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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
Modelos Tipo Chern-Simons para Descrição
de Fronteiras Materiais
Helder Luiz de Oliveira
Itajubá, fevereiro de 2016
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
Helder Luiz de Oliveira
Modelos Tipo Chern-Simons para Descrição
de Fronteiras Materiais
Dissertação
submetida
ao
Programa
de
Pós-
Graduação em Física como parte dos requisitos
para obtenção do Título de Mestre em Ciências
em Física.
Área de Concentração:
Teoria Quântica de
Campos.
Orientador:
Fabrício Augusto Barone Rangel
Fevereiro de 2016
Itajubá - MG
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÌSICA
Helder Luiz de Oliveira
Modelos Tipo Chern-Simons para
Descrição de Fronteiras Materiais
Dissertação aprovada por banca examinadora em
29 de fevereiro de 2016, conferindo ao autor o título
de
Mestre em Ciências em Física.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Fabrício Augusto Barone Rangel (Orientador)
Prof. Dr. Gabriel Flores Hidálgo
Prof. Dr. Alexis Roa Aguirre
Prof. Dr. Denis Dalmazi
Itajubá-MG
2016
Agradecimentos
Primeiramente a Deus por me oferecer o sufuciente para não desanimar.
Aos meus pais Luiz e Silvana que forneceram as condições necessárias para que eu
pudesse ser quem sou.
À minha irmã e amiga que está sempre ao meu lado para qualquer batalha.
À minha namorada e amiga Cláudia que sempre me inspirou ser uma pessoa cada
vez melhor.
Aos meus colegas Rodrigo, Mateus, Caio e Marlon pelas discussões e apoio.
À todos os professores que contribuiram para minha formação, em especial ao meu
orientador Fabricio Augusto Barone Rangel que me mostrou que ser professor é
aquele que realmente acredita nos alunos.
À CAPES pelo apoio nanceiro
Milagres acontecem quando a gente vai à luta.
Fernando Antinelli
Sumário
1 Introdução
4
2 Lagrangeana composta de um campo
8
2.1
Propagador da teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Interação carga-superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3
Equações de movimento
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Lagrangeana com dois campos
19
3.1
Lagrangeana Efetiva
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.2
Propagador da teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.3
Interação carga-superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4 Conclusões e Perspectivas
39
A Cálculo do propagador de Maxwell
41
B Cálculo do propagador de Chern-Simons
43
C Cálculo da integral U
45
Referências Bibliográcas
46
2
Sumário
Resumo
O estudo de potenciais concentrados ao longo de superfícies é um tema útil em
Teoria de Campos, pois pode ser empregado na descrição de fronteiras materiais, no
caso do campo eletromagnético, por exemplo.
Nesse trabalho iniciamos um estudo a respeito da utilização de potenciais concentrados ao longo de fronteiras com acoplamentos tipo Chern-Simons. Em especíco,
tomamos potenciais tipo delta de Dirac. Até o presente momento, esse tipo de potencial nunca foi explorado na literatura. Pretendemos vericar se podemos utilizar
tais modelos na descrição de fronteiras materiais.
Consideramos dois modelos. O primeiro deles pode ser visto como uma modicação do modelo de Field-Carrol-Jackiw, onde o termo tipo Chern-Simons é denido
apenas sob uma superfície. O segundo modelo é composto por dois campos, um de
Maxwell e outro de Chern-Simons, sendo esse último denido apenas ao longo de
uma superfície.
Para ambos os modelos, calculamos o propagador e as equações de movimento.
Uma vez que estamos lidando com lagrangeanas quadráticas, os respectivos propagadores foram calculados exatamente. Sempre que possível consideramos a constante
de acoplamento entre o campo e o potencial tendendo a innito, de modo a vericar se recuperamos a condição de um condutor perfeito. Também para ambos os
modelos obtivemos a interação entre a superfície e uma carga pontual.
Para o segundo modelo (o que envolve dois campos), obtivemos a lagrangeana
efetiva para o campo eletromagnético.
Nós restringimos sempre ao caso de uma superfície plana innita.
Palavras-chave:
Chern-Simons, Fronteiras materiais, propagador, energia de
interação, equações de movimento
3
Sumário
Abstract
The study of potentials concentrated along surfaces is an useful subject in Field
Theory, because these kind of models can be used to descrbe material frontiers, in
the case of electromagnetic eld, for instance.
In this paper we initiate a study
about the using of potentials concentrated along frontiers with Chern-Simons couplings.
Specically, we take Dirac delta potentials.
As far as the authors know,
until this moment, this type of potential had never been explored on literature. We
intended to verify if it is possible to use such models for the description of material
boundaries. We consider two models. The rst one can be seen as a modication
of Field-Carrol-Jackiw model, where the Chern-Simons term is dened just along a
surface. The second model is composed by two elds, a Maxwell eld and a ChernSimons one (the last one is dened just along the surface).
For both models, we
calculate the corresponding propagators and dynamical equations. Once we are working with quadratic lagrangians, the respective propagators were calculated exactly.
We considered the coupling constant between the eld and potential tending to innite in order to verify if the condition of a perfect conductor is recovered in this
limit. For both models we obtained the interaction between the surface and a pointlike charge. For the second model (involving two elds), we obtained the eective
lagrangian for the electromagnetic eld. We always have been restricted to the case
of an innite plane surface.
Keywords:
Chern-Simons, Material Frontiers, propagator, interaction energy,
dynamical equations
CAPÍTULO 1
Introdução
Um fato bem conhecido da Teoria de Campos é a presença de fronteiras materiais
que pode ocasionar o surgimento de fenômenos físicos interessantes. Podemos citar
como exemplo a interação entre superfícies materiais e cargas elétricas [1, 2, 3], a
interação entre átomos e fronteiras materiais [13, 14, 15, 16, 17], o efeito Casimir [4,
5, 6, 7, 8], o efeito Scharnhorst [19, 20, 21], etc. Nesse contexto, torna-se importante
a descrição de fronteiras materiais em teorias de campos, o que sempre se demonstrou
ser uma tarefa tão importante quanto difícil sob diversos aspectos. Para esse m,
temos que ter em mente, em primeiro lugar, que um meio material é um sistema
composto de diversos átomos, e uma descrição deste por meio de uma teoria de
campos será sempre por meio de um modelo efetivo.
O sistema mais conhecido em Teoria de Campos com a presença de uma superfície
material é aquele composto pelo campo eletromagnético e uma superfície plana
innita perfeitamente condutora. Nesse caso o campo eletromagnético é submetido
as condições de contorno especícas impostas pelo condutor. Esse tipo de abordagem
já foi empregado para diversos tipos de campos [6, 9, 10, 11, 12], além do campo de
Maxwell [2, 3].
Uma abordagem interessante, e mais geral, utilizada em teorias de campos com a
presença de superfícies materiais é a proposta de modelos onde campos se acoplam
com potenciais externos espacialmente localizados.
A presença de tais materiais
seria, então, simulada pelos potencias que teriam o papel de alterar os modos dos
campos. Esses modelos exibem parâmetros (geralmente a constante de acoplamento
entre os campos e o potencial) que podem ser ajustados convenientemente.
Em
diversas situações, para certos valores de tais parâmetros, recuperamos os casos
5
especiais onde os campos são submetidos as condições de contorno.
Como exemplo, vamos considerar o modelo proposto na referência [2].
Nesse
caso, o campo eletromagnético é acoplado com um potencial tipo delta de Dirac,
concentrado ao longo de um plano innito. Tomando um sistema de coordenadas
onde esse plano é dado por
+, −, −, −,
x 3 = a,
o sistema de unidades naturais e a métrica
a lagrangeana do modelo é
1
1
1 1 µ
L = − (F )2 − (∂A)2 −
S µναβ F αβ
4
2ξ
m 2
onde
ξ
é um termo de calibre,
normal à superfície
J
!2
δ(x3 − a) − JA ,
é uma corrente externa,
µ
a = (0, 0, a), A
é o campo vetorial com
sendo o correspondente tensor intensidade de campo e
tensor. O parâmetro
S γ = η γ3
F
µν
(1.1)
é o quadrivetor
= ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
Feµν = 12 µναβ F αβ
o dual deste
m ≥ 0 tem dimensão de massa e nos dá o grau de transparência
da superfície, como será visto.
Os tensores de permissividade elétrica e permeabilidade magnética do modelo
(1.1) são dados, respectivamente, por
2
2
δ(x3 − a)(δ i1 δ j1 + δ i2 δ j2 ) , (µ−1 )ij = δ ij + δ(x3 − a)(δ i3 δ j3 )(1.2)
m
m
ij = δ ij +
e as equações de Euler-Lagrange fornecem
i
2
δ(x3 − a)Ek = J0 ,
m
i
i
h
∂h
2
2
E + δ(x3 − a)Ek .
∇ × B + δ(x3 − a)B⊥ = J +
m
∂t
m
∇·
E+
h
onde denimos os vetores paralelos e perpendiculares à superfície,
B⊥ = (0, 0, B 3 ).
(1.3)
Ek = (E 1 , E 2 , 0),
Usando as equações (1.2) temos que
Di =
X
ij E j ⇒ D = E +
j
2
δ(x3 − a)Ek ,
m
X
2
Hi =
(µ−1 )ij B j ⇒ H = B + δ(x3 − a)B⊥ ,
m
j
(1.4)
e as equações de Maxwell (1.3) se tornam
∇ · D = J0 , ∇ × H = J +
∂D
∂t
Pelas denições dos vetores de polarização e de magnetização,
H = B − M,
P=
(1.5)
D = E+P
e
respectivamente, e pela equação (1.4) vemos que
2
2
δ(x3 − a)Ek , M = − δ(x3 − a)B⊥ ,
m
m
(1.6)
6
Capítulo 1. Introdução
o que mostra que o potencial
δ
equivale a uma descontinuidade nos vetores de
polarização e magnetização denidos na placa.
Apesar dos vetores (1.6) exibirem descontinuidades, o propagador do modelo pode
ser calculado para todo o espaço. Tomando o calibre onde
(ξ = 1)
na lagrangeana
em (1.1), e efetuando integrações por partes, temos
1
2
µ ν
µν
3
µν
L = Aµ η +
δ(x − a)(η k − ∂k ∂k ) Aν − J µ Aµ ,
2
m
onde denimos
(1.7)
k = ∂kα ∂k α .
O propagador do modelo é a inversa do operador diferencial da equação (1.7) no
sentido que
2
µ ν
3
µν
η +
δ(x − a)(η k − ∂k ∂k ) Gνλ (x, y) = η µλ δ 4 (x − y) .
m
µν
(1.8)
Pode-se mostrar que a inversa do operador diferencial da equação (1.7) é [2]
Z
Gµν (x, y) =
d3 pk
(2π)3
"
3
3
3
e−σ|x −y | 1 e−σ(|x −a|+|y
ηµν
−
2σ
2
m+σ
3 −a|)
ηk µν −
pk µ pk ν
!#
p2k
×e−ipk (xk −yk ) (. 1.9)
onde denimos
ηk µν = η µν + η µ3 η ν3 , pγk = (p0 , p1 , p2 , 0)
e
σ=
q
−p2k .
O propagador (1.9) é contínuo e bem denido em todo o espaço. No limite em
que
m = 0, o propagador (1.9) se reduz àquele obtido para uma placa perfeitamente
condutora [8]. O primeiro termo do lado direito de (1.9) é o propagador do fóton
