Resposta Temporal

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1. Para o sistema representado pelo seguinte diagrama de blocos, obtenha:
a) A expressão da resposta, c(t), a uma entrada salto unitário.
b) Esboce o gráfico correspondente à alínea anterior.
c) O ganho estacionário e explique o seu significado.
d) Uma expressão para o erro e o erro estacionário.
1
2s
R(s) +
-
C(s)
1
2
2. Para o circuito eléctrico representado obtenha:
a) As equações que descrevem o seu comportamento.
b) A evolução temporal de Vo quando é aplicada uma entrada escalão de amplitude E. Considere
nula a tensão inicial do condensador.
c) Quais as alterações à solução obtida na alínea anterior admitindo uma tensão inicial no
condensador igual a -E. Represente graficamente as duas situações anteriores.
I
Vo
Vi
3. Considerando que o circuito representado é submetido a uma entrada escalão unitário e que
L=0,1H, determine:
a) A expressão temporal da corrente i(t) assumindo que se tem condições iniciais nulas.
b) Obtenha o valor do tempo de estabelecimento para um critério de 5%.
c) Qual o valor limite de R para se obter um tempo de estabelecimento inferior a 5 ms.
I
Vi
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4. Para o sistema eléctrico representado, considere C = 1µF e R 1 = 10KΩ :
a) Determine a função de transferência G ( s) =
Vo( s)
.
Vi ( s)
b) Obtenha e represente graficamente vo(t) quando vi(t) é um escalão de amplitude 5 Volt para
R2 = 1KΩ e para R2 = 10KΩ . Para tal assuma que o AMPOP tem comportamento ideal e que o
condensador se encontra inicialmente descarregado.
5. Admitindo que o sistema representado permite o ajuste dos coeficientes K e T, obtenha:
a) O valor destes coeficientes para que na resposta a um escalão de amplitude unitária se tenha
uma sobrelevação de 25,4% e um tempo de pico igual a 3 s.
b) O valor dos coeficientes para se obter amortecimento crítico.
R(s)
+-
C(s
K
s(Ts + 1)
6. Considere o sistema representado na figura:
a) Represente o mapa de pólos e zeros.
b) Obtenha y(t) para uma entrada escalão de amplitude unitária.
c) Obtenha y(t) para uma entrada igual a uma rampa de declive unitário.
X(s)
1
2
s + 3s + 2
Y(s)
7. Para o sistema representado e considerando K>0, obtenha:
a) A resposta y(t) a uma entrada x(t) igual ao escalão unitário.
b) A resposta y(t) a uma entrada x(t) igual a uma rampa de declive unitário.
X(s)
+-
K
8. Para o circuito abaixo representado, obtenha:
1
s( s + 2)
Y(s)
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a) A expressão temporal que relaciona a tensão no condensador com a corrente aplicada.
b) Obtenha a função de transferência G ( s ) =
Vc( s )
.
I ( s)
c) A evolução temporal da tensão vc(t) quando a corrente aplicada é um escalão de amplitude
unitária, e se tem R = 2
L
C
il
ic
- Fonte de corrente
vc
9. Considere um sistema físico com a seguinte função de transferência:
G ( s) =
s 3 + 12s 2 + 26s + 21
( 0,5s + 1,5)( s 2 + 8s + 7)
Determine a evolução temporal da resposta do sistema quando se aplica na entrada um escalão de
amplitude unitária.
10. Considere a seguinte função de transferência:
G ( s) =
100( s + 1)
( s + 5)( s 2 + 11s + 10)
a) Determine o valor da saída em regime estacionário quando na entrada se aplica um escalão de
amplitude unitária.
b) Obtenha a evolução do sinal de saída, y(t) para t ≥ 0 , e confirme o resultado obtido na alinea
anterior.
11. Esboce o andamento da saída de um sistema quando na entrada é aplicado um escalão de
amplitude unitária. Admita que a função de transferência é dada por:
G ( s) =
1
( s + 3)( s + 101 s + 100)
2
12. Para o sistema representado na figura obtenha a evolução temporal do sinal c(t), quando r(t) é
um escalão de amplitude unitária, para os seguintes valores de K.
a) K=1.
b) K=10.
R(s)
+-
s+1
K
s2
C(s)
13. Considere um sistema automático representado pelo seguinte diagrama de blocos:
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R(S) +
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1
S2
K1
-
C(S)
1+ S K2
a) Obtenha, K1 e K2 para que na resposta ao salto unitário se tenha:
•
S% = 25%;
•
Tp = 2 s.
b) Qual o tempo de estabelecimento para um critério de 5% ?
c) Esboce a curva da resposta assinalando os pontos notáveis.
d) Represente no plano complexo a posição dos pólos.
e) Mantendo a frequência natural não amortecida, ωn, constante , altere K1 e K2 para que os pólos
da função de transferência em cadeia fechada sejam coincidentes.
f)
Como evoluem os pólos quando K2 vai de zero a + ∞ ? Como evolui a resposta ?
14. Considerando um sistema de retroacção unitária cuja função de transferência em cadeia aberta é
dada por G ( s) =
0,4s + 1
, determine a sua resposta a um escalão unitário.
s( s + 0,6)
15. Para o sistema representado na figura determine os valores de K e KH de modo a que a sobreelevação a uma entrada escalão unitário seja 20% e o tempo de pico seja 1 segundo. Para os
valores de K e KH obtidos determine o tempo de subida e de estabelecimento.
R(s)
+-
K
s( s + 1)
C(s
1+ KH s
16. Considere um sistema físico com a seguinte função de transferência:
G ( s) =
20( s + 2)
( s + 19
. )( s 2 + 4 s + 16)
a) Represente o diagrama de pólos e zeros.
b) Usando a noção de pólos dominantes, obtenha a resposta temporal para uma entrada salto
unitário. Esboce o gráfico da resposta.
17. Um sistema é dado pelo seguinte diagrama de pólos e zeros e pelo seu ganho em regime
estacionário:
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j
Go = 2.1
j
-10
-2.1 -2
-1
-j
a) Escreva a sua função de transferência.
b) Simplifique fazendo uma aproximação por pólos dominantes.
c) Esboce a resposta temporal para uma entrada salto unitário.
Soluções:
1.
a) c( t ) = 2(1 − e
c) Go = 2
d) e(t) = e
2.
a)
− t /4
−t /4
,t ≥ 0
)
, E(∞) = 0
t

