galvanômetro atua como Amperímetro.
I=
E
R
Figura 3.2 – Circuito com fonte DC e resistência R.
Inserindo um galvanômetro no circuito da Figura 3.2, de modo que o instrumento possa
medir a corrente na resistência R teremos o circuito representado na Figura 3.3.
I'=
E
R + Rm
Figura 3.3 – Inserção do galvanômetro no circuito para medir corrente.
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Na Figura 3.3 o galvanômetro irá mostrar o valor da corrente I’ que circula na bobina do
mesmo. Observe que as correntes I e I’ são diferentes, pois a inserção do galvanômetro alterou o
circuito. Neste caso temos as seguintes situações:
1) Se Rm = 0 ⇒ I = I ' ⇒ amperímetro ideal
2) Se R >> Rm ⇒ I ≅ I '
Geralmente a corrente de fundo de escala do galvanômetro (máxima corrente que pode
circular no instrumento) é pequena, fazendo com que o equipamento tenha uma aplicação
bastante restrita como Amperímetro.
Uma maneira de aumentar a corrente de fundo de escala de um Amperímetro é conectar
uma resistência Rs em paralelo/shunt com o galvanômetro, conforme mostra a Figura 3.4.
Figura 3.4 – Conexão de uma resistência shunt para aumento da escala do Amperímetro.
A resistência shunt Rs é especificada em função das correntes de fundo de escala do
galvanômetro e da nova escala desejada para o amperímetro. Do circuito da Figura 3.4 têm-se:
VAB = Rs ⋅ I s = Rm ⋅ I m ⇒ Rs ⋅ ( I − I m ) = Rm ⋅ I m
(3.1)
Isolando Rs na equação (3.1) temos:
Rs =
Rm ⋅ I m
I − Im
(3.2)
Sendo para o projeto da nova escala do Amperímetro:
Im=Imax (Fundo de escala do galvanômetro)
I=Nova escala do Amperímetro
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A partir da especificação de Rs podemos encontrar o valor da corrente I no circuito da
Figura 3.4 em função da corrente que passa no galvanômetro Im. Assim, da equação (3.1) vem:
Rs ⋅ ( I − I m ) = Rm ⋅ I m ⇒ Rs ⋅ I − Rs ⋅ I m = Rm ⋅ I m ⇒ Rs ⋅ I = I m ⋅ ( Rs + Rm ) ⇒
 R 
⇒ I = I m ⋅ 1 + m 
Rs 

(3.3)
Sendo Im a corrente mostrada pelo galvanômetro.
O Amperímetro mostrado na Figura 3.4 pode ser representado pelo seguinte circuito
equivalente:
RA =
a)
b)
Rs ⋅ Rm
Rs + Rm
c)
Figura 3.5 – a) Circuito para o Amperímetro com a nova escala; b) Circuito equivalente; c) Resistência
equivalente.
Para obter um Amperímetro que possua várias escalas, pode-se utilizar o circuito
mostrado na Figura 3.6.
Figura 3.6 – Amperímetro de três escalas.
No circuito da Figura 3.6 temos que as correntes e as resistências equivalentes do
Amperímetro considerando as três escalas A, B e C são:
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1) S na posição A: a corrente no Amperímetro e sua resistência equivalente são dadas por:
 R 
IA = I m ⋅ 1 + m 
R3 

(3.4a)
R3 ⋅ Rm
R3 + Rm
(3.4b)
RA =
2) S na posição B: a corrente no Amperímetro e sua resistência equivalente são dadas por:
 R + Rm 
IB = I m ⋅ 1 + 1

R3 

RA =
R3 ⋅ ( R1 + Rm )
R3 + R1 + Rm
(3.4c)
(3.4d)
3) S na posição C: a corrente no Amperímetro e sua resistência equivalente são dadas por:
 R + R2 + Rm 
IC = I m ⋅ 1 + 1

