Aula 1 - FISIOCOMP

Teoria de Filas – Aula 1
Aula de hoje
Aulas passada
Introdução, Logística Revisão de
probabilidade
e Motivação para
Eventos e
avaliação e
probabilidade
desempenho
Independência
Prob. condicional
Experimentos Aleatórios
O que é um experimento aleatório?
Experimento que nem sempre
dá o mesmo resultado!
Exemplos:
Resultado de jogar um dado
Palavra de busca submetidas ao Google
Tempo de espera no ponto de ônibus
Vivemos num mundo aleatório...
Caracterizando Aleatoriedade
Como caracterizar um experimento aleatório?
Ingredientes necessários...
Possíveis resultados do experimento
“Probabilidade” de ocorrer cada um dos
resultados
Modelos Probabilísticos
Modelo Probabilístico
Representação matemática de um fenômeno aleatório
Componentes
Espaço amostral (S): conjunto de eventos
elementares que podem ocorrer a partir de um
experimento aleatório
Probabilidade de eventos (P):
quantificação da “chance” que cada evento
ocorra
Conjunto de eventos (E): subconjunto de
eventos que são de nosso interesse
Exemplo: Dado
Espaço amostral (S): cada uma das faces do
dado S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Probabilidade de eventos (P): chance de que
cada face ocorra: P(1) = 1/6, P(2) = 1/6, etc.
Conjunto de eventos (E): números pares,
E = {2, 4, 6}
Exemplo:
Tempo Esperando
um Ônibus
Espaço amostral (S): tempo de espera até a
chegada de um ônibus (medido em segundos),
S = {0, 1, 2, ...}
Probabilidade de eventos (P): chance de que
uma pessoa espere exatamente x segundos, P(0),
P(1), P(2), etc.
Conjunto de eventos (E): tempo de espera
menor que 1 minuto, E = {x | x < 60}
Exemplo: Status de 2 Componentes
(1/2)
Espaço amostral (S1): total de componentes em
funcionamento, S = {0, 1, 2}
Probabilidade de eventos (P): chance de que x
componentes estejam funcionando, P(0), P(1), P(2)
Conjunto de eventos (E): total de componentes
em funcionamento seja no máximo igual a dois
Exemplo: Status de 2 Componentes
(2/2)
Espaço amostral (S2): qual componente está em
funcionamento S = {(0,0), (1,0), (0,1),(1,1)}
Probabilidade de eventos (P): chance que o
componente 1 esteja em funcionamento e o 2 nã0
esteja em funcionamento: P(1)
Conjunto de eventos (E): um dos componentes
está em funcionamento
Exemplo: Fila de Banco (total de
clientes)
Espaço amostral (S1): total de clientes em uma
das filas do banco, S = {0, 1, 2,3,...}
Probabilidade de eventos (P): chance de ter x
pessoas na fila, P(0), P(1), P(2),P(3),...
Conjunto de eventos (E): total de clientes na
fila seja menor que 10
Exemplo: Fila de Banco (total de
clientes por idade)
Espaço amostral (S2): total de clientes em uma
das filas do banco, considerando a faixa etaria S =
{(0,0),(0,1),..,(1,0),...}
Probabilidade de eventos (P): chance de ter x
jovens na fila, P(0,0), P(1,0), P(1,1),P(1,2),...
Conjunto de eventos (E): total de clientes
jovens na fila é menor que 5
O que é Probabilidade?
“Chance de que um evento ocorra”
Fração de ocorrência ou frequência relativa
contagem de eventos
número de ocorrências divido por número
total de eventos
Exemplo:
A frequência relativa de uma das faces de um
dado é em torno de 1/6
O que é Probabilidade?
Conceito Clássico
Se associada a um experimento aleatório
tivermos um espaço amostral com N elementos,
igualmente prováveis, e A é um evento que
contem NA elementos do espaço de resultados
então:
P[A] = NA /N
Exemplos:
Dado justo
Urna com bolas
O que é Probabilidade?
Conceito baseado em frequência (nem todos os
resultados de um experimento aleatório são
equiprováveis!)