sem a presença da superfície. O segundo termo é uma correção dependente não só
da distância entre os pontos, mas também da localização da placa. Essa anisotropia
nos impede de ter uma transformada de Fourier na coordenada perpendicular à
superfície (coordenada 3).
Se tomarmos uma carga pontual estática de intensidade
q
na frente dessa super-
fície, podemos mostrar que a energia de interação resultante é [3]
Eint (R, m) = −
onde
q2
[1 − 2mRe2mR Ei(1, 2mR)]
16πR
(1.10)
R é a distância entre a superfície e a carga e Ei(u, v) é a função erro exponencial
[31]. No limite em que
m → 0,
obtemos a conhecida interação de Coulomb.
Se considerarmos duas placas paralelas, colocadas nos planos
x3 = 0
e
x 3 = a,
podemos estudar o efeito Casimir para esse tipo de superfície material [3].
No modelo (1.1), o termo de acoplamento entre o potencial delta e o campo envolve a derivada segunda do campo eletromagnético. Uma questão interessante seria
7
investigar se podemos descrever algum tipo de fronteira material com o acoplamento
de um potencial tipo delta com derivada primeira do campo eletromagnético. Essa
é uma questão delicada sob diverso aspectos.
Em primeiro lugar, ao propormos
uma lagrangeana para o campo eletromagnético, temos que levar em conta que essa
deve exibir invariância de calibre. Devemos considerar também o fato de que termos
adicionais a lagrangeana de Maxwell devem existir somente ao longo da superfície
material.
Modelos tipo Chern-Simons têm a interessante característica de exibir invariância
de calibre assim como um pólo massivo para o propagador do campo vetorial. Nesse
tipo de modelo, existe um termo lagrangeano com derivada de primeira ordem no
campo vetorial. Nesse contexto, modelos tipo Cher-Simons são possíveis candidatos
na tentativa de descrever superfícies materiais com modelos que envolvem derivadas
em primeira ordem no campo vetorial.
Esse trabalho tem por objetivo investigar se modelos do tipo Chern-Simons poderiam servir para descrever fronteiras materiais. Para isso propomos dois modelos
lagrangeanos para descrever fronteiras materais, ambos do tipo Chern-Simons. No
primeiro modelo, construimos a lagrangeana com um único campo vetorial e temos
um único parâmetro que descreve as propriedades eletromagnéticas da superfície.
No segundo modelo, temos dois campos vetoriais e dois parâmetros.
Para ambos os modelos, calculamos o propagador e estudamos a interação entre
a fronteira e uma carga pontual. No caso especial onde a constante de acoplamento
e o campo tende a innito, recuperamos o caso especial de um condutor perfeito.
No Capítulo (2) consideramos o primeiro modelo. No Capítulo (3) estudamos o
segundo modelo. O Capítulo (4) é dedicado às concusões e perpectivas.
Ao longo do texto vamos usar unidades naturais e a métrica
+, −, −, −.
CAPÍTULO 2
Lagrangeana composta de um campo
Nesse capítulo vamos propor um modelo onde o campo eletromagnético se acopla
com um potencial tipo delta de Dirac concentrado ao longo de um plano innito.
O termo lagrangeano de acoplamento envolve a derivada em primeira ordem no
campo eletromagnético e caracteriza-se por ter uma estrutura semelhante ao termo
de Chern-Simons. Iremos obter o propagador do modelo e suas equações de movimento e vericar se esse pode ser empregado na descrição de algum meio material.
Adotaremos um sistema de coordenadas no qual a fronteria material está localizada no plano
x 3 = a.
Nesse caso, a lagrangeana para o modelo é dada por
1
1
1
L = − Fµν F µν − Jµ Aµ −
(∂µ Aµ )2 − µv µ µναβ Aν ∂ α Aβ δ(x3 − a)
4
2α
2
onde
α
Aµ
é um campo vetorial,
é um parâmetro de calibre e
Fµν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
v
µ
é o tensor intensidade de campo,
é um quadrivetor perpendicular à superfície,
v µ = η3µ = (0, 0, 0, 1) ,
e
Jµ
é uma corrente externa,
(2.2)
µ
é um parâmetro de acoplamento entre o campo e
o potencial tipo delta de Dirac (que está concentrado ao longo do plano
µναβ
(2.1)
é o tensor de Levi-Civita, com
x3 = a
e
0123 = 1.
O primeiro termo no lado direito em (2.1) é a lagrangeana de Maxwell. O segundo
termo é o acoplamento do campo com a corrente externa. O terceiro termo tem a
mesma estrutura do termo de Chern-Simons, só que nesse caso, ele está denido em
3+1 dimensões e é não nulo somente sob o plano x3 = a.
Podemos ainda interpretá-
lo como sendo um tipo de termo Caroll-Field-Jakiw, mas denido somente sob uma
superfície.
9
2.1. Propagador da teoria
Para investigar o tipo de superfície que podemos descrever com a lagrangeana
(2.1), vamos estudar seu propagador, obter suas equações de Euler-Lagrange e estudar sua interação com uma carga pontual estática.
2.1
Propagador da teoria
Escolhendo o calibre
α = 1,
fazendo algumas integrações por partes e elimando
termos de superfície (que não contribuem para a dinâmica do sistema), podemos
reesecrever a lagrangeana proposta pela equação (2.1) na forma
1
L = Aµ [ηµν ∂λ ∂ λ + µδ(x3 − a)3αµν ∂ α ]Aν − Jµ Aµ .
2
(2.3)
O propagador da teoria é a inversa do operador diferencial que aparece na equação
(2.3), ou seja,
[ηµν ∂λ ∂ λ + µδ(x3 − a)3αµν ∂ α ]Gνσ (x, y) = ηµσ δ 4 (x − y) .
(2.4)
Por conveniência, vamos denir os seguintes operadores diferenciais:
Vµν (x) = ηµν ∂λ ∂ λ + µδ(x3 − a)3αµν ∂ α
V0µν (x) = ηµν ∂λ ∂ λ
∆Vµν (x) = µδ(x3 − a)3αµν ∂ α .
Note que
V0µν (x)
(2.5)
acima citado é o operador diferencial do campo de Maxwell no
calibre de Lorentz. Nesse caso, denimos também o propagador de Maxwell (nesse
calibre) como
σ 4
V0µν (x)Gνσ
0 (x, y) = ηµ δ (x − y)
Vamos vericar que o propagador
νσ
G (x, y) =
Gνσ
0 (x, y)
Z
−
(2.6)
Gνσ (x, y)
satisfaz a equação integral
d4 zGνρ (x, z)∆Vρτ (z)Gτ0 σ (z, y) .
(2.7)
Substituindo (2.7) em (2.4) teremos
νσ
Vµν (x)G (x, y) =
Vµν (x)Gνσ
0 (x, y)
=
Vµν (x)Gνσ
0 (x, y)
Z
− Vµν (x)
Z
−
d4 zGνρ (x, z)∆Vρτ (z)Gτ0 σ (z, y)
d4 zVµν (x)Gνρ (x, z)∆Vρτ (z)Gτ0 σ (z, y) .
(2.8)
10
Capítulo 2. Lagrangeana composta de um campo
A atuação do operador
Vµν (x)
em
Gνρ (x, z)
é obtida pelas equações (2.4) e (2.5),
portanto
νσ
Vµν (x)G (x, y) =
Vµν (x)Gνσ
0 (x, y)
Z
−
d4 zηµρ δ 4 (x − z)∆Vρτ (z)Gτ0 σ (z, y)
τσ
= Vµν (x)Gνσ
0 (x, y) − ∆Vµτ (x)G0 (x, y)
σ 4
= V0µν (x)Gνσ
0 (x, y) = ηµ δ (x − y)
onde na segunda linha integramos em
d4 z
(2.9)
e nas terceira e quarta linhas usamos as
denições (2.5). Isso demonstra a validade da equação (2.7).
Iremos procurar por uma solução em integral de Fourier para o propagador. O
operador diferencial em (2.4) exibe simetria de translação nas coordenadas paralelas
x3 = a. Dessa forma, vamos procurar por
Z 3
d pk νσ
µν
G (x, y) =
G̃ (pk ; x3 , y 3 )e−ipk (xk −yk ) ,
(2π)3
à superfície
onde
pk = (p0 , p1 , p2 , 0), xk = (x0 , x1 , x2 , 0).
uma solução na forma
(2.10)
Da mesma forma, vamos escrever o
propagador do campo de Maxwell como a integral de Fourier
Gµν
0 (x, y)
Z
=
d3 pk νσ
G̃0 (pk ; x3 , y 3 )e−ipk (xk −yk ) ,
3
(2π)
(2.11)
de acordo com o apêndice (A).
Substituindo (2.10) e (2.11) em (2.7) temos que
Z
Z 3
d3 pk νσ
d pk νσ
3 3 −ipk (xk −yk )
G̃ (pk ; x , y )e
=
G̃ (pk ; x3 , y 3 )e−ipk (xk −yk )
3
(2π)
(2π)3 0
Z
Z 3
d pk νρ
4
G̃ (pk ; x3 , z 3 )e−ipk (xk −zk ) ∆Vρτ (z)
− dz
3
(2π)
Z 3
d qk τ σ
×
G̃ (qk ; z 3 , y 3 )e−iqk (zk −yk ) .
(2π)3 0
(2.12)
∆Vρτ (z), denido em (2.5), e integrando em dz 3 obtemos
Z 3
Z 3
d pk νσ
d pk νσ
3 3 −ipk (xk −yk )
G̃ (pk ; x , y )e
=
G̃ (pk ; x3 , y 3 )e−ipk (xk −yk )
3
(2π)
(2π)3 0
Z
Z 3
d pk νρ
3
− d zk
G̃ (pk ; x3 , a)e−ipk (xk −zk )
(2π)3
Z 3
d qk τ σ
×
G̃0 (qk ; a, y 3 )[µ3αρτ (−iqkα )]e−iqk (zk −yk ) . (2.13)
3
(2π)
Atuando com o operador
11
2.1. Propagador da teoria
d3 zk ,
Integramos agora em
Z
d3 pk νσ
G̃ (pk ; x3 , y 3 )e−ipk (xk −yk ) =
(2π)3
Z
×
Z
d3 pk νσ
G̃ (pk ; x3 , y 3 )e−ipk (xk −yk )
(2π)3 0
"Z
d3 pk νρ
−
G̃ (pk ; x3 , a)e−ipk xk
3
(2π)
#
d3 qk τ σ
G̃0 (qk ; a, y 3 )[µ3αρτ (−iqkα )]eiqk yk (2π)3 δ(qk − pk ) .
3
(2π)
Por m, integramos em
d3 q k ,
o que fornece
Z
Z
(2.14)
d3 pk νσ
G̃ (pk ; x3 , y 3 )e−ipk (xk −yk ) =
(2π)3
#
"
d3 pk
−ipk (xk −yk )
3 3
νρ
3
α
τσ
3
.
G̃νσ
0 (pk ; x , y ) + iµG̃ (pk ; x , a)[3αρτ pk ]G̃0 (pk ; a, y ) e
3
(2π)
(2.15)
Se as duas integrais de Fourier acima são iguais, os integrandos também devem
ser iguais, ou seja,
3 3
νρ
3
α τσ
3
G̃νσ (pk ; x3 , y 3 ) = G̃νσ
0 (pk ; x , y ) + iµG̃ (pk ; x , a)3αρτ pk G̃0 (pk ; a, y ) .
É importante ter em mente que
G̃τ0 σ (pk ; x3 , y 3 )
(2.16)
é conhecido, dado pela transfor-
mada do propagador de Maxwell no calibre de Lorentz.
A equação acima fornece a transformada da função de Green,
função de
G̃νρ (pk ; x3 , a).
Tomando então
y 3 = a,
G̃νσ (pk ; x3 , y 3 ),
Note que (2.16) é válida para quaisquer valores de
x3
e
em
y3.
obtemos
3
νρ
3
α τσ
G̃νσ (pk ; x3 , a) = G̃νσ
0 (pk ; x , a) + iµG̃ (pk ; x , a)3αρτ pk G̃0 (pk ; a, a)
3
νσ
3
νρ
3
α τσ
⇒ G̃νσ
0 (pk ; x , a) = G̃ (pk ; x , a) − iµG̃ (pk ; x , a)3αρτ pk G̃0 (pk ; a, a)
3
νρ
3
σ
α τσ
⇒ G̃νσ
0 (pk ; x , a) = G̃ (pk ; x , a)[ηρ − iµ3αρτ pk G̃0 (pk ; a, a)] .
(2.17)
Por conveniência, denimos a matriz
Mσρ = ηρσ − iµ3αρτ pαk G̃τ0 σ (pk ; a, a)
(2.18)
e sua inversa
Mσρ (Mγσ )−1 = ηργ ,
(2.19)
12
Capítulo 2. Lagrangeana composta de um campo
de modo a manipular a última linha da equação (2.17) como segue,
3
νρ
3
σ
G̃νσ
0 (pk ; x , a) = G̃ (pk ; x , a)Mρ
3
γ −1
⇒ G̃νσ
= G̃νρ (pk ; x3 , a)Mσρ (Mγσ )−1
0 (pk ; x , a)(Mσ )
3
γ −1
⇒ G̃νγ (pk ; x3 , a) = G̃νσ
0 (pk ; x , a)(Mσ )
3
ρ −1
⇒ G̃νρ (pk ; x3 , a) = G̃νσ
.
0 (pk ; x , a)(Mσ )
(2.20)
Substituindo a última linha da equação acima no segundo termo do lado direito
da equação (2.16), temos nalmente
ρ −1
3 3
νλ
3
α τσ
3
G̃νσ (pk ; x3 , y 3 ) = G̃νσ
0 (pk ; x , y ) + iµG̃0 (pk ; x , a)(Mλ ) 3αρτ pk G̃0 (pk ; a, y ) .
(2.21)
Na equação acima, que nos fornece
ção
3 3
G̃νσ
0 (pk ; x , y ).
G̃νσ (pk ; x3 , y 3 ),
temos como conhecido a fun-
Devemos então encontrar a inversa de (2.18),
(Mρσ )−1 ,
para
obter o propagador sob a presença da superfície.
A transformada do propagador de Maxwell,
3 3
G̃νσ
0 (pk ; x , y ),
é calculada no apên-
dice (A),
η νσ
−
= q
e
2 −p2k
q
3 3
G̃νσ
0 (pk ; x , y )
−p2k |x3 −y 3 |
Inserindo o resultado (2.22), com
.
x 3 = y 3 = a,
(2.22)
na denição (2.18) temos que
1
Mσρ = ηρσ − iµ3αρ σ pαk q
.
2 −p2k
Para calcularmos
(Mγσ )−1
usaremos o seguinte ansatz
γ
(Mγσ )−1 = Rησγ + V ηkσ
+ Spkσ pγk + U γ3λσ pλk ,
onde
R, V , S
e
U
(2.23)
(2.24)
pk a serem determinadas e usamos a denição
µ ν
η 3 η 3 (note que se µ = 3 e/ou ν = 3, temos que
são funções de
µν
da métrica paralela ηk
ηk3ν = ηkµ3 = ηk33 = 0).
=η
µν
−
Substituindo (2.24) e (2.23) em (2.19), e efetuando algumas manipulações simples, obtemos o seguinte sistema de equações:
ηργ R = ηργ
13
2.1. Propagador da teoria


