Pré-Cálculo

Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 11
26 de maio de 2011
Aula 11
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1
A função raiz quadrada
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2
A função raiz quadrada
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
Já demonstramos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞) → [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f −1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação
√
x
para representar
f −1 (x).
√
Note então que, se a ≥ 0, então a é o único número real ≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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A função raiz quadrada
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
Já demonstramos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞) → [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f −1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação
√
x
para representar
f −1 (x).
√
Note então que, se a ≥ 0, então a é o único número real ≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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A função raiz quadrada
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
Já demonstramos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞) → [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f −1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação
√
x
para representar
f −1 (x).
√
Note então que, se a ≥ 0, então a é o único número real ≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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A função raiz quadrada
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
Já demonstramos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞) → [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f −1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação
√
x
para representar
f −1 (x).
√
Note então que, se a ≥ 0, então a é o único número real ≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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A função raiz quadrada
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
Já demonstramos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞) → [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f −1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação
√
x
para representar
f −1 (x).
√
Note então que, se a ≥ 0, então a é o único número real ≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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A função raiz quadrada
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
Já demonstramos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞) → [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f −1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação
√
x
para representar
f −1 (x).
√
Note então que, se a ≥ 0, então a é o único número real ≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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A função raiz quadrada
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
Já demonstramos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞) → [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f −1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação
√
x
para representar
f −1 (x).
√
Note então que, se a ≥ 0, então a é o único número real ≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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A função raiz quadrada
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
Já demonstramos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞) → [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f −1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação
√
x
para representar
f −1 (x).
√
Note então que, se a ≥ 0, então a é o único número real ≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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A função raiz quadrada
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
Já demonstramos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞) → [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f −1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação
√
x
para representar
f −1 (x).
√
Note então que, se a ≥ 0, então a é o único número real ≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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A função raiz quadrada
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
Já demonstramos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞) → [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f −1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação
√
x
para representar
f −1 (x).
√
Note então que, se a ≥ 0, então a é o único número real ≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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A função raiz quadrada
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
Já demonstramos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞) → [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f −1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação
√
x
para representar
f −1 (x).
√
Note então que, se a ≥ 0, então a é o único número real ≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então
real a.
√
a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então
real a.
√
a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então
real a.
√
a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então
real a.
√
a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então
real a.
√
a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então
real a.
√
a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
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a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então
real a.
√
a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então
real a.
√
a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então
real a.
√
a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Se a ≥ 0, então
real a.
√
a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então
real a.
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a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Se a ≥ 0, então
real a.
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a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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real a.
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a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
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a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Se a ≥ 0, então
real a.
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a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
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a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
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a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
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( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Se a ≥ 0, então
real a.
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a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
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a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
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( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Se a ≥ 0, então
real a.
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a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
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a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
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a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
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a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
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( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Se a ≥ 0, então
real a.
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a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
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a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
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a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
Aula 11
Pré-Cálculo
30
Explicando. . .
Se a ≥ 0, então
real a.
√
a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então
real a.
√
a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então
real a.
√
a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então
real a.
√
a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x 7→ y = f (x) = x 2
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x 7→ y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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34
A função raiz quadrada
(Ir para o GeoGebra)
Aula 11
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35
Propriedades
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a·
√
b
e
√
a
a
=√
b
b
√
√
√
∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b.
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
√
a<
√
b.
b.
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36
Propriedades
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a·
√
b
e
√
a
a
=√
b
b
√
√
√
∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b.
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
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√
a+
√
√
a<
√
b.
b.
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Propriedades
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a·
√
b
e
√
a
a
=√
b
b
√
√
√
∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b.
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
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√
a+
√
√
a<
√
b.
b.
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Propriedades
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a·
√
b
e
√
a
a
=√
b
b
√
√
√
∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b.
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
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√
a+
√
√
a<
√
b.
b.
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Propriedades
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a·
√
b
e
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a
a
=√
b
b
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∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b.
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
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a
−a
=√ .
b
−b
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
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√
a+
√
√
a<
√
b.
b.
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Propriedades
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a·
√
b
e
√
a
a
=√
b
b
√
√
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∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b.
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
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√
a+
√
√
a<
√
b.
b.
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41
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
a
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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42
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
a
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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43
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
a
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
a
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
a
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
a
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
a
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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48
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
a
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
a
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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50
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
a
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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51
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
a
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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52
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
a
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
a
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
a
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
a
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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56
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
a
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
p
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
a
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
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58
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
√
a·
√
b
e
∀a, b ≤ 0,
√
a·b =
√
−a ·
√
−b.
√ √
√ √
Demonstração. Considere o número p = a · b. Note
que
p = a · b ≥ 0 como
√
√
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = ( a · b)2 = a · b. De fato:
√
√ √
√
p2 = ( a · b)2 = ( a)2 · ( b)2 = a · b.
√
Como √a · b é o único√número
√ real ≥ 0 que elevado ao quadrado é√igual a a√· b, segue√
se que a · b = p = a · b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b
fica como exercício.
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59
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
√
a·
√
b
e
∀a, b ≤ 0,
√
a·b =
√
−a ·
√
−b.
√ √
√ √
que
p = a · b ≥ 0 como
Demonstração. Considere o número p = a · b. Note
√
√
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = ( a · b)2 = a · b. De fato:
√
√ √
√
p2 = ( a · b)2 = ( a)2 · ( b)2 = a · b.
