Dicas para resolução de problemas

1.4
Algumas Dicas para Resolver Problemas
1.4
15
Algumas Dicas para Resolver Problemas
Nesta seção, damos algumas regras gerais que consideramos importante ter em mente na hora de resolver um problema de Matemática.
Aplicaremos estas regras a alguns problemas interessantes para ilustrar a sua importância. Elas são:
R1) Ler bem o enunciado do problema e utilizar todas as informações
disponíveis.
R2) Fazer casos particulares ou casos mais simples de problemas similares, para adquirir familiaridade com o problema.
R3) Mudar a representação do problema, transformando-o em um
problema equivalente.
R4) Usar a imaginação pesquisando caminhos alternativos.
Extra-
polar os limites!
A seguir propomos vários problemas onde as regras anteriores são
muito úteis.
O leitor deve tentar resolvê-los; mas se não conseguir
achar solução depois de muito tentar poderá então passar para a próxima seção onde os solucionamos.
Problema 1.7.
Ao encontrar uma velha amiga (A), durante uma
viagem de trem, um matemático (M) tem a seguinte conversa:
(M)
Como vão os três lhos da senhora?
(A)
Vão bem, obrigada!
16
1
Primeiros Passos
(M)
Qual a idade deles mesmo?
(A)
Vou lhe dar uma dica. O produto das idades deles é 36.
(M)
Só com essa dica é impossível!
(A)
A soma das idades deles é igual ao número de janelas deste
vagão.
(M)
Ainda não sei!
(A)
O mais velho toca piano!
(M)
Agora eu sei!
Você é capaz de descobrir as idades dos três lhos da senhora?
Problema 1.8.
Numa cesta encontram-se 9 moedas idênticas, sendo
que 8 delas têm o mesmo peso e uma moeda é mais leve que as demais.
Usando duas vezes uma balança de dois pratos, encontrar a moeda
mais leve.
Problema 1.9.
Numa pequena ilha existem 5 pessoas de olhos azuis
e 5 pessoas de olhos verdes. Existe um grande tabu nesta ilha que é o
seguinte: se uma pessoa descobre que possui olhos azuis ela se suicida
à meia-noite do dia em que descobriu, pulando do alto da prefeitura.
Por conta disso, ninguém conversa sobre o assunto, olha para espelhos
ou vê seu reexo na água. Todos se cruzam diariamente e conhecem
os olhos de seus amigos. Numa manhã, um estrangeiro chegou à ilha
e reuniu as 10 pessoas para o seguinte pronunciamento:
Nesta ilha, existe uma pessoa de olhos azuis.
Pergunta-se:
1.4
Algumas Dicas para Resolver Problemas
17
(a) O que aconteceu com os habitantes da ilha?
(b) Que informação nova o estrangeiro trouxe?
Problema 1.10. Um viajante deseja se hospedar durante 31 dias num
hotel. Entretanto, percebe que está sem dinheiro e que a única coisa
que possui é uma corrente com 31 elos de ouro. Para pagar sua conta,
ele acertou com o gerente pagar um elo por dia, sem atrasar ou adiantar o pagamento, durante os 31 dias. O gerente pode dar troco em
elos. Depois ele deseja recuperar a corrente e por isso ele quer pagar
a conta cortando a corrente no menor número de pedaços. Quantos
cortes você conseguiria dar e pagar a conta?
Problema 1.11.
Sabendo que em cada jogada o movimento do cavalo
consiste em se deslocar duas casas na horizontal e uma na vertical
ou duas na vertical e uma na horizontal, decidir se é possível sair
da conguração apresentada no tabuleiro (a) e chegar à conguração
apresentada no tabuleiro (b) da Figura 1.2 sem que em algum momento
existam dois cavalos na mesma casa.
(a)
(b)
Figura 1.2: Cavalos de xadrez
18
1
Primeiros Passos
Problema 1.12. Mostre que podemos cobrir os 9 pontos no reticulado
da Figura 1.3 traçando 4 segmentos de reta sem tirar o lápis do papel.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Figura 1.3: Reticulado de 9 pontos
Sugerimos seguir as dicas abaixo para obter sucesso na solução dos
problemas:
•
Para os problemas 1.7 e 1.8 use a primeira regra.
