Esteira

Esteira
Uma esteira carrega, digamos, areia que é despejada a uma taxa
γ
dm
dt
=
de um reservatório acima do ponto O, tomado como a origem do sistema de
coordenadas. O eixo x é paralelo à esteira e tem o mesmo sentido de seu
movimento. A componente ao longo do eixo x da velocidade da areia, quando
toca a esteira, é nula inicialmente. Qual a força que deve ser aplicada à esteira
para manter seu movimento com velocidade v constante? Para responder essa
questão, podemos usar a conservação do momentum. Seja m a massa de areia
na esteira no instante t. Após um intervalo de tempo dt, uma quantidade de
massa dm cai sobre a esteira e o momentum aumenta do valor inicial
p0
=
mv
para o valor final, no instante t + dt,
p0 + dp
=
(m + dm) v,
já que a velocidade é para ser mantida constante. A variação de momentum
durante o intervalo dt é, portanto, dada por
dp =
(m + dm) v − mv = vdm.
Por unidade de tempo, a variação de momentum da esteira fica
dp
dt
=
v
dm
= γv.
dt
Pela segunda lei de Newton, precisamos aplicar uma força F ao longo de x tal
que
F
=
dp
= γv.
dt
Veja também que a potência necessária para a aplicação dessa força é dada
por
Fv
= γv 2 = v 2
dm
dt
e, como a velocidade é constante,
Fv
=
d
mv 2 .
dt
Note que essa potência aplicada, ao invés do esperado valor que é a derivada
temporal da energia cinética, mv 2 /2, acabou sendo o dobro. A razão para isso
1
é que a areia inicialmente é acelerada da velocidade nula até a velocidade final,
v, além de termos também que carregar mais massa. Assim, a aceleração da
areia leva dm desde velocidade nula até velocidade final v, dando um trabalho
igual à variação de energia cinética durante o intervalo de tempo dt, isto é,
dW
1 2
v dm.
2
=
No entanto, há um aumento de massa na esteira e devemos aumentar a energia
cinética da esteira desde
T0
1
mv 2
2
=
até
T0 + dT
=
1
(m + dm) v 2 ,
2
resultando em
dT
1 2
v dm.
2
=
Assim, a energia total, é gasta durante o tempo dt para acelerar a massa dm
e para manter a velocidade de uma esteira cuja massa agora cresceu dm. A
potência total, P, é dada pela soma dessas duas energias divididas por dt, isto
é,
P
=
dW + dT
1 dm 1 2 dm
dm
= v2
+ v
= v2
= F v,
dt
2 dt
2 dt
dt
explicando de outra forma o resultado obtido acima.
References
[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley,
1971).
2