√
Como √a · b é o único√número
√ real ≥ 0 que elevado ao quadrado é√igual a a√· b, segue√
se que a · b = p = a · b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b
fica como exercício.
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60
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
√
a·
√
b
e
∀a, b ≤ 0,
√
a·b =
√
−a ·
√
−b.
√ √
√ √
que
p = a · b ≥ 0 como
Demonstração. Considere o número p = a · b. Note
√
√
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = ( a · b)2 = a · b. De fato:
√
√ √
√
p2 = ( a · b)2 = ( a)2 · ( b)2 = a · b.
√
Como √a · b é o único√número
√ real ≥ 0 que elevado ao quadrado é√igual a a√· b, segue√
se que a · b = p = a · b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b
fica como exercício.
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61
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
√
a·
√
b
e
∀a, b ≤ 0,
√
a·b =
√
−a ·
√
−b.
√ √
√ √
que
p = a · b ≥ 0 como
Demonstração. Considere o número p = a · b. Note
√
√
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = ( a · b)2 = a · b. De fato:
√
√ √
√
p2 = ( a · b)2 = ( a)2 · ( b)2 = a · b.
√
Como √a · b é o único√número
√ real ≥ 0 que elevado ao quadrado é√igual a a√· b, segue√
se que a · b = p = a · b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b
fica como exercício.
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62
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
√
a·
√
b
e
∀a, b ≤ 0,
√
a·b =
√
−a ·
√
−b.
√ √
√ √
que
p = a · b ≥ 0 como
Demonstração. Considere o número p = a · b. Note
√
√
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = ( a · b)2 = a · b. De fato:
√
√ √
√
p2 = ( a · b)2 = ( a)2 · ( b)2 = a · b.
√
Como √a · b é o único√número
√ real ≥ 0 que elevado ao quadrado é√igual a a√· b, segue√
se que a · b = p = a · b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b
fica como exercício.
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63
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
√
a·
√
b
e
∀a, b ≤ 0,
√
a·b =
√
−a ·
√
−b.
√ √
√ √
que
p = a · b ≥ 0 como
Demonstração. Considere o número p = a · b. Note
√
√
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = ( a · b)2 = a · b. De fato:
√
√ √
√
p2 = ( a · b)2 = ( a)2 · ( b)2 = a · b.
√
Como √a · b é o único√número
√ real ≥ 0 que elevado ao quadrado é√igual a a√· b, segue√
se que a · b = p = a · b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b
fica como exercício.
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Pré-Cálculo
64
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
√
a·
√
b
e
∀a, b ≤ 0,
√
a·b =
√
−a ·
√
−b.
√ √
√ √
que
p = a · b ≥ 0 como
Demonstração. Considere o número p = a · b. Note
√
√
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = ( a · b)2 = a · b. De fato:
√
√ √
√
p2 = ( a · b)2 = ( a)2 · ( b)2 = a · b.
√
Como √a · b é o único√número
√ real ≥ 0 que elevado ao quadrado é√igual a a√· b, segue√
se que a · b = p = a · b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b
fica como exercício.
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65
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
√
a·
√
b
e
∀a, b ≤ 0,
√
a·b =
√
−a ·
√
−b.
√ √
√ √
que
p = a · b ≥ 0 como
Demonstração. Considere o número p = a · b. Note
√
√
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = ( a · b)2 = a · b. De fato:
√
√ √
√
p2 = ( a · b)2 = ( a)2 · ( b)2 = a · b.
√
Como √a · b é o único√número
√ real ≥ 0 que elevado ao quadrado é√igual a a√· b, segue√
se que a · b = p = a · b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b
fica como exercício.
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66
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
√
a·
√
b
e
∀a, b ≤ 0,
√
a·b =
√
−a ·
√
−b.
√ √
√ √
que
p = a · b ≥ 0 como
Demonstração. Considere o número p = a · b. Note
√
√
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = ( a · b)2 = a · b. De fato:
√
√ √
√
p2 = ( a · b)2 = ( a)2 · ( b)2 = a · b.
√
Como √a · b é o único√número
√ real ≥ 0 que elevado ao quadrado é√igual a a√· b, segue√
se que a · b = p = a · b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b
fica como exercício.
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67
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
√
a·
√
b
e
∀a, b ≤ 0,
√
a·b =
√
−a ·
√
−b.
√ √
√ √
que
p = a · b ≥ 0 como
Demonstração. Considere o número p = a · b. Note
√
√
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = ( a · b)2 = a · b. De fato:
√
√ √
√
p2 = ( a · b)2 = ( a)2 · ( b)2 = a · b.
√
Como √a · b é o único√número
√ real ≥ 0 que elevado ao quadrado é√igual a a√· b, segue√
se que a · b = p = a · b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b
fica como exercício.
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Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
√
a·
√
b
e
∀a, b ≤ 0,
√
a·b =
√
−a ·
√
−b.
√ √
√ √
que
p = a · b ≥ 0 como
Demonstração. Considere o número p = a · b. Note
√
√
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = ( a · b)2 = a · b. De fato:
√
√ √
√
p2 = ( a · b)2 = ( a)2 · ( b)2 = a · b.
√
Como √a · b é o único√número
√ real ≥ 0 que elevado ao quadrado é√igual a a√· b, segue√
se que a · b = p = a · b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b
fica como exercício.
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69
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
√
a·
√
b
e
∀a, b ≤ 0,
√
a·b =
√
−a ·
√
−b.