•
Para os problemas 1.9 e 1.10 use a segunda regra. Por exemplo,
no problema 1.9 fazer primeiro o caso: uma pessoa com olhos
azuis e uma com olhos verdes e depois fazer o caso: duas pessoas
de olhos azuis e duas de olhos verdes; generalize.
•
Para os problema 1.11 use a terceira regra.
•
Para o problema 1.12 use a quarta regra.
1.5
Soluções dos Problemas da Seção 1.4
A seguir apresentamos soluções para os problemas enunciados na seção
anterior.
Solução do Problema 1.7.
É muito importante neste problema tirar
o máximo de informação das dicas da senhora. Vamos à primeira dica:
o produto das idades é 36.
1.5
Soluções dos Problemas da Seção 1.4
19
0 6 x 6 y 6 z 6 36.
possibilidades para os números x,
Suponhamos que as idades dos lhos sejam
Como
y
e
xyz = 36,
temos as seguintes
z:
x y
1
1
1
1
1
2
2
3
z
xyz
1 36
2 18
3 12
4 9
6 6
2 9
3 6
3 4
36
36
36
36
36
36
36
36
A segunda dica dada pela senhora é a soma das idades.
Assim,
vamos agora calcular todas as possíveis somas de acordo com as fatorações de 36 dadas na tabela anterior:
x y
1
1
1
1
z
x+y+z
1 36
2 18
3 12
4 9
1 6
6
2 2
2 3
3 3
9
6
4
38
21
16
14
13
13
11
10
Sabemos que após a segunda dica, o matemático ainda não conseguiu deduzir as idades das crianças.
20
1
Primeiros Passos
Por que ele não conseguiu? Imagine que o número da casa fosse
14. Ora, de acordo com nossa tabela, só existe um terno de números
cujo produto é 36 e a soma é 14, que é o terno (1,4,9). Assim, se o
número da casa fosse 14 o matemático teria dado a resposta após a
segunda dica. Como ele cou em dúvida, olhando a tabela 2, chegamos
à conclusão de que o número da casa só pode ser igual a 13.
Lembremos a última dica: o mais velho toca piano. No início essa
dica parecia inútil, mas agora ela é fundamental para resolvermos o
problema. De fato, como o mais velho toca piano, isso signica que
existe um mais velho, o que descarta o caso (1,6,6). Assim, as idades
são 2, 2, e 9.
Solução do Problema 1.8.
Este é o tipo de problema que a primeira
vista pode parecer difícil, mas que quando usamos todas as informações do seu enunciado se torna fácil. A ideia é dividir as moedas em
A, B
Colocaremos na balança os grupos A e B e deixaremos o grupo C
três grupos de três moedas cada, que chamaremos grupos
e
C.
fora.
Podem acontecer duas coisas:
(a) Os pratos cam equilibrados.
(b) Os pratos cam desequilibrados.
A e B têm o mesmo peso. Logo,
a moeda mais leve deve estar no grupo C . No caso (b), um dos grupos
No caso (a), temos que os grupos
cou mais leve, o que signica que a moeda mais leve está neste grupo.
Assim, utilizando a balança apenas uma vez conseguiremos descobrir
qual é o grupo em que a moeda mais leve está. Digamos que este grupo
seja o grupo
A.
Para achar a moeda mais leve, procedemos de modo
semelhante ao que zemos anteriormente: separamos as três moedas
1.5
Soluções dos Problemas da Seção 1.4
do grupo
A
21
colocando uma em cada prato e deixando a terceira de
fora. Podem acontecer duas coisas:
(a) Os pratos cam desequilibrados e assim a moeda mais leve está
no prato mais leve.
(b) Os pratos cam equilibrados, logo a moeda mais leve foi a que
cou fora.
No nal, usamos a balança exatamente duas vezes.
Solução do Problema 1.9.
