Cinemática Cinemática das Partículas Posição da partícula P

Cinemática
Cinemática das Partículas
Posição da partícula P relativamente à origem F do referencial:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑥⃗ = 𝐹𝑃
Velocidade: 𝑣⃗ =
𝑑𝑥⃗
𝑑𝑡
; Aceleração: 𝑎⃗ =
𝑑𝑣⃗⃗
𝑑𝑡
=
𝑑𝑡 2
∑ 𝐹⃗
𝑎⃗ =
𝑚
1
𝑥1 = 𝑥0 + 𝑣0 × 𝑡 + × 𝑎 × 𝑡 2
2
𝑣1 = 𝑣0 + 𝑎 × 𝑡
𝑡
𝑣 = 𝑣(𝑡) = 𝑣0 + ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡
0
𝑡
𝑥 = 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡
0
Movimento Curvilíneo
𝑣⃗⃗
Versor unitário tangente à trajetória: ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑡 = |𝑣⃗⃗|
Aceleração: 𝑎⃗ =
𝑑𝑠
𝑒
⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑡 𝑡
𝑑𝑣
𝑒
⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑡 𝑡
+ 𝜔2 𝜌𝑒
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑛
Velocidade angular: 𝜔 =
𝑣
𝜌
Aceleração centrípeta: ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑐 =
Curvatura:
𝑣2
𝜌
⃗⃗⃗ × 𝑟⃗
𝑟⃗̇ = ∑ 𝑟̇𝑖 𝑒⃗𝑖 + Ω
𝑑 2 𝑥⃗
Movimento Retilíneo
Velocidade: 𝑣⃗ =
⃗⃗⃗ ∙ 𝑒⃗𝑖 × 𝑒⃗𝑘 ; Ω32
Ω𝑘𝑖 = Ω
⃗Ω
⃗⃗ ∙ 𝑒⃗3 = 𝛺3
⃗⃗⃗ × 𝑒⃗𝑖
𝑒⃗̇𝑖 = Ω
⃗⃗⃗ ∙ 𝑒⃗1 = 𝛺1 ; Ω13 = Ω
⃗⃗⃗ ∙ 𝑒⃗2 = 𝛺2 ; Ω21 =
=Ω
⃗⃗⃗ × 𝑟⃗
𝑣⃗ = 𝑥⃗̇𝑜 + ∑ 𝑟̇𝑖 𝑒⃗𝑖 + Ω
Velocidade de translação; velocidade relativa; velocidade de
rotação
𝑣⃗ = 𝑣⃗ 𝑟𝑒𝑙 + 𝑣⃗𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝
⃗⃗ × 𝑟⃗
𝑣⃗ 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝 = 𝑥⃗̇𝑜 + 𝛺
2
⃗
⃗⃗
𝛿 𝑟⃗ 𝑑Ω
𝛿𝑟⃗
⃗⃗ ×
⃗⃗ × (𝛺
⃗⃗ × 𝑟⃗)
𝑎⃗ = 𝑥⃗̈𝑜 + 2 +
× 𝑟⃗ + 2𝛺
+𝛺
𝛿𝑡
𝑑𝑡
𝛿𝑡
Parcela de translação; Parcela de aceleração relativa; Parcela de
aceleração angular; Parcela de aceleração de Coriolis; Parcela de
aceleração centrípeta
𝑎⃗ 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝 = 𝑎⃗ 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙 + 𝑎⃗ 𝑎𝑛𝑔 + 𝑎⃗ 𝑐𝑒𝑛𝑡
Cinemática dos Corpos Rígidos
⃗⃗⃗ = 𝜔
Ω
⃗⃗
Propagação da velocidade de um corpo rígido: 𝑣⃗𝑝 = 𝑣⃗𝑜 + 𝜔
⃗⃗ ×
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃
Propagação da aceleração de um corpo rígido: 𝑎⃗𝑝 = 𝑎⃗𝑜 + 𝛼⃗ ×
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 + 𝜔
⃗⃗ × (𝜔
⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 )
⃗⃗⃗⃗
𝑑𝜔
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑛
1
𝜌
Raio da curvatura: 𝜌
Velocidade: 𝑣⃗ = 𝑟̇ 𝑒⃗𝑟 + 𝑟𝜃̇𝑒⃗𝜃
Aceleração: 𝑎⃗ = (𝑟̈ − 𝑟𝜃 2̇ )𝑒⃗𝑟 + (𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇ )𝑒⃗𝜃
Aceleração angular do corpo rígido: 𝛼⃗ =
𝑑𝑡
Propriedade projetiva: 𝑣⃗𝑝 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 = 𝑣⃗0 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃
𝑣⃗𝑝 ∙ 𝜔
⃗⃗ = 𝑣⃗0 ∙ 𝜔
⃗⃗
Casos
de
redução:
𝑣⃗0 ∙ 𝜔
⃗⃗ ≠ 0 𝑅𝑜𝑡𝑎çã𝑜 + 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝐼𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑎𝑠
⃗⃗ 𝑅𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝐼𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑎
𝜔
⃗⃗ ≠ 0
⃗⃗
𝑣⃗0 ∙ 𝜔
⃗⃗ = 0 {
⃗⃗ {𝑣⃗𝑜 ≠ 0 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝐼𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑎
𝜔
⃗⃗ = 0
𝑣⃗𝑜 = ⃗0⃗ 𝑅𝑒𝑝𝑜𝑢𝑠𝑜 𝐼𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑜
{
Referenciais Móveis
Posição absoluta da partícula: 𝑥⃗ = 𝑥⃗𝑜 + 𝑟⃗; 𝑥⃗𝑜 – vetor de
posição da origem do referencial móvel no referencial fixo; 𝑟⃗ –
posição relativa da partícula em relação à origem do referencial
móvel
Velocidade absoluta: 𝑣⃗ = 𝑥⃗̇ + 𝑟⃗̇
𝑜
𝑟⃗̇ = ∑ 𝑟̇𝑖 𝑒⃗𝑖 + ∑ 𝑟⃗𝑖 𝑒⃗̇𝑖
Componente de um vetor qualquer ⃗𝒘
⃗⃗⃗ segundo um vetor ⃗𝒆⃗′𝒑 :
𝑤′𝑝 = 𝑤
⃗⃗⃗ ∙ 𝑒⃗′𝑝
⃗⃗⃗𝑝 | 𝑐𝑜𝑠(𝑒⃗𝑖 , 𝑒⃗′𝑝 ) = 𝑐𝑜𝑠(𝑒⃗𝑖 , 𝑒⃗′𝑝 )
𝐴𝑖𝑝 = (𝑒⃗𝑖 , 𝑒⃗′𝑝 ) = |𝑒⃗𝑖 | |𝑒′
Matriz de Lamé, matriz dos co-senos diretores ou matriz de
𝐴11 𝐴12 𝐴13
transformação: [𝐴] = [𝐴𝑖𝑝 ]; [𝐴21 𝐴22 𝐴23 ] (As linhas
𝐴31 𝐴32 𝐴33
correspondem às componentes 𝑒⃗𝑖 e as colunas correspondem
às componentes 𝑒⃗′𝑝 )
⃗⃗⃗} = [𝐴]𝑇 {𝑒⃗}
{𝑒⃗} = [𝐴]{𝑒⃗′}, {𝑒′
Condições de Ortogonalidade:[𝐴][𝐴]𝑇 = [𝛿], [𝐴]𝑇 [𝐴] = [𝛿],
[𝐴]−1 = [𝐴]𝑇 , 𝑑𝑒𝑡([𝐴]𝑇 [𝐴]) = 1
Transformação Ortogonal Própria: 𝑑𝑒𝑡[𝐴] = 1 – rotação do
sistema de eixos (ambos os referenciais diretos ou ambos
inversos)
Transformação Ortogonal Imprópria: 𝑑𝑒𝑡[𝐴] = −1 – rotação
seguida da inversão do sentido positivo de 1 ou 3 dos vetores da
base.
