9ª Série

9ª Série de Problemas
Mecânica e Ondas
MEBM, MEFT, LEGM, LMAC
1. Consideremos um sistema com a massa imersa em água (ver figura abaixo).
A mola tem comprimento natural l0 = 10 cm, massa desprezável e constante
de mola k = 0,1 N/m. O corpo suspenso é uma esfera de massa m = 10 g e
raio R = 1 cm. A densidade da água é ρ = 1 kg/L e a sua viscosidade é η = 0,1
Nm-2s. A força de atrito que a água exerce sobre a esfera é dada, em módulo,
por 6πRηv, onde v é a velocidade da esfera.
1.a) Qual a posição leq de equilíbrio do sistema?
1.b) Para pequenos deslocamentos verticais x << l (l = leq + x) em relação ao
ponto de equilíbrio, determine a equação do movimento do sistema.
1.c) Se a massa for puxada para baixo 1 cm e depois largada, qual a
solução dessa equação? Determine a frequência, a amplitude e a fase
inicial do movimento. Ao fim de quanto tempo é que a amplitude se reduz a
metade?
1.d) Nas condições da alínea anterior, qual seria a solução da equação do
movimento se, em lugar da água, tivéssemos um líquido com densidade
semelhante e viscosidade η = 1 Nm-2s?
2. A distância do Sol a Terra é, por definição, uma unidade astronómica
(U.A.). Um satélite artificial foi colocado em órbita circular em torno do
Sol, com um período de 8 anos terrestres.
2.a) Qual é o raio da órbita do satélite em U.A.?
2.b) Qual seria a resposta à alínea a), se a força gravitacional fosse
proporcional a 1/r3 em vez de 1/r2?
2.c) Qual a relação entre o raio da órbita e o seu período, no caso geral em
que a força gravitacional varia com 1/rn (n > 0)? (3ª Lei de Kepler
generalizada.)
3. Qual é a energia cinética de um satélite artificial de massa m numa órbita
circular com um raio duplo do raio da Terra?
4. Considere um objecto de massa m sujeito à força gravítica, próximo da superfície
da Terra.
4.a) Calcule a aceleração da gravidade junto da superfície da Terra e no
topo dos Himalaias (altitude de cerca de 9000 m). Compare.
4.b) Mostre que, para pequenos deslocamentos próximos da superfície da
Terra, a energia potencial gravítica de um objecto de massa m é
aproximadamente dada por mgh, sendo g=GMT /RT 2 e sendo h a distância
à superfície da Terra.
4.c) Calcule o erro cometido nessa aproximação.
4.d) Se quisermos que o objecto fique livre da interacção gravítica, qual a
velocidade mínima com que o devemos lançar, na vertical (velocidade de
escape) ? Poderá usar a expressão aproximada do potencial que derivou
na alínea b) ?
5. Considere um objecto de massa m que se move sem atrito sobre uma mesa,
preso por um fio de comprimento l a outro objecto, de massa M (ver
figura). Este último desloca-se na vertical. Suponha o fio inextensível.
5.a) Quantos graus de liberdade tem o sistema? Escreva o lagrangeano.
5.b) Como varia o lagrangeano do sistema quando este sofre uma rotação
em torno da vertical (eixo zz)?
5.c) Escreva as equações de Lagrange e use-as para mostrar que o
momento angular do sistema se conserva.
5.d) Imprimindo uma certa velocidade inicial à massa m é possível fazer
com que esta tenha movimento circular. Calcule essa velocidade em
função do raio da trajectória pretendida (indique também a direcção e o
sentido).
5.e) Como varia, nas condições da alínea d), o raio da trajectória com
período? (Compare com a 3a Lei de Kepler para o movimento dos
planetas!)
6. Dois carros com igual massa movem-se sem atrito sobre uma mesa horizontal
(ver figura abaixo). Estão interligados por uma mola de coeficiente de restituição k
e comprimento l0. No instante inicial o carro 1 desloca-se com velocidade v0 e o
carro 2 está parado.
6.a) Determine a velocidade do centro de massa. Qual o movimento o
movimento do centro de massa?
6.b) Escreva as equações do movimento a partir da equação de Newton.
6.c) Como varia a posição de cada carro em função do tempo em relação
ao referencial do centro de massa? Qual a frequência do movimento?
6.d) Como varia a posição e o momento linear de cada carro em função do
tempo em relação ao referencial do laboratório?
6.e) Escreva o lagrangeano do sistema no referencial do laboratório e
obtenha as equações do movimento.
6.f)
Repita a alínea anterior usando como coordenadas generalizadas a
distância entre os dois carros, x = x2 - x1, e a posição do centro de massa,
XCM. Compare com os resultados anteriores.