iµ
γ 
p2k U  = 0
ηkρ
V + q
2
2 −pk


iµ
pkρ pγk S − q
U = 0
2
2 −pk


iµ
3λρ γ pλk U − q
(V + R) = 0 .
2
2 −pk
(2.25)
Resolvendo o sistema (2.25) encontramos
R = 1
V
= −
µ2
4 + µ2
µ2
p2k (4 + µ2 )
S =
2iµ
U = q
.
−p2k (4 + µ2 )
(2.26)
Substituindo os coecientes (2.26) em (2.24), temos a inversa da matriz
(Mγσ )−1 = ησγ −
µ2
2iµ
µ2
γ
γ
q
η
+
p
p
+
3λσγ pλk
kσ
kσ
k
2
2
4 + µ2
pk (4 + µ2 )
−pk (4 + µ2 )
M,
(2.27)
Substituindo (2.22) e (2.27) em (2.20), somos levados ao resultado
G̃νγ (pk ; x3 , a) =

× η νγ −
e
q
− −p2k |x3 −a|
q
2 −p2k
2

2
µ
µ
2iµ
ηkνγ + 2
3λ νγ pλk  .
pνk pγk + q
2
2
4+µ
pk (4 + µ )
−p2k (4 + µ2 )
(2.28)
Agora basta substituir (2.28) na equação (2.16) para encontrar o propagador do
campo vetorial com a presença da superfície
η νσ
− −p2k |x3 −y 3 |
G̃νσ (pk ; x3 , y 3 ) = q
e
2 −p2k

!
ν σ
p
p
4  µ2
iµ
k
k
q
−
ηkνσ − 2
+ 2 3α
2
4 + µ 8 −p2
pk
pk
q
k

νσ α  −
pk e
q
−p2k (|x3 −a|+|y 3 −a|)
(2.29)
14
Capítulo 2. Lagrangeana composta de um campo
µ
Ao tomarmos o limite da constante de acoplamento
tendendo a innito, po-
demos mostrar que a transformada de Fourier do propagador (2.29) se reduz à
transformada de Fourier do propagador do campo eletromagnético com a presença
de uma placa perfeitamente condutora,
q
η νσ
− −p2k |x3 −y 3 |
νσ
3 3
lim G̃ (pk ; x , y ) = q
e
µ→∞
2 −p2k
1
− q
2 −p2k
ou seja, o limite
µ→∞
ηkνσ
−
pνk pσk
!
e
p2k
q
− −p2k (|x3 −a|+|y 3 −a|)
,
(2.30)
corresponde ao caso de um condutor perfeito.
O propagador é dado pela integral (2.10) com a função (2.29),
Z 3
q
d pk η νσ
− −p2k |x3 −y 3 | −ipk (xk −yk )
µν
q
e
(2π)3 2 −p2
k
G (x, y) =
e

3
2
d pk
4  µ
q
−
3
(2π)
4 + µ2 8 −p2
k
Z
+
×e
ηkνσ −
pνk pσk
p2k

!
+
iµ
p2k 3α
νσ α 
pk
q
− −p2k (|x3 −a|+|y 3 −a|) −ipk (xk −yk )
e
(2.31)
O primeiro termo do lado direito da equação (2.31) é o propagador do campo
eletromagnético no calibre de Lorentz sem a presença da placa,
Gµν
(0) (x, y).
O segundo
termo é uma correção dada pela presença da fronteira. Vamos denir essa correção
por
∆Gµν (x, y) =
Z
3

2
d pk
4  µ
q
−
3
(2π)
4 + µ2 8 −p2
k
×e
ηkνσ −
pνk pσk
p2k

!
+
iµ
p2k 3α
νσ α 
pk
q
− −p2k (|x3 −a|+|y 3 −a|) −ipk (xk −yk )
e
(, 2.32)
e escrever o propagador (2.31) na forma compacta
µν
Gµν (x, y) = Gµν
(0) (x, y) + ∆G (x, y)
(2.33)
De posse do propagador (2.33) podemos, encontrar algumas quantidades físicas
do sistema, clássica ou quântica.
2.2
Interação carga-superfície
Para termos uma idéia melhor do papel desempenhado pela superfície descrita
pelo modelo (2.1), vamos estudar nessa seção como se dá a interação dessa superfície
com uma carga pontual estacionária.
15
2.2. Interação carga-superfície
Dado o fato de que a lagrangeana (2.3) é quadrática no campo, o funcional
gerador da função de Green é dado por
i
Z[J] = Z[0] exp −
2
Z
!
d4 xd4 yJ µ (x)Gµν (x, y)J ν (y)
,
onde o intervalo de integração temporal deve ser tomado de
implícito o limite
T →∞
(2.34)
−T /2
até
T /2,
cando
ao nal dos cálculos.
Um fato bem conhecido da literatura [28], é que o funcional gerador se relaciona
com a energia de vácuo do campo,
E0 , (menor valor de energia do campo) da seguinte
forma
Z = e−iE0 T ,
(2.35)
onde está implícito o limite
T → ∞.
Combinando as equações (2.34) e (2.35) temos
1
i
E0 = ln(Z[0]) +
T
2T
Z
d4 xd4 yJ µ (x)Gµν (x, y)J ν (y) .
(2.36)
O primeiro termo do lado direito de (2.36) é a contribuição de energia de vácuo
livre, ou seja, sem a presença de fontes externas (J
µ
= 0).
Esse termo tem relevância
no cálculo do efeito Casimir. O segundo termo do lado direito é uma contribuição da
fonte externa [28, 29, 30] e é com ele que vamos obter a interação entre a superfície
e a carga pontual
Ef ontes
1
=
2T
Z
d4 xd4 yJ µ (x)Gµν (x, y)J ν (y) .
(2.37)
Substituindo o propagador (2.33) na equação (2.37) temos que
Ef ontes
1
=
2T
Z
4
d xd
4
yJµ (x)Gµν
(0) (x, y)Jν (y)+
1
2T
Z
d4 xd4 yJµ (x)∆Gµν (x, y)Jν (y) .
(2.38)
O primeiro termo do lado direito da equação (2.38) é uma contribuição que
existiria mesmo sem a presença da superfície.
Ele não dependerá da posição da
superfície e será descartado daqui por diante. O segundo termo é uma contribuição
para a energia oriunda da interação entre a fonte e a superfície. É nesse termo que
estamos interessados e vamos deni-lo por
Eint
1
=
2T
Z
d4 xd4 yJ µ (x)∆Gµν (x, y)J ν (y) .
(2.39)
16
Capítulo 2. Lagrangeana composta de um campo
Agora iremos especicar a corrente de acordo com os nossos propósitos.
carga pontual estacionária, de intensidade
λ
e localizada no ponto
~b
Uma
é descrita por
uma quadricorrente
~
J (x) = λδ (~x − b), 0, 0, 0 = λη µ0 δ 3 (~x − ~b)
µ
3
(2.40)
Substituindo (2.40) em (2.39) obtemos
Eint
1
=
2T
Z
d4 xd4 yλη µ0 δ 3 (~x − ~b)∆Gµν (x, y)λη ν0 δ 3 (~y − ~b)
1
=
2T
Z
d4 xd4 yλ2 δ 3 (~x − ~b)δ 3 (~y − ~b)∆G00 (x, y) .
(2.41)
Agora usamos a denição (2.32) em (2.41),
d3 pk 0 0 3 3 3
d xd yd ~xd ~y δ (~x − ~b)δ 3 (~y − ~b)
(2π)3

! q
2
2
4  µ
p0  − −p2k (|x3 −a|+|y3 −a|) −ipk (xk −yk )
q
−
e
.(2.42)
1
−
e
4 + µ2 8 −p2
p2k
λ2
=
2T
Eint
Z
k
dx3 e dy 3 temos que
Z 3
d pk 0 0 2
λ2
d xd yd ~xk d2 ~yk δ 2 (~x − ~b)δ 2 (~y − ~b)
=
2T
(2π)3

!
q
2
2
4  µ
p0  −2 −p2k |b3 −a| −ipk (xk −yk )
q
−
e
,
1− 2
e
4 + µ2 8 −p2
pk
Integrando em
Eint
(2.43)
k
~xk = (x1 , x2 , 0)
onde denimos
mente em
d2~x
e
~yk = (x1 , x2 , 0).
Podemos também integrar facil-
d2 ~y ,
Z 3
d pk 0 0
λ2
=
d xd y
2T
(2π)3

!
q
2
2
4  µ
p0  −2 −p2k |b3 −a| −ip0 (x0 −y0 )
q
−
1− 2
e
e
4 + µ2 8 −p2
pk
Eint
e
(2.44)
k
Agora integramos em
x0
e usamos o fato de que
R
dx0 e−ip
0 x0
= (2π)δ(p0 ),
o que
nos fornece
2
Eint
λ
=
2T
Z
3

2
d pk 0
4  µ
q
d y−
3
(2π)
4 + µ2 8 −p2
k
1−
p20
p2k
!
q
−2 −p2k |b3 −a|
e
(2π)δ(p0 )eip
0 y0
.
(2.45)
17
2.3. Equações de movimento
dp0
A integração em
resulta em


Z T /2
Z 2
q
2
d p~k
4  µ  −2 p~2k |b3 −a|
λ
0
q
e
dy
,
= −
2T T /2
(2π)2 4 + µ2 8 p~2
k
2
Eint
onde separamos a integral em
Usando o fato de que
R T /2
T /2
dy 0 ,
pois o integrando não depende de
d0 y = T
(2.46)
y0.
e identicando a distância entre a superfície
e a carga como
R = |b3 − a| ,
(2.47)
temos que
2
Eint = −
λ
2
Z

