Solução

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Um fio de arame está preso a uma parede numa de suas extremidades e ao solo na
outra, é mantido tenso de modo a formar um ângulo de 60o com a vertical. Um anel de massa
200 g pode deslizar ao longo desse fio. A partir do repouso o anel se desloca por 10 m
atingindo a velocidade de 5 m/s. Calcular o calor produzido pelo atrito entre o anel e o fio nesse
deslocamento. Adote a aceleração da gravidade local igual a 10 m/s 2 e o equivalente mecânico
do calor como sendo 1 cal = 4,18 J.
Dados do problema
•
•
•
•
•
•
•
massa do anel:
velocidade inicial do anel:
velocidade final do anel:
distância percorrida pelo anel:
ângulo de inclinação do fio:
aceleração da gravidade local:
equivalência entre caloria e joule:
m = 200 g;
v 0 = 0;
v = 5 m/s;
d = 10 m;
θ = 60o;
g = 10 m/s2 ;
1 cal = 4,18 J.
Esquema do problema
figura 1
Solução
Em primeiro devemos converter a massa dada em gramas para quilogramas usadas no
Sistema Internacional (S.I.)
m = 200 g.
1 kg
= 0,2 kg
1000 g
Adotamos um sistema de referência orientado na
direção do arame com sentido descendente. No anel atuam
as forças:
;
força peso: P
 at ;
força de atrito: F
.
reação normal do arame sobre o anel: N
A força peso pode ser decomposta em duas (figura
P) e
3 A abaixo), uma componente paralela ao eixo-x ( P

outra normal ou perpendicular ( P N ). Desenhando as
forças num sistema de eixos coordenados (figura 3 B), temos
P P = P cos 60
o
P N = P sen 60
e
figura 2
o
(I)
O trabalho total ( ℑ ) realizado será a soma dos trabalhos de todas as forças que agem
sobre o anel, trabalho da força de atrito ( F ℑ ), trabalho da componente paralela da força peso
( P ℑ ), trabalho da componente normal da força peso ( P ℑ ) e trabalho da reação normal ( N ℑ )
at
P
N
1
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ℑ = F ℑ P ℑP ℑ  N ℑ
at
P
(II)
N
figura 3
O trabalho de uma força é dado por
F
ℑ = F d cos θ
onde d é o deslocamento do corpo e θ é o ângulo entre a
força e a direção de deslocamento.
O trabalho da força de atrito é o que desejamos
encontrar ( F ℑ ).
O trabalho da componente paralela da força peso é
dado por
at
PP
figura 4
ℑ = P P d cos θ
substituindo para a componente paralela da força peso a primeira expressão de (I) e o ângulo θ
é nulo ( θ = 0 o pela figura 4 ), temos
o
PP
ℑ = P cos 60 d cos 0
o
sendo a força peso dada por
P =mg
substituindo na expressão anterior
o
PP
ℑ = m g cos60 d cos 0
o
substituindo os valores dados e sendo cos 60 =
PP
o
1
e cos0 o = 1 , obtemos
2
1
.10. 1
2
ℑ = 10 J
ℑ = 0,2 .10.
PP
(III)
O trabalho da componente normal da força peso é nulo ( P ℑ = 0 ), pois a componente
normal é é perpendicular ( θ = 90 o pela figura 4 ) ao deslocamento dado por
N
PN
PN
ℑ = P N d cos θ
ℑ = P N d cos90
o
como cos90 o = 0 , não é preciso substituir os outros dados
PN
ℑ = P N d .0
2
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PN
ℑ=0
(IV)
De maneira análoga o trabalho da força normal também é nulo ( Nℑ = 0 ), pois a força
normal é é perpendicular ( θ = 90 o pela figura 4 ) ao deslocamento dado por
ℑ = N d cosθ
o
N ℑ = N d cos90
N ℑ = N d .0
Nℑ= 0
N
(V)
Substituindo (III), (IV) e (V) em (II), temos
ℑ = F ℑ1000
ℑ = F ℑ10
at
at
(VI)
Pelo Teorema da Energia Cinética o trabalho total realizado é igual a variação da
energia cinética entre dois pontos
2
mv f m v i
ℑ=
−
2
2
2
(VII)
substituindo a massa dada no problema e sendo a velocidade inicial nula ( v i = v 0 = 0 ) e a
velocidade final 5 m/s ( v f = v = 5 m/s ), temos
2
2
0,2. 5 0,2 . 0
−
2
2
0,2 . 25 0,2 . 0
ℑ=
−
2
2
ℑ = 0,1 .25−0
ℑ = 0,1 . 25
ℑ = 2,5 J
ℑ=
(VIII)
substituindo (VIII) em (VI), obtemos
2,5 = F ℑ 10
2,5−10 = F ℑ
F ℑ = −7,5 J
at
at
at
o sinal de negativo indica que é o trabalho de uma força resistiva.
Convertendo para calorias usamos a equivalência dada no problema fazendo uma
“regra de três”
1 cal
Q
=
4,18 J −7,5 J
1 cal. −7,5 J
Q=
4,18 J
Q = −1,8 cal
3