A probabilidade de um acontecimento é avaliada
através da informação já existente, sendo igual a
razão entre o número de vezes em que se verificou
uma realização favorável ao evento A ( NA ) e o
número de vezes (N) que o experimento aleatório
foi realizado
P[A] = limN, →∞ NA /N
O que é Probabilidade?
Exemplo: O telefone toca. Qual é a probabilidade
de ser engano?
Neste caso, dizer que a probabilidade de ser
engano é equiprovável a probabilidade de não ser
engano, não reflete a realidade!
Vamos recorrer à experiência para obter esta
medida!
Álgebra de Eventos
Diagrama de eventos
S
Espaço
amostral
Evento B
Evento A
Evento C
Conjunto de eventos (resultados) elementares
Ex. evento A, evento B, etc
Evento ocorre quando um de seus elementos é o
resultado do experimento aleatório
Operações de união, interseção e complemento
Aplicando Álgebra de Eventos
Vamos considerar uma célula wireless com 5
canais idênticos. O seguinte experimento
aleatório pode ser considerado: observar
quantos canais estão disponíveis. Cada canal
pode estar em dois estados diferentes:
ocupado (0) e disponível (1). O espaço
amostral tem 32 tuplas, representando todas
as combinações possíveis dos estados dos
canais.
Exemplo: Dois dados
Considere dois dados jogados
simultaneamente
Qual é o espaco amostral?
S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), ... }
Evento A : os dois dados são pares
A = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6),
(6,2), (6,4), (6,6)}
Evento B : soma é menor que 7
B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2),
(2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)}
Exemplo: Dois dados
Evento A : os dois dados são pares
A = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6),(6,2), (6,4),
(6,6)}
Evento B : soma é menor que 7
B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2),
(2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)}
Evento C : soma é menor que 7 e ambos dados
são pares
A∩B = { (2, 2), (2, 4), (4, 2)}
Exemplo: Status de 2 Componentes
Considere a observação da saída
de dois componentes consecutivos
em uma linha de produção
Qual é o espaco amostral?
S = {(0,0), (1,0), (0,1),(1,1)}
Evento A :Exatamente um componente não está
funcionando
A = {(1,0),(0,1)}
Evento B :Os dois componentes estão em
funcionamento
B = {(1,1)}
Exemplo de Confiabilidade (1/2)
Sistema com 2 discos idênticos
Sistema operacional quando ao menos 1 disco está
funcionando
Qual probabilidade do sistema estar operacional?
Modelo
p: prob. de um disco falhar
Falhas ocorrem de forma independente
Exemplo de Confiabilidade (2/2)
Qual é o experimento aleatório?
Qual é o espaço amostral?
estado do disco 1, estado do disco 2
f = disco falhou, o = disco operacional
S = { (f, f), (f, o), (o, f), (o, o) }
Qual é o conjunto de eventos de interesse?
(ao menos 1 disco está operacional)
A = { (f, o), (o, f), (o, o) }
Qual é a probabilidade de ocorrer o evento de
interesse?
Exemplo de Execução de
Código(1/3)
Considere o seguinte código
if B then s1
else s2
Experimento aleatório consiste em observar 2
execuções sucessivas do comando if
Qual probabilidade de ocorrer pelo menos uma
execução de s1? Qual a probabilidade de s2 ser
executado na primeira vez?
Exemplo de Execução de
Código(2/3)
Qual é o experimento aleatório?
Qual é o espaço amostral?
comando 1a execução, comando 2a execução
s1 = execução s1, s2 = execução s2
S = { (s1, s1), (s1, s2), (s2, s1), (s2, s2) }
Através de inúmeras repetições da execução
do código, temos:
P((s1,s1)) = 0.34; P((s1,s2)) = 0.26
P((s2,s1)) = 0.26; P((s2,s2)) = 0.14
Exemplo de Execução de
Código(2/3)
Qual é o conjunto de eventos de interesse?
A = “Pelo menos uma execução de s1”
B = “s2 é executado na primeira vez”
A = {(s1,s1),(s1,s2),(s2,s1)}
B = {(s2,s1),(s2,s2)}
P(A)? P(B)?
