Matemática Elementar - Matemática IFBA

Matemática Elementar
Prof. Valdex Santos
Janeiro de 2012
Matemática Elementar
Introdução
Este material foi produzido como forma de subsidiar aos alunos do Instituto Federal de
Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia a assimilarem ou revisarem alguns dos conteúdos
da Matemática Elementar do Ensino Fundamental.
Este deve ser considerado como um material de apoio e não como única fonte de estudos. Desta maneira, torna-se altamente recomendável ao leitor consultar as referências
indicadas e outras fontes de estudo. Também não é um material acabado e será constantemente revisado e aperfeiçoado. Assim, pedimos a colaboração dos leitores no sentido de
indicar possíveis correções assim como sugestões de melhoria.
Valdex Santos
Jequié-BA
outubro de 2012
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Valdex Santos
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SUMÁRIO
Matemática Elementar
Sumário
1 Conjuntos Numéricos
3
1.1 Conjunto dos Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1 Critérios divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.2 Números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.3 Decomposição em fatores primos (fatoração) . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.4 Múltiplos e divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.5 Mínimo Múltiplo Comum(MMC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.6 Máximo Divisor Comum (MDC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.7 Propriedades do MMC e MDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.8 Problemas de MMC e MDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2 Conjuntos dos Números Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.1 Adição e subtração de números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.2 Multiplicação e divisão de números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3 Números racionais e frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Simplificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Adição e subtração de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Multiplicação de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.4 Divisão de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Conjunto dos Números Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Conjunto dos Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Relação entre os conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Conversão de unidades de medida
13
2.1 Unidades de medidas de comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Unidades de medidas de área
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Unidades de medida de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Unidades de medida de capacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Relações entre unidades diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Área de figuras planas
16
3.1 Área de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Fórmula geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2 Fórmula de Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.3 Triângulo equilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Área de retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Área de quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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SUMÁRIO
Matemática Elementar
3.4 Área de trapézio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5 Área de círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6 Resolvendo a situação-problema do início da seção . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Equação do 1◦ grau
22
4.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Razão e proporção
23
5.1 Razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1.1 Aplicações práticas das razões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2 Proporção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2.1 Propriedade fundamental das proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2.2 Outras propriedades das proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2.3 Grandezas diretamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2.4 Grandezas inversamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6 Regra de três simples e composta
28
6.1 Regra de três simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.1.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.1.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.2 Regra de três composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7 Porcentagem
32
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8 Juros simples e compostos
35
8.1 Juros simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.2 Juros compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9 Potenciação
38
9.1 Propriedades da potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
10 Radiciação
39
10.1 Propriedades da radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
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SUMÁRIO
11 Equação do 2o grau
Matemática Elementar
40
11.1 Condição de existência de raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11.2 Soma e produto das raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
12 Função afim
42
12.1 Raiz ou zero de uma função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
12.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
13 Função quadrática
43
13.1 Raízes da função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
13.2 Vértices de uma parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
13.2.1 Coordenadas do vértice de uma parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
13.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
13.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
14 Trigonometria no triângulo retângulo
47
14.1 Tabela de ângulos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
14.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
14.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Referências Bibliográficas
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1.1
Conjunto dos Números Naturais
1
Conjuntos Numéricos
1.1
Matemática Elementar
Conjunto dos Números Naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números
são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como
algarismos indo-arábicos.
Indicamos os números naturais como
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
As reticências indicam que o conjunto é infinito, ou seja não tem fim (não existe um maior
número natural). Destacamos alguns subconjuntos dos números naturais, tais como:
Conjunto dos Números Naturais Pares:
São todos os números naturais divisíveis por 2, os quais podemos representar por
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . }
Conjunto dos Números Naturais Ímpares:
São todos os números naturais que não são divisíveis por 2, os quais podemos representar
por I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . }
Conjunto dos Números Naturais não nulos:
Quando for representar o conjunto dos naturais não nulos (excluindo o zero) devemos colocar
∗ ao lado do N. Representado assim: N ∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . . }
Qualquer que seja o número natural, ele sempre tem um sucessor:
• 6 é o sucessor de 5;
• 7 é o sucessor de 6.
Também falamos em antecessor de um número:
• 19 é antecessor de 20;
• 47 é o antecessor de 48.
1.1.1
Critérios divisibilidade
Dizemos que um número dado é divisível por outro se o resto da divisão é zero, nesse
caso dizemos que a divisão é exata. Muitas vezes é conveniente sabermos antecipadamente
quando um determinado número é divisível por outro, sem necessariamente efetuar a divisão.
Assim, temos alguns critérios que podem nos auxiliar nesse sentido. São os chamados
Critérios de Divisibilidade:
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5
1.1
Conjunto dos Números Naturais
Matemática Elementar
i. Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par. Por
exemplo, 40, 42, e 44 são números divisíveis por 2.
ii. Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for
divisível por 3.
Exemplo:
360 é divisível por 3, pois (3+6+0=9) é divisível.
iii. Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos forem 0 ou formarem um
número divisível por 4.
Exemplo:
416 é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos formam o número 16 que é divisível
por 4.
iv. Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Exemplos:
2.654.820 é divisível por 5, pois termina em 0.
265 também é divisível por 5, pois termina em 5.
v. Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Exemplos:
414 é divisível por 6, pois é divisível por 2 (é par) e é divisível por 3 (4+1+4=9 é divisível
por 3).
vi. Divisibilidade por 7
A divisibilidade por 7 pode ser verificada da seguinte maneira:
Tome por exemplo o número 453. Separando-se o último algarismo ficamos com 45 e 3.
Do primeiro subtraímos o dobro do segundo, ou seja, 45 − 6 = 39. Como 39 não é divisível
por 7, o número 453 também não é.
Outro exemplo: O número 784, separando 78 e 4, dobrando o último e subtraindo do
primeiro teremos 78 − 8 = 70. Como 70 é divisível por 7 o número 784 também é.
vii. Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um
número múltiplo de 8.
Exemplos:
O número 6000 é divisível por 8, pois os três últimos algarismos são iguais a 0.
5128 é divisível por 8, pois 128 é divisível por 8.
viii. Divisibilidade por 9
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1.1
Conjunto dos Números Naturais
Matemática Elementar
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for
divisível por 9.
Exemplo:
927 é divisível por 9, pois (9+2+7=18) é divisível por 9.
ix. Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 quando termina em zero.
Exemplo:
154.870 é divisível por 10, pois termina em 0.
1.1.2
Números primos
Número primo é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois divisores
positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, dizse que ele é um número composto. Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem
compostos.
1.1.3
Decomposição em fatores primos (fatoração)
Qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como o produto de vários números
primos (chamados fatores primos). O processo que recebe como argumento um número
composto e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição em fatores primos (fatoração).
Exemplos:
6=2×3
16 = 24
20 = 22 × 5
1.1.4
Múltiplos e divisores
Múltiplos
Para encontrarmos os múltiplos de um número natural devemos multiplicá-lo pela sequência de números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . . Por exemplo, os múltiplos de 3 são indicados por
M (3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, . . . } e de 5 por M (5) = {0, 5, