Função Modular

1. Função definida por várias
sentenças abertas
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Exemplos preliminares
1o) Seja a função f : ℝ → ℝ definida por
para x < 0
f ( x ) = 1

f ( x ) = x + 1 para 0 ≤ x < 2
f ( x ) = 3
para x ≥ 2

Função Modular
que também pode ser indicada por
se x < 0
1

f ( x ) =  x + 1 se 0 ≤ x < 2
3
se x ≥ 2

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
4
Função Modular
1. Função definida por várias
sentenças abertas
1.Função definida por várias sentenças abertas
O seu gráfico está representado abaixo
2.Módulo
4
3.Função modular
4.Equações modulares
f(x) = 3
3
f(x
)=
x+
1
5.Inequações modulares
2
f(x) = 1
1
0
-6
1. Função definida por várias
sentenças abertas
-4
-2
0
2
4
6
5
1. Função definida por várias
sentenças abertas
2o) Seja a função f : ℝ → ℝ definida por
Uma função f pode ser definida por várias
sentenças abertas, cada uma das quais está ligada
a um domínio D, contido no domínio da f.
f ( x ) = − x

2
f ( x ) = x − 1
para x < −1
para x ≥ −1
que também pode ser indicada por
− x
f (x) =  2
x − 1
3
se x < −1
se x ≥ −1
6
1
1. Função definida por várias
sentenças abertas
2. Módulo
O seu gráfico está representado abaixo
Definição geométrica: O módulo de um número é a
distância da imagem desse número à origem da
reta real.
8
7
−
7
2
2 2
x 21
6
)=
5
-4
f(x
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
f(x )
= -x
2
−
1
7
7
=+
2
2
+2 2 = +2 2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
7
-2
2. Módulo
10
2. Módulo
Definição algébrica: Sendo x ∈ ℝ , define-se módulo ou valor absoluto de x, que se indica por |x|,
Propriedades: Decorrem da definição as seguintes
propriedades
por meio da relação
 x = x

 x = − x
I.
se x ≥ 0
x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ
II. x = 0 ⇔ x = 0
se x < 0
III. a = b ⇔ a = b ou a = −b, ∀x ∈ ℝ
Isso significa que:
2
IV. x = x 2 , ∀x ∈ ℝ
1o) o módulo de um número real não negativo é igual
ao próprio número;
V. x ≤ a e a > 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a
VI. x ≥ a e a > 0 ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a
2o)
o módulo de um número real negativo é igual ao
oposto desse número;
8
2. Módulo
11
2. Módulo
Assim, por exemplo, temos:
+2 = +2,
−7 = +7,
− 2 = + 2,
Demonstrações:
0 =0
−
Se x ≥ 0, então x = x e daí x 2 = x
3
3
=+
5
5
2
Se x < 0, então - x = x e daí (- x ) ⋅ (- x ) = x ⋅ x , isto é, x 2 = x
+ 3 =+ 3
2
a >0
2
x ≤ a ⇔ x ≤ a 2 ⇔ x 2 ≤ a 2 ⇔ x 2 − a 2 ≤ 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a
a >0
2
x ≥ a ⇔ x ≥ a 2 ⇔ x 2 ≥ a 2 ⇔ x 2 − a 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a
9
12
2
3. Função modular
3. Função modular
Uma aplicação de ℝ em
recebe o nome de
ℝ
A imagem desta função é
Im = ℝ + , isto é,
função módulo ou modular quando a cada x ∈ ℝ as-
a função modular somente assume valores reais
socia o elemento
não negativos.
x ∈ ℝ.
f (x) = x
13
3. Função modular
16
4. Equações modulares
Utilizando o conceito de módulo de um
Lembremos da propriedade do módulo dos
números reais para k > 0 :
número real, a função modular pode ser definida
também da seguinte forma:
 x
f (x) = 
− x
x = k ⇔ x = k ou x = −k
se x ≥ 0
e, utilizando essa propriedade, vamos resolver
se x < 0
algumas equações modulares.
14
3. Função modular
4. Equações modulares
Exemplo 1: Resolver 2 x − 1 = 3.
O gráfico da função modular é a reunião de
duas
17
semi-retas
de
origem
O, que são as
2 x − 1 = 3

2 x − 1 = 3 ⇒ ou

2 x − 1 = −3
bissetrizes do 1o e 2o quadrantes.
4
3
⇒x =2
⇒ x = −1
S = {2, − 1}
2
1
0
-4
-2
0
2
4
15
18
3
4. Equações modulares
5. Inequações modulares
Exemplo 2: Resolver 3 x − 1 = 2 x + 3 .
Lembrando das propriedades de módulo dos
números reais para k > 0 :
Lembrando da propriedade
1) x < k ⇔ −k < x < k
a = b ⇔ a = b ou a = −b

3 x − 1 = 2 x + 3 ⇒ x = 4

3 x − 1 = 2 x + 3 ⇔ ou

2
3 x − 1 = −2 x − 3 ⇒ x = −
5

2

S = 4, − 
5

2) x > k ⇔ x < −k ou x > k
e, utilizando essas propriedades, podemos resolver
algumas inequações modulares.
19
4. Equações modulares
22
5. Inequações modulares
Exemplo 3: Resolver x + 1 = 3 x + 2 .
Exemplo 4: Resolver em ℝ : 2 x + 1 < 3.
Devemos ter inicialmente
Então:
3x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ −
2 x + 1 < 3 ⇒ −3 < 2 x + 1 < 3 ⇒ −2 < x < 1
2
3
S = {x ∈ ℝ / −2 < x < 1}
para que seja possível a igualdade.
20
4. Equações modulares
23
5. Inequações modulares
2
, temos:
3
1

 x + 1 = 3x + 2 ⇒ x = − 2

x + 1 = 3 x + 2 ⇔ ou

3
 x + 1 = −3 x − 2 ⇒ x = − (não convém)
4

Supondo x ≥ −
 1
S = − 
 2
21
Exemplo 5: Resolver em ℝ : 4 x − 3 > 5 .
Então:

 4 x − 3 < −5

4 x − 3 > 5 ⇒ ou
4 x − 3 > 5


⇒x<−
1
2
⇒x>2
1


S = x ∈ ℝ / x < −
ou x > 2 
2


24
4