Análise Combinatória, Probabilidade

Erivaldo
Análise Combinatória,
Probabilidade
ACAFE 2013.01
“Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1) de bit, que
vem do inglês Binary Digit. O "American Standard Code for
Information Interchange" comumente referido como ASCII – também chamado ASCII completo, ou ASCII estendido –, é uma forma
especial de código binário que é largamente utilizado em
microprocessadores e equipamentos de comunicação de dados.”
20) É correto afirmar que os 7 bits do código ASCII permite
representar um total de:
A ⇒ 256 caracteres diferentes.
B ⇒ 64 caracteres diferentes.
C ⇒ 1024 caracteres diferentes.
D ⇒ 128 caracteres diferentes.
Gabarito: d
ACAFE 2013.01
“A probabilidade de que um médico acerte o diagnóstico de um
paciente é de 95%. Dado que esse médico tenha errado o
diagnóstico, a probabilidade de não ser processado pelo paciente é
90%. Qual a probabilidade de que o médico erre o diagnóstico e
seja processado pelo paciente?
A ⇒ 4,5%
B ⇒ 3,2%
C ⇒ 0,5%
D ⇒ 3,8%
Gabarito: c
UDESC 2013.01
Uma turma de 25 alunos precisa escolher 6 representantes. Sabe-se
que 28% dos alunos desta turma são mulheres, e que os
representantes escolhidos devem ser 3 homens e 3 mulheres.
Assim, o número de possibilidades para esta escolha é:
A. ( ) 28560
B. ( ) 851
C. ( ) 13800
D. ( ) 1028160
E. ( ) 5106
Gabarito: a
UFSC 2013
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Jogam-se simultaneamente dois dados, um vermelho e
outro branco. A probabilidade de que a soma dos números
mostrados nas faces de cima seja menor ou igual a 6 é 1/2.
( Incorreto
)
UFSC 2013
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
02. A Agência Nacional de Telecomunicações (ANATEL)
determinou a inclusão do dígito 9 à frente de todos os
números de telefone celular do estado de São Paulo. Dessa
forma, cada número de telefone será constituído de nove
dígitos. Suponhamos que, em uma determinada região, todos
os números de telefone comecem da seguinte forma:
( Incorreto
9 8 6 ? ?
? ? ? ? )
Sabendo que os algarismos 9, 8 e 6 permanecem fixos na
posição apresentada, e que os números de telefone celular
são formados por dígitos distintos, então nessa região pode-se
fazer 1 000 000 de números de telefone diferentes.
UFSC 2013
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
04. Numa empresa, existem 7 funcionários, entre eles Francisco. A
direção-geral pediu para formar um grupo de trabalho com 4
desses funcionários de modo que Francisco esteja nesse grupo,
então o número de maneiras distintas de formar esse grupo é 35.
( Incorreto
)
UFSC 2013
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
08. (11.1!).(22.2!).(33.3!). (44.4!). . . . (1010.10!) = (10!)11
( Correto )
UFSC 2013
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
16. A expressão M =
40.39.38....11.10
é um número inteiro.
30!
( Correto )
UFSC 2013
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
32. Há exatamente 36 anagramas da palavra SORTE em que
duas vogais não estão juntas.
( Correto )
Questão 01
UNIFESP | Duzentos e cinquenta candidatos submeteram-se a uma prova com 5
questões de múltipla escolha, cada questão com 3 alternativas e uma única
resposta correta. Admitindo-se que todos os candidatos assinalaram, para cada
questão, uma única resposta, pode-se afirmar que pelo menos:
a) um candidato errou todas as respostas.
b) dois candidatos assinalaram exatamente as mesmas alternativas.
c) um candidato acertou todas as respostas.
d) a metade dos candidatos acertou mais de 50% das respostas.
e) a metade dos candidatos errou mais de 50% das respostas.
Resolução:
Total de respostas possíveis:
3p = 243
_____
3p . _____
3p . _____
3p . _____
3p . _____
2ª
5ª
4ª
1ª
3ª
Gabarito: b
Questão 02
ESPM | Apenas 40% dos hóspedes de um hotel de São Paulo são
estrangeiros, sendo que 70% deles são ingleses e os demais,
franceses. Sabe-se que 25% dos franceses e 50% dos ingleses falam
Português. Escolhendo-se, ao acaso, um dos hóspedes desse hotel,
a probabilidade de que ele fale Português é:
a) 65%
b) 72%
c) 68%
d) 77%
e) 82%
Gabarito: d
Questão 03
UFSC | Um campeonato de futebol de salão é disputado por várias
equipes, jogando entre si, turno e returno. Sabendo-se que foram
disputadas 272 partidas, determine o número de equipes
participantes.