2
2

d p~k
1  µ  −2
q
e
(2π)2 4 + µ2 2 p~2
k
q
p
~2k R
(2.48)
A integração acima pode ser feita em coordenadas polares. A integral na parte
2π ,
angular resulta em um fator
Eint = −
= −
λ2 µ2
8π 4 + µ2
Z
restando apenas a parte radial
∞
dre−2rR
0
λ2 µ2 1
.
16π 4 + µ2 R
(2.49)
A energia de interação acima tem o comportamento Coulombiano. O sinal negativo indica que a interação é atrativa (a carga e a superfície se atraem) e a energia
cai com o inverso da distância entre a superfície e a carga. No limite em que
µ → ∞,
recuperamos a energia obtida pelo método das imagens [3]
lim Eint = −
µ→∞
λ2 1
,
16π R
(2.50)
como já esperávamos.
Nesse sentido é interessante perceber que o papel da constante de acoplamento é
apenas atenuar a carga imagem por um fator multiplicativo uniforme
2.3
µ2
.
4+µ2
Equações de movimento
Nessa seção estudamos as equações de Euler-Lagrange do modelo (2). Para isso,
vamos iniciar com a ação correspondente,
Z
S=
1
1
d4 x − Fµν F µν − Jµ Aµ − µv µ µναβ Aν ∂ α Aβ δ(x3 − a) .
4
2
(2.51)
18
Capítulo 2. Lagrangeana composta de um campo
Variando a ação (2.51) obtemos
Z
δS =
d4 xδAµ [−∂ ν Fµν − µ3µαβ δ(x3 − a)∂ α Aβ − Jµ ] ,
portanto, a conguração de campos que minimiza a ação deve ser tal que
(2.52)
δS = 0,
ou seja,
Z
d4 xδAµ [−∂ ν Fµν − µ3µαβ δ(x3 − a)∂ α Aβ − Jµ ] = 0 .
Sendo
δAµ
(2.53)
pequeno mas arbitrário, devemos ter que
−∂ ν Fµν − µ3µαβ δ(x3 − a)∂ α Aβ − Jµ = 0
⇒ −∂ ν Fµν − µ3µαβ δ(x3 − a)∂ α Aβ = Jµ ,
onde
F3µ = 3λµν ∂ λ Aν
é o tensor dual de
F3µ .
Para interpretarmos melhor as equações (2.54), vamos tomar os casos onde
e
µ = i (i = 1, 2, 3),
(2.54)
µ=0
respectivamente
−∂ ν F0ν + µδ(x3 − a)F30 − J0 = 0
~ E
~ = ρ − µδ(x3 − a)B.ẑ
~
∇.
(2.55)
−∂ ν Fiν + µδ(x3 − a)F3i − Ji = 0
−∂ 0 Fi0 + ∂ j Fij = −µδ(x3 − a)F3i + Ji
~
~ ×B
~ = J~ + ∂ E − µδ(x3 − a)(E
~ × ẑ)
∇
∂t
(2.56)
É interessante notar que as equações de Maxwell com fontes apresentam uma
dependência nos campos e não somente em suas derivadas. Mais especicamente,
as componentes do campo elétrico paralelas à superfície a componente do campo
magnético perpendicular à superfície, sob a superfície, são fontes para o rotacional
do campo magnético e para o divergente do campo elétrico, respectivamente.
CAPÍTULO 3
Lagrangeana com dois campos
Nesse capítulo estudaremos um modelo tipo Chern-Simons composto por dois
campos para descrever superfícies materiais.
Como zemos no capítulo anterior,
vamos nos restringir para o caso de uma superfície plana innita.
Vamos adotar
um sistema de coordenadas onde essa superfície se localiza no plano
campo eletromagnético será designado por
Aµ ,
x 3 = a.
O
sendo denido em todo o espaço.
Nesse modelo consideramos um segundo campo de natureza vetorial, porém denido
apenas sob a superfície. Designamos esse segundo campo por
Note que
Bµ
Bµ
com
só deve depender das coordenadas paralelas à superfície
µ = 0, 1, 2.
x0 , x1 , x2 .
A lagrangeana do modelo proposto é dada por
1
1
L = − Fµν F µν − Jµ Aµ −
(∂µ Aµ )2
4
2α
!
1
m
1
+ − Gµν Gµν + µνα3 Bµ ∂ν Bα − Iµ B µ −
(∂µ B µ )2 δ(x3 − a)
4
2
2β
!
µ
µ
− µνα3 Aµ (∂ν Bα ) + µνα3 Bµ (∂ν Aα ) δ(x3 − a) ,
4
4
onde denimos o tensor intensidade de campo para o campo
(3.1)
Bµ,
Gµν Gµν = (∂kµ Bν − ∂kν Bµ )(∂kν Bµ − ∂kµ Bν )
(3.2)
O primeiro termo do lado direito de (3.1) é a lagrangiana de Maxwell, o segundo
termo dá o acoplamento do campo de Maxwell com sua fonte externa e o terceiro é
o termo de xação de calibre para o campo de Maxwell, no o calibre de Lorentz.
O quarto, quinto, sexto e sétimo termos da lagrangiana (3.1) envolvem somente
o campo
Bµ
e estão denidos apenas sobre a superfície
x 3 = a.
Com eles, podemos
20
Capítulo 3. Lagrangeana com dois campos
perceber que
Bµ
se caracteriza por ser um campo tipo Chern-Simons de massa
denido somente no plano
de Lorentz para o campo
3
x = a.
B
µ
m
e
O sétimo termo é apenas para xação do calibre
.
Os dois últimos termos fornecem um acoplamento entre o campo eletromagnético
Aµ
e o campo de Chern-Simons
Bµ.
Com uma integração por partes, podemos
mostrar que esses termos são iguais. Por conveniência futura, vamos deixar a lagrangiana do modelo escrita na forma (3.1). Os últimos termos também estão denidos
somente sobre a superfície
x 3 = a.
Por conveniência de notação, vamos usar as seguintes denições:
1
• LM ax = − 41 Fµν F µν − J µ Aµ − 2α
(∂µ Aµ )2 : lagrangeana de Maxwell;
1
m µνα3
1
µν
µ
µ 2
• LCS = − 4 Gµν G + 2 Bµ ∂ν Bα − Iµ B − 2β (∂µ B ) δ(x3 − a):
3
0
1
lagran-
2
B (x , x , x );
• LInt − µ4 µνα3 Aµ (∂ν Bα ) − µ4 µνα3 Bµ (∂ν Aα ) δ(x3 − a): lagrangeana de acoplageana localizada em
x =a
µ
mento entre os campos
A
e
para o campo
B.
Com isso, podemos reescrever a lagrangeana (3.1) como
L = LM ax + LCS + LInt .
(3.3)
Ressaltamos também o papel de cada um dos parâmetros da lagrangeana (3.1):
• m
• µ
representa a massa do campo de Chern-Simons;
é a constante de acoplamento entre os campos
• Jµ
é a fonte externa do campo
A;
• Iµ
é a fonte externa do campo
B;
A
• α
é o parâmetro de xação de calibre do campo
A;
• β
é o parâmetro de xação de calibre do campo
B;
e
B;
O modelo (3.1) é mais rico do que aquele apresentado no capítulo (2), pois temos
agora dois parâmetros ajustáveis: a constante de acoplamento
de Chern-Simons
µ e a massa do campo
m.
Vamos agora investigar alguns aspectos do modelo proposto para ver que tipo de
fronteira ele poderia descrever.
21
3.1. Lagrangeana Efetiva
3.1
Lagrangeana Efetiva
O campo
B
no modelo (3.1) exerce um papel coadjuvante, sendo sua presença
utilizada na tentativa de descrever efetivamente o comportamento de uma superfície
material. Nesse contexto, vamos buscar por uma lagrangeana efetiva para o campo
eletromagnético
Aµ
a partir de (3.1).
Vamos começar considerando o funcional
gerador [33, 22]
Z
i
4
exp
d xL
~
Z
i
4
exp
d xLM ax + LCS + LInt
~
Z
Z[J] = N
DA DB
Z
= N
Sendo
DA DB
(3.4)
LM ax dependente somente do campo A, LCS dependente somente do campo
B e LInt dependente dos campos A e B . Podemos reescrever 3.4 da seguinte maneira
Z
Z
Z
Z
i
i
4
4
Z[J] = N DA exp
d xLM ax
d xLCS + LInt (3.5)
DB exp
~
~
Se efetuarmos a segunda integral funcional em (3.5) (a integral em
car com um integrando que depende apenas de
A
B ),
vamos
e poderemos identicar uma
lagrangeana efetiva para esse campo.
O integrando da segunda exponencial pode ser manipulado como segue:
Z
d4 xLCS + LInt =
1
m µνα3
1
µν
µ
µ 2
d x − Gµν G + Bµ ∂ν Bα − Iµ B −
(∂µ B ) δ(x3 − a)
4
2
2β
Z
hµ
i
µ
− d4 x µνα3 Aµ (∂ν Bα ) + µνα3 Bµ (∂ν Aα ) δ(x3 − a)
4
4
"
Z
1
m
= d4 x Bµ ∂λ ∂ λ η µν Bν + µαν3 Bµ ∂α Bν −
2
2
#
µ
Iµ B µ − µνα3 Bµ ∂ν Aα δ(x3 − a)
(3.6)
2
Z
4
onde escolhemos o termo de calibre
Podemos integrar (3.6) em
dx
3
β=1
e eliminamos os termos de superfície.
, o que fornece
Z
Z
=
3
d xk
d4 xLCS + LInt =
1
µ µαν3
λ µν
µαν3
µ
Bµ (∂λ ∂ ηk + m
∂α )Bν − Bµ I + ∂α Aν (xk , a) (. 3.7)
2
2
22
Capítulo 3. Lagrangeana com dois campos
Vamos denir agora o operador diferencial
Oµν (xk ) = ∂λ ∂ λ ηkµν + mµαν3 ∂α ,
(3.8)
e a quantidade
K µ (xk , a) = I µ +
µ µαν3
∂α Aν (xk , a) ,
2
(3.9)
para reescrever a integral (3.7) na forma compacta
Z
Z
4
d xLCS + LInt =
1
d3 x Bµ (x)Oµν (xk )Bν (x) − Bµ (x)K µ (xk , a) .
2
(3.10)
Levando (3.10) na segunda integral funcional em (3.6) obtemos
Z
Z
=
Z
i
4
DB exp
d xLCS + LInt =
~
#
" Z
1
i
d3 x Bµ (x)Oµν (xk )Bν (x) − Bµ (x)K µ (xk , a) .
DB exp
~
2
(3.11)
É importante observar que o operador (3.8) é o operador diferencial de ChernSimons, seu propagador deve satisfazer a equação diferencial
µ 3
Oµν G(CS)νλ (xk − yk ) = ηkλ
δ (xk − yk ) .
(3.12)
No espaço dos momentos a equação acima se torna
µ
G̃(CS)νλ (pk )[−p2k ηkµν − imµαν3 pkα ] = ηkλ
(3.13)
Para resolvermos, lançaremos mão do seguinte ansatz
G̃(CS)µκ (pk ) = Aηkµκ + Bpkµ pkκ − iCµρκ3 pρk ,
sendo
A, B
e
C
funções do momento
pk
(3.14)
a serem determinadas.
Substituindo (3.14) em (3.13) devemos ter que
κ
[−p2k ηkµν − imµαν3 pkα ][Aηkµκ + Bpkµ pkκ − iCµρκ3 pρk ] = ηkν
.
(3.15)
Efetuando as operações do lado esquerdo da equação acima e comparando, termo
a termo, com o lado direito, somos levados ao sistema
ν
ν
ηkκ
(−p2k A + mCp2k ) = ηkκ
pνk pκk (−p2k B − mC) = 0
23
3.1. Lagrangeana Efetiva
iνρκ3 pρk (p2k C − mA) = 0 ,
(3.16)
que tem a seguinte solução
A=−
B=
p2k
1
− m2
m2
(p2k )2 (p2k − m2 )
C=−
m
.
− m2 )
(3.17)
p2k (p2k
Levando os coecientes (3.17) em (3.14) obtemos o propagador de Chern-Simons
no espaço dos momentos
G̃µκ
(CS) (pk )
=−
ηkµκ
pµk pκk
2
p2k − m2
+m
(p2k )2 (p2k − m2 )
+ im
µρκ3 pkρ
.
(p2k )(p2k − m2 )
(3.18)
Portanto, o propagador de Chern-Simons no espaço de coordenadas é:
Gµκ
(CS) (xk
d3 pk µκ
G̃
(pk )e−ipk (xk −yk )
(2π)3 (CS)
Z
− yk ) =
ηkµκ
pµk pκk
d3 pk
2
+m 2 2 2
=
− 2
(2π)3
pk − m2
(pk ) (pk − m2 )
!
µρκ3 pkρ
+im 2 2
e−ipk (xk −yk ) .
2
(pk )(pk − m )
Z
(3.19)
Seguimos agora o procedimento padrão no cálculo da integral funcional (3.11).
Efetuamos a translação no campo
Z
Bµ (xk ) −→ Bµ (xk ) +
B
d3 yk G(CS)µψ (xk − yk )K ψ (yk , a) ,
(3.20)
o que faz com que
Z
1
d3 xk Bµ (xk )Oµν (xk )Bν (xk ) − Bµ (xk )K µ (xk , a) −→
2
Z
1
−→
d3 xk Bµ (xk )Oµν (xk )Bν (xk )
2
Z
1
−
d3 yk K µ (xk , a)G(CS)µψ (xk − yk )K ψ (yk , a) ,
2
(3.21)
onde efetuamos algumas manipulações simples e usamos a propriedade satisfeita
