CONJUNTO DOS NÚMEROS - OPERAÇÕES.

CONJUNTO DOS NÚMEROS OPERAÇÕES
1. NÚMEROS NATURAIS:
 O conjunto dos números naturais é indicado por
N e representado da seguinte forma:
 O diagrama a seguir mostra que:


Todo número natural é também número inteiro.
Todo número inteiro é também número
racional.
N  0,1,2,3,...................
 Existe ainda o conjunto
zero não está incluído:
N
 Lê-se: N está contido em Z e Z está contido
em Q.
2. NÚMEROS INTEIROS:
 O conjunto dos números inteiros é indicado por Z
e representado da seguinte forma:
3.1 NÚMEROS DECIMAIS EXATOS:
 Vamos escrever sob a forma de fração os
seguintes números decimais exatos:
A) 0,79 
Z  ..........,3,2,1,0,1,2,3,............
N  Z (N está contido em Z)
N
Z
 Vamos destacar os seguintes subconjuntos de Z:
 Números Inteiros não – negativos ou
positivos: Z   0,1,2,3,.........
 Números Inteiros não – positivos ou
negativos: Z   .....,3,2,1,0
3. NÚMEROS RACIONAIS:
 O conjunto dos números racionais ( Q ) reúne
todos os elementos que podem ser escritos na
forma de fração.
3
1
1


Q  ....,2,...., ,....,1,..., ,....,0,...., ,.....,1,.....
2
2
2


 Não podemos esquecer que:
decimais 1843
B) 1,843 
1000
Três zeros
Três casas
decimais
 Lembramos que 1, 843 é o mesmo que 1 inteiro
e 843 milésimos.
 Logo:
1,843 
1843
ou
1000
1,843  1
843
1000
3.2 NÚMEROS DECIMAIS PERIÓDICOS:
 Vamos escrever na forma fracionária os seguintes
decimais periódicos:
A) Escrever sob a forma de fração: 0,444....
8
1
Os números inteiros podem ser escritos em
forma de fração:
5  
5
1
Os números decimais podem ser escritos em
7
forma de fração: 0,7 
10

Duas
casas
decimais
Os números naturais podem ser escritos em
forma de fração: 8 

79
100
Dois zeros
 Como todo número natural é inteiro, dizemos que
N é subconjunto de Z. Indicamos:

N Z Q
Q
N * , onde o elemento
N *  1,2,3,4,...................

Z
Dízima periódica simples
Período: 4
Fazendo x = 0,444.... , têm-se:
10 x = 4,444...
Então: 10 x – x = 4,444... – 0,444....
As dízimas periódicas podem ser escritas em
forma de fração: 0,777.. 
7
9
Multiplicamos por 10
9x=4
x
4
9
0,2777.... 
Dízima periódica simples
Período: 35
100 x =35,3535....
Multiplicamos por 100
Então: 10 x – x = 35,3535... – 0,3535....
7
9
10
25
25 5
0,2777...  9 