Como em muitos problemas de Mate-
mática, abordar casos mais simples do problema pode ajudar bastante
na solução.
Assim, vamos imaginar o seguinte caso mais simples:
na ilha existe somente uma pessoa de olhos azuis e a outra de olhos
verdes. Pensando neste caso, a pessoa que tinha olhos azuis só via as
que tinham olhos verdes.
Quando o estrangeiro armou que existia
uma pessoa de olhos azuis, ela descobriu que tinha olhos azuis, pois as
outras pessoas tinham olhos verdes. Assim, à meia-noite ela subiu na
prefeitura e pulou. Com isso, a pessoa que tinha olhos verdes descobriu
que tinha olhos verdes, pois se ela tivesse olhos azuis sua companheira
não se suicidaria no dia anterior.
Vamos agora dar um passo crucial na solução do nosso problema
original, considerando o caso onde existem duas pessoas de olhos azuis
e duas pessoas de olhos verdes na ilha. Vamos chamar as pessoas de
olhos azuis de
A
e
B
e as pessoas de olhos verdes de
C
e
D.
No dia
em que o estrangeiro fez o seu pronunciamento, nada aconteceu, pois
as pessoas
A
C
e
via a pessoa
pessoa
A
D
B
viam as pessoas
A
e
B
com olhos azuis e a pessoa
com olhos azuis e vice-versa. Já no segundo dia, a
teve o seguinte pensamento:
22
1
Primeiros Passos
Se eu tivesse olhos verdes, a pessoa B teria descoberto que
tinha olhos azuis ontem, pois ela veria três pessoas de olhos
verdes. Como ela não se suicidou ontem, eu tenho olhos
azuis.
Pensando da mesma forma, a pessoa
B
descobriu que também tinha
olhos azuis. Por isso, à meia-noite do segundo dia, as pessoas
A
e
B
se suicidaram.
O que aconteceu depois? As pessoas
C
e
D
ainda tinham a dúvida
da cor de seus olhos. Para chegar à conclusão de que seus olhos são
verdes, no terceiro dia, a pessoa
C
pensou assim:
Bem, se eu tivesse olhos azuis, as pessoas
A
e
B
veriam
cada uma duas pessoas com olho azul. Logo, elas não teriam se suicidado no segundo dia, pois não conseguiriam
deduzir a cor de seus olhos.
Logo, tenho olhos verdes.
Ufa!
Do mesmo modo, a pessoa
D
conseguiu descobrir a cor de seus olhos.
Analisando de modo semelhante, conseguiremos deduzir que no
problema original as cinco pessoas de olhos azuis descobrirão que possuem olhos azuis e juntas se suicidarão no quinto dia após o pronunciamento do estrangeiro.
Agora vamos descobrir a resposta da segunda pergunta do enunciado:
que informação nova o estrangeiro trouxe?
Aparentemente
nada de novo foi acrescentado pela frase do estrangeiro, pois cada
pessoa estava vendo alguma pessoa com olhos azuis. Mas isso não é
verdade.
Para ver isso e descobrir qual é a nova informação que o estrangeiro
trouxe, vamos voltar ao caso de somente duas pessoas na ilha, uma
1.5
Soluções dos Problemas da Seção 1.4
23
de olhos azuis e outra de olhos verdes. Neste caso, a pessoa de olhos
azuis somente vê uma pessoa de olhos verdes. Com a informação de
que existe uma pessoa de olhos azuis ela pode descobrir a cor de seus
olhos.
Note que a pessoa de olhos verdes já sabia que existia pelo
menos uma pessoa de olhos azuis.
Mas ela não sabia que a pessoa
de olhos azuis tinha conhecimento de que na ilha existia alguém com
olhos azuis. Essa é a nova informação que o estrangeiro trouxe.
Solução do Problema 1.10.
Uma primeira solução é cortar a cor-
rente 30 vezes, separando todos os elos. Porém, essa não é a melhor solução, como veremos a seguir. Vamos iniciar nossa análise observando
que para pagar o primeiro dia precisamos dar um corte na corrente.
