UNIVERSIDADE DE S˜AO PAULO ICMC

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ICMC - SMA
Quarta Lista de Álgebra 3
Teoria de Galois - Construção com régua e compasso
Professor: Raimundo Santos
1) Pergunta: O corpo com quatro elementos F4 , é ou não, um subcorpo de F8 o corpo com oito
elementos ? Justifique sua resposta.
√
2.1) Encontre um método para construir 8 3.
2.2) Dados dois números construtı́veis, digamos a e b, encontre um método para construir com
régua e compasso sua média aritmética, geométrica e harmônica.
3) Prove que o método de Arquimedes trisecta qualquer ângulo. Aponte as falhas do método de
Arquimedes em relação as regras (dadas em sala de aula) de construção com régua e compasso.
4) É possı́vel construir o polı́gono regular de 18 lados ?
5) Sem usar o teorema sobre construtibilidade dado em sala de aula, mostre que:
a) é impossı́vel construir o polı́gono regular de 7 lados;
b) é impossı́vel construir o polı́gono regular de 20 lados.
2πi
2π
6) Seja p um número natural. Mostre que Q(cos( )) ⊂ Q(e p ) e calcule o grau da extensão.
p
7) Seja p um número natural. Mostre que Gal(Q(e
2πi
p
) : Q) ≈ Zp∗ .
8) Encontre uma Q− reta e um Q− cı́rculo, satisfazendo cada item abaixo:
a) que não intersecta o Q−plano;
b) que intersecta o Q−plano em um único ponto;
c) que intersecta o Q−plano em infinitos pontos;
9) É fácil ver que o Q−cı́rculo x2 + y 2 = 2, tem os seguintes Q−pontos (±1, ±1).
Pergunta: Existem outros Q−pontos ? Justifique sua resposta.
10) Encontre o n−ésimo polinômio ciclotômico, para n = 1, 2, 3, . . . , 15.
11) Mostre que o n−ésimo polinômio ciclotômico Φn (x) é irredutı́vel em Q[x].
12) Seja F um corpo com car(F ) = 0, ou car(F ) = p não dividindo n, e seja E|F em que E é
um corpo de fatoração de f (x) = xn − 1. Mostre que:
a) Existe uma n− ésima raı́z primitiva da unidade α em E;
b) A extensão F (α)|F é galoisiana e para cada σ ∈ Gal(F (α) : F ), existe j ∈ Zn∗ tal que,
σ(α) = αj , para todo α. Conclua daı́ que a aplicação
Gal(F (α) : F ) → Zn∗ ; σ 7→ j
é um monomorfismo.
1
13) Encontre um elemento primitivo para as seguintes extensões:
√ √
a) Q( 3, 5)|Q;
√
b) Q( 2, i)|Q, em i2 = −1;
√ √
c) Q( 2, 3 3)|Q.
2π
14) Mostre que cos( ) é construtı́vel.
17
Obs: Quando tinha 18 anos, Gauss mostrou que r
q
q
q
√
√
√
√
2π
1
1√
1
1
cos( ) = − +
17 +
34 − 2 17 +
17 + 3 17 − 2 34 − 2 17 − 170 − 26 17.
17
16 16
16
8
Alguns problemas interessantes de Teoria Elementar dos Números, relacionados
com nosso curso.
a) Mostre que se 2k + 1 for um número primo, então k = 2s , para alguns s natural.
m
b) Seja Fm = 22 + 1 o m−ésimo número de Fermat. Mostre que, (Fn , Fm ) = 1 se, e somente
se, n 6= m.
c) Mostre que a expressão acima para cos( 2π
) é equivalente a:
17
r
q
q
q
√
√
√
√
2π
1
1√
1
1
cos( ) = − +
17 +
34 − 2 17 +
17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17.
17
16 16
16
8
2