√ √
√ √
que
p = a · b ≥ 0 como
Demonstração. Considere o número p = a · b. Note
√
√
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = ( a · b)2 = a · b. De fato:
√
√ √
√
p2 = ( a · b)2 = ( a)2 · ( b)2 = a · b.
√
Como √a · b é o único√número
√ real ≥ 0 que elevado ao quadrado é√igual a a√· b, segue√
se que a · b = p = a · b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b
fica como exercício.
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Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a·b =
√
a·
√
b
e
∀a, b ≤ 0,
√
a·b =
√
−a ·
√
−b.
√ √
√ √
que
p = a · b ≥ 0 como
Demonstração. Considere o número p = a · b. Note
√
√
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = ( a · b)2 = a · b. De fato:
√
√ √
√
p2 = ( a · b)2 = ( a)2 · ( b)2 = a · b.
√
Como √a · b é o único√número
√ real ≥ 0 que elevado ao quadrado é√igual a a√· b, segue√
se que a · b = p = a · b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b
fica como exercício.
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Propriedade: demonstração
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
a
=√
b
b
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
√ √
√ √
Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a · b√≥ √
0 como
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = ( a/ b)2 =
a/b. De fato:
√
√ 2
a
( a)2
a
2
p = √
= √
= .
b
b
( b)2
p
Como a/b é o único número real ≥ 0 que elevado
ao quadrado é igual a a/b, seguep
√
p
√
√ √
se que a/b = p = a/ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, a/b = −a/ −b fica como exercício.
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Propriedade: demonstração
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
a
=√
b
b
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
√ √
√ √
0 como
Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a · b√≥ √
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = ( a/ b)2 =
a/b. De fato:
√
√ 2
a
( a)2
a
2
p = √
= √
= .
b
b
( b)2
p
Como a/b é o único número real ≥ 0 que elevado
ao quadrado é igual a a/b, seguep
√
p
√
√ √
se que a/b = p = a/ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, a/b = −a/ −b fica como exercício.
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Propriedade: demonstração
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
a
=√
b
b
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
√ √
√ √
0 como
Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a · b√≥ √
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = ( a/ b)2 =
a/b. De fato:
√
√ 2
a
( a)2
a
2
p = √
= √
= .
b
b
( b)2
p
Como a/b é o único número real ≥ 0 que elevado
ao quadrado é igual a a/b, seguep
√
p
√
√ √
se que a/b = p = a/ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, a/b = −a/ −b fica como exercício.
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Propriedade: demonstração
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
a
=√
b
b
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
√ √
√ √
0 como
Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a · b√≥ √
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = ( a/ b)2 =
a/b. De fato:
√
√ 2
a
( a)2
a
2
p = √
= √
= .
b
b
( b)2
p
Como a/b é o único número real ≥ 0 que elevado
ao quadrado é igual a a/b, seguep
√
p
√
√ √
se que a/b = p = a/ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, a/b = −a/ −b fica como exercício.
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Propriedade: demonstração
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
a
=√
b
b
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
√ √
√ √
0 como
Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a · b√≥ √
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = ( a/ b)2 =
a/b. De fato:
√
√ 2
a
( a)2
a
2
p = √
= √
= .
b
b
( b)2
p
Como a/b é o único número real ≥ 0 que elevado
ao quadrado é igual a a/b, seguep
√
p
√
√ √
se que a/b = p = a/ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, a/b = −a/ −b fica como exercício.
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Propriedade: demonstração
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
a
=√
b
b
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
√ √
√ √
0 como
Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a · b√≥ √
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = ( a/ b)2 =
a/b. De fato:
√
√ 2
a
( a)2
a
2
p = √
= √
= .
b
b
( b)2
p
Como a/b é o único número real ≥ 0 que elevado
ao quadrado é igual a a/b, seguep
√
p
√
√ √
se que a/b = p = a/ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, a/b = −a/ −b fica como exercício.
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Propriedade: demonstração
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
a
=√
b
b
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
√ √
√ √
0 como
Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a · b√≥ √
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = ( a/ b)2 =
a/b. De fato:
√
√ 2
a
( a)2
a
2
p = √
= √
= .
b
b
( b)2
p
Como a/b é o único número real ≥ 0 que elevado
ao quadrado é igual a a/b, seguep
√
p
√
√ √
se que a/b = p = a/ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, a/b = −a/ −b fica como exercício.
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Propriedade: demonstração
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
a
=√
b
b
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
√ √
√ √
0 como
Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a · b√≥ √
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = ( a/ b)2 =
a/b. De fato:
√
√ 2
a
( a)2
a
2
p = √
= √
= .
b
b
( b)2
p
Como a/b é o único número real ≥ 0 que elevado
ao quadrado é igual a a/b, seguep
√
p
√
√ √
se que a/b = p = a/ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, a/b = −a/ −b fica como exercício.
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Propriedade: demonstração
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
a
=√
b
b
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
√ √
√ √
0 como
Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a · b√≥ √
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = ( a/ b)2 =
a/b. De fato:
√
√ 2
a
( a)2
a
2
p = √
= √
= .
b
b
( b)2
p
Como a/b é o único número real ≥ 0 que elevado
ao quadrado é igual a a/b, seguep
√
p
√
√ √
se que a/b = p = a/ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, a/b = −a/ −b fica como exercício.