Assim, o gerente receberá um elo. O pulo do gato do problema vem
agora: para pagar o 2
◦
dia, vamos cortar a corrente de modo a separar
dois elos de uma vez. Assim, daremos dois elos ao gerente e ele devolverá um elo de troco. Com este elo pagaremos o terceiro dia. Note
que pagamos três dias fazendo dois cortes na corrente, como mostra a
tabela:
Elos
Gerente
Viajante
1, 2
28
Note que o número 2 denota o pedaço que contém 2 elos.
pagar o 4
◦
Para
dia, cortaremos a corrente de modo a obter um pedaço
com quatro elos.
Entregamos ao gerente este pedaço e recebemos
de troco um elo solto e um pedaço com dois elos.
Com o elo solto,
◦
◦
pagamos o 5 dia. Assim, no 5 dia teremos os seguintes grupos de
elos:
Elos
Gerente
Viajante
1, 4
2, 24
24
1
Primeiros Passos
◦
Assim, pagamos o 6 dia com o pedaço que contém dois elos e
receberemos o elo solto de troco. Finalmente pagaremos o 7
◦
dia com
o elo solto. Note que foi possível pagar 7 dias com apenas três cortes na
corrente. A continuação do procedimento está quase revelada. Para
◦
pagar o 8 dia, cortaremos um pedaço com oito elos.
Daremos este
pedaço e receberemos de troco 7 elos, sendo um elo solto, um pedaço
com 4 e um pedaço com dois elos. Repetindo o procedimento anterior,
◦
pagaremos os 7 dias seguintes, pagando até o 15 dia sem precisar de
cortes adicionais. Ou seja, para pagar os 15 primeiros dias, precisamos
de 4 cortes na corrente. Neste momento, a corrente está distribuída
do seguinte modo:
Elos
Para pagar o 16
◦
Gerente
Viajante
1, 2, 4, 8
16
dia, entregaremos ao gerente o pedaço com os 16
elos restantes, recebendo 15 elos divididos em pedaços de 1, 2, 4 e 8
elos. Se repetirmos o processo, pagaremos o hotel até o 31
◦
dia sem
precisar de novos cortes. Assim, o mínimo número de cortes é 4.
Solução do Problema 1.11.
Para resolver este problema vamos usar
a estratégia de mudar a representação. O que signica isso? Vamos
reescrever o problema com outros ingredientes, porém sem alterar em
nada sua essência. Primeiramente, enumere as casas do tabuleiro com
os números
1, 2, . . . , 9,
como na Figura 1.4.
Vamos agora associar ao tabuleiro, um conjunto de nove pontos
também enumerados com os números 1, 2, . . . , 9. Se for possível sair
de uma casa
i
e chegar à casa
j
com apenas uma jogada do cavalo,
colocaremos um segmento ligando os pontos
i
e
j.
Por exemplo, é
1.5
Soluções dos Problemas da Seção 1.4
25
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figura 1.4: Tabuleiro de 9 casas
possível, saindo da casa 1 chegar à casa 6 e a casa 8.
Desse modo,
o ponto com número 1 está ligado com o ponto com número 8.
Se
analisarmos todas as possíveis ligações entre os pontos obteremos um
esquema com o mostrado na Figura 1.5
9
9
2•
7
•
5
•
•
•
6
•
1
2•
•4
•
3
•
8
Figura 1.5: Conexões das casas
7
•
•4
5
•
•
•
6
•
1
•
3
•
8
Figura 1.6: Tabuleiro (a)
Assim, se colocarmos os cavalos como no tabuleiro (a), teremos
a situação descrita na Figura 1.6. Deste modo, ca evidente que não
podemos trocar a posição dos cavalos branco e preto sem que em algum
momento eles ocupem a mesma casa.
26
1
1.6
Primeiros Passos
Exercícios
1. Uma sacola contém meias cujas cores são branca, preta, amarela
e azul. Sem olhar para a sacola, qual é a quantidade mínima de
meias que precisamos retirar da mesma para garantir pelo menos
um par de meias da mesma cor?
