x - matpraticas

Recredenciamento
Portaria MEC 347, de 05.04.2012 - D.O.U. 10.04.2012.
Fundamentos de Matemática III
Unidade de Aprendizagem: Medindo distâncias inatingíveis e descomplexificando o estudo de trigonometria, dos
números complexos e polinômios.
Quest(x)
1) Resolva as equações no universo dos números
complexos (dê a resposta em z):
Números Complexos (ℂ)
Pense no problema a seguir e tente dar a sua solução
(resolva-o): “divida 10 em duas partes tais que o produto
de uma pela outra seja 40”...
Alguns estudiosos definiram formas de representar
esses tipos de soluções. Dentre as representações
propostas pelo matemático Euler, destacamos o i
substituindo
 1 (e  1 vem a ser a unidade
imaginária). Euler passou a estudar números da forma
z  a  bi
(forma algébrica de um número complexo)
onde a e b são números reais e i  1 . Esses números
são chamados de números complexos. Temos também
que:
• a é a parte real de z : Re(z) = a;
2
•
b
é a parte imaginária de
z : im(z) = b.
Conjugado de um número complexo ( z )
z  a  bi
Exemplo:
a)
b)
c)
x 2  6 x  10  0
x 2  100  0
x 2  8 x  25  0
2) Para cada número complexo a seguir, qual o valor de
Re(z) e Im(z)?
a)
z  8  3i
c)
b)
z  9i  5
d)
3) Dê o conjugado dos números complexos abaixo:
a)
b)
z  3  4i
z  12  5i
c)
d)
z  a  bi

z  4  5i

z  4  5i
z  4i
2
z   5i
3
z  6  6i
2
z i
3
4) Efetue:
a) (4 + 9i) + (3 – 5i)
Operações com números complexos
Sejam
z1  a  bi
e
z2  c  di
b) (100 – 18i) – (66 – 7i)
c) (2 + i) + (3 – 4i) – (20 – 3i)
d)
Adição
z1  z2  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i
1  1 
  i     i   2  2i 
3  4 
5) Efetue:
Multiplicação (procedemos como na multiplicação
algébrica)
z1  z2  (a  bi).(c  di)  (ac  bd )  (ad  bc)i
a) (1 + 2i) (3 – 4i)
b) (5 – i) (5 – i)
c) (3 + i) (3 - i) (2 + 5i)
6) Efetue:
Divisão
z1 z1  z 2

z2 z2  z2
Exercícios
a)
3  7i
3  4i
b)
2i
1 i
c)
1
3 1
Exercícios diversos (vestibular)
Representação geométrica de números
complexos e forma trigonométrica
1) O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:
a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i
2) Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é:
a) zero
c) – i
b) i
d) 1
Faz-se, para cada
número complexo,
uma
correspondência a um par ordenado em um plano
cartesiano, sendo que Re(z) = x (eixo real) e Im(z) = y (eixo
imaginário). O plano que representa um número complexo
é chamado de Plano Complexo ou ainda Plano de ArgandGauss.
e) -1
Im (eixo imaginário)
3) Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a:
a) 1
b) –i
c) 2i
d) -i/2
P (afixo de z)
e) i/2
y
4) A potência (1 - i )16 equivale a:
a) 8
b) 16 - 4i
c) 16 - 16i
d) 256 - 16i
e) 256
0
O ponto P é a imagem do complexo
5) (Cefet – 2006/2) Numa progressão geométrica, em que
o primeiro termo é 1 – i e a razão é i, o décimo termo será:
z  x  yi .
Dizemos que o afixo do ponto P é o complexo por ele
representado. Nesse sentido, tomamos que o vetor OP é
o módulo de z.
OP 
a) 2i
b) 1 + i
c) 1 – i
d) –1+ i
e) –1 – i
x2  y2    z
E o ângulo formado pelo vetor OP com o eixo real é
2  i 2
6) O número complexo
4  3i
a) – i
b) – 1
c) + i
d) (24/25)i
e) (24/7)i
b) 2i
tal que
é igual a:
sen 
cos 
x
y
x e
ou cos 
sen 

z


ou
y . O ângulo é chamado de argumento de z.

z
 no cosseno e no seno, temos que
x    cos e y    sen , e como z  x  yi , temos:
z    cos    sen  i , ou, fatorando:
Isolando-se
7) O número complexo
a) 1
Re (eixo real)
x
c) 2
1  i 5
1  i 3
é igual a:
d) – 2
Respostas
01. C
02. A
03. E
05. B
06. A
07. E
z   cos  i  sen 
e) – 2i
04. E
Essa é a forma trigonométrica ou polar de um número
complexo.
Vamos escrever o número
z  4  4 3i na forma
trigonométrica.
Calculamos o módulo e argumento de z.
 
