CÔNICAS

MATEMÁTICA - 3o ANO
MÓDULO 26
CÔNICAS
P
F1
F2
A1
D1
F1
a
b
c
a
F2
O
a
a
B1
C1
y
b
P (x,y)
-a
a
F1(-c,0)
F2(c,0)
-b
x
y
a
F2
b
o
F1
-a
-b
x
P
F1
F2
hipérbole
y
p=(x,y)
}
}
}
F1 A1
0
a a
c
A2 F2
x
y
F2
A2 b
o
A1
F1
a
x
P
V
Q
F
R
S
y
p=(x,y)
-P/2
V
P/2 F
x
y
P=(x,y)
F P/2 V
-P/2
x
y
P/2 F
V
d
-P/2
x
Como pode cair no enem
Um satélite é colocado em órbita elítica em torno da Terra (suposta esférica), tendo seus polos
como focos. Em um certo sistema de medidas, o raio da Terra mede três unidades. Ao passar
pelo plano do Equador, o satélite está, no mesmo sistema de medidas, a uma medida acima da
superfície terrestre.
y
N
h
x
S
A que altura h o satélite estará quando passar diretamente sobre o Polo Norte?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Fixação
1) Para delimitar um gramado, um jardineiro traçou uma elipse inscrita num terreno retangular
de 20 m por 16 m. Para isto, usou um fio esticado preso por suas extremidades M e N, como
na figura. A distância entre os pontos M e N é:
J
M
a) 10 m
b) 12 m
c) 12,5 m
d) 15 m
e) 18 m
N
Fixação
2) Uma elipse, cuja distância focal mede 1 cm, está inscrita em um retângulo (de lados paralelos
aos eixos principais da elipse) de área igual a 2 cm2 . Determine as medidas dos lados do
retângulo.
Fixação
3) (UNIRIO) As equações x2-9y2-6x-18y-9=0, x2+y2 - 2x + 4y + 1 = 0 e x2 - 4x - 4y+8 = 0 representam, respectivamente, uma:
a) hipérbole, uma elipse e uma parábola;
b) hipérbole, uma circunferência e uma reta;
c) hipérbole, uma circunferência e uma parábola;
d) elipse, uma circunferência e uma parábola;
e) elipse, uma circunferência e uma reta.
Fixação
4) (UNIRIO) A função linear f(x) = ax + b é representada por uma reta que contém o ponto (2,
-1) e que passa pelo vértice da parábola y = 4x – 2x2. A função é:
a) f(x) = -3x + 5
b) f(x) = 3x - 7
c) f(x) = 2x - 5
d) f(x) = x - 3
e) f(x) = x
Proposto
1) (PUC) As parábolas dadas pelas equações y = x² e x = y²
a) nunca se encontram.
b) encontram-se apenas na origem.
c) encontram-se em exatamente dois pontos.
d) encontram-se em três pontos.
e) encontram-se em quatro pontos.
Proposto
2) (UERJ) Uma porta colonial é formada por um retângulo de 100 cm × 200 cm e uma semielipse.
Observe as figuras:
P
Q
30 cm
y
224 cm
200 cm
P
Q
200 cm
x
100 cm
Na semielipse, o eixo maior mede 100 cm e o semieixo menor, 30 cm.
Calcule a medida da corda PQ, paralela ao eixo maior, que representa a largura da porta
a 224 cm de altura.
Proposto
3) (UFRJ) Considere os pontos P1 (0, 0), P2 (1, 1), P3 (2, 6).
a) Determine a equação da parábola que passa por P1, P2 e P3 e tem eixo de simetria paralelo ao
eixo Y das ordenadas;
b) Determine outra parábola que passe pelos pontos P1, P2 e P3.
Proposto
4) (UFF) As equações y - 2x = 0, y + x2 = 0 e y2 - x2 + 1 = 0, representam no plano, respectivamente:
a) uma reta, uma hipérbole e uma parábola;
b) uma parábola, uma hipérbole e uma reta;
c) uma reta, uma parábola e uma elipse;
d) uma elipse, uma parábola e uma hipérbole;
e) uma reta, uma parábola e uma hipérbole.
Proposto
5) (UNIRIO) A área do triângulo PF1 F2, onde P (2, - 8) e F1 e F2, são os focos da elipse de equação
x + y =1 , é igual a:
25 9
a) 8
b) 16
c) 24
d) 32
e) 64
Proposto
6) (UFF) Uma reta r é paralela ao eixo x e contém a interseção das parábolas y = (x - 1)2 e y =
(x - 5)2. A equação de r é:
a) x = 3
b) y = 4y
c) y = 4
x
d) y = 3
e) y = 3x
Proposto
7) (UFF) A reta y - 2x + 5 = 0 tangencia, no ponto M, a circunferência C de equação x2 + y2 =
5. A reta y = – x + p intercepta C nos pontos M e Q.
Determine:
a) o valor de p;
b) as coordenadas dos pontos M e Q.
Proposto
8) (UFF) A circunferência C1, de raio 1, é tangente aos eixos coordenados, conforme representação abaixo.
y
C2
C1
x
Determine a equação da circunferência C2, tangente simultaneamente aos eixos coordenados e a C1.
Proposto
-9) (UFRRJ) Determine a área da região limitada pelos gráficos das funções:
-
f(x)= (4-x )2, g(x)= 2-x
e
h(x)= 0
Proposto
10) (UNIRIO) Determine a equação da elipse cujo centro é C (1, – 2), a qual passa pelos pontos
A (2, – 2) e B (1, – 4), possuindo os seus eixos paralelos aos eixos cartesianos.
Proposto
11) (UFRJ) Sejam F1 e F2 os pontos do plano cartesiano de coordenadas F1=
e F2=
. Determine as coordenadas dos pontos da reta r de equação x – y = 1 cujas somas das
distâncias a F1 e F, sejam iguais a 4 (isto é: determine as coordenadas dos pontos P sobre a
reta r que satisfazem PF1 + PF2 = 4).
Proposto
12) (UFF) Na figura abaixo estão representadas a circunferência C, de centro na origem e raio
5, e a reta r de equação 4x.
3
y
r
M
F2
F1
0
x
N
Sabendo que M e N são os pontos de intersecção de r com C e F1 e F2 são os pontos onde
C intercepta o eixo X, determine a equação da elipse que passa por M e N e tem focos F1 e F2.