1
 vi (t ) = Ri (t ) + ∫ i (φ)dφ + vco
C0


 v (t ) = v (t ) − Ri (t )
i
 o

b) v o ( t ) = E (1 − e
c) vo (t ) = E (1 −
−
t
RC
)
t
−
RC
2e
)
(t ≥ 0)
(t ≥ 0)
3.
Rt
−
1
(1 − e L )
a) i ( t ) =
R
L
b) t s = ln( 20)
R
c) R ≅ 60Ω
4.
(t ≥ 0)
Re
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a)
G ( s) = −
30
R2 R1
1 + R2 Cs
1

−10 3 t
)
vo ( t ) = − (1 − e
2
b) 
v ( t ) = −5(1 − e−102 t )
 o
R 2 = 1KΩ
R 2 = 10KΩ
5.
K = 1,425

T = 1,096
1
b) T =
4K
a)
6.
1
1
− e − t + e −2 t (t ≥ 0)
2
2
1
3
1 −2 t
−t
c) y ( t ) = t − + e − e
(t ≥ 0)
2
4
4
b)
7.
y(t ) =
 s1,2 = −1 ± j K − 1

 s1,2 = −1 ± 1 − K
K >1
0< K≤1
a)
 1

1
1
y(t ) = K
+
e− s 2 t +
e− s1t 
s1 ( s1 + s2 )
 s1s2 s2 ( s2 − s1 )

b)

1
1
1
(s − s ) 
y(t ) = K 2
e− s1t + 2
e− s 2 t +
t − 1 22 
s2 ( s1 − s2 )
s1s2
( s1s2 ) 
 s1 ( s2 − s1 )
8.
d 2 vc ( t )
dv ( t )
di ( t )
a) vc ( t ) + LC
+ RC c
= Ri ( t ) + L
2
dt
dt
dt
R
s+
1
L
b) G ( s ) =
C s2 + R s + 1
L
LC
t 

−
1
LC


c) v c (t ) =
2 LC − (t + 2 LC )e
(t ≥ 0)
C

9.
y ( t ) = 2 − e − t + 2 e −3 t − e − 7 t
10.
a)
y f (t ) = 2
b)
y ( t ) = 2 − 4 e−5t + 2e−10t (t ≥ 0)
11.
(t ≥ 0)
(t ≥ 0)
(t ≥ 0)
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
y(t ) =

ou

y(t ) =

1
1 −t
1 −3 t
1
−
e +
e −
e −100t (t ≥ 0)
300 198
582
960300
1
1 −t
1 −3 t
(t ≥ 0)
−
e +
e
300 200
600
12.
t

2 −2  3
a) c( t ) = 1 +
e sen
t − 60
3
 2

b)
13.
a)
b)
d)
e)
f)
c( t ) = 1 + 0,1455e(
(t ≥ 0)
−5 −
) − 11455
,
e(
−5+ 15 t
)
15 t
(t ≥ 0)
K1 = 2.95
K2 = 0.47
Ts5% = 4.4 s
S1,2 = − 0.7 ± 1.57 j
K1 = 2.95
K2 = 1.165
K2 = 0 ⇒ S1,2 = ± 1.72 j
K2 = 1.165 ⇒ S1,2 = − 1.72
S1 → −∞
K 2 → +∞ ⇒ 
 S2 → 0
14. c( t ) = 1 + 1,006e
−
t
2
 3

sen
t + 263,4º
 2

15.
 K = 12,46
 K = 0,178
 H

tr = 0,65s
t s = 1,86s
16.
b) C(t) = 1.3 − 1.5 e-2t sen (3.46 t + π /3) , t ≥0
Tr = 0.61 s
Tp = 0.91 s
Ts5% = 1.5 s
S% = 16.2% ⇒ S = 0.21.
17.
40 ( S + 2.1)
( S + 10)( S + 2)( S 2 + 2 S + 2)
4.2
b) G1 ( S ) =
2
( S + 2 S + 2)
a) G ( S ) =
c) C(t) = 2.1 − 2.97 e-t sen ( t + π /4) , t ≥ 0
Tr = 2.36 s
Tp = 3.14 s
Ts5% = 3 s
S% = 4.3% ⇒ S = 0.09.
(t ≥ 0)
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