2
  z  42  4 3  8

4 3
3
 sen 
sen 
8
2

cos  4  cos  1
8
2

 60º
Im
Ficamos com a forma trigonométrica de z como:
A
B
z  8cos 60º i  sen60º 
Re
D
C
Mais exercícios!
1) Represente na forma trigonométrica os seguintes
números complexos:
a)
z  4 3  4i
b)
z  8i
c)
z  7  7i
d)
z  1  3i
e)
z  4
Obtenha forma polar de z1, z2, z3 e z4, afixos de A, B, C e
D, respectivamente. Expresse os ângulos em radianos.
5) Determine o módulo, o argumento e faça a
representação geométrica do complexo
z 3i
6) Sejam z1 e z2 dois úmeros complexos representados
pelo afixos no plano de Argand-Gauss abaixo. Determine,
2) (UFSC) Sendo
complexo

o argumento principal do número
z   2  2i , então o valor de
na forma algébrica, z1 . z2.

, em
5
Im
3
z1
graus, é:
2
1
z2
3) Passe para a forma algébrica os números complexos:
-2
a)
Re
2
2 

z  4 cos
 i  sen 
3
3 

Operações com complexos na forma
b)
z  2cos 315º i  sen315º 
c)
z  cos 210ºi  sen210º
trigonométrica
I) Sendo
z1  1 cos1  i  sen1 
z 2   2 cos 2  i  sen 2  , mostre que:
z1  z 2  1   2 cos1   2   i  sen1   2 
II) Mostre também que, sendo
z2 0 ,
z1  1
cos1   2   i  sen1   2 

z2 2
4) A medida do lado do quadrado ABCD é 10.
Tem-se ainda que:

z n   n cos n  i  sen n

n

z  n   cos

  2k
n
 i  sen
a)
10x
2
b)
2 x
 7 x 2  12x  1 : 2 x 2  3x
  2k 
n


Polinômios
Função polinomial ou polinômio
3

 23x  12 : 5 x  4


Algoritmo de BRIOT-RUFFINI
Divisões por polinômios do tipo x – a.
Consideremos a função f : C  C , dada por
f x  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n , em que
Raiz do divisor
Coeficientes do
dividendo
Termo
constante do
dividendo
a0 , a1 , a2 , ..., an são denominados coeficientes e as
a0 , a1 x, a2 x 2 , ..., an x n são chamadas
termos do polinômio f . Por exemplo:
parcelas
f x   5  3x  x 2  2 x 3 , onde a 0  5 , a1  3 ,
a 2  1 e a3  2 .
Valor numérico e raiz
Dado um número complexo a e um polinômio f ,
chama-se valor numérico de
pela função
f em a a imagem de a
r
a
b
c
d
a
b1
c1
d1
r . a + b = b1
e depois
r. b1 + c = c1
...
Logo, o quociente é
ax 2  b1 x  c1 , com resto R  d1 .
f , por exemplo:
Exercícios
a  2 e o polinômio f x   5  3x  x  2 x , o
valor numérico de f em a é:
2
Seja
3
, calcule
f 2  5  3  2  2 2  2  2 3
f 2  23
f 2 , f  3 e
2) Dado o polinômio
f , é dada por um
número complexo a tal que f a   0.
A raiz de um polinômio, ou zero de
f x   2 x 3  3x 2  x  4
 1
f   .
 2
1) Dada a função polinomial
P x   x 2  2 x , calcule P1  i  .
3) Determine os reais a, b e c de modo que
f x   a  2x 3  b  2x  3  c 
seja
um
polinômio nulo.
Identidade de polinômios
4) Determine os reais a, b e c de modo que se tenha para
todo Determine os reais a, b e c de modo que x real:
Dois polinômios são idênticos quando seus coeficientes
são iguais e se indica
P1 ( X ) 
P2 ( X ) .
Exemplo: determine m, n e q de modo que
(m  3) x 2  3x  q  5 x 2  (n  2) x  3 .
ax 2  bx  5
 3.
3x 2  7 x  c
5) Determine:
a) os valores das constantes a e b de modo que
Para que os dois monômios sejam idênticos devemos ter:
m+3=5
3=n–2
q=3



m=2
n=5
q=3
a  3x  b  1  2x  3 .
b) os valores das constantes a, b e c de modo que
ax 2  b  1x  c  2  3x 2  4 x  1 .
p( x)  2 x 3  x 2  5 e
q( x)   x 2  10x  3 , calcule p (2) + 3  q ( 1) .
6) Dados os polinômios
Divisão de polinômios
Vamos efetuar:
7) Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, resolvas as
divisões:
a)
p( x)  x 4  5 x 3  2 x 2  3x  1 dividido por x  2 .
b)
p( x)  2 x 3  3x 2  8 x  3 dividido por x  1.