pelo propagador de Chern-Simons
G(CS)µψ (xk − yk ) = G(CS)ψµ (yk − xk ).
24
Capítulo 3. Lagrangeana com dois campos
Na integral acima vemos que somente o termo
depende do campo
A.
K µ (xk , a)Gµψ (xk − yk )K ψ (yk , a)
Substituindo a equação (3.21) na integral funcional (3.11) e
levando o resultado no funcional gerador (3.6), podemos escrever
Z
i
1
µν
3
Z[J] = N DB exp
d xk Bµ (xk )O (xk )Bν (xk )
~
2
Z
Z
i
DA exp
d4 xLM ax
~
!
Z
1
4
µ
ψ
3
3
−
d yk K (x)G(CS)µψ (xk − yk )K (y)δ(x − a)δ(y − a) .
(3.22)
2
R
R
integral funcional
DB exp ~i d3 xk 21 Bµ (xk )Oµν (xk )Bν (xk ) não depende de
Z
A
A
e será englobada em uma redenição da constante
Z
Z[J] = N̄
−
1
2
Z
DA exp
i
~
Z
N.
Assim camos com
d4 xLM ax
!
d4 yK µ (x)G(CS)µψ (xk − yk )K ψ (y)δ(x3 − a)δ(y 3 − a)
.
Da expressão acima podemos identicar uma ação efetiva para o campo
(3.23)
A
Z
1
d4 x d4 y LM ax − K µ (x)G(CS)µψ (xk − yk )K ψ (y)δ(x3 − a)δ(y 3 − a)
2
Z
i
µ
1h µ
I (xk ) + µαβ3 ∂α Aβ (x) G(CS)µψ (xk − yk )
=
d4 x d4 y LM ax −
2
2
i
h
µ ψκλ3
ψ
∂κ Aλ (y) δ(x3 − a)δ(y 3 − a)
× I (yk ) + 2
Z
i
1h µ
µ
=
d4 x d4 y LM ax −
I (xk ) + F µ3 (x) G(CS)µψ (xk − yk )
2
2
h
i
µ
× I ψ (yk ) + F ψ3 (y) δ(x3 − a)δ(y 3 − a) ,
(3.24)
2
Sef =
onde na segunda e terceira linha usamos a denição (3.9) e na quarta e quinta linha
usamos o fato de que
F µν = 21 µαβν Fαβ = µαβν ∂α Aβ .
Podemos também identicar uma lagrangeana efetiva para o campo
R
A, com Sef =
d4 xLef ,
Lef
Z
h
1
µ µ3 i
4
µ
= LM ax −
d y I (xk ) + F (x) G(CS)µψ (xk − yk )
2
2
h
µ ψ3 i
ψ
3
× I (yk ) + F (y) δ(x − a)δ(y 3 − a)
2
(3.25)
Daqui por diante vamos considerar que não temos fontes externas para o campo
B,
ou seja, vamos tomar
I µ (xk ) = I ψ (yk ) = 0.
25
3.1. Lagrangeana Efetiva
As equações de movimento podem ser obtidas tomando a variação da ação nula,
δSef = 0,
para pequenas variações de
Z
Assim sendo, da equação (3.24) obtemos
d4 x d4 y δLM ax
δSef =
−
A.
µ2
δ[F µ3 (x)G(CS)µψ (xk − yk )F ψ3 (y)]δ(x3 − a)δ(y 3 − a) .
8
Variando a ação acima, usando a propriedade
(3.26)
Gµψ (xk − yk ) = Gψµ (yk − xk )
e
efetuando algumas manipulações simples temos as equações de Euler-Lagrange
∂ν F
νµ
µ
Z
3
d4 y
− J + δ(x − a)
µ2 σρµ3
[∂ρ G(CS)σψ (xk − yk )]F ψ3 (y)δ(y 3 − a) = 0
4
(3.27)
Da equação (3.27) podemos ver que o tensor intensidade de campo dual
F µν
é
fonte para o tensor intensidade de campo. Essa contribuição se dá somente sob a
superfície e se caracteriza por ser não local, ou seja, as derivadas de
dado ponto do espaço dependem de
3
x = a.
F µν
F µν
em um
avaliado em toda a extensão da superfície
A característica da não localidade é comum quando estamos lidando com
teorias efetivas.
Substituindo a equação (3.19) para
Gσψ (xk − yk )
em (3.27) e efetuando algumas
manipulações simples, que vamos suprimir nesse texto, obtemos
∂ν F νµ (x) − J µ (x)
−δ(x3 − a)
×
Z
µ2
d4 y
4
Z
#
"
µ
ψ3
mp
p
F
(y)
kψ
d3 pk
k
ψ3
+ iρµ3
mF µ3 (y) +
ψ pkρ F (y)
(2π)3
p2k
e−ipk (xk −yk )
δ(y 3 − a) = 0 .
2
2
pk − m
A integração sobre o segundo termo do integrando é nula.
(3.28)
Isso pode ser visto
como segue,
Z
4
dy
Z
=
Z
µ
ψ3
d3 pk mpk pkψ F (y) e−ipk (xk −yk )
δ(y 3 − a) =
(2π)3
p2k
p2k − m2
µ ψ3
d3 pk mpk F (y)
1
dy
(−i)∂kψ(y) e−ipk (xk −yk ) δ(y 3 − a)
2
2
3
(2π)
pk
pk − m2
Z
Z 3 mpµ (∂
ψ3
kψ(y) F (y)) −ip (x −y )
d pk
k
4
= dy
ie k k k δ(y 3 − a) = 0 ,
(2π)3
p2k (p2k − m2 )
4
Z
(3.29)
onde efetuamos uma integração por partes na terceira linha e usamos o fato de que
α
∂kψ(y) F ψ3 (y) = ∂kψ(y) ∂k(y)
ψ3αβ Aβ (y) = 0.
26
Capítulo 3. Lagrangeana com dois campos
A integração do último termo em (3.28) pode ser escrita em uma forma mais
conveniente, da seguinte forma
Z
d3 pk ρµ3
e−ipk (xk −yk )
ψ3
p
F
(y)
δ(y 3 − a) =
i
kρ
(2π)3 ψ
p2k − m2
Z
4
dy
Z
4
=
d3 pk ρµ3 ψ3
e−ipk (xk −yk )
δ(y 3 − a) =
F
(y)∂
kρ(y)
ψ
2
2
3
(2π)
pk − m
Z
dy
Z
4
=−
Z
dy
d3 pk ρµ3
e−ipk (xk −yk )
ψ3
δ(y 3 − a) ,
(∂
F
(y))
kρ(y)
(2π)3 ψ
p2k − m2
(3.30)
onde na terceira linha efetuamos uma intgração por partes.
Levando os resultados (3.29) e (3.30) na equação (3.28) obtemos
∂ν F νµ (x) − J µ (x)
Z
3
−δ(x − a)
×
µ2
dy
4
4
Z
i
d3 pk h
µ3 ρ
µ3
ψ3
mF
(y)
+
∂
F
(y)
ψρ
k(y)
(2π)3
e−ipk (xk −yk )
δ(y 3 − a) = 0 .
2
2
pk − m
(3.31)
O termo entre colchetes na equação acima não depende de
pk .
Sendo assim, podemos
escrever
∂ν F νµ (x) − J µ (x)
Z
3
−δ(x − a)
Z
×
d3 pk
h
i
µ2
ρ
δ(y 3 − a) mF µ3 (y) + ψρµ3 ∂k(y)
F ψ3 (y)
4
d3 pk e−ipk (xk −yk )
=0.
(2π)3 p2k − m2
Integrando em
Z
d4 y
d3 pk
(3.32)
na equação acima, teremos
q
−m zk2
−ipk zk
e
1 e
q
=−
2
2
pk − m
4π
z2
.
(3.33)
k
Com isso, temos nalmente, as equações de movimento
δ(x3 − a)
Z
√
−m (xk −yk )2 h
i
2
µ
e
µ3 ρ
3
µ3
ψ3
p
d4 y
δ(y
−
a)
mF
(y)
+
∂
F
(y)
ψρ
k(y)
128π 4
(xk − yk )2
+∂ν F νµ (x) − J µ (x) = 0
(3.34)
Note que ca explícito a não localidade do modelo, pois as derivadas de
têm como fonte os valores de
F µ3 (y)
F µν (x)
avaliados ao longo de toda a superfície.
27
3.2. Propagador da teoria
Para ser mais explícito, vamos escrever a equações acima separando o caso onde
µ=0
e o caso de
µ = i.
Vamos iniciar com o caso
δ(x3 − a)
Z
µ = 0,
como segue,
√
−m (xk −yk )2 h
i
2
µ
e
3
ψ3
03
03 ρ
p
∂
F
(y)
mF
(y)
+
d4 y
δ(y
−
a)
ψρ
k(y)
128π 4
(xk − yk )2
+∂ν F ν0 (x) − J 0 (x) = 0 ⇒
δ(x3 − a)
Z
√
−m (xk −yk )2 h
i
2
µ
e
3
3
~ k(y) · E
~ k (y)
p
d4 y
−mB
(y)
+
∇
δ(y
−
a)
128π 4
(xk − yk )2
~ E(x)
~
∇.
− ρ(x) = 0
(3.35)
Para as componentes espaciais,
µ = i,
em (3.34) procedemos da seguinte forma
√
3
Z
δ(x − a)
(xk −yk )2 h
i
µ
e
i3
i3 ρ
ψ3
3
p
dy
mF (y) + ψρ ∂k(y) F (y)
δ(y − a)
128π 4
(xk − yk )2
2
−m
4
+∂ν F νi (x) − J i (x) = 0 ⇒
√
−m (xk −yk )2
2
µ
e
δ(x3 − a) d4 y
δ(y 3 − a) p
×
128π 4
(xk − yk )2
#
h
i
~
~
~ k )(B(y)
~
m(ẑ × E(y))
− ∂0 E(y)
− (ẑ × ∇
· ẑ)
Z
"
~ × B(x)
~
~
~
∇
− ∂0 E(x)
− J(x)
=0
3.2
(3.36)
Propagador da teoria
Na seção anterior consideramos a teoria efetiva para o modelo (3.1), na qual
zemos a integração funcional no campo
B.
Nessa seção vamos considerar o modelo (3.1) completo e calcular o propagador
correspondente. Desconsiderando termos de superfície e usando o calibre no qual
α = β = 1,
podemos reescrever a lagrangeana (3.1) como:
1
1
µν
µν
λ
λ
µαν3
µ
L = Aµ η ∂λ ∂ Aν + Bµ (ηk ∂kλ ∂k + m
∂kα )Bν − Iµ B δ(x3 − a)
2
2
h µ
µ
i
1
− Jµ Aµ +
Aµ − µαν3 ∂kα Bν + Bµ − µαν3 ∂kα Aν δ(x3 − a)(3.37)
.
2
2
2
28
Capítulo 3. Lagrangeana com dois campos
A equação acima contém termos quadráticos em
acoplamento entre
A eB ,
todos lineares tanto em
A e em B
A
como em
assim como termos de
B.
Por conveniência,
vamos escrever a equação (3.37) em uma estrutura matricial, como segue
L=
i
1h
Aµ Bµ ×
2
"
− µ2 µαν3 δ(x3 − a)∂kα
η µν ∂λ ∂ λ
− µ2 µαν3 δ(x3 − a)∂kα δ(x3 − a)(η µν ∂kλ ∂kλ + mµαν3 ∂kα )
"
#
h
i
J
µ
− Aµ B µ
.
Iµ δ(x3 − a)
#"
Aν
#
Bν
(3.38)
Note que a equação (3.38) contém apenas um termo quadrático e um termo linear
na matriz
h
Aµ Bµ
i
.
Portanto, o modelo pode ser resolvido exatamente.
Para
isso, vamos começar denindo os seguintes operadores diferenciais matriciais:
"
V µν (x) =
=
=
− µ2 µαν3 δ(x3 − a)∂kα
#
− µ2 µαν3 δ(x3 − a)∂kα δ(x3 − a)(η µν ∂kλ ∂kλ + mµαν3 ∂kα )
#
"
v11 (x) v12 (x)
v21 (x) v22 (x)
"
V0µν (x) =
η µν ∂λ ∂ λ
η µν ∂λ ∂ λ
0
#
0 δ(x3 − a)(η µν ∂kλ ∂kλ + mµαν3 ∂kα )
"
#
v11 (x)
0
0 v22 (x)
"
∆V µν (x) =
0 − µ2 µαν3 δ(x3 − a)∂kα
− µ2 µαν3 δ(x3 − a)∂kα
"
#
0 v12 (x)
=
.
v21 (x)
0
#
0
(3.39)
onde denimos os operadores
v11 (x) = η µν ∂λ ∂ λ
v22 (xk ) = δ(x3 − a)(η µν ∂kλ ∂kλ + mµαν3 ∂kα )
µ
v12 (xk ) = v21 (xk ) = − µαν3 δ(x3 − a)∂kα .
2
(3.40)
29
3.2. Propagador da teoria
O operador
V µν (x)
é aquele encontrado na lagrangeana (3.38).
O operador
V0µν (x) contém apenas os termos sem interação entre os campos A e B . Como
µν
esperado, V0 (x) é diagonal e seus termos são dados pelo operador de Maxwell e o
µν
de Chern-Simons (denidos, respectivamente, por v11 e v22 ). O operador ∆V
(x)
envolve somente os termos de interação entre os campos
A
e
B.
Note que com as
denições (3.39) temos que
V µν = V0µν + ∆V µν
(3.41)
O propagador do modelo é dado pela inversa do operador
"
V
µν
(x)Gνσ (x, y) =
ησµ δ 4 (x − y)
µ 3
0 ηkσ
δ (xk − yk )δ(x3 − a)
É importante ter em mente que
Gνσ (x, y)
"
=
ou seja
.
(3.42)
deve ter uma estrutura matricial.
Por conveniência, vamos denir a inversa do operador
V0µν (x)G0νσ (x, y)
V µν (x),
#
0
V0µν
ησµ δ 4 (x − y)
como
0
#
µ 3
0 ηkσ
δ (xk − yk )δ(x3 − a)
.
(3.43)
Vamos mostrar que a função de Green, denida em (3.42), satisfaz a relação
Z
Gνσ (x, y) = G0νσ (x, y) −
d4 zGνβ (x, z)∆V βκ (z)G0κσ (z, y) ,
o que pode ser feito ao aplicarmos o operador
V µν (x)
(3.44)
denido em (3.39) em ambos
os lados da equação (3.44),
V
µν
(x)Gνσ (x, y) = V
µν
= V
µν
(x)G0νσ (x, y) − V
Z
(x)G0νσ (x, y) −
µν
Z
(x)
d4 zGνβ (x, z)∆V βκ (zk )G0κσ (z, y)
d4 zV µν (x)Gνβ (x, z)∆V βκ (z)G0κσ (z, y)
(3.45)
Na integral da última linha da equação acima temos a atuação de
função
Gνβ (x, z),
V µν (x)
sob a
cujo resultado pode ser obtido pela equação (3.42), assim
V µν (x)Gνσ (x, y) = V µν (x)G0νσ (x, y)
Z
−
"
d4 z
ηβµ δ 4 (x − z)
0
0
µ 3
ηkβ
δ (xk
3
− zk )δ(x − a)
#
∆V βκ (z)G0κσ (z, y)
(3.46)
Usando a denição de
∆V βκ
em (3.39) temos
30
Capítulo 3. Lagrangeana com dois campos
V µν (x)Gνσ (x, y) = V µν (x)G0νσ (x, y)
"
Z
d4 z
−
ηβµ δ 4 (x − z)
0
#
µ 3
0 ηkβ
δ (xk − zk )δ(x3 − a)