Resolução: Número de equipes: n
Número de partidas de um turno : Cn2
Número de partidas de dois turnos : 2.Cn2 = 272
Questão 03
UFSC | Um campeonato de futebol de salão é disputado por várias
equipes, jogando entre si, turno e returno. Sabendo-se que foram
disputadas 272 partidas, determine o número de equipes
participantes.
Resolução:
2.Cn2 = 272 ÷(2)
n!
= 136
2!.(n − 2)!
n.(n −1).(n − 2)!
= 136
2.1.(n − 2)!
n2 − n − 272 = 0
n = 17 ou n = −16
Gabarito:
17
Questão 04
FUVEST | Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato
Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes
contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos
quais os dois oponentes são paulistas é:
a) menor que 7%.
b) maior que 7%, mas menor que 10%.
c) maior que 10%, mas menor que 13%.
d) maior que 13%, mas menor que 16%.
e) maior que 16%.
Gabarito: b
Questão 05
(UFMG) Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos em três grupos: o
vermelho, com 5 sabores; o amarelo, com 3 sabores; e o verde, com 2 sabores.
Pode-se pedir uma casquinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas cada casquinha não pode
conter 2 bolas de um mesmo grupo. O número de maneiras distintas de se pedir
uma casquinha é:
a) 71
b) 86
c) 61
d) 131
Resolução:
Casquinha com 1 bola: 5 vermelhas + 3 amarelas + 2 verdes = 10 casquinhas.
Casquinha com 2 bolas: (Verm. e Am.) ou (Verm. e Verd.) ou (Verd. e Am)
5p . _____
3p + _____
5p . _____
2p + _____
2p . _____
3p = 31
_____
Casquinha com 3 bolas:
Vermelha e Amarela e Verde
_____
5p . _____
3p . _____
2p = 30
Total de Casquinhas: 10 + 31 + 30 = 71
Gabarito: a
Questão 06
UFC | Considere os números inteiros maiores que 64.000 que
possuem cinco algarismos todos distintos, e que não contêm os
dígitos 3 e 8. A quantidade desses números é:
a) 2160
b) 1320
c) 1440
d) 2280
e) 2880
Questão 07
(FEI) Quantos valores inteiros entre 100 e 999 possuem a seguinte característica: a
soma do algarismo das centenas com o algarismo das dezenas é igual ao
algarismo das unidades?
a) 450
b) 45
c) 90
d) 9
e) 1
Resolução:
1 . _____
0 . _____
1 =
_____
1
4 =
_____ . _____ . _____
fixo
fixo
5 =
_____ . _____ . _____
1 . _____
1 . _____
2 =
_____
fixo
2 . _____
0 . _____
2 =
_____
2
fixo
1 . _____
2 . _____
3 =
_____
fixo
3 . _____
0 . _____
3 =
_____
fixo
3
5
fixo
.
.
.
9 =
_____ . _____ . _____
fixo
2 . _____
1 . _____
3 =
_____
4
9
fixo
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 9 = 45
Gabarito: b
Questão 08
UERJ | Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes,
sendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é
expelida ao acaso.
Observe a ilustração:
Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor número de
moedas a serem inseridas na máquina corresponde a:
a)  5
b) 13
c) 31
d) 40
Questão 09
FUVEST | Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta
bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 podem ser
usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez.
Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o
número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo
algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua
senha?
a) 551
b) 552
c) 553
d) 554
e) 555
Questão 10
UNICAMP | Em Matemática, um número natural é chamado
palíndromo se seus algarismos, escritos em ordem inversa,
produzem o mesmo número. Por exemplo, 8, 22 e 373 são
palíndromos. Pergunta-se:
a) Quantos números naturais palíndromos existem entre 1 e 9.999?
b) Escolhendo-se ao acaso um número natural entre 1 e 9.999, qual
é a probabilidade de que esse número seja palíndromo? Tal
probabilidade é maior ou menor que 2%?
Questão 10
a) Quantos números naturais palíndromos existem entre 1 e 9.999?
Resolução:
a)
Palíndromos de 1 algarismo : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 = 8
9p . _____
1p = 9
Palíndromos de 2 algarismos : _____
9p . _____
10p . _____
1p = 90
Palíndromos de 3 algarismos : _____
9p . _____
10p . _____
1p . _____
1p = 90
Palíndromos de 4 algarismos : _____
Total de palíndromos : 8 +9 + 90 + 90 = 197 197 – 1 = 196
9999
Gabarito: 196
Questão 10
b) Escolhendo-se ao acaso um número natural entre 1 e 9.999, qual
é a probabilidade de que esse número seja palíndromo? Tal
probabilidade é maior ou menor que 2%?