R3


RA =
R3 ⋅ ( R1 + R2 + Rm )
R3 + R1 + R2 + Rm
(3.4e)
(3.4f)
Deve-se observar que quanto maior a escala do Amperímetro da Figura 3.6, maior é a
resistência em série com o galvanômetro que é acrescentada conforme a chave S se desloca nas
posições A, B e C respectivamente. Logo temos a seguinte relação de correntes e, portanto de
escalas no Amperímetro:
IA < IB < IC
(3.4g)
Exemplo 1: Especifique as resistências R1, R2 e R3 do Amperímetro da Figura 3.6 de
modo a obter escalas de 0,1 A, 1,0 A e 10 A. Considere que a corrente de fundo de escala do
galvanômetro é 10 mA e que sua resistência interna é 6Ω.
Exemplo 2: Um galvanômetro de bobina móvel cuja corrente de fundo de escala é 1
mA possui uma resistência interna de valor Rm=100Ω. Este galvanômetro é utilizado para medir
a corrente I no circuito da Figura 3.2 com E=0,5 V e R=1 kΩ. Determine o valor mostrado pelo
instrumento. Calcule o erro percentual entre o valor medido e o real.
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Exemplo 3: Utilizando o galvanômetro do exemplo 2 projete um amperímetro cuja
corrente de fundo de escala seja 50 mA.
Exemplo 4: Para o amperímetro projetado no exemplo 3, determine a relação entre a
corrente no amperímetro e a corrente no galvanômetro.
Exemplo 5: Considere o circuito mostrado na figura a seguir.
Figura para o Exemplo 5.
São dados: V=250 Volts; R1=10 kΩ; R2=R3=2Ω. Pede-se:
a) Calcule as correntes I1 e I2;
b) Utilize o amperímetro do exemplo 3 (RA=2Ω) para medir a corrente em R1;
c) Utilize o mesmo amperímetro para medir corrente em R2;
d) Calcule os erros percentuais entre as correntes medidas (itens b e c) com as correntes
reais (item a);
e) Nos itens b e c determine a corrente que circula no galvanômetro.
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3.2.
Voltímetros DC
Considere um galvanômetro submetido a uma tensão VAB conforme ilustrado na Figura
3.1.
Quando a tensão VAB é aplicada nos terminais do galvanômetro, irá circular no
equipamento uma corrente Im cujo valor pode ser lido diretamente no instrumento. Uma vez que
Rm é conhecido, podemos determinar o valor da tensão VAB através da Lei de Ohm, ou seja:
VAB = Rm ⋅ I m
(3.5)
Portanto se a escala do galvanômetro for construída com base na equação (3.5), o
instrumento torna-se um medidor de tensão e é denominado Voltímetro. Considere o circuito
mostrado na Figura 3.7.
I=
E
R1 + R2
 R2 
V2 = R2 ⋅ I = 
⋅E
R
+
R
 1
2 
Figura 3.7 - Circuito com fonte DC e resistências R1 e R2.
Se um galvanômetro, cuja resistência interna é Rm, é conectado no circuito mostrado na
Figura 3.7 de modo a medir a tensão sobre R2 teremos:
Figura 3.8 – Inserção do galvanômetro para medição da tensão em R2.
Na Figura 3.8 a resistência equivalente Req é dada por:
R ⋅R
1
1
1
=
+
⇒ Req = 2 m
Req R2 Rm
R2 + Rm
(3.6)
Portanto a tensão V2’ mostrada pelo voltímetro é dada por:
V2 ' = Req ⋅ I ' = Req ⋅
 Req
E
=
R1 + Req  R1 + Req

