Apostila de Matemática 14 – Sistemas Lineares

Apostila de Matemática 14 – Sistemas
Lineares
1.0 Equações Lineares
Definição – Toda Equação que pode ser escrita na forma:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
x1, x2, x3, xn são incógnitas – Normalmente aparece como „x‟, „y‟, „z‟...
a1, a2, a3, an são números reais – Coeficientes das incógnitas.
b – Termo Independente (T.I).
Cada par (x, y) representa 1 ponto no plano (2 dimensões).
Cada terno (x, y, z) representa 1 ponto no espaço (3 dimensões).
2.0 Sistemas de Equações Lineares
Definição – O sistema linear m x n é o conjunto „S‟ de „m‟ equações e „n‟
incógnitas.
Se a equação tiver 2 incógnitas – Cada equação do sistema representa os pontos
de uma reta no plano.
Se a equação tiver 3 incógnitas – Cada equação do sistema representa os pontos
de um plano no espaço.
2.1 Sistemas Lineares 2x2
R x R – Conjunto de todos os pares ordenados de números reais.
Pode-se resolver os sistemas pelos métodos de adição, substituição e
comparação.
Pode-se também calcular a determinante da matriz dos coeficientes do sistema.
2.1.1 Classificação
Sistema possível e determinado (SPD):
Única solução.
As 2 equações não têm coeficientes proporcionais nas mesmas
incógnitas.
Interseção de retas em um único ponto:
Sistema impossível (SI):
Não possui solução.
Equações incompatíveis – As 2 equações possuem coeficientes
proporcionais nas mesmas incógnitas e o termo independente não é
proporcional.
Retas paralelas:
Sistema possível e indeterminado (SPI):
Possui infinitas soluções.
Equações equivalentes – As 2 equações são proporcionais.
Retas coincidentes:
2.1.2 Discussão de um Sistema Linear 2x2
Definição – Descobrir para que valores dos parâmetros ele o sistema é SPD, SPI
ou SI.
Basta calcular a matriz dos coeficientes do sistema.
2.2 Sistemas Lineares Homogêneos
Definição – Todos os termos independentes são nulos.
São sempre possíveis (SPD ou SPI).
Podem ser classificados apenas a partir do cálculo da determinante.
2.3 Sistemas Lineares Equivalentes
Definição – Os sistemas possuem o mesmo conjunto solução.
3.0 Regra de Cramer
Fornece os valores das incógnitas diretamente como quociente de 2
determinantes.
Só se aplica em sistemas n x n.
Só se aplica quando o determinante da matriz do sistema é diferente de zero.
Calcula-se o Determinante “D” – Determinante da matriz dos coeficientes do
sistema.
Calcula-se o Determinante das incógnitas – Determinante da matriz dos
coeficientes do sistema, sendo que substitui-se a coluna do coeficiente pela
coluna do termo independente:
O valor de cada incógnita é o quociente de cada um desses determinantes por D: