Lei de Gauss II

Lei de Gauss II
Revisão: Aula 2_2
Física Geral e Experimental III
Prof. Cláudio Graça
Revisão
•
Cálculo vetorial
1.
2.
3.
Produto de um escalar por um vetor
Produto escalar de dois vetores
Lei de Gauss, fluxo através de uma superfície, analogias
4. Exemplos e aplicações da Lei de Gauss
5. Lei de Gauss aplicada aos condutores
(continuação)
Lei de Gauss: Fluxo e linhas de campo
• O número N de linhas de campo que atravessam a
superfície fechada é proporcional à carga Q contida no
volume limitado por essa superfície.
• N(Linhas de campo -E) para uma carga Q no interior da
superfície.
Q Coulombs ⇒ α Ν número de linhas
Linhas de campo elétrico
Quantas linhas de campo
atravessam a superfície externa?
8C ⇒ 8 linhas
16C ⇒ 16 linhas
32C
16C
8C
32C ⇒ 32 linhas
Analogia de Integrais de Área
Esta área fica
mais molhada!
Integrais de Área – veja o fluxo?
chuva
ds
Chuva
ds
Esta área molha mais!
Integrais de área – calcule o fluxo de água!
chuva
ds
ds
chuva
As áreas são as mesmas, mas o ângulo entre a velocidade da
chuva e o vetor que representa a área…
Integrais de área – calcule o fluxo de água!
Chuva, v
Chuva, v
ds
ds
Casos extremos
a 180° - fluxo máximo!!
a 90°, fluxo nulo!!
Fluxo de chuva através da área ds
• Fluxo = v.ds (Fluxo= vazão m3/s)
– |v||ds|cos(θ)
– vds cos(θ)
• Fluxo = 0 para 90° … cos(θ) = 0
• Fluxo = -vds para 180° … cos(θ) = -1
• Geralmente, Fluxo = vds cos(θ)
-1 < cos(θ) < +1
Lei de Gauss – Exemplo 1: distribuição linear de carga
Construa uma “Superfície Gaussiana” simétrica com a distribuição
de carga - cilíndrica neste caso, depois calcule ∫∫E.ds
E
E
ds
ds
λl Coulombs/m
r
ds
L
Cálculo de ∫∫E.ds
E
ds
• ∫∫E.ds = ∫∫E.ds sup. Cilíndrica
+ ∫∫E.ds sup. planas
r
• Nas sup. planas, E & ds são perpendiculares E.ds
nas tampas = 0
• ∫∫E.ds nas tampas = 0
• As superfícies planas não contribuem.!
Cálculo de ∫∫E.ds
• ∫∫E.ds = ∫∫E.ds na sup. cilíndrica
E & ds paralelos,
E.ds = |E|´|ds| = Eds
E
ds
ρl Coulombs/m
ds
L
Cálculo de ∫∫E.ds
r r
∫∫ E ⋅ ds = carga no interior da gaussiana
λL
E.2πrL =
εo
λ
E(r ) =
2πεo r
r
E(r ) =
λ
r̂
2πεo r
Discussão
• E aponta radialmente
• |E| é proporcional a λ
– Maior densidade de carga = maior o campo
• |E| é proporcional a 1/r
– Diminui com a distância à carga, o que
é intuitivamente correto
Outras formas de distribuição de carga!
• Distribuição esférica
de carga
• ρ ∝ r-2, r-3, e –r …
• Escolha uma
gaussiana..
• Então E e ds serão,
novamente, paralelos
• Aplique a lei de
Gauss!
r
Distribuição esférica de carga (simetria)esférica
de carga
Lei de Coulomb?....não lei de Gauss
É mais simples e mais geral
q
r2
Q
Considere uma superfície
esférica
Φ=
Q
ε0
Por simetria E é ⊥ à superfície
Φ =| E | A =
Q
ε0
=| E | 4πr 2 =
1 Q
1 Q
| E |=
=
4πr 2 ε 0 4πε 0 r 2
F=qE
Q
ε0
F=
1 qQ
4πr 2 ε 0
Distribuição esférica de carga (simetria)esférica
de carga
Qual é o campo em volta
de uma casca esférica
Q
Φ dentro
Considere uma superfície
simétrica com a distribuição de
carga
Q
fora
Φ fora =
ε0
Φ out
| E |=
1
Q
4πε 0 r 2
dentro
Carga dentro = 0
Φ dentro = 0
E=0
Aplicações da Lei de Gauss
• Ação de campos elétricos sobre condutores:
– Polarização
– Carga no interior de um condutor
– Campo na superfície de um condutor
• Blindagem eletrostática:
– Gaiola de Faraday
• Localização das cargas:
– Lei de Gauss na forma diferencial
Condutores em campos E
Colocando-se um condutor dentro de um campo elétrico, aparecem cargas
induzidas….ocorre a polarização da carga elétrica.
Uma casca metálica com uma carga no interior
Uma carga negativa de 10μC
é colocada no
interior de uma casca
metálica
como
é
mostrado na figura (a).
a) Qual será a quantidade de
carga que será induzida
na superfície interna da
casca?
b) Como se distribui essa
carga?
c) Qual será o valor do
campo fora da casca?
Resposta
Æ Como o valor de E dentro do
condutor é zero o fluxo através da
gaussiana é nulo.
Æ A carga total dentro da gaussiana
é zero.
Æ A carga + induzida no interior da
casca é idêntica à carga na
cavidade
Æ A carga negativa induzida na parte
externa, deve ser nula, pois a
carga no condutor era nula.
Æ Como as linhas de campo externo
é normal à superfície a distribuição
de carga externa deve ser
homogênea.
Condutor em equilíbrio eletrostático
com carga positiva
Fluxo através das superfícies gaussianas: interna Φ = 0; externa Φ >0.
Lei de Gauss na forma diferencial
Podemos rescrever a lei de Gauss, para a eletrostática, em função de uma densidade de
carga volumétrica, como a seguir:
onde ρ é a densidade de carga volumétrica e V é o volume no interior da superfície gaussiana.
Usando o teorema de Gauss, o qual correlaciona uma integral de superfície com uma integral
de volume, temos que,
Comparando os lados direitos das duas equações acima encontramos,
como esta igualdade é verdadeira para qualquer volume, então o integrando da equação
deve ser nulo, isto é
Lei de Gauss na forma diferencial significa que, se o divergente do campo elétrico é não
nulo, então, deve existir campos elétricos na região resultantes de carga total não nula
Aplicação da Lei de Gauss na forma diferencial
q
Φ
=
E
lim
εo
ΔV → 0
⇒
lim (
ΔV → 0
)
r r ρΔV
∫∫ E ⋅ dA = εo
r r
r r⎞
ρ
⎛ 1
∇ ⋅ E = lim ⎜
⋅
⇒
E
d
A
⎟
∫∫
⎠ εo
ΔV →0 ⎝ ΔV
r r r ∂E x ∂E y ∂E z
+
div E = ∇ ⋅ E =
+
∂x
∂y
∂z
r r ρ
∇⋅E =
εo
Propriedades dos condutores
Para um condutor em equilíbrio eletrostático!
1. E é zero no interior do condutor
2. Qualquer carga, Q, se distribui na superfície
(densidade de carga será: σ=Q/A)
3. E é ⊥ à superfície
4. σ é maior onde o raio for menor
5. Gaiola de Faraday
σ2
σ1
σ 1 >> σ 2
E é zero no interior do condutor
• Se existisse um campo no interior do
condutor, os elétrons livres seriam
acelerados e haveria corrente elétrica.
• Dessa maneira não haveria equilíbrio
Portanto E=0
Qualquer carga se distribui na superfície do condutor
Considere a superfície S logo abaixo da
superfície externa do condutor
Como o condutor está em equilíbrio,
E=0, portanto Φ=0
Lei de Gauss
qi
Φ = EA = ∑ q / ε 0
∑q /ε
i
0
=0
A carga no interior
deverá ser nula!
O campo E é ⊥ à superfície
Considere uma pequena superfície cilindríca,
contendo a superfície
E⊥
q
E||
Se E|| >0 causaria o movimento da carga na
superfície e não haveria equilíbrio, portanto E|| =0
Cilindro pequeno o bastante para E
ser constante!
Lei de Gauss Φ = EA = q / ε o
E = q / Aε o
E ⊥ = σ / εo
σ é maior onde r é menor
r r ρ
∇⋅E =
εo
r1
r2
No próximo capítulo voltaremos ao assunto,
utilizando a função potencial!
Carga
de teste
sem
Condutor
isolado
blindagem
As
linhasisolado,
de campo,
Condutor
possui
produzidas
uma carga
o mesmo por
número
de
de
teste, positivas
externa, furam
cargas
+ eo
cilindro
negativas –
Carga de teste com
50% de
100%
de blindagem
blindagem
Os elétrons
elétrons se
se movem
movem na
na
Os
direção
direção da
da carga
carga de
de teste
teste
criando
um
campo
anulando totalmente o
elétrico
contrário
no
campo...
cilinddro...
Cilindro Isolado
Carga de Teste não blindado
10% Blindagem
20% Blindagem
30% Blindagem
40% Blindagem
50% Blindagem
60% Blindagem
70% Blindagem
80% Blindagem
90% Blindagem
100% Blindagem
Lei de Gauss na forma diferencial
z
Superfície gaussiana
E
y
x
43
Lei de Gauss na forma diferencial
Dada uma superfície fechada, o fluxo será dado por:
r r qint
Φ = ∫ E .dA =
εo
A
qint = ∫ ρ ( r )dV = ∫ ( ρ continuo + ρ discreto )dV
V
V
r r 1
∫ E .dA = ∫ ρ ( r )dV
A
εo V
Pelo teorema da divergência:
r r
r
∫ E .dA = ∫ ∇.EdV
A
V
r
1
∫ ( ∇.EdV − ρ ( r )dV ) = 0
V
εo
Para um volume arbitrário, a integral só será nula quando:
r ρ( r )
∇.E =
εo
A divergência do campo elétrico está em cada ponto,
Associada à densidade total de cargas nesse ponto.
44
Lei de Gauss na forma diferencial
Q
O campo elétrico
neste ponto diverge, e
a sua DIVERGÊNCIA é
diferente de zero
neste ponto pois
existe uma carga
nesse ponto, ρ>0.
E
O campo elétrico neste
ponto diverge, e a sua
DIVERGÊNCIA é zero
neste ponto, como não
existe uma carga
presente neste ponto,
ρ=0.
45
Lei de Gauss na forma diferencial
E
O campo elétrico aqui
não diverge mas a sua
a DIVERGENCIA não
é nula neste ponto
pois existe uma carga
neste pornto, ρ>0.
O campo elétrico nào
diverge neste ponto e
a sua DIVERGENCIA é
zero pois não existe
carga neste ponto,
ρ=0.
46
Equação de Poisson
A forma diferencial, também chamada forma local da Lei de Gauss.
r ρ( r )
∇.E =
εo
Esta forma é também conhecida como equação de Poisson
Em coordenadas cartesianas o divergente pode ser expresso da seguinte forma:
r
r ∂E x ∂E y ∂E z
+
divE = ∇.E =
+
∂y
∂z
∂x
∂E x ∂E y ∂E z ρ ( x , y , z )
+
+
=
εo
∂x
∂y
∂z
47
Interpretação geométrica do divergente
r r Δq ρ ( P )ΔV
Φ A = ∫ E .dA =
=
εo
A
εo
r
1 r r ρ( P )
divE( P ) = limΔV →0 [
E .dA =
∫
ΔV A
εo
Exemplo: Calcule o divergente do seguinte vetor:
r r
3
4
r
.
d
A
=
r
dA
=
π
r
∫
∫
A
P
ΔV
A
Volume limitado por uma superficie
em torno de P
r
r = xî + yˆj + zk̂
Portanto div r=3
A
4πr 3
ΔV =
3
r ∂x ∂y ∂z
+
+ =1+1+1= 3
divr =
∂x ∂y ∂z
48
Equações de Poissson e Laplace
E
Q
r ρ( r )
∇.E =
r
∇.E = 0
Poisson
Laplace
εo
49
Equações de Poissson e Laplace
Poisson
r ρ( r )
∇.E =
+
εo
r
E
ρ
ρ( r ) = δ
1/r2
δ
Laplace
r
∇.E = 0
r
δ
r
∂E
= 0 ∴ E x = cons tan te
∂x
Estes mesmos problemas serão tratados no capítulo de potencial !
50