P(A) = P((s1,s1)) + P((s1,s2)) + P((s2,s2))
P(B) = P((s2,s1)) + P((s2,s2))
Exemplo de total de pacotes em um
roteador (1/2)
Considere um buffer em um roteador na saída
da rede do ICE
Temos uma fila!
Buffer tem tamanho máximo = B
Qual probabilidade de não ter nenhum pacote de
dados no buffer? Qual a probabilidade do buffer ter
ocupação maior ou igual a 50% ?
Exemplo de total de pacotes em um
roteador (2/2)
Qual é o espaço amostral?
Total de pacotes no roteador
N = número de pacotes no roteador
S = {0,1,2,3,4,...,B}
Qual é o conjunto de eventos de interesse?
A = “Nenhum pacote no roteador”
B = “Ocupação maior ou igual a 50%”
P(A)? P(B)?
P(A) = P(o)
P(B) = P(B/2) + P(B/2 +1) + … + P(B)
Exclusão Mútua
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se
A∩B=∅
conjunto
vazio
Exemplos?
Evento A: os dois dados são pares
Evento B: os dois dados são ímpares
Evento A: um dado é par
Evento B: um dado é ímpar
Axiomas de Probabilidade
(A1): para cada evento A, 0 <= P(A) <= 1
(A2): P(S) = 1, onde S é o espaço amostral
(A3): se A e B são mutuamente exclusivos, então
P(A U B) = P(A) + P(B)
Consequências?
Teoria de Probabilidade!
Probabilidade Condicional (1/6)
Relacionamento entre a ocorrência de um evento e
outros eventos
S
Evento A
Evento B
Qual a probabilidade do evento A dado que o
evento B ocorreu?
Dado que o resultado do experimento aleatório é
elemento de B, qual a probabilidade deste ser também
elemento de A?
Espaço amostral passa a ser o evento B
Probabilidade Condicional (2/6)
Considere a probabilidade de um acidente aéreo.
Sabemos que a probabilidade de morrer em um
acidente aéreo é baixa
No entanto, dado que o avião tenha caído...
A probabilidade é quase 1!
Porque?
Probabilidade Condicional (3/6)
Definição
P [ A∩B]
P [ A∣B]=
P [ B]
Probabilidade
de A dado B
Probabilidade Condicional (4/6)
Consideremos um colégio onde o total de alunos é
de 6800. Dentre estes alunos, 2829 possuem
cabelos loiros e 1768 possuem cabelos loiros e olhos
azuis. Qual a probabilidade de um aluno ter olho
azul, dado que possui cabelos loiros?
Eventos
A – alunos possuem olhos azuis
L – alunos possuem cabelos loiros
Então:
P(A|L) = P(A ∩ L)/P(L) = (1768/6800)/
(2829/6800) = 0.625
Probabilidade Condicional (5/6)
Originalmente, P(A) = 0.4134 < P(A|L) = 0.625!
Observe que quando condicionamos em L,
restringimos o espaço amostral ao conjunto
das pessoas loiras → Aumento de
probabilidade!
Probabilidade Condicional (6/6)
Consideremos agora que neste mesmo colégio
existam 857 alunos de olhos castanhos e 115 alunos
com olhos castanhos e cabelos loiros. Qual a
probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, não
tenha cabelos loiros, dado que tenha olhos
castanhos?
C – alunos possuem olhos castanhos
L – alunos possuem cabelos loiros
Então:
P(L|C) = 1 - P(L|C) = 1 – (115/6800)/
(857/6800) = 0.8658
Como identificar dependência e
independência de eventos?
Probabilidade de chover é independente da nossa
vontade!
Já o número de pessoas que levam o guarda-chuva
para o trabalho depende da previsão de tempo!
E no caso ...
Em que A e B são independentes?
Exercícios
Consideremos uma caixa que contenha 5000
chips, 1000 produzidos pela companhia X e o
resto pela companhia Y. 10% dos chips que são
produzidos pela companhia X são defeituosos e
5% dos chips produzidos pela companhia Y são
defeituosos. Se escolhemos aletoriamente um
chip e este está defeituoso, encontre a
probabilidade deste chip ter sido produzido pela
companhia X.
Exercícios
Na próxima aula ...
Independência
Condicionamento
Probabilidade Total
Variável aleatória discreta
Funções de distribuição.