𝑒⃗̇ = ∑ Ω 𝑒⃗
𝑖
𝑘𝑖 𝑘
𝑘
Matriz das velocidades angulares do referencial móvel: [Ω] =
𝑇
[𝐴][𝐴̇]
[𝛺] = −[𝛺]𝑇
⃗⃗⃗⃗×𝑣⃗⃗
𝜔
Eixo helicoidal instantâneo: 𝑄 = 𝑂 + 2 𝑜 + 𝜆𝜔
⃗⃗ Lugar
𝜔
geométrico dos pontos onde a velocidade é mínima e paralela à
velocidade angular
⃗⃗⃗⃗
𝑣⃗⃗ ∙𝜔
𝑣 𝜔 = 𝑝 Projeção da velocidade dos pontos do eixo helicoidal
𝜔
instantâneo sobre 𝜔
⃗⃗; O valor dessa velocidade é mínimo
Movimento plano: 𝑣⃗0 ∙ 𝜔
⃗⃗ = 0
Velocidade de um ponto conhecido o centro instantâneo de
rotação: 𝑣⃗𝐴 = −𝜔(𝑦𝐴 − 𝑦𝐶 )𝑒⃗𝑥 + 𝜔(𝑥𝐴 − 𝑥𝐶 )𝑒⃗𝑦
Propagação de acelerações para movimento plano: 𝑎⃗𝑝 = 𝑎⃗𝑜 +
𝛼⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 − 𝜔2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃
Casos da roda:
Caso
Centro
Instantâneo
de Rotação
Roda a
Derrapar
𝑦𝐶 < 0
Roda a Patinar
0 < 𝑦𝐶 < 𝑅
Rolamento
Puro
Rotação Pura
Translação
Pura
Velocidade do Centro
da Roda
𝑣⃗𝐸 muito grande;
|𝑣⃗𝐸 | = 𝜔(𝑅 + 𝑎)
𝑣⃗𝐸 pequeno; |𝑣⃗𝐸 | =
𝜔(𝑅 − 𝑎)
𝑦𝐶 = 0
-
-
𝑣⃗𝐸 = 0
-
-
Centros de Massa e Tensor de Inércia
Coordenadas do centro de massa de um sistema de partículas:
𝑥𝐺𝑗 =
∑𝑛
𝑖=1 𝑚𝑖 𝑥⃗𝑗𝑖
Nota: O momento de inércia de um corpo rígido em relação a
um eixo com uma determinada direção é mínimo quando o eixo
passa no centro de massa e aumenta à medida que o eixo se
afasta do centro de massa.
𝑀
∫ 𝑥⃗𝑗 𝑑𝑚
Coordenadas do centro de massa de um corpo: 𝑥𝐺𝑗 = 𝑀
𝑀
Nota: Quando o corpo está sujeito a um campo gravítico
constante o seu centro de gravidade coincide com o centro de
massa.
𝑑𝑚
Massa volúmica: 𝜌(𝑃) = ; Massa por unidade de superfície:
𝜌𝑆 (𝑃) =
𝑑𝑚
𝑑𝑆
𝑑𝑉
; Massa por unidade de comprimento: 𝜌𝑠 (𝑃) =
Coordenadas do centro de massa: 𝑥𝐺𝑗 =
∫𝑆 𝑥⃗𝑗 𝜌𝑆 𝑑𝑆
𝑀
; 𝑥𝐺𝑗 =
∫𝑉 𝑥⃗𝑗 𝜌𝑑𝑉
𝑀
𝑑𝑠
; 𝑥𝐺𝑗 =
∫𝑠 𝑥⃗𝑗 𝜌𝑠 𝑑𝑠
𝑀
Centróide ou centro geométrico do corpo: 𝑥𝐺𝑗 =
∫𝑆 𝑥⃗𝑗 𝑑𝑆
𝑑𝑚
∫𝑉 𝑥⃗𝑗 𝑑𝑉
𝑉
; 𝑥𝐺𝑗 =
∫ 𝑥⃗𝑗 𝑑𝑠
; 𝑥𝐺𝑗 = 𝑠
𝑠
Nota: O centróide coincide com o centro de massa se o corpo
for homogéneo.
