2 - DCC/UFRJ

NÚMEROS INTEIROS E CRIPTOGRAFIA – UFRJ
LISTA 2: PRIMOS E FATORAÇÃO
1. Resolva as seguintes questões do livro-texto:
(a) 1, 2, 3, 5, 6 e 7 da página 48-49;
(b) 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 da página 66.
2. Determine o maior número possível de fatores primos de um inteiro n que não
tem nenhum fator ≤ n1/3 .
3. Determine um fator de 6883901 pelo algoritmo de Fermat.
4. Determine os dois fatores primos de 999367 pelo algoritmo de Fermat.
5. Sejam 2 < p < q dois primos ímpares e seja n = pq.
(a) Determine x e y (em função de p e q) tais que n = x2 − y 2 .
(b) Use (a) para determinar o número de tentativas para achar x que o algoritmo de fatoração de Fermat terá que fazer até obter um fator próprio
de n.
6. Considere os números primos p1 < · · · < pr . Seja N = p1 · p2 · · · pr o produto
destes primos e
N
N
N
S=
+
+ ··· + .
p1 p2
pr
(a) Mostre, por contradição, que S é um número inteiro que não é divisível
por nenhum dos primos p1 , p2 , · · · , pr .
(b) Use (a) para dar uma demonstração (por contradição) de que existem
infinitos números primos.
7. O objetivo desta questão é dar uma outra demonstração de que existem infinitos números primos. Para isso, suponha que exista um número finito de
primos, que são todos menores que um número inteiro positivo n ≥ 3.
(a) Mostre que, sob a hipótese acima, teríamos que ter que mdc(n! − 1, n!) é
diferente de 1.
(b) Mostre que (a) leva a uma contradição, e use isto para provar que existem
infinitos números primos.
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