0 καβ3 δ(z 3 − a) − µ2 ∂kα(z)

×
καβ3 δ(z 3 − a) − µ2 ∂kα(z)
0
×G0κσ (z, y) .
Vamos agora usar o fato de que
(3.47)
δ 3 (xk − zk )δ(x3 − a)δ(z 3 − a) = δ 4 (x − z)δ(x3 − a),
δ 4 (x − z)δ(z 3 − a) = δ 4 (x − z)δ(x3 − a)
para reescrever a equação (3.47) como
V µν (x)Gνσ (x, y) = V µν (x)G0νσ (x, y)
Z
−
"
d4 z
Integrando em
0 1
1 0
d4 z
#
µ
ηβµ δ 4 (x − z)καβ3 δ(x3 − a) − ∂kα(z) G0κσ (z, y) .
2
(3.48)
e fazendo as manupulações necessárias, podemos identicar o
µ
operador ∆Vκ (x), dado pela denição (3.39). Assim, obtemos que
V µν (x)Gνσ (x, y) = V µν (x)G0νσ (x, y) − ∆V µκ (x)G0κσ (x) .
Usando a equação (3.43) e que
V µν (x) = V0µν (x) + ∆V µν (x)
(3.49)
no lado direito da
equação acima, obtemos:
V µν (x)Gνσ (x, y) = V0µν (x)G0νσ (x, y) + ∆V µν (x)G0νσ (x, y) − ∆V µκ (x)G0κσ (x)
= V0µν (x)G0νσ (x, y)
(3.50)
Comparando as equações 3.42 e 3.43, vemos que elas são iguais, o que demonstra a
validade da equação (3.44).
Nosso modelo (3.1) tem simetria de translação nas coordenadas paralelas
xk ,
sendo assim, vamos propor uma solução em integral de Fourier da seguinte forma
Z
Gνσ (x, y) =
d3 p k
G̃νσ (pk ; x3 , y 3 )e−ipk (xk −yk ) .
(2π)3
A função de Green
(3.51)
G0νσ (x, y) para o operador V µν (x) sem a interação é conhecida.
Por conveniência, vamos escrevê-la como uma integral de Fourier
Z
G0κσ (x, y) =
d3 qk
G̃0κσ (qk ; z 3 , y 3 )e−iqk (zk −yk ) .
3
(2π)
(3.52)
31
3.2. Propagador da teoria
Susbtituindo as equações (3.51) e (3.52) em (3.44) temos que
Z 3
d3 pk
d pk
3 3 −ipk (xk −yk )
G̃νσ (pk ; x , y )e
=
G̃0νσ (pk ; x3 , y 3 )e−ipk (xk −yk )
3
3
(2π)
(2π)
Z
Z 3
d pk
G̃νβ (pk ; x3 , z 3 )e−ipk (xk −zk ) ∆V βκ (z)
− d4 z
(2π)3
Z 3
d qk
×
G̃0κσ (qk ; z 3 , y 3 )e−iqk (zk −yk ) .
(3.53)
3
(2π)
Z
Atuando com o operador
∆V βκ (z)
denido em (3.39) obtemos
Z 3
d3 pk
d pk
3 3 −ipk (xk −yk )
G̃νσ (pk ; x , y )e
=
G̃0νσ (pk ; x3 , y 3 )e−ipk (xk −yk )
3
(2π)
(2π)3
Z 3
Z
d pk d3 qk
−
dz 3 G̃νβ (pk ; x3 , z 3 )e−ipk xk eiqk yk δ(z 3 − a)
3
3
(2π) (2π)
#
"
Z
βακ3
q
0 iµ
kα
3 3
2
× iµ βακ3
G̃0κσ (qk ; z , y )
d3 zk ei(pk −qk )zk . (3.54)
qkα
0
2
R 3 i(p −q )z
o fato de que
d zk e k k k = (2π)3 δ 3 (pk − qk ) e integrando em d3 qk e em
Z
Usando
dz 3
podemos nalmente escrever
Z 3
d3 pk
d pk
3 3 −ipk (xk −yk )
G̃
(p
;
x
,
y
)e
=
G̃0νσ (pk ; x3 , y 3 )e−ipk (xk −yk )
νσ
k
(2π)3
(2π)3
"
#
Z 3
iµ βακ3
0
p
d pk
kα
2
G̃νβ (pk ; x3 , a) iµ βακ3
G̃0κσ (pk ; a, y 3 )e−ipk (xk −yk ) .
−
(2π)3
pkα
0
Z
2
(3.55)
Da equação acima, podemos concluir que
G̃νσ (pk ; x3 , y 3 ) = G̃0νσ (pk ; x3 , y 3 )
"
−G̃νβ (pk ; x3 , a)
0
iµ βακ3
pkα
2
iµ βακ3
pkα
2
0
#
G̃0κσ (pk ; a, y 3 ) .
A equação acima é válida para quaisquer valores de
ponto
x3
e
y3.
(3.56)
Vamos tomá-la no
y 3 = a,
G̃νβ (pk ; x3 , a)ησβ = G̃0νσ (pk ; x3 , a)
"
−G̃νβ (pk ; x3 , a)
0
iµ βακ3
pkα
2
iµ βακ3
pkα
2
0
onde, no lado esquerdo, usamos que
#
G̃0κσ (pk ; a, a) ,
G̃νσ (pk ; x3 , y 3 ) = G̃νβ (pk ; x3 , a)ησβ .
(3.57)
32
Capítulo 3. Lagrangeana com dois campos
Isolando
G̃0νσ (pk ; x3 , a)
podemos escrever
G̃0νσ (pk ; x3 , a) = G̃νβ (pk ; x3 , a)
#
"
βακ3
p
ησβ iµ
G̃
(p
,
a,
a)
kα (CS)κσ k
2
×
iµ βακ3
pkα G̃(M )κσ (pk , a, a)
2
Pela denição (3.43) e a denição do operador
trar que a matriz
G0κσ (x, y)
"
G0κσ (x, y) =
(3.58)
ησβ
V µν (x)
em (3.39), podemos mos-
é dada por
G(M )κσ (x, y)
0
#
(3.59)
0 G(CS)κσ (xk , yk )
Onde
Z
G(M )κσ (x, y) =
d3 pk ηκσ
−
q
e
3
(2π) 2 −p2
q
−p2k |x3 −y 3 |
(3.60)
k
é a função de Green do operador de Maxwell,
e
G(CS)κσ (xk , yk )
η µν ∂λ ∂ λ , discutido no capítulo anterior,
é o propagador de Chern-Simons, obtido na equação (3.19).
Vamos denir a matriz
"
Mβ
σ
=
ησβ
iµ βακ3
pkα G̃(M )κσ (pk , a, a)
2
iµ βακ3
pkα G̃(CS)κσ (pk , a, a)
2
ησβ
#
,
(3.61)
e reescrever a equação (3.58) como
G̃0νσ (pk ; x3 , a) = G̃νβ (pk ; x3 , a)Mβσ .
(3.62)
Multiplicando ambos os lados da equação acima pela inversa de
Mβσ
e usando o
fato de que
"
Mβσ (M−1 )σα =
η βα
0
#
(3.63)
0 η βα
podemos mostrar que
G̃να (pk ; x3 , a) = G̃0νσ (pk ; x3 , a)(M−1 )σ
α
.
Substituimos agora (3.64) em (3.56), o que resulta em
G̃νσ (pk ; x3 , y 3 ) = G̃0νσ (pk ; x3 , y 3 )
(3.64)
33
3.2. Propagador da teoria
"
−G̃0νσ (pk ; x3 , a)(M−1 )σ
β
0
iµ βακ3
pkα
2
iµ βακ3
pkα
2
0
Pela equação (3.65) podemos ver que para encontrarmos
obter primeiro a função
#
G̃0κσ (pk ; a, y 3 ) (. 3.65)
G̃νσ (pk ; x3 , y 3 )
devemos
G̃0κσ (pk ; x3 , y 3 ) e posteriormente a matriz inversa (M−1 )σ
Vamos iniciar com o cálculo de
β.
G̃νσ (pk ; x3 , y 3 ).
Com as equações (3.59), (3.60) e a representação de Fourier (3.52), obtemos
"
G̃(M )νσ (pk ; x3 , y 3 )
G̃νσ (pk ; x3 , y 3 ) =
onde
G̃(CS)νσ (pk )
0
#
(3.66)
0 G̃(CS)νσ (pk )
é dado por (3.18) e
ηνσ
−
G̃(M )νσ (pk ; x , y ) = q
e
2 −p2k
3
3
q
−p2k |x3 −y 3 |
(3.67)
Usando as equações (3.63), (3.66) e (3.61) e denindo os elementos da matriz
inversa de
M
como
"
(M−1 )σγ =
#
Aσγ Bγσ
(3.68)
Cγσ Dγσ
podemos escrever
"
Mβσ (Mσγ )−1 =
ηγβ
0
0 ηγβ
"
#
⇒
ησβ
iµ βακ3
pkα G̃(M )κσ (pk ; a, a)
2
"
=
ηγβ
0
iµ βακ3
pkα G̃(CS)κσ (pk )
2
ησβ
#
"
Aσγ Bγσ
Cγσ Dγσ
=
#
(3.69)
0 ηγβ
Os fatores
#
Aσγ , Bγσ , Cγσ
e
Dγσ
da denição (3.68) podem ser obtidos impondo-se a
validade da equação (3.69). Vamos suprimir esses cálculos desse texto para facilitar
a leitura. Os resultados são
σ
A
γ
=η
σ
γ
+
(1 + χ(pk ) p2k )χ(pk ) p2k − m2 χ2(pk ) p2k
m2 χ2(pk ) p2k − (1 + χ(pk ) p2k )2
m2 χ2(pk ) − (1 + χ(pk ) p2k )χ(pk )