Momentos estáticos ou momentos de 1ª ordem relativamente
𝑆
∫ 𝑥1 𝑑𝑆
∫ 𝑥1 𝑑𝑠
ao eixo x2: 𝑥𝐺1 = 𝑆
, 𝑥𝐺1 = 𝑠
𝑆
𝑠
Momentos estáticos ou momentos de 1ª ordem relativamente
∫𝑆 𝑥2 𝑑𝑆
Centro de massa de um corpo composto: 𝑥⃗𝐺 =
∑𝑛
𝑖=1 𝑀𝑖 𝑥⃗𝐺𝑖
∑𝑛
𝑖=1 𝑀𝑖
Centro de massa de um corpo composto homogéneo:
∑𝑛
𝑖=1 𝑉𝑖 𝑥⃗𝐺𝑖
∑𝑛
𝑖=1 𝑉𝑖
; 𝑥⃗𝐺 =
∑𝑛
𝑖=1 𝑆𝑖 𝑥⃗𝐺𝑖
∑𝑛
𝑖=1 𝑆𝑖
𝐼𝜆 = 𝜆⃗[𝐼 𝑜 ]𝜆⃗
; [𝐼′] = [𝐴]𝑇 [𝐼][𝐴]
Dinâmica
Movimento linear: 𝑝⃗ = 𝑚𝑣
Quantidade de movimento angular: 𝐼⃗𝑜 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 × 𝑝⃗
⃗𝐿⃗𝑜 = 𝑟⃗𝐺 × 𝑀𝑣⃗𝑜 + 𝐿⃗⃗𝑟𝑜𝑡
𝑜
2ª Lei de Newton: 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗
Teoremas das quantidades de movimento:
Teorema do impulso e da quantidade do Movimento linear:
𝑡1
𝑑𝑃⃗⃗
∫ 𝐹⃗ 𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑡 = ⃗⃗⃗⃗
𝑃1 − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃0 ⟺ 𝐹⃗ 𝑒𝑥𝑡 =
𝑑𝑡
𝑡0
Teorema do impulso e da quantidade do Movimento angular:
t1
⃗⃗
dL
ext
ext
⃗⃗⃗o dt = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗o = o
∫ ⃗M
L1 − ⃗⃗⃗⃗⃗
L0 ⟺ ⃗M
dt
t0
(o é ponto fixo ou centro de massa)
Trabalho: 𝜏1→2 = ∫
𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑥⃗ = 𝑇2 − 𝑇1
𝑥⃗1 →𝑥⃗2
𝑑𝜏 = −𝑑𝑉
𝜕𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑖 = −
, 𝐹⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝑉
𝜕𝑥𝑖
∫𝑠 𝑥2 𝑑𝑠
ao eixo x1: 𝑥𝐺2 =
, 𝑥𝐺2 =
𝑆
𝑠
Nota: Quando um corpo tridimensional possui um plano de
simetria o seu centróide localiza-se sobre o plano de simetria.
Quando o corpo possui dois planos de simetria o seu centróide
localiza-se sobre a linha de interseção dos dois planos. Quando
o corpo possui três planos de simetria que se intersetam num
ponto o seu centróide localiza-se sobre o ponto de interseção.
Uma superfície plana diz-se simétrica relativamente a um centro
O se para qualquer elemento de área dS de coordenadas x1 e x2
existir um elemento dS’ de área igual e coordenadas –x1 e –x2.
Daqui resulta que o centróide coincide com o centro de simetria
O.
𝑥⃗𝐺 =
[𝐼] =
[𝐴][𝐼′][𝐴]𝑇
; 𝑥⃗𝐺 =
∑𝑛
𝑖=1 𝑠𝑖 𝑥⃗𝐺𝑖
∑𝑛
𝑖=1 𝑠𝑖
Tensor de inércia: 𝐼𝜆 = ∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 𝑑𝑖2 ;
𝐼𝜆𝑜 = ∫𝑀 𝑑𝜆2 𝑑𝑀; 𝐼𝜆 =