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Propriedade: demonstração
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
a
=√
b
b
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
√ √
√ √
0 como
Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a · b√≥ √
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = ( a/ b)2 =
a/b. De fato:
√
√ 2
a
( a)2
a
2
p = √
= √
= .
b
b
( b)2
p
Como a/b é o único número real ≥ 0 que elevado
ao quadrado é igual a a/b, seguep
√
p
√
√ √
se que a/b = p = a/ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, a/b = −a/ −b fica como exercício.
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Propriedade: demonstração
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
a
=√
b
b
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
√ √
√ √
0 como
Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a · b√≥ √
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = ( a/ b)2 =
a/b. De fato:
√
√ 2
a
( a)2
a
2
p = √
= √
= .
b
b
( b)2
p
Como a/b é o único número real ≥ 0 que elevado
ao quadrado é igual a a/b, seguep
√
p
√
√ √
se que a/b = p = a/ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, a/b = −a/ −b fica como exercício.
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Propriedade: demonstração
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
a
=√
b
b
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
√ √
√ √
0 como
Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a · b√≥ √
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = ( a/ b)2 =
a/b. De fato:
√
√ 2
a
( a)2
a
2
p = √
= √
= .
b
b
( b)2
p
Como a/b é o único número real ≥ 0 que elevado
ao quadrado é igual a a/b, seguep
√
p
√
√ √
se que a/b = p = a/ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, a/b = −a/ −b fica como exercício.
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83
Propriedade: demonstração
r
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
a
=√
b
b
r
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
√ √
√ √
0 como
Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a · b√≥ √
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = ( a/ b)2 =
a/b. De fato:
√
√ 2
a
( a)2
a
2
p = √
= √
= .
b
b
( b)2
p
Como a/b é o único número real ≥ 0 que elevado
ao quadrado é igual a a/b, seguep
√
p
√
√ √
se que a/b = p = a/ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, a/b = −a/ −b fica como exercício.
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84
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
Demonstração.
Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,
√
√
b + a > 0. Uma vez que
√
√
√
√
(b − a) = ( b − a) · ( b + a),
podemos escrever que
√
b−
√
a= √
√
√
a<
√
b.
b > 0, b − a > 0 e
b−a
√ .
b+ a
√
√
√
√
Assim, b − a > 0 como divisão de dois números
√ > 0.√ Em particular, a < b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então a ≤ b.
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85
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,
Demonstração.
√
√
b + a > 0. Uma vez que
√
√
√
√
(b − a) = ( b − a) · ( b + a),
podemos escrever que
√
b−
√
a= √
√
√
a<
√
b.
b > 0, b − a > 0 e
b−a
√ .
b+ a
√
√
√
√
Assim, b − a > 0 como divisão de dois números
√ > 0.√ Em particular, a < b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então a ≤ b.
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86
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,
Demonstração.
√
√
b + a > 0. Uma vez que
√
√
√
√
(b − a) = ( b − a) · ( b + a),
podemos escrever que
√
b−
√
a= √
√
√
a<
√
b.
b > 0, b − a > 0 e
b−a
√ .
b+ a
√
√
√
√
Assim, b − a > 0 como divisão de dois números
√ > 0.√ Em particular, a < b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então a ≤ b.
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87
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,
Demonstração.
√
√
b + a > 0. Uma vez que
√
√
√
√
(b − a) = ( b − a) · ( b + a),
podemos escrever que
√
b−
√
a= √
√
√
a<
√
b.
b > 0, b − a > 0 e
b−a
√ .
b+ a
√
√
√
√
Assim, b − a > 0 como divisão de dois números
√ > 0.√ Em particular, a < b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então a ≤ b.
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88
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,
Demonstração.
√
√
b + a > 0. Uma vez que
√
√
√
√
(b − a) = ( b − a) · ( b + a),
podemos escrever que
√
b−
√
a= √
√
√
a<
√
b.
b > 0, b − a > 0 e
b−a
√ .
b+ a
√
√
√
√
Assim, b − a > 0 como divisão de dois números
√ > 0.√ Em particular, a < b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então a ≤ b.
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89
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,
Demonstração.
√
√
b + a > 0. Uma vez que
√
√
√
√
(b − a) = ( b − a) · ( b + a),
podemos escrever que
√
b−
√
a= √
√
√
a<
√
b.
b > 0, b − a > 0 e
b−a
√ .
b+ a
√
√
√
√
Assim, b − a > 0 como divisão de dois números
√ > 0.√ Em particular, a < b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então a ≤ b.
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Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,
Demonstração.
√
√
b + a > 0. Uma vez que
√
√
√
√
(b − a) = ( b − a) · ( b + a),
podemos escrever que
√
b−
√
a= √
√
√
a<
√
b.
b > 0, b − a > 0 e
b−a
√ .
b+ a
√
√
√
√
Assim, b − a > 0 como divisão de dois números
√ > 0.√ Em particular, a < b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então a ≤ b.
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Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,
Demonstração.
√
√
b + a > 0. Uma vez que
√
√
√
√
(b − a) = ( b − a) · ( b + a),
podemos escrever que
√
b−
√
a= √
√
√
a<
√
b.
b > 0, b − a > 0 e
b−a
√ .
b+ a
√
√
√
√
Assim, b − a > 0 como divisão de dois números
√ > 0.√ Em particular, a < b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então a ≤ b.
Aula 11
Pré-Cálculo
92
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,
Demonstração.
√
√
b + a > 0. Uma vez que
√
√
√
√
(b − a) = ( b − a) · ( b + a),
podemos escrever que
√
b−
√
a= √
√
√
a<
√
b.
b > 0, b − a > 0 e
b−a
√ .
b+ a
√
√
√
√
Assim, b − a > 0 como divisão de dois números
√ > 0.√ Em particular, a < b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então a ≤ b.
