Uma corda tensionada, com as duas p - IFSC-USP

Física II
Beatriz Domingues Lodi
Heloisa Caes Lahr
Jéssica Claro Pereira
Exercício 16.35: Uma corda tensionada, com as duas pontas fixas, ressoa na frequência
fundamental de 180 Hz. Que operação, entre as seguintes, reduz a frequência fundamental a
90 Hz?
(a)
(b)
(c)
(d)
Duplicar a tensão e duplicar o comprimento.
Dividir por dois a tensão e manter o comprimento fixo.
Manter a tensão fixa e duplicar o comprimento.
Manter a tensão fixa e dividir por dois o comprimento.
Resolução
Quando ondas iguais (que possuem mesma frequência, mesma amplitude, mesma velocidade
e mesmo comprimento de onda) se propagam num mesmo meio (tubo fechado ou cordas com
extremidades fixas) e em direções opostas, elas se superpõem, resultando numa onda
estacionária, com um padrão de vibração estacionário.
No caso de uma corda tensionada e fixa nas duas extremidades, há certas frequências,
chamadas frequências de ressonância, em que verificamos configurações de ondas
estacionárias.
N: nós, pontos onde ocorre interferência destrutiva
V: ventre, pontos de amplitudes máximas de vibração
Como o comprimento L da corda é igual à metade do comprimento de onda no modo
fundamental de vibração, a condição de onda estacionária, quando ambas as extremidades da
corda estão fixas, é dada pela relação:
ou
(1)
n: n-ésimo harmônico
ʎ: comprimento de onda
Sabendo que a velocidade de onda, o comprimento de onda e a frequência estão relacionados
pela equação (2), e substituindo a equação (1) na (2), temos a frequência de ressonância,
numa corda fixa nas extremidades (equação (3) :
v = λ *ƒ
(2)
(3)
v: velocidade de onda
L: comprimento da corda
fn: frequência de ressonância
A tensão da corda está relacionada com a velocidade da onda pela seguinte relação:
(4)
: densidade linear da corda
F: tensão na corda
Substituindo a equação (4) em (3) obtemos:
fn =
Como a corda é a mesma, temos que a densidade linear ( ) se mantem constante. Se a corda
ressoa na frequência fundamental, temos que n=1, ou seja, se trata do primeiro harmônico
(modo fundamental).
Assim, tendo n e constantes, chegamos numa relação inversamente proporcional entre a
frequência (fn) e o comprimento da corda (L). Analisando as alternativas sugeridas, vemos que,
se mantermos a tensão (F) constante, e dobrarmos o valor inicial do comprimento da corda (L),
chegamos num resultado satisfatório.
Temos:
fn *
f0 *
= constante
=f*
Sendo:
f0 = 180 Hz
180 *
f = 90 Hz
= 90 *
=
Admitindo as seguintes condições:
F0 = F;
L = 2*L0
Obtemos:
=
Portanto, para que a frequência, inicialmente de 180 Hz, seja reduzida à 90 Hz (ou seja, caia
pela metade), é necessário que o comprimento L seja o dobro de seu valor inicial, mantendo a
tensão (F) constante.
Resposta:
(c) Manter a tensão fixa e duplicar o comprimento.
Bibliografia:
Tipler, Paul A.; Physics for Scientists and Engineers – Fourth Edition – Volume 1.