10 90 18
B) Escrever sob a forma de fração: 0,3535...
Fazendo x = 0,3535.... , têm-se:
2
4. NÚMEROS IRRACIONAIS: ( I )
 Todo número escrito na forma de um número
decimal infinito e não periódico é um número
irracional. Não pode ser escrito na forma de
fração.
Ex:
2  1,41421....
5  2,23606.....
99 x = 35
x
5. NÚMEROS REAIS: ( R )
 A união dos conjuntos dos números racionais e
irracionais chama-se conjunto dos números reais,
que será indicado por R.
35
99
 Observando os exemplos acima,
estabelecer a seguinte regra prática:
0,3535..... 
35
99
podemos
Período
R QI
 Como todo número natural é inteiro, todo número
inteiro é racional e todo número racional é real,
temos:
R
Q
Z
Tantos noves quantos
são os algarismos do
período.
N
I
C) Escrever sob a forma de fração: 5,333....
Dízima periódica simples
Período: 3
Então: 5,333....  5  0,333....
3
5,333....  5 
9
48
5,333.... 
9
16
5,333... 
3
N Z QR
 LEMBRETE:
A) A raiz quadrada, quarta, sexta, .... de um número
negativo não representa um número real.
Exemplos:
Ex1:
Ex2:
.  3  9
 9  3 porque  3   3
2
.  3  9
 9  3 porque  3   3
2
9 R
D) Escrever sob a forma de fração: 0,2777...
Então:
2,777....
10
2  0,777...
0,2777.... 
10
0,277.... 
ILUSTRANDO:
índice par
4
 16 não é um número real
negativo
B) A raiz cúbica, quinta, sétima, .... de um número
negativo representa um número real.
Exemplos:
Ex1:
3
 8  2
Ex2:
3
 5  1,709......
6. NÚMEROS FRACIONÁRIOS:
 Uma fração tem dois termos: O numerador e o
denominador.
número
de partes
consideradas
4
5
Numerador
Deno min ador
número de
parte em
que dividiu
o inteiro
NOTA: Não existem frações com denominador
zero, porque não se pode dividir por zero.
7. OPERAÇÕES
FRACIONÁRIOS:
COM
NÚMEROS
7.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO:
PRIMEIRO CASO: MESMO DENOMINADOR
 Para adicionarmos ou subtrair-mos frações de
mesmo denominador, somamos ou diminuirmos
os numeradores e conservamos o denominador.
1 2 1 2 3
 

5 5
5
5
2 3 23
1
Ex2:
 

6 6
6
6
Ex1:
SEGUNDO CASO: DENOMINADORES
DIFERENTES
 Reduzimos as frações ao menor denominador
comum e procedemos como no primeiro caso.
3 1 6
5 6  5 11
 



5 2 10 10
10
10
7 2 35 6 35  6 29
 



Ex2:
3 5 15 15
15
15
Ex1:
6.1 TIPOS DE FRAÇÕES:
1) Fração Própria: É aquela cujo numerador é
menor que o denominador.
Ex:
9 1 3
, ,
10 3 7
2) Fração Imprópria: É aquela cujo numerador é
maior ou igual ao denominador.
Ex:
15 7 8
, ,
10 5 8
Ex1:
3) Fração Aparente: É aquela cujo numerador é
divisível pelo denominador.
Ex:
7.2 MULTIPLICAÇÃO:
 Para multiplicarmos frações, multiplicamos os
numeradores entre si e os denominadores entre
si.
4 8 0
, ,
4 2 3
6.2 Número Misto:
 Significa uma mistura de um número natural
com uma fração própria.
 Toda fração imprópria, que não seja aparente,
pode ser transformada em número misto.
Exemplo: Transformar a fração imprópria
7
em
4
número misto.
Solução:
 Numa fração o traço indica a divisão do
numerador pelo denominador. Então, vamos
dividir 7 por 4.
3 4 12
 
5 7 35
7.3 INVERSO DE UMA FRAÇÃO:
 A fração inversa de uma fração diferente de zero
é aquela que obtemos quando trocamos de lugar
o numerador com o denominador.
Ex1: O inverso de
4
5
é
5
4
7. 4 DIVISÃO:
 Para dividir uma fração por outra, basta
multiplicar a primeira pelo inverso da segunda.
Ex1:
5 2 5 3 15
   
7 3 7 2 14
7. 5 POTENCIAÇÃO:
 Para elevarmos uma fração a um expoente,
elevamos o numerador e o denominador a esse
expoente.
2
7
Numerador
 Assim:
3
7
3
1
4
4
4
Denominador
1
5 2 25
5
Ex1:    2 
81
9
9
Parte Inteira
7. 6 RAIZ QUADRADA EXATA DE UM
NÚMERO FRACIONÁRIO:
 Para se extrair a raiz quadrada de um número
fracionário, extraem-se a raiz quadrada do
numerador e a raiz quadrada do denominador.
16 4