Aula 11
Pré-Cálculo
93
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,
Demonstração.
√
√
b + a > 0. Uma vez que
√
√
√
√
(b − a) = ( b − a) · ( b + a),
podemos escrever que
√
b−
√
a= √
√
√
a<
√
b.
b > 0, b − a > 0 e
b−a
√ .
b+ a
√
√
√
√
Assim, b − a > 0 como divisão de dois números
√ > 0.√ Em particular, a < b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então a ≤ b.
Aula 11
Pré-Cálculo
94
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,
Demonstração.
√
√
b + a > 0. Uma vez que
√
√
√
√
(b − a) = ( b − a) · ( b + a),
podemos escrever que
√
b−
√
a= √
√
√
a<
√
b.
b > 0, b − a > 0 e
b−a
√ .
b+ a
√
√
√
√
Assim, b − a > 0 como divisão de dois números
√ > 0.√ Em particular, a < b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então a ≤ b.
Aula 11
Pré-Cálculo
95
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,
Demonstração.
√
√
b + a > 0. Uma vez que
√
√
√
√
(b − a) = ( b − a) · ( b + a),
podemos escrever que
√
b−
√
a= √
√
√
a<
√
b.
b > 0, b − a > 0 e
b−a
√ .
b+ a
√
√
√
√
Assim, b − a > 0 como divisão de dois números
√ > 0.√ Em particular, a < b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então a ≤ b.
Aula 11
Pré-Cálculo
96
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,
Demonstração.
√
√
b + a > 0. Uma vez que
√
√
√
√
(b − a) = ( b − a) · ( b + a),
podemos escrever que
√
b−
√
a= √
√
√
a<
√
b.
b > 0, b − a > 0 e
b−a
√ .
b+ a
√
√
√
√
Assim, b − a > 0 como divisão de dois números
√ > 0.√ Em particular, a < b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então a ≤ b.
Aula 11
Pré-Cálculo
97
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,
Demonstração.
√
√
b + a > 0. Uma vez que
√
√
√
√
(b − a) = ( b − a) · ( b + a),
podemos escrever que
√
b−
√
a= √
√
√
a<
√
b.
b > 0, b − a > 0 e
b−a
√ .
b+ a
√
√
√
√
Assim, b − a > 0 como divisão de dois números
√ > 0.√ Em particular, a < b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então a ≤ b.
Aula 11
Pré-Cálculo
98
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,
Demonstração.
√
√
b + a > 0. Uma vez que
√
√
√
√
(b − a) = ( b − a) · ( b + a),
podemos escrever que
√
b−
√
a= √
√
√
a<
√
b.
b > 0, b − a > 0 e
b−a
√ .
b+ a
√
√
√
√
Assim, b − a > 0 como divisão de dois números
√ > 0.√ Em particular, a < b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então a ≤ b.
Aula 11
Pré-Cálculo
99
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√
√ √
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
100
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√
√ √
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
101
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√
√ √
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
102
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√
√ √
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
103
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√
√ √
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
104
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√
√ √
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
105
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√
√ √
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
106
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√ √
√
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
107
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√ √
√
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
108
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√ √
√
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
109
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√ √
√
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
110
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√ √
√
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
111
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√ √
√
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
112
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√ √
√
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
113
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√ √
√
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
114
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√ √
√
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
115
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√ √
√
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
q
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
q
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
√
a+b ≤
Aula 11
√
a+
√
b.
Pré-Cálculo
116
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
Observação. Note que, na expressão
acima, nem sempre vale
Tome,
√
√
√ a igualdade!
por exemplo, a = 9 e b = 16: a + b = 5 < 7 = 3 + 4 = a + b. Quando vale
a igualdade?
Aula 11
Pré-Cálculo
117
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
acima, nem sempre vale
Tome,
Observação. Note que, na expressão
√
√
√ a igualdade!
por exemplo, a = 9 e b = 16: a + b = 5 < 7 = 3 + 4 = a + b. Quando vale
a igualdade?
Aula 11
Pré-Cálculo
118
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
acima, nem sempre vale
Tome,
Observação. Note que, na expressão
√
√
√ a igualdade!
por exemplo, a = 9 e b = 16: a + b = 5 < 7 = 3 + 4 = a + b. Quando vale
a igualdade?
Aula 11
Pré-Cálculo
119
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
acima, nem sempre vale
Tome,
Observação. Note que, na expressão
√
√
√ a igualdade!
por exemplo, a = 9 e b = 16: a + b = 5 < 7 = 3 + 4 = a + b. Quando vale
a igualdade?
Aula 11
Pré-Cálculo
120
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
acima, nem sempre vale
Tome,
Observação. Note que, na expressão
√
√
√ a igualdade!
por exemplo, a = 9 e b = 16: a + b = 5 < 7 = 3 + 4 = a + b. Quando vale
a igualdade?
Aula 11
Pré-Cálculo
121
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
acima, nem sempre vale
Tome,
Observação. Note que, na expressão
√
√
√ a igualdade!
por exemplo, a = 9 e b = 16: a + b = 5 < 7 = 3 + 4 = a + b. Quando vale
a igualdade?
Aula 11
Pré-Cálculo
122
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
acima, nem sempre vale
Tome,
Observação. Note que, na expressão
√
√
√ a igualdade!
por exemplo, a = 9 e b = 16: a + b = 5 < 7 = 3 + 4 = a + b. Quando vale
a igualdade?