∫𝑉 𝜌𝑑 2 𝑑𝑉 ; 𝐼𝜆 = ∫𝑆 𝜌𝑆 𝑑 2 𝑑𝑆; 𝐼𝜆 = ∫𝑠 𝜌𝑠 𝑑 2 𝑑𝑠
Energia potencial:
𝑉𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝑀𝑔ℎ
1
𝑉𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎(𝑚𝑜𝑙𝑎) = 𝐾Δ ou 𝑉𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎(𝑚𝑜𝑙𝑎) = 𝐾θ2
2
2
Energia cinética:
𝑇 = 𝑇 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 + 𝑇 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎 + 𝑇 𝑟𝑜𝑡
1
1
= 𝑀𝑣𝑜 2 + 𝑣𝑜 . 𝜔
⃗⃗ × 𝑀 𝑟⃗𝐺 + 𝜔
⃗⃗. 𝐼 𝐹 . 𝜔
⃗⃗
2
2
Tem-se ainda que:
1
1
𝑇 𝑟𝑜𝑡 = 𝜔
⃗⃗. 𝐿⃗⃗𝑟𝑜𝑡 𝑜 ; 𝑇 𝑟𝑜𝑡 = {𝜔}𝑇 [𝐼 𝑜 ]{𝜔}; uma vez que 𝐿⃗⃗𝑟𝑜𝑡 𝑜 =
2
2
𝐼𝐹 . 𝜔
⃗⃗ (Tensor de Inércia)
1
Note-se que numa partícula: 𝑇 = 𝑇 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 = 𝑀𝑣 2
2
Energia total mecânica: 𝐸 = 𝑇 + 𝑉
Teorema das forças vivas: 𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇2 + 𝑉2
Centro de Massa de um sistema de partículas:
Posição:𝑥⃗𝐺 =
∑𝑛
𝑖=1 𝑚𝑖 𝑥⃗𝑖
𝑦⃗𝐺
∑𝑛
𝑖=1 𝑚𝑖
𝑛
∑𝑖=1 𝑚𝑖 𝑣⃗⃗𝑖
Velocidade: 𝑣⃗𝐺 =
Aceleração: 𝑎⃗𝐺 =
𝑜
Momentos de inércia em relação a x1: 𝐼11
= ∫𝑀 (𝑟22 + 𝑟32 )𝑑𝑚;
𝑜
𝑃12
𝑜
𝑜
= −𝐼12
= −𝐼21
= ∫𝑀 𝑟1 𝑟2 𝑑𝑚
𝑜
𝑜
𝐼𝑥𝑥 + 𝐼𝑦𝑦 (Momento polar de inércia
Produto de inércia:
𝑜
No caso plano: 𝐼𝑧𝑧
=
em
relação ao ponto O)
Nota: Se um corpo tiver um plano de simetria, os produtos de
inércia em que intervém a coordenada ortogonal ao plano de
simetria são nulos.
Tensor de inércia: Matriz cujas componentes correspondem aos
momentos de inércia
𝐼
Raio de giração em relação a um eixo: 𝐾𝜆 = √ 𝜆
𝑀
Teorema de Lagrange-Steiner ou Teorema dos Eixos Paralelos:
𝑜
𝐺
𝐼 𝑜 = 𝐼 𝐺 + 𝑀[(𝑟⃗𝐺 ∙ 𝑟⃗𝐺 )𝛿 − 𝑟⃗𝐺 × 𝑟⃗𝐺 ];
𝐼𝑥𝑥
= 𝐼𝑥𝑥
+ 𝑀(𝑦𝐺2 + 𝑧𝐺2 );
𝑜
𝐺
𝑃𝑥𝑦 = 𝑃𝑥𝑦 + 𝑀𝑥𝐺 𝑦𝐺
1
2
=
∑𝑛
⃗⃗𝑖
𝑖=1 𝑚𝑖 𝑦
∑𝑛
𝑖=1 𝑚𝑖
∑𝑛
𝑖=1 𝑚𝑖
∑𝑛
⃗⃗𝑖
𝑖=1 𝑚𝑖 𝑎
∑𝑛
𝑖=1 𝑚𝑖
Momento linear de um sistema de partículas: 𝑃⃗⃗ = 𝑀𝑣⃗𝐺
Momento angular de um sistema de partículas: 𝐿⃗⃗𝑜 =
∑𝑛𝑘=1 𝑟⃗𝑘 × 𝑚𝑘 𝑣⃗𝑘
Teorema do movimento do centro de massa: 𝐹⃗ 𝑒𝑥𝑡 = 𝑀𝑎⃗𝐺
𝑜
{𝐿𝑟𝑜𝑡
𝑜 } = [𝐼 ]{𝜔}
[𝛿] = [𝐼],
𝐼 𝑜 = ∫𝑀 [(𝑟⃗ ∙ 𝑟⃗)𝛿 − 𝑟⃗ × 𝑟⃗],
𝑟⃗ × 𝑟⃗ = {𝑟}{𝑟}𝑇 ,
(𝑟⃗ × 𝑟⃗)𝑖𝑗 = 𝑟𝑖 𝑟𝑗
Movimento de rotação do corpo rígido em torno de um pto.
𝑒𝑥𝑡
⃗⃗⃗𝑜
Fixo ou do centro de Massa: 𝑀
= 𝐼 𝑜 𝛼⃗ + 𝜔
⃗⃗ × 𝐼 𝑜 𝜔
⃗⃗
{𝜔′} = [𝐴]𝑇 {𝜔}, {𝜔} = [𝐴]{𝜔′}
𝐹⃗1𝑒𝑥𝑡 = 𝑀𝑎𝐺1
Sistema de equações útil: { 𝐹⃗2𝑒𝑥𝑡 = 𝑀𝑎𝐺2
𝑒𝑥𝑡
𝑜
𝑀𝑜3
= 𝐼33
𝛼3