49 7
Ex1:
7.7 EXPRESSÕES COM FRAÇÕES:
 Quando estamos calculando uma expressão,
efetuamos:
A) Expressões sem Parênteses:
Primeiro:
Potenciações e Radiciações, na
ordem em que aparecem.
Segundo: Multiplicações e Divisões, na ordem
em que aparecem.
Terceiro: Adições e Subtrações, na ordem em
que aparecem.
B) Expressões com Parênteses, Colchetes ou
Chaves:
Primeiro: Calculamos o que estiver entre
Parênteses.
Segundo: Calculamos o que estiver entre Colchetes.
Terceiro: Calculamos o que estiver entre Chaves.
Exemplos:
Ex1:
 1  4 1  6 1  4 1 7 4 1 28 1 29
3                
 2  5 10  2 2  5 10 2 5 10 10 10 10
11 1 2 3 11 2 4 11 8 55 16 71
          
2 3 5 4 6 5 3 6 15 30 30 30
7. 8 PROBLEMAS
COM
NÚMEROS
FRACIONÁRIOS:
 Você aprenderá a resolver problemas com
frações através de exemplos:
. Quantos alunos compareceram ?
Solução:
40 alunos
10 10
10
10
4
4
1
4
10
o todo
1 parte
40 alunos
40  4  10
10 10
3
4
3 partes
10  3  30
30 alunos
Resposta: Compareceram 30 alunos.
2
3
2 partes
1
3
1 parte
1
3
3 partes
7 metros
21 metros
7  3  21 metros
Resposta: A corda mede 21 metros.
8. FRAÇÃO DECIMAL E NÚMEROS DECIMAIS:
8. 1 FRAÇÕES DECIMAIS:
 Chamamos de Frações Decimais as frações de
denominador 10, 100, 1 000 etc...
Exemplos:
3
10
Ex2:
21
100
Ex3:
37
1000
8. 2 NÚMEROS DECIMAIS:
 As frações decimais podem ser escritas sob a
forma de números decimais.
Ex1:
3
 0,3
10
Números decimais
Frações
decimais
Ex2:
21
 0,21
100
Ex3:
37
 0,037
1000
 Nos números decimais, a vírgula separa a parte
inteira da parte decimal.
8.3 LEITURA DE UM NÚMERO DECIMAL:
 No número decimal, temos:
Parte
40 alunos
10
3
4
2
de uma corda medem 14 metros, qual
3
a medida dessa corda ?
Solução:
14 metros
Ex1:
Ex2:
Ex1: Numa classe de 40 alunos, compareceram
Ex2: Se
inteira
Parte
,
decimal
Vírgula
Exemplo: 3, 52
 Para ler um número decimal, procede-se do
seguinte modo:
1) Lêem-se os inteiros.
2)