Aula 11
Pré-Cálculo
123
Propriedade: demonstração
∀a, b ≥ 0,
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
acima, nem sempre vale
Tome,
Observação. Note que, na expressão
√
√
√ a igualdade!
por exemplo, a = 9 e b = 16: a + b = 5 < 7 = 3 + 4 = a + b. Quando vale
a igualdade?
Aula 11
Pré-Cálculo
124
Exercício
r
As funções f (x) =
√
x −1
x −1
e g(x) = √
são iguais?
x −2
x −2
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞, 1] ∪ (2, +∞)
e
Dg = (2, +∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2, +∞), as duas funções são
iguais:
f = g .
(2,+∞)
Aula 11
(2,+∞)
Pré-Cálculo
125
Exercício
r
As funções f (x) =
√
x −1
x −1
e g(x) = √
são iguais?
x −2
x −2
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞, 1] ∪ (2, +∞)
e
Dg = (2, +∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2, +∞), as duas funções são
iguais:
f = g .
(2,+∞)
Aula 11
(2,+∞)
Pré-Cálculo
126
Exercício
r
As funções f (x) =
√
x −1
x −1
e g(x) = √
são iguais?
x −2
x −2
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞, 1] ∪ (2, +∞)
e
Dg = (2, +∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2, +∞), as duas funções são
iguais:
f = g .
(2,+∞)
Aula 11
(2,+∞)
Pré-Cálculo
127
Exercício
r
As funções f (x) =
√
x −1
x −1
e g(x) = √
são iguais?
x −2
x −2
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞, 1] ∪ (2, +∞)
e
Dg = (2, +∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2, +∞), as duas funções são
iguais:
f = g .
(2,+∞)
Aula 11
(2,+∞)
Pré-Cálculo
128
Exercício
r
As funções f (x) =
√
x −1
x −1
e g(x) = √
são iguais?
x −2
x −2
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞, 1] ∪ (2, +∞)
e
Dg = (2, +∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2, +∞), as duas funções são
iguais:
f = g .
(2,+∞)
Aula 11
(2,+∞)
Pré-Cálculo
129
Exercício
r
As funções f (x) =
√
x −1
x −1
e g(x) = √
são iguais?
x −2
x −2
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞, 1] ∪ (2, +∞)
e
Dg = (2, +∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2, +∞), as duas funções são
iguais:
f = g .
(2,+∞)
Aula 11
(2,+∞)
Pré-Cálculo
130
Exercício
r
As funções f (x) =
√
x −1
x −1
e g(x) = √
são iguais?
x −2
x −2
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞, 1] ∪ (2, +∞)
e
Dg = (2, +∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2, +∞), as duas funções são
iguais:
f = g .
(2,+∞)
Aula 11
(2,+∞)
Pré-Cálculo
131
Exercício
r
As funções f (x) =
√
x −1
x −1
e g(x) = √
são iguais?
x −2
x −2
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞, 1] ∪ (2, +∞)
e
Dg = (2, +∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2, +∞), as duas funções são
iguais:
f = g .
(2,+∞)
Aula 11
(2,+∞)
Pré-Cálculo
132
Exercício
r
As funções f (x) =
√
x −1
x −1
e g(x) = √
são iguais?
x −2
x −2
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞, 1] ∪ (2, +∞)
e
Dg = (2, +∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2, +∞), as duas funções são
iguais:
f = g .
(2,+∞)
Aula 11
(2,+∞)
Pré-Cálculo
133
Exercício
r
As funções f (x) =
√
x −1
x −1
e g(x) = √
são iguais?
x −2
x −2
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞, 1] ∪ (2, +∞)
e
Dg = (2, +∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2, +∞), as duas funções são
iguais:
f = g .
(2,+∞)
Aula 11
(2,+∞)
Pré-Cálculo
134
A distância euclidiana entre dois pontos
no plano
Aula 11
Pré-Cálculo
135
A distância euclidiana entre dois pontos no plano
(Ir para o GeoGebra)
Aula 11
Pré-Cálculo
136
A equação do círculo no plano
Aula 11
Pré-Cálculo
137
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x, y ) no
plano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1.
y
5
(x, y )
4
1
3
(4, 3)
2
1
x
−2
−1
Aula 11
0
1
2
3
4
5
6
7
Pré-Cálculo
8
9
138
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x, y ) no
plano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1.
y
5
(x, y )
4
1
3
(4, 3)
2
1
x
−2
−1
Aula 11
0
1
2
3
4
5
6
7
Pré-Cálculo
8
9
139
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x, y ) no
plano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1.
y
5
(x, y )
4
1
3
(4, 3)
2
1
x
−2
−1
Aula 11
0
1
2
3
4
5
6
7
Pré-Cálculo
8
9
140
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x, y ) no
plano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1.
d((x, y ), (4, 3)) = 1
⇔
⇔
⇔
Aula 11
q
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1
q
2
(x −
4)2
+ (y −
3)2
= 12
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1.
Pré-Cálculo
141
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x, y ) no
plano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1.
d((x, y ), (4, 3)) = 1
⇔
⇔
⇔
Aula 11
q
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1
q
2
(x −
4)2
+ (y −
3)2
= 12
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1.
Pré-Cálculo
142
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x, y ) no
plano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1.
d((x, y ), (4, 3)) = 1
⇔
⇔
⇔
Aula 11
q
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1
q
2
(x −
4)2
+ (y −
3)2
= 12
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1.