m2 χ2(pk ) p2k − (1 +
pσ p
2 2 k kγ
χ(pk ) pk )
+
σ
ηkγ
imχ(pk ) σ κγ 3 pκk
m2 χ2(pk ) p2k − (1 + χ(pk ) p2k )2
,
(3.70)
34
Capítulo 3. Lagrangeana com dois campos
iµ
Cσ γ = q
4 −p2k [m2 χ2(pk ) p2k − (1 + χ(pk ) p2k )2 ]
σ
×[imχ(pk ) (pσk pkγ − p2k ηkγ
− (1 + χ(pk ) p2k )σα γ 3 pkα ] ,
D
σ
γ
=η
σ
γ
+
(1 + χ(pk ) p2k )χ(pk ) p2k − m2 χ2(pk ) p2k
m2 χ2(pk ) p2k − (1 + χ(pk ) p2k )2
m2 χ2(pk ) − (1 + χ(pk ) p2k )χ(pk )
m2 χ2(pk ) p2k − (1 + χ(pk ) p2k )2
Bσ γ = −
2[m2 χ2(pk ) p2k
"
σ
× im −ηkγ
+
pσk pkγ +
σ
ηkγ
+
imχ(pk ) σ κγ 3 pκk
m2 χ2(pk ) p2k − (1 + χ(pk ) p2k )2
iµ
− (1 + χ(pk ) p2k )2 ](p2k − m2 )
!
pσk pkγ
p2k
(3.71)
,
(3.72)
#
+ (1 + χ(pk ) p2k − mχ(pk ) )σα γ 3 pkα
,
(3.73)
onde denimos a função
µ2
χ(pk ) = q
.
8 −p2k (p2k − m2 )
De posse dos coecientes
(3.74)
A, B , C
e
D
e, portanto, da matriz inversa (3.68),
usando as equações (3.18), (3.66) e (3.67) e efetuando diversas manipulações simples,
porém longas, obtemos nalmente a transformada de Fourier do propagador
"
G̃(M )νσ (pk ; x3 , y 3 )
"
0 G̃(CS)νσ (pk )
#
a11νσ (pk ; x3 , y 3 ) a12νσ (pk ; x3 )
G̃νσ (pk ; x3 , y 3 ) =
−
a21νσ (pk ; y 3 )
0
a22νσ (pk )
#
,
(3.75)
onde denimos as funções
−
q
−p2 (|x3 −a|+|a−y 3 |)
k
µ2 e
a11 (pk ; x3 , y 3 ) =
16p2k [m2 χ2(pk ) p2k − (1 + χ(pk ) p2k )2 ](p2k − m2 )
×[(1 + χ(pk ) p2k − m2 χ(pk ) )(ηkνσ p2k − pkν pkσ ) − imνψσ3 pψk ] ,
(3.76)
35
3.2. Propagador da teoria
−
q
−p2k |x3 −a|
iµe
a12 (pk ; x3 ) = − q
2 −p2k [m2 χ2(pk ) p2k − (1 + χ(pk ) p2k )2 ](p2k − m2 )
"
#
im
ψ
2
× imηkνσ − 2 pkν pkσ + (1 + pk χ(pk ) − mχ(pk ) )νψσ3 pk ,
pk
(3.77)
q
− −p2k |a−y 3 |
iµe
a21 (pk ; y 3 ) = − q
2 −p2k [m2 χ2(pk ) p2k − (1 + χ(pk ) p2k )2 ](p2k − m2 )
"
#
im
ψ
× imηkνσ − 2 pkν pkσ + (1 + p2k χ(pk ) − mχ(pk ) )νψσ3 pk ,
pk
(3.78)
µ2
a22 (pk ) = − q
4 −p2k [m2 χ2(pk ) p2k − (1 + χ(pk ) p2k )2 ](p2k − m2 )2
"
× ηkνσ [m2 (1 − χ(pk ) p2k ) + (1 + χ(pk ) p2k )p2k ]
!
2
m
(χ(pk ) p2k − 1) − (1 + χ(pk ) p2k )
2
pk
#
+pkν pkσ
+im(m2 χ(pk ) − 2 − χ(pk ) p2k )νψσ3 pψk .
(3.79)
O propagador será dado pela integral (3.51) com (3.75), ou seja,
Z
Gνσ (x, y) =
"
−
d3 pk
(2π)3
"
G̃(M )νσ (pk ; x3 , y 3 )
0
#
0 G̃(CS)νσ (pk )
#
a11νσ (pk ; x3 , y 3 ) a12νσ (pk ; x3 )
e−ipk (xk −yk ) .
3
a21νσ (pk ; y )
a22νσ (pk )
(3.80)
Note que o propagador (3.80) é dado pelo propagador sem o termo de interação
acrescido de uma contribuição na qual se leva em conta a presença da fronteira.
Vamos denotar essa contribuição por
Z
∆Gνσ (x, y) = −
d3 pk
(2π)3
"
∆G(x, y)
a11νσ (pk ; x3 , y 3 ) a12νσ (pk ; x3 )
3
a21νσ (pk ; y )
a22νσ (pk )
Se tomarmos o limite de acoplamanto nulo, ou seja,
a22 = a12 = a21 = 0
(e
∆G = 0),
#
µ → 0,
e−ipk (xk −yk ) . (3.81)
temos que
a11 =
e recuperamos o caso onde os campos de Maxwell
e de Chern-Simons estão desacoplados.
De posse do propagador do modelo, podemos encontrar qualquer quantidade
física relacionada ao sistema, clássica ou quântica.
36
3.3
Capítulo 3. Lagrangeana com dois campos
Interação carga-superfície
Com o propagador devidamente calculado, na seção anterior, vamos estudar como
se dá a interação entre uma carga pontual estacionária a superfície descrita pelo
modelo (3.1).
Usando os mesmos argumentos empregados no capítulo anterior, podemos mostrar, para o modelo (3.1), que a energia de interação entre uma fonte externa e a
superfície é dada por
Eint
1
=
2T
Z
d4 xd4 y(J µ )t (x)∆Gµν (x, y)J ν (y)
onde está implícito o limite
T → ∞, ∆Gµν (x, y)
(3.82)
está denido em (3.81) e
J µ (x)
é
a fonte externa, dada por
"
J µ (x)
µ
J (x) =
J µ (x)
sendo
#
(3.83)
I µ (x)δ(x3 − a)
a fonte para o campo de Maxwell e
I µ (x)
a fonte para o campo de
Chern-Simons.
Para um sistema sem fontes para o campo de Chern-Simons e com uma carga
pontual estacionária para o campo de Maxwell, localizada na posição
tomar
I µ (x) = 0
"
J µ (x) =
#
J µ (x)
e
J µ (x) =
qη0µ δ 3 (~x
− ~b).
~b,
devemos
Com isso a equação (3.83) ca
(3.84)
0
e a energia (3.82) se torna
Eint
1
=
2T
Z
d4 xd4 y
h
qη0µ δ 3 (~x − ~b) 0
i
"
∆Gµν (x, y)
qη0ν δ 3 (~y − ~b)
0
#
(3.85)
Substituindo a denição (3.81) em (3.85) temos que
Eint
Z
Z 3 h
i
d pk
1
4
4
µ 3
~
= −
d xd y
qη0 δ (~x − b) 0
2T
(2π)3
"
#"
#
a11νσ (pk ; x3 , y 3 ) a12νσ (pk ; x3 )
qη0ν δ 3 (~y − ~b)
×
e−ipk (xk −yk )(3.86)
.
3
a21νσ (pk ; y )
a22νσ (pk )
0
Efetuando o produto matricial e as integrais
Eint
q2
=−
2T
Z
0
dx dy
0
Z
d3~x, d3 ~y
obtemos
d2 p~k dp0
0 0
0
a1100 (pk ; b3 , b3 )e−ip (x −y ) .
2
(2π) 2π
(3.87)
37
3.3. Interação carga-superfície
Usamos agora o fato de que
em conta que
R
dy 0 = T ,
R
dx0 e−ip
0 x0
= (2π)δ(p0 ), integrando em dp0 e levando
estando implícto o limite
T → ∞,
reescrevemos a energia
de interação como
Eint
q2
=−
2
Z
d2 p~k
a1100 (p0 = 0, p~k ; b3 , b3 ) .
2
(2π)
(3.88)
Pela denição (3.76) podemos escrever que
0
3
µ2 (1 + χ(pk ) p2k − m2 χ(pk ) )(p2k − p20 )
3
a1100 (p = 0, p~k ; x , y ) = −
16p2k [m2 χ2(pk ) p2k − (1 + χ(pk ) p2k )2 ](p2k − m2 )
q
− −p2k (|x3 −a|+|a−y 3 |)
×e
.
(3.89)
Substituindo o resultado acima em (3.88) chegamos a seguinte integral
2 2
Eint = −
A função
q µ
32
Z
q
−2 p
~2k |b3 −a|
2
2
(1 − χ(−~pk ) p~k − m χ(−~pk ) )e
d p~k
(2π)2 16[m2 χ2(−~pk ) p~2k + (1 − χ(−~pk ) p~2k )2 ](~p2k + m2 )
2
χ está denida em (3.74).
Para
.
(3.90)
p0 = 0 temos então χ(−~pk ) =
q −µ
8 p
~2k (~
p2k +m2 )
2
e a equação (3.90) toma a forma
2 2
Eint = −
q µ
32
q

