Modelagem Matemática e Aplicações Maria Aparecida

Modelagem Matemática aplicada à Composição Musical
Maria Aparecida Silva Cruz1, Jônatas Manzolli2,3
1
Curso de Matemática da Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul
2
Núcleo Interdisciplinar de Comunicação Sonora (NICS)
3
Departamento de Música
Universidade de Campinas, SP-Brasil
[email protected], [email protected]
RESUMO
O presente trabalho explora uma das
características inerentes dos fractais[1], a autosimilaridade, onde uma parte reflete o todo,
desenvolvemos um modelo matemático para a
área de composição musical[2]. A escolha desta
característica se justifica pelo fato de que a mesma
pode ser encontrada em composições hierárquicas
baseadas na abordagem “tema recursivo” [3]. O
respectivo modelo é denominado de Auto
Semelhança e, nos permite produzir uma música
baseada numa pequena seqüência de notas
musicais. Sua construção é feita utilizando a
mesma idéia da construção da Curva Triádica de
Cantor[4].
O conjunto Triádico de Cantor também conhecido
por Poeira de Cantor pode ser construído de uma
maneira muito fácil, porém existe um fato
bastante notável o qual o torna um conjunto difícil
de se aceitar conceitualmente pois ele desaparece
progressivamente até tornar-se invisível.
Um segmento de reta que representa um intervalo
de números de 0 à L é dividido em três partes
iguais cada qual com tamanho L 3 , elimina-se
então o terço central. Isso resulta em dois
segmentos, suprime-se o terço médio de cada um
deles. Isto resulta em quatro segmentos de reta, e
suprime-se novamente o terço central de cada um
deles e assim repete-se este procedimento
infinitamente nos segmentos resultantes de cada
divisão. O resultado final será uma “poeira” de
pontos.
Utilizamos então a mesma idéia do processo de
construção da Curva Triádica de Cantor, aplicada
à subdivisão de tempo musical, resultando no que
chamamos de “músicas fractais”.
Definimos um espaço sonoro E constituído por
um conjunto de pares ordenados (di,ni), sendo di
as durações de cada nota e ni as notas para
i=1,2,3,... Criamos um conjunto inicial de pares
ordenados (di,ni), denominado Tema T, com T ε
E e j=1,2,3,...12. O tema corresponde à 1ª célula
CE da música a ser gerada. Uma vez criada a
célula T inicia-se o processo de construção onde
as próximas gerações de células são geradas
iterativamente da seguinte forma: uma nova
geração de célula CE+1 é obtida multiplicando as
durações de cada nota de CE por uma taxa de
replicação R, R ε Ζ ,de modo que a duração
total da nova geração CE+1 seja igual a duração
total de T. Assim a quantidade de notas da nova
geração CE+1 é inversamente proporcional aos
valores das durações de cada nota de CE, i.é., a
quantidade de notas da nova geração CE+1 é
R*(número de notas de CE) com R>1, enquanto o
valor
da
duração
de
cada
nota
é
[(duração de n ) de C ] .
j
E
R
O resultado é uma música M formada pela
concatenação das células CE, ou seja,
Ressaltamos
que
uma
M= [C1, C 2 , K C n ] .
característica deste modelo é que o programa
permite ao usuário alterações na composição em
tempo real, e mesmo não tendo entendimento
sobre seus parâmetros e modelagem matemática,
possui a percepção e interpretação musicais, o que
nos leva ao conceito de instrumento musical
computacional.
Referências Bibliográficas
[1] Mandelbrot, Benoit B. “The Fractal Geometry
of Nature”, Freeman W.H. & Company, New
York – 1983.
[2] Loy, Gareth., “Composing with Computers-a
Survey of Some Compositional Formalisms and
Music Programming Languages”, In Current
Directions in Computer Music Resarch, ed.
Mathews, M.V. and J.R. Pierce Cambridge: The
MIT Press, Massachussetts – 1989.
[3] Roads, Curtis. “The Computer Music Tutotial”
MIT Press, Cambridge, Massachusetts – Lodos,
England.
[4] Ricieri, Aguinaldo Prandini, “Fractais e Caos
a Matemática de Hoje”, Prandiano Edições – São
Paulo – 1990.