Resolução:
b)
A quantidade de números no intervalo entre 1 e 9.999 é : 9.997
A quantidade de palíndromos no intervalo entre 1 e 9.999 é : 196
A probabilidade de um palíndromo no intervalo entre 1 e 9.999 é :
196
⇒ P = 1,96%
P=
9997
Gabarito: 1,96%
Questão 11
Empregando o raciocínio combinatório, calcule o número de
diagonais de um polígono de:
a)  8 lados
b)  b) n lados
Questão 12
Considere os conjuntos P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19} e
Q = {23, 29, 31, 37, 41, 43}.
a) Determine o número total de produtos distintos de seis fatores
distintos, que podem ser obtidos, escolhendo–se três fatores entre
os elementos do conjunto P e três fatores entre os elementos do
conjunto Q.
b) Determine quantos dos produtos obtidos no item (a) são
divisíveis, pelo menos, por um dos números 2 ou 29.
Questão 12
Conjuntos P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19} e Q = {23, 29, 31, 37, 41, 43}.
a) Determine o número total de produtos distintos de seis fatores
distintos, que podem ser obtidos, escolhendo–se três fatores entre
os elementos do conjunto P e três fatores entre os elementos do
conjunto Q.
Resolução:
_____ _____ _____ _____ _____ _____
C38
8!
3!.(8 − 3)!
C36
x
6!
= 1120
3!.(6 − 3)!
Questão 12
Conjuntos P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19} e Q = {23, 29, 31, 37, 41, 43}.
b) Determine quantos dos produtos obtidos no item (a) são
divisíveis, pelo menos, por um dos números 2 ou 29.
Resolução: Produtos que não interessam (sem os fatores 2 e 29):
_____ _____ _____ _____ _____ _____
Total:
C73
7!
3!.(7 − 3)!
C
x
3
5
5!
= 350
3!.(5 − 3)!
1120
Sem Int.: 350
Casos de
interesse:
1120 – 350 = 770
Questão 13
As embalagens dos produtos vendidos por uma
empresa apresentam uma seqüência formada por
barra verticais: quatro de largura 1,5 mm; três de
largura 0,5 mm e duas de largura 0,25 mm como
na figura abaixo. Cada seqüência indica o preço de
um produto. Quantos preços diferentes podem ser
indicado por essas nove barras?
Resolução:
4 de largura 1,5 mm; 3 de largura 0,5 mm e 2 de largura 0,25 mm:
4 ,3,2
9
P
9!
4 ,3,2
⇒ P9 = 1260
=
4!.3!.2!
Questão 14
ENEM | O controle de qualidade de uma empresa fabricante de
telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de
determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se
uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente,
qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente
dois aparelhos defeituosos?
a) 2×(0,2%)4.
b) 4×(0,2%)2.
c) 6×(0,2%)2×(99,8%)2.
d) 4×(0,2%).
e) 6×(0,2%)×(99,8%).
Resolução:
D e
D
e
ND e
ND
(0,2%) x (0,2%) x (99,8%) x (99,8%) = (0,2%)2 x(99,8%)2
D, D, ND, ND
2,2
4
P
4!
=
=6
2!.2!
Gabarito: c
Questão 15
FUVEST | Em uma certa comunidade, dois homens sempre se
cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se
despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma
mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se
despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto
para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma
comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se
cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima.
Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram
trocados 720 apertos de mão?
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
Questão 15
Dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um
aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão.
Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de
mão, mas se despedem com um aceno. Em uma comemoração, na
qual 37 pessoas almoçaram juntas, quantos dos presentes eram
mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão?
Resolução: Sendo x o número de homens, temos:
Cumprimentos entre dois homens: 2.Cx,2
Cumprimentos entre um homem e uma mulher: x.(37 – x)
Portanto: 2.Cx,2 + x.(37 – x) = 720
x!
2.
+ x.(37 − x) = 720
2!.(x − 2)!
Questão 15
x!
+ x.(37 − x) = 720
Resolução: 2.
2!.(x − 2)!
x.(x −1).(x − 2)!
2.
+ 37x − x 2 = 720
2.1.(x − 2)!
x 2 − x + 37x − x 2 = 720
Mulheres:
37 – x
36x = 720
x = 20
37 – 20
17
Gabarito: b
Questão 16
Com n letras iguais a A e 3 letras iguais a B formam-se um total de
8n + 16 permutações. Calcule n.