2
2
q
8
p
~
+
µ
k
d p~k 8
−2 p
~2k |b3 −a|
e
q 
q
(3.91)
.
2
(2π)
p~2k 64~p2k + 16 p~2k µ2 + µ4 + 64m2

2
Z
A integral acima pode ser resolvida em coordenadas polares.
r
a coordenada radial, ou seja,
r =
q
Tomando como
p~2k e integrando na parte angular, podemos
escrever
Eint
q 2 µ2
=−
8π
Z
∞
dr
0
8r + µ2
3
e−2r|b −a|
2
2
4
2
64r + 16rµ + µ + 64m
(3.92)
Para resolvermos a integral acima vamos fazer a decomposição por frações parciais. As raízes do polinômio do denominador (64r
r1 = −
µ2
+ im ,
8
r2 = −
2
+ 16rµ2 + µ4 + 64m2 )
µ2
− im ,
8
são
(3.93)
e a equação (3.92) pode ser escrita como
Eint
q 2 µ2
= − 10
2 imπ
Z
0
∞
8r + µ2 −2r|b3 −a| 8r + µ2 −2r|b3 −a|
dr
e
−
e
r − r1
r − r2
(3.94)
O resultado da integral acima pode ser feito com o auxílio da referência [32] ou
com o auxílio do software Maple.
Vamos denir a distância entre a superfície e
38
Capítulo 3. Lagrangeana com dois campos
a carga como sendo
R = |b3 − a|.
Com isso a energia (3.94) pode ser nalmente
calculada
!
2
!
q µ
µ
µ
= − 7
Ei 1,
− 2im R exp
− 2im R
2π
4
4
!
2
!#
2
µ
µ
+ 2im R exp
+ 2im R
,
+Ei 1,
4
4
2 2
Eint
onde
Ei(1, x)
"
2
(3.95)
é a função erro integral denida como
∞
Z
dp exp(−pz)p−a .
Ei(a, z) =
(3.96)
1
Apesar da presença da unidade imaginária
i no resultado (3.95), a energia é real,
pois temos a soma de uma quantidade complexa com seu conjugado.
Podemos perceber que a energia (3.95) decresce com a distância
presença das funções exponenciais, o decréscimo da função
R.
Apesar da
Ei supera o crescimento
da exponencial nesse caso.
O caso especial onde a massa do campo de Chern-Simons é nula pode ser fácilmente resolvido, tomando
Eint
q 2 µ2
=−
8π
Z
m=0
∞
dr
0
em (3.94), como segue
e−2rR
8r + µ2
2 2
Eint = −
q µ µ2 R
µ2
e 4 Ei(1, R) ,
64π
4
onde a integração foi feita utilizando o software Maple
(3.97)
CAPÍTULO 4
Conclusões e Perspectivas
Nesse trabalho iniciamos um estudo a respeito de potenciais tipo delta de Dirac para o campo eletromagnético onde esse exibe acoplamentos com estrutura de
Chern-Simons. Consideramos dois modelos. No primeiro temos somente o campo
eletromagnético, estando esse submetido a um potencial externo concentrado ao
longo de uma superfíce. No segundo modelo, temos dois campos, o eletromagnético
e um campo de Chern-Simons denido ao longo de uma superfície. Os campos se
acoplam por um potencial delta de Dirac concentrado ao longo da superfície com
um termo de interação com a estrutura de Chern-Simons. O primeiro modelo tem
um único parâmetro, a constante de acoplamento entre o campo eletromagnético
e o potencial, e o segundo modelo tem dois parâmetros, a mesma constante de
acoplamento e a massa do campo de Chern-Simons.
Restringimos ao caso onde a superfície é um plano innito estacionário e os
modelos estudados são denidos em
3+1
dimensões.
Sendo ambos os modelos
quadráticos nos campos, podemos encontrar nossos resultados exatamente, sem a
necessidade de apelar para teoria de perturbação.
Para o primeiro modelo, calculamos o propagador e estudamos a interação da
fronteira com uma carga pontual estacionária. Mostramos que, no limite quando a
constante de acoplamento tende a innito, recuperamos os resultados obtidos para
um condutor perfeito.
No segundo modelo obtivemos o propagador e a lagrangeana efetiva para o campo
eletromagnético, após integrar funcionalmente no campo de Chern-Simons.
Essa
lagrangeana se mostrou não local. Obtivemos também o propagador da teoria completa, isto é, com os dois campos, assim como a interação entre a superfície e uma
40
Capítulo 4. Conclusões e Perspectivas
carga pontual estacionária.
Existem algumas lacunas no estudo abordado nesse texto, que estamos considerando no momento e pretendemos concluir.
A primeira delas diz respeito ao
segundo modelo (com dois campos), quando tomamos o limite da constante de acoplamento entre os campos tendendo a innito. Nesse caso pretendemos comparar
nossos resultados com aqueles obtidos quando temos a presença de uma placa plana
perfeitamente condutora.
Para o primeiro modelo, vamos considerar a presença de duas superfícies plana
estáticas e paralelas, com constantes de acoplamento diferentes. Dessa forma, devemos obter a energia de Casimir para esse sistema. O problema de duas superfícies
para o segundo modelo deve envolver cálculos muito longos, e não devemos abordá-lo
tão cedo.
Vamos procurar por meios materiais que possam, de forma efetiva, ser descritos
pelas superfícies que estudamos nessa Dissertação. Vamos concentrar nossa atenção nos chamados meta-materiais, que podem exibir propriedades eletromagnéticas
interessantes e bem diferentes das usuais.
Como possibilidads futuras, podemos estudar como as fronteiras tratadas nessa
Dissertação podem interagir com sistemas atômicos, quando colocados em suas
proximidades.
Nesse contexto, estudaríamos o Lamb-Shift e a interação átomo-
superfície, com os modelos propostos.
Também seriam um assunto interessante
estudar a reexão e transmissão de ondas eletromagnéticas por essas superfícies.
No caso do primeiro modelo, ao considerarmos duas placas paralelas, seria uma
possibilidade também estudar o chamado Efeito Scharnhorst, que se trata da alteração da velocidade de propagação da luz dentro de cavidades.
APÊNDICE A
Cálculo do propagador de Maxwell
Temos que a lagrangeana de Maxwell é:
1
1
(∂µ Aµ )2
(A.1)
LM ax = − Fµν F µν − Jµ Aµ −
4
2α
Podemos reescrevê-la, escolhendo o calibre α = 1 e elimando os termos de superfície,
da seguinte maneira:
1
LM ax = Aµ (η µν ∂ λ ∂λ )Aν − Jµ Aµ
2
(A.2)
Queremos encontrar o propagador para essa equação. Portanto, teremos que calcular:
(η µν ∂ λ ∂λ )Gνσ (x, y) = ησµ δ 4 (x − y)
(A.3)
Utilizando o método de Fourier [25], teremos:
Z
d4 p µν λ
(η ∂ ∂λ )G̃νσ (p)e−ip(x−y) =
4
(2π)
Z
d4 p µ −ip(x−y)
η e
(2π)4 σ
(A.4)
Desta obtemos:
η µν (−p2 )G̃νσ (p) = ησµ ⇒ G̃µσ (p) = −
ησµ
p2
(A.5)
Então:
Gµσ (x, y)
Z
=−
d4 p ησµ −ip(x−y)
e
(2π)4 p2
(A.6)
Para as equações utilizadas nesse trabalho, faremos uma integração em
dp3 .
Assim,
teremos que resolver
Gµσ (x, y)
Gµσ (x, y)
Z
d3 p
(2π)3
Z
dp3
ησµ
3 3
3
e−ipk (xk −yk ) eip (x −y )
2
3
2
(2π) pk − (p )
Z
d3 p
(2π)3
Z
dp3 µ −ipk (xk −yk ) eip (x −y )
η e
(2π) σ
p2k − (p3 )2
=−
=−
3
3
3
(A.7)
42
Apêndice A. Cálculo do propagador de Maxwell
Para integrarmos em
dp3
usaremos o método dos resíduos [34]. Para isso acrescen-
taremos uma parte imaginária na equação como segue:
Z
limχ→0
3
3
3
dp3
eip (x −y )
(2π) p2k − (p3 )2 + iχ
(A.8)
calculando os polos da equação e os resíduos obteremos:
Z
limχ→0
3
ip3 (x3 −y 3 )
−
q
−p2k |x3 −y 3 |
dp
e
e
= ησµ
√
2
3
2
(2π) pk − (p ) + iχ
2 −pk
(A.9)
Assim, chamaremos:
−
G̃µσ (pk ; x3 , y 3 ) = ησµ
e
q
−p2k |x3 −y 3 |
√
2 −pk
(A.10)
APÊNDICE B
Cálculo do propagador de
Chern-Simons
Temos que a lagrangeana de Chern-Simons é:
m
1
1
(∂µ B µ )2 ]
LCS = [− Gµν Gµν + µνα3 Bµ ∂ν Bα − Iµ B µ −
4
2
2β
Podemos reescrevê-la, escolhendo o calibre
(B.1)
β = 1 e elimando os termos de superfície,
da seguinte maneira:
LM ax
1 µν λ
µαν3
= Bµ ηk ∂k ∂kλ + m
∂kα Bν − Iµ B µ
2
(B.2)
Queremos encontrar o propagador para esse caso. Portanto, teremos que calcular:
ηkµν ∂kλ ∂kλ + mµαν3 ∂kα Gνσ (xk , yk ) = ησµ δ 3 (xk − yk )
(B.3)
Utilizando o método de Fourier, teremos:
d3 p µν λ
µαν3
η ∂ ∂kλ + m
∂kα Gνσ (pk )e−ipk (xk −yk ) =
(2π)3 k k
Z
d3 p µ −ipk (xk −yk )
η e
(2π)3 kσ
Z
(B.4)
Desta obtemos:
µ
ηkµν (−pk )2 − imµαν3 pkα Gνσ (pk ) = ηkσ
(B.5)
Para resolvermos essa equação lançaremos mão do seguinte ansatz:
Gνσ (pk ) = Aηkµσ + BPkµ Pkσ − iCµρσ3 Pkρ
(B.6)
44
Apêndice B. Cálculo do propagador de Chern-Simons
Então:
σ
[−p2k ηkµν − imµαν3 pkα ][Aηkµσ + BPkµ Pkσ − iCµρσ3 Pkρ ] = ηkν
(B.7)
Com essa proposta, obtemos o seguinte sistema:
ν
ν
ηkκ
(−p2k A + mCp2k ) = ηkκ
pνk pκk (−p2k B − mC) = 0
iνρκ3 pρk (p2k C − mA) = 0
(B.8)
Desse sistema obtemos que:
A=−
p2k
1
− m2
m2
(p2k )2 (p2k − m2 )
m
C=− 2 2
pk (pk − m2 )
B=
(B.9)
Então teremos:
G̃µσ (pk ) = −
ηkµσ
p2k − m2
2
+m
pµk pσk
(p2k )2 (p2k − m2 )
Sendo este o propagador de Chern-Simons.
+ im
µρσ3 pkρ
(p2k )(p2k − m2 )
(B.10)
APÊNDICE C
Cálculo da integral U
Vemos que a integral
U =
R
−ipk zk
p2k
d3 pk e
contém polos.
Para eliminar os polos,
faremos uma mudança de variável, utilizaremos coordenadas euclidianas denidas
em [22], como se segue: chamaremos
p0 → ip0 = p3
e
z 0 → iz 0 = z 3 .
Assim nossa
integral ca:
Z
e−ipk zk
d pk
=
p2k
3
Z
d3 pk − i
e−ipkE zkE
p2kE
(C.1)
Em coordenadas eféricas teremos:
e−ir zkE
−i dr dφ dθr senθ
r2
Integrando em dφ teremos:
Z
−2πi dr dθsenθe−ir zkE
Z
2
Para intergrarmos em
Z
dθ
|zkE |cosθ
Fazendo a seguite mudança de variável
2π
−i|zkE |
∞
Z
dr
0
(C.3)
faremos:
dr dθsenθe−ir
−2πi
(C.2)
(C.4)
u = cosθ
e integrando em
1 ir|zkE
[e
− e−ir|zkE ]
r
Fazendo mais uma mudança de variável
du
teremos:
(C.5)
v = r|zkE |
∞
4π
1 eiv − e−iv
dv
−|zkE | 0
v
2i
obteremos:
Z
(C.6)
Utilizando o método dos resíduos teremos:
4π
−|zkE |
Z
0
∞
1 eiv − e−iv
−2π 2
dv
=
v
2i
|zk |
(C.7)
Referências Bibliográcas
[1] G.T. Camilo, F.A. Barone and F.E. Barone, Phys. Rev. D.
[2] F.A. Barone and F.E. Barone, Eur. Phys. J. C
[3] F.A. Barone and F.E. Barone, Phys. Rev. D
[4] H.B.G. Casimir, Proc. K. Ned. Akad. Wet.
[5] P.W. Milonni,
87, 025011 (2013).
74, 3113 (2014).
89, 065020 (2014).
51, 793 (1948).
The Quantum Vaccum: An Introduction to Quantum Electrody-
namics, AcademicPress, NewYork (1994).
[6] K. A. Milton,
The Casimir Eect, Physical Manifestations of Zero-Point
Energy, World Scientic, Singapore (2001).
[7] M. Bordag, G. L. Klimchitskaya, U. Mohideen, V. M. Mostepanenko
Advances
in the Casimir Eect, Oxford Science Publications, Oxford (2009).
[8] M. Bordag, D. Robaschik and E. Wieczorek, Ann. Phys. (N.Y.)
165, 192 (1985).
[9] R. M. Cavalcanti, arXiv:hep-th/0201150.
[10] A. Scardicchio, Phys. Rev. D
72, 065004 (2005).
[11] C.D. Fosco and E.L. Losada, Phys. Rev. D
78, 025017 (2008).
[12] C.C. Ttira, C.D. Fosco, and E. Losada, Phys. Rev. D
[13] G. Barton, Proc. Roy. Soc. Lond. A
320, 251(1970).
[14] G. Barton, Proc. Roy. Soc. Lond. A
410, 141 (1987).
[15] G. Barton, Proc. Roy. Soc. Lond. A
410, 175 (1987).
82, 085008 (2010).
47
Referências Bibliográcas
[16] C.A. LÄutkeneF. Ravndal, Phys. Rev. A
31, 2082 (1985).
[17] D.T. Alves, F.A. Barone, C. Farina and A.C. Tort, Phys. Rev. A
67,
022103
(2003).
[18] G. V. Dunnel. Aspects of Chern-Simons Theory.Department of Physics University of Connecticut.
236, 354 (1990).
[19] K. Scharnhorst, Phys. Lett. B
[20] G. Barton, Phys. Lett. B
237, 559(1990).
[21] F.A. Barone, C. Farina, Phys. Rev. D
71, 067701 (2005).
[22] W. Greiner and J. Reinhardt,
Field e Quantization, SPRINGER.
[23] W. Greiner and J. Reinhardt;
Quantum Electrodynamic, SPRINGER, (2003).
[24] L. D. Landau, E. M. Lifshitz, ;
The Classical Theory of Fields
, Butterworth-
Heinemann, USA: Burlington (1984).
[25] J. D. Jackson,
[26] A. Das,
Classical Electrodynamics, WILEY.
Lectures on Quantum Field Theory, World Scientic.
[27] M. Kaku,
Quantum Field Theory A Modern Introduction,
Oxford University
Press, USA: New York (1993).
[28] A. Zee,
Quantum Field Theory in a Nutshell, Princeton University Press, Prin-
ceton, NJ, (2003).
[29] F. A. Barone and G. Flores-Hidalgo, Phys. Rev. D
78, 125003 (2008).
[30] F.A. Barone, G. Flores Hidalgo and A. A. Nogueira, Phys. Rev. D
91, 027701
(2015).
[31] G. B. Arfken and H. J. Weber,
Mathematical Methods for Physicists, Academic
Press, New York (1995).
[32] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik,
Table of Integrals, Series and Products, seventh
edition, Academic Press, USA (2007).
[33] L. H. Ryder,
[34] E. Butkov,
Quantum Field Theory, Cambridge University Press.
Mathematical Phisics, Addison - Wesley.