Pré-Cálculo
143
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x, y ) no
plano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1.
d((x, y ), (4, 3)) = 1
⇔
⇔
⇔
Aula 11
q
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1
q
2
(x −
4)2
+ (y −
3)2
= 12
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1.
Pré-Cálculo
144
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x, y ) no
plano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1.
d((x, y ), (4, 3)) = 1
⇔
⇔
⇔
Aula 11
q
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1
q
2
(x −
4)2
+ (y −
3)2
= 12
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1.
Pré-Cálculo
145
Funções reais cujos gráficos são
semicírculos
Aula 11
Pré-Cálculo
146
Funções reais cujos gráficos são semicírculos
√
Moral: o gráfico de y = f (x) = a2 − x 2 é o semicírculo superior de
centro na origem e raio |a|.
Aula 11
Pré-Cálculo
147
Funções reais cujos gráficos são semicírculos
√
Moral: o gráfico de y = f (x) = a2 − x 2 é o semicírculo superior de
centro na origem e raio |a|.
Aula 11
Pré-Cálculo
148
Funções reais cujos gráficos são semicírculos
√
Moral: o gráfico de y = f (x) = a2 − x 2 é o semicírculo superior de
centro na origem e raio |a|.
Aula 11
Pré-Cálculo
149
Funções reais cujos gráficos são semicírculos
√
Moral: o gráfico de y = f (x) = a2 − x 2 é o semicírculo superior de
centro na origem e raio |a|.
Aula 11
Pré-Cálculo
150
Funções reais cujos gráficos são semicírculos
√
Moral: o gráfico de y = f (x) = a2 − x 2 é o semicírculo superior de
centro na origem e raio |a|.
Aula 11
Pré-Cálculo
151
Funções reais cujos gráficos são semicírculos
√
Moral: o gráfico de y = f (x) = a2 − x 2 é o semicírculo superior de
centro na origem e raio |a|.
Aula 11
Pré-Cálculo
152
Função par e função ímpar
Aula 11
Pré-Cálculo
153
Função par
Definição
Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D.
Exemplo de função par:
f: R → R
.
x 7→ f (x) = 1 − x 4
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = 1 − (−x)4 = 1 − x 4 = f (x).
Note que a definição de função par pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
Aula 11
Pré-Cálculo
154
Função par
Definição
Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D.
Exemplo de função par:
f: R → R
.
x 7→ f (x) = 1 − x 4
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = 1 − (−x)4 = 1 − x 4 = f (x).
Note que a definição de função par pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
Aula 11
Pré-Cálculo
155
Função par
Definição
Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D.
Exemplo de função par:
f: R → R
.
x 7→ f (x) = 1 − x 4
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = 1 − (−x)4 = 1 − x 4 = f (x).
Note que a definição de função par pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
Aula 11
Pré-Cálculo
156
Função par
Definição
Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D.
Exemplo de função par:
f: R → R
.
x 7→ f (x) = 1 − x 4
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = 1 − (−x)4 = 1 − x 4 = f (x).
Note que a definição de função par pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
Aula 11
Pré-Cálculo
157
Função par
O gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo y !
Aula 11
Pré-Cálculo
158
Função ímpar
Definição
Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D.
Exemplo de função ímpar:
f: R → R
.
x 7→ f (x) = x 5 + x
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x 5 − x = −(x 5 + x) = −f (x).
Note que a definição de função ímpar pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
Aula 11
Pré-Cálculo
159
Função ímpar
Definição
Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D.
Exemplo de função ímpar:
f: R → R
.
x 7→ f (x) = x 5 + x
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x 5 − x = −(x 5 + x) = −f (x).
Note que a definição de função ímpar pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
Aula 11
Pré-Cálculo
160
Função ímpar
Definição
Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D.
Exemplo de função ímpar:
f: R → R
.
x 7→ f (x) = x 5 + x
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x 5 − x = −(x 5 + x) = −f (x).
Note que a definição de função ímpar pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
Aula 11
Pré-Cálculo
161
Função ímpar
Definição
Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D.
Exemplo de função ímpar:
f: R → R
.
x 7→ f (x) = x 5 + x
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x 5 − x = −(x 5 + x) = −f (x).
Note que a definição de função ímpar pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
Aula 11
Pré-Cálculo
162
Função ímpar
O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação à origem!
Aula 11
Pré-Cálculo
163
Observações
Existem funções que não são pares e nem ímpares:
f: R → R
.
x 7→ f (x) = 2 − x 3
De fato:
f (−1) = 3 6= 1 = f (1)
Aula 11
e
f (−1) = 3 6= −1 = −f (1).
Pré-Cálculo
164
Observações
Existem funções que não são pares e nem ímpares:
f: R → R
.
x 7→ f (x) = 2 − x 3
De fato:
f (−1) = 3 6= 1 = f (1)
Aula 11
e
f (−1) = 3 6= −1 = −f (1).
Pré-Cálculo
165
Observações
Existe um função que seja par e ímpar ao mesmo tempo?
Sim! A função identicamente nula definida em R!
Toda função definida em R se escreve como soma de uma função
par e uma função ímpar:
f (x)
=
f (x) + f (−x)
2
|
{z
}
par
Aula 11
+
f (x) − f (−x)
.
2
|
{z
}
ímpar
Pré-Cálculo
166
Observações
Existe um função que seja par e ímpar ao mesmo tempo?