Lê-se a parte decimal, seguida da palavra:
Décimos – Se houver uma casa decimal.
Centésimos – Se houver duas casa decimais.
Milésimos – Se houver três casas decimais. E
assim por diante.
Exemplos:
Ex1: 1, 7
um inteiro e sete décimos.
Ex2: 5, 23
cinco inteiros e vinte e três
centésimos.
Ex3: 12, 006 doze inteiros e seis milésimos.
5 4, 3 2 8 7
décimos de milésimos
milésimos
centésimos
décimos
unidades
dezenas
 O valor de um número decimal não se altera
quando acrescentamos ou retiramos um ou mais
zeros à direita de sua parte decimal.
Exemplo: 0, 3 = 0, 30 = 0, 300 = .........
3
30
300
=
=
= .........
10
100
1000
8. 7 OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS:
A) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO:
 Para adicionarmos ou subtrairmos números
decimais:
PRIMEIRO: Colocamos vírgula debaixo de vírgula.
SEGUNDO: Adicionamos ou subtraímos como se
fossem números naturais.
Exemplos:
Ex1:
LÊ-SE: Cinqüenta e quatro inteiros, três mil
duzentos e oitenta e sete décimos de
milésimos
8. 4
TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO DECIMAL
EM NÚMERO DECIMAL:
 Para transformarmos uma fração decimal em
número decimal, escrevemos o numerador e
separamos, à direita da vírgula, tantas casas
quantos são os zeros do denominador.
Exemplos:
Ex1:
49
 4,9
10
Ex2:
234
 2,34
100
 Quando a quantidade de algarismos do
numerador não é suficiente para colocar a
vírgula, acrescentamos zero à esquerda do
número.
Ex1:
29
 0,029
1000
Ex2:
7
 0,007
1000
8. 5 TRANSFORMAÇÃO DE NÚMERO DECIMAL
EM FRAÇÃO DECIMAL:
 Para transformarmos um número decimal em
fração decimal, escrevemos uma fração em que:
1) O numerador é o número decimal sem a vírgula.
2) O denominador é o número 1 seguido de tantos
zeros quantos forem os algarismos do número
decimal depois da vírgula.
Exemplos:
Ex1: 1,7 
17
10
Ex2: 2,34 
234
100
 O número de casas depois da vírgula é igual
ao número de zeros do denominador.
3,54  2,19
3,54
+
2,19
5,73
Ex2:
7,28  1,32
7,28
1,32
5,96
B) MULTIPLICAÇÃO:
 Para multiplicarmos dois decimais:
PRIMEIRO: Multiplicamos os números decimais como
se fossem números naturais.
SEGUNDO: Separamos no produto, da direita para
a esquerda, o total de casas dos dois
fatores.
Exemplo:
Ex1: 4,26  2,3
4, 26
2 casas depois da vírgula
x
2,3
1 casa depois da vírgula
1278
852
3 casas depois da vírgula
9,798
C) MULTIPLICAÇÃO POR POTÊNCIA DE 10:
 Para multiplicarmos um número decimal:
 Por 10, deslocamos a vírgula uma casa à
direita.
 Por 100, deslocamos a vírgula duas casas à
direita.
 Por 1000, deslocamos a vírgula três casas à
direita.
 E assim por diante.
Exemplos:
Ex1: 4,768  10  47,68
Ex2: 4,768  100  476,8
Ex3: 4,768  1000  4768
8. 6 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DOS
NÚMEROS DECIMAIS:
D) POTENCIAÇÃO:
 A potenciação é uma multiplicação de fatores
iguais.
Exemplos:
Ex1:
Ex2:
1,32  1,3  1,3  1,69
0,43  0,4  0,4  0,4  0,064
E) DIVISÃO:
 Podemos calcular o quociente de dois números
decimais do seguinte modo:
Igualamos o número
de casas decimais dos
dois números.
3,6  0,12
3,60 : 0,12
Efetuamos a divisão
como se os números
fossem naturais.
Ex2:
5
 5:9 
9
50
50
0, 555....
50
50
5
 O resto da divisão nunca será zero, no quociente,
aparecerá o algarismo
5
se repetindo. O
algarismo que se repete ( 5 ) é chamado de
Período.
Então:
5
 0,555.....
9
3, 6
0, 12
100
360
100
12
00
30
F) DIVISÃO POR POTÊNCIA DE 10:
 Para dividirmos um número decimal:
 Por 10, deslocamos a vírgula uma casa à
esquerda.
 Por 100, deslocamos a vírgula duas casas à
esquerda.
 Por 1000, deslocamos a vírgula três casas à
esquerda.
 E assim por diante.
Exemplos:
Ex1: 873,4  10  87,34
Ex2: 873,4  100  8,734
Ex3: 873,4  1000  0,8734
8. 8 TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÕES EM
NÚMEROS DECIMAIS:
 Para transformar uma fração em número decimal,
basta dividir o numerador pelo denominador.
Exemplos:
7
 7:2 7
2
2
10
3, 5
0
(divisão exata)
Então:
é uma dízima periódica
simples
Ex:
Ex1:
9
7
 3,5 é um decimal exato.
2
Ex3:
5
 5:6 
6
50
6
20
0, 555....
20
20
2
 Observe que, logo após a vírgula, aparece o
algarismo 8, que não se repete ( parte não
periódica ), para depois aparecer o Período ( 3
).
Então:
5
 0,8333.....
6
é uma dízima periódica
composta.