 ⋅ E

(3.7)
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Observe que V2 e V2’ são diferentes, pois a inserção do Voltímetro altera o circuito.
Neste caso temos as seguintes situações:
1) Se Rm → ∞ ⇒ Req = R2 ⇒ V2 ' = V2 ⇒ voltímetro ideal
2) Se Rm >> R2 ⇒ Req ≅ R2 ⇒ V2 ' ≅ V2
A tensão de fundo de escala do galvanômetro (máxima tensão que pode ser aplicada no
instrumento) mostrado na Figura 3.1 é dada por:
VAB max = Rm ⋅ I max
(3.8)
Na equação (3.8) Imax é a corrente de fundo de escala do galvanômetro. Geralmente o
valor de Imax é pequeno fazendo com que a tensão de fundo de escala do instrumento também
seja pequena.
É possível aumentar a tensão de fundo de escala do galvanômetro conectando em série
com o instrumento uma resistência Rext conforme mostra a Figura 3.9.
RV = Rext + Rm
a)
b)
c)
Figura 3.9 – a) Conexão de uma resistência em série para aumento da escala do Voltímetro. b) Circuito
equivalente; c) Resistência equivalente.
A tensão VAB mostrada pelo Voltímetro da Figura 3.9 é dada por:
VAB = ( Rext + Rm ) ⋅ I m
(3.9)
Isolando Rext na equação (3.9) temos:
VAB = Rext ⋅ I m + Rm ⋅ I m ⇒ Rext ⋅ I m = VAB − Rm ⋅ I m ⇒
⇒ Rext =
VAB − Rm ⋅ I m
V
⇒ Rext = AB − Rm
Im
Im
(3.10)
Sendo para o projeto da nova escala do Voltímetro:
Im=Imax (Fundo de escala do galvanômetro)
VAB=Nova escala do Voltímetro
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Para obter um Voltímetro que possua várias escalas, pode-se utilizar o circuito mostrado
na Figura 3.10.
Figura 3.10 – Voltímetro de três escalas.
No circuito da Figura 3.10 temos que as tensões e as resistências equivalentes do
Voltímetro considerando as três escalas 1, 2 e 3 são:
1) P na posição 3: a tensão no Voltímetro e sua resistência equivalente são dadas por:
VAB 3 = ( R3 + Rm ) ⋅ I m
(3.11a)
Rv = R3 + Rm
(3.11b)
2) P na posição 2: a tensão no Voltímetro e sua resistência equivalente são dadas por:
VAB 2 = ( R2 + R3 + Rm ) ⋅ I m
(3.11c)
Rv = R2 + R3 + Rm
(3.11d)
3) P na posição 1: a tensão no Voltímetro e sua resistência equivalente são dadas por:
VAB1 = ( R1 + R2 + R3 + Rm ) ⋅ I m
(3.11e)
Rv = R1 + R2 + R3 + Rm
(3.11f)
Deve-se observar que quanto maior a escala do Voltímetro da Figura 3.10, maior é a
resistência em série com o galvanômetro que é acrescentada conforme a chave P se desloca nas
posições 3, 2 e 1 respectivamente. Logo temos a seguinte relação de tensões e, portanto de
escalas no Voltímetro:
VAB3 < VAB2 < VAB1
(3.11g)
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Exemplo 6: Um voltímetro de bobina móvel cujo galvanômetro possui uma resistência
Ro e uma corrente de fundo de escala Io, possui uma tensão de fundo de escala igual a
100 ⋅ Ro ⋅ Io . Determine o valor mostrado pelo voltímetro em função de E quando o instrumento é
utilizado para medir tensão entre os pontos A e B do circuito mostrado na figura a seguir.
R1 = 100 ⋅ Ro
R2 = 100 ⋅ Ro
Figura para o Exemplo 6.
Exemplo 7: Considere o voltímetro de duas escalas ilustrado na figura a seguir.
Figura para o Exemplo 7.
Projete as resistências R1 e R2 considerando que o voltímetro deve ter as escalas de
50V e 100V. O galvanômetro de bobina móvel possui corrente de fundo de escala de 1 mA e
uma resistência interna de valor Rm=100Ω.
Revisão do Capítulo
RA =
Rs =
Rs ⋅ Rm
Rs + Rm
Rm ⋅ I m
, I m = I max , I =Nova Escala
I − Im
RV = Rext + Rm
Rext =
VAB − Rm ⋅ I m
, I m = I max , VAB =Nova Escala
Im
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