Sim! A função identicamente nula definida em R!
Toda função definida em R se escreve como soma de uma função
par e uma função ímpar:
f (x)
=
f (x) + f (−x)
2
|
{z
}
par
Aula 11
+
f (x) − f (−x)
.
2
|
{z
}
ímpar
Pré-Cálculo
167
Observações
Existe um função que seja par e ímpar ao mesmo tempo?
Sim! A função identicamente nula definida em R!
Toda função definida em R se escreve como soma de uma função
par e uma função ímpar:
f (x)
=
f (x) + f (−x)
2
|
{z
}
par
Aula 11
+
f (x) − f (−x)
.
2
|
{z
}
ímpar
Pré-Cálculo
168
Exercício
A função y = f (x) =
x2 − 3
definida em R − {0} é par? Ela é ímpar?
x3
Justifique sua resposta!
Solução. A função f é ímpar, pois
f (−x) =
x2 − 3
(−x)2 − 3
=−
= −f (x),
(−x)3
x3
para todo x ∈ R − {0}.
A função não é par, pois f (−1) = 2 6= −2 = f (1).
Aula 11
Pré-Cálculo
169
Exercício
A função y = f (x) =
x2 − 3
definida em R − {0} é par? Ela é ímpar?
x3
Justifique sua resposta!
Solução. A função f é ímpar, pois
f (−x) =
x2 − 3
(−x)2 − 3
=−
= −f (x),
(−x)3
x3
para todo x ∈ R − {0}.
A função não é par, pois f (−1) = 2 6= −2 = f (1).
Aula 11
Pré-Cálculo
170
Exercício
A função y = f (x) =
x2 − 3
definida em R − {0} é par? Ela é ímpar?
x3
Justifique sua resposta!
Solução. A função f é ímpar, pois
f (−x) =
x2 − 3
(−x)2 − 3
=−
= −f (x),
(−x)3
x3
para todo x ∈ R − {0}.
A função não é par, pois f (−1) = 2 6= −2 = f (1).
Aula 11
Pré-Cálculo
171
Exercício
A função y = f (x) =
x2 − 3
definida em R − {0} é par? Ela é ímpar?
x3
Justifique sua resposta!
Solução. A função f é ímpar, pois
f (−x) =
(−x)2 − 3
x2 − 3
=−
= −f (x),
(−x)3
x3
para todo x ∈ R − {0}.
A função não é par, pois f (−1) = 2 6= −2 = f (1).
Aula 11
Pré-Cálculo
172
Exercício
A função y = f (x) =
x2 − 3
definida em R − {0} é par? Ela é ímpar?
x3
Justifique sua resposta!
Solução. A função f é ímpar, pois
f (−x) =
(−x)2 − 3
x2 − 3
= −f (x),
=−
(−x)3
x3
para todo x ∈ R − {0}.
A função não é par, pois f (−1) = 2 6= −2 = f (1).
Aula 11
Pré-Cálculo
173
Exercício
A função y = f (x) =
x2 − 3
definida em R − {0} é par? Ela é ímpar?
x3
Justifique sua resposta!
Solução. A função f é ímpar, pois
f (−x) =
(−x)2 − 3
x2 − 3
=−
= −f (x),
(−x)3
x3
para todo x ∈ R − {0}.
A função não é par, pois f (−1) = 2 6= −2 = f (1).
Aula 11
Pré-Cálculo
174
Exercício
A função y = f (x) =
x2 − 3
definida em R − {0} é par? Ela é ímpar?
x3
Justifique sua resposta!
Solução. A função f é ímpar, pois
f (−x) =
(−x)2 − 3
x2 − 3
=−
= −f (x),
(−x)3
x3
para todo x ∈ R − {0}.
A função não é par, pois f (−1) = 2 6= −2 = f (1).
Aula 11
Pré-Cálculo
175
Exercício
A função y = f (x) =
x2 − 3
definida em R − {0} é par? Ela é ímpar?
x3
Justifique sua resposta!
Solução. A função f é ímpar, pois
f (−x) =
(−x)2 − 3
x2 − 3
=−
= −f (x),
(−x)3
x3
para todo x ∈ R − {0}.
A função não é par, pois f (−1) = 2 6= −2 = f (1).
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Pré-Cálculo
176
Exercício
A função y = f (x) =
x2 − 3
definida em R − {0} é par? Ela é ímpar?
x3
Justifique sua resposta!
Solução. A função f é ímpar, pois
f (−x) =
(−x)2 − 3
x2 − 3
=−
= −f (x),
(−x)3
x3
para todo x ∈ R − {0}.
A função não é par, pois f (−1) = 2 6= −2 = f (1).
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177
Exercício
A função y = f (x) =
x2 − 3
definida em R − {0} é par? Ela é ímpar?
x3
Justifique sua resposta!
Solução. A função f é ímpar, pois
f (−x) =
(−x)2 − 3
x2 − 3
=−
= −f (x),
(−x)3
x3
para todo x ∈ R − {0}.
A função não é par, pois f (−1) = 2 6= −2 = f (1).
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178
Exercício
A função y = f (x) =
x2 − 3
definida em R − {0} é par? Ela é ímpar?
x3
Justifique sua resposta!
Solução. A função f é ímpar, pois
f (−x) =
(−x)2 − 3
x2 − 3
=−
= −f (x),
(−x)3
x3
para todo x ∈ R − {0}.
A função não é par, pois f (−1) = 2 6= −2 = f (1).
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