2. O pai do padre é lho único de meu pai. O que eu sou do padre?
3. Numa mesa há 5 cartas:
Q
T
3
4
6
Cada carta tem de um lado um número natural e do outro lado
uma letra. João arma: Qualquer carta que tenha uma vogal
tem um número par do outro lado.
Pedro provou que João
mente virando somente uma das cartas. Qual das 5 cartas foi a
que Pedro virou?
4. A polícia prende 4 homens, um dos quais é culpado de um furto.
Eles fazem as seguintes declarações:
•
Arnaldo: Bernaldo é o culpável.
•
Bernaldo: Cernaldo é o culpável.
•
Dernaldo: eu não sou culpável.
•
Cernaldo: Bernaldo mente ao dizer que eu sou culpável.
Se se sabe que só uma destas declarações é a verdadeira, quem
é culpável pelo furto?
1.6
Exercícios
27
5. Numa cidade existe uma pessoa
X
que sempre mente terças,
quintas e sábados e é completamente sincera o resto dos dias
da semana.
Felipe chega um certo dia na cidade e mantém o
seguinte diálogo com a pessoa
X:
Felipe: Que dia é hoje?
X: Sábado.
Felipe: Que dia será amanhã?
X: Quarta-feira.
Em qual dia da semana foi mantido este diálogo?
6. Divida o relógio de parede abaixo em 6 partes iguais de forma tal
que a soma das horas que cam em cada parte seja a mesma.n
11
10
1
•
9
8
12
7
6
2
3
5
4
7. João adora Gabriela, que é uma aluna excelente em Matemática.
João armou um plano para dar um beijo nela, e descobriu que
poderá fazer isso apenas dizendo uma frase. Que frase é essa?
8. No plano se colocam 187 rodas dentadas do mesmo diâmetro,
enumeradas de 1 até 187. A roda 1 é acoplada com a roda 2, a 2
com a 3,
...,
a 186 com a 187 e esta última com a roda 1. Pode
tal sistema girar?
28
1
Primeiros Passos
9. Um canal, em forma quadrada, de 4 metros de largura rodeia um
castelo. A ponte do castelo está fechada e um intruso quer entrar
no castelo usando duas pranchas de 3,5 metros de comprimento.
Será que o intruso consegue?
10. Os números
1, 2, 3, . . . , 99 são escritos no quadro-negro e é permi-
tido realizar a seguinte operação: apagar dois deles e substituílos pela diferença do maior com o menor. Fazemos esta operação
sucessivamente até restar apenas um último número no quadro.
Pode o último número que restou ser o zero?
11. Alguém elege dois números, não necessariamente distintos, no
conjunto de números naturais
2, . . . , 20.
O valor da soma destes
A) e o valor do produto dos
números é dado unicamente a Karla (K).
números é dado somente a Adriano (
Pelo telefone
A diz a K: Não é possível que descubras minha
soma.
Uma hora mais tarde,
K lhe diz a A: Ah!
sabendo disso, já
sei quanto vale tua soma!
Mais tarde
A
chama outra vez a
K
e lhe informa: Poxa,
agora eu também conheço teu produto!
Quais números foram eleitos?
12. É possível cobrir um tabuleiro de xadrez com 31 dominós onde
removemos as casas dos vértices superior esquerdo e inferior direito?
13. Num saco encontram-se 64 moedas leves e 64 moedas pesadas.
1.6
Exercícios
29
É possível separar duas moedas de pesos diferentes com 7 pesagens?
14. Quantas vezes precisamos dobrar um papel de 1mm de espessura
para que a altura da pilha chegue da Terra à Lua?
15. Descubra o erro da prova da armação abaixo:
Armação: Três é igual a dois.
Seja
x
um número diferente de zero. Temos que:
3x − 3x = 2x − 2x.
Colocando
x−x
em evidência, temos que:
3(x − x) = 2(x − x).
Cancelando
x−x
em ambos os lados, obtemos que
3 = 2.