Resolução:
B ___
B ___
A ___
A . . . . . ___
A ___
B
___
n letras
3 letras
n,3
Pn+3
= 8.n +16
(n + 3)!
= 8.n +16
n!.3!
⎧n = 5
2
n + 4n − 45 = 0 ⇒ ⎨
⎩n = −9
Gabarito: 05
Questão 17
Um oráculo mente sempre às segundas, terças e quartas feiras, mas
fala sempre a verdade nos outros dias. Num certo dia ao ser
perguntado se “hoje é domingo” , ele respondeu “sim” .
A probabilidade de ele estar mentindo é:
a) 3/7
b) 4/7
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/7
Resolução:
Domingo
Segunda
Terça
V
M
M
Dias em que o oráculo
poderia responder SIM:
Domingo (V);
Segunda(M);
Terça(M) ;
Quarta(M).
Quarta Quinta
M
V
Sexta
Sábado
V
V
Probabilidade do oráculo estar
mentindo:
3
P=
4
Gabarito: c
Questão 18
Sobre uma mesa, há 15 bolas de bilhar: 8 vermelhas, 4 amarelas e 3
pretas.De quantos modos podem-se enfileirar essas bolas de modo
que duas da mesma cor nunca fiquem juntas?
Resolução:
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
Há 7 bolas de bilhar, 4 amarelas e 3 pretas, para 7 espaços.
3,4
7
P
7!
3,4
⇒
P
= 35
=
7
3!.4!
Gabarito: 35
Questão 19
UERJ | Numa sala existem cinco cadeiras numeradas de 1 a 5.
Antônio, Bernardo, Carlos, Daniel e Eduardo devem se sentar nestas
cadeiras. A probabilidade de que nem Carlos se sente na cadeira 3,
nem Daniel na cadeira 4, equivale a:
a) 16%
b) 54%
c) 65%
d) 96%
Gabarito: c
Questão 20
CEM | O número de maneiras que pode-se distribuir 10 moedas,
todas idênticas, entre 4 crianças, de modo que cada criança receba
pelo menos uma moeda é:
Extra
CEM | O número real positivo x que satisfaz a condição x2 = x + 1 é
chamado de número de ouro. Para este número x, temos que x5 é
igual a 5x + 3.
Correto
Extra
UNICAMP | Com as letras x, y, z e w podemos formar monômios de
grau k, isto é, expressões do tipo xaybznwt, onde a, b, n e t são
inteiros não negativos, tais que
a + b + n + t = k. Quando um
ou mais desses expoentes é igual zero, dizemos que o monômio é
formado pelas demais letras. Por exemplo, y3z4 é um monômio de
grau 7 formado pelas letras y e z [nesse caso, a = t = 0].
a) Quantos monômios de grau 4 podem ser formados com, no
máximo, 4 letras?
b) Escolhendo-se ao acaso um desses monômios do item (a), qual a
probabilidade dele ser formado por exatamente duas das 4 letras?
Extra
(UFMG) Num grupo constituído de 15 pessoas, cinco vestem camisas amarelas,
cinco vestem camisas vermelhas e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se formar
uma fila com essas pessoas de forma que as três primeiras vistam camisas de cores
diferentes e que as seguintes mantenham a seqüência de cores dada pelas três
primeiras. Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode fazer tal fila?
a) 3(5!)3 b) (5!)3 c) (5!)3(3!)
d) 15!/(3!5!)
Resolução:
5 vestem camisas amarelas, 5 vestem camisas vermelhas e 5 vestem camisas verdes.
A ___
V ___
A ___
V ___
A ___
V ___
A ___
V ___
A ___
V ___
Vd ___
Vd ___
Vd ___
Vd ___
Vd
___
P3
.P .P .P
5
5
5
(3!).(5!).(5!).(5!) = (5!)3.(3!)
Gabarito: C
Extra
Um grupo formado por 4 rapazes e uma senhorita vai visitar uma exposição de arte.
Um dos rapazes é um perfeito cavalheiro e, portanto, não passa pela porta da sala
de exposições sem que a senhorita já o tenha feito. Considerando que a entrada é
de uma pessoa por vez, então haverá 72 diferentes possibilidades para a ordem de
entrada do grupo.
Resolução:
4 rapazes e 1 senhorita: R1, R2, R3, R4, S.
S . _____
4p . _____
3p . _____
2p . _____=
1p
24
_____
fixo
3p . _____
S . _____
3p . _____
2p . _____=
1p
18
_____
fixo
60 números
3p . _____
2p . _____
S . _____
2p . _____=
1p
12
_____
fixo
3p . _____
2p . _____
1p . _____
1p
6
S . _____=
_____
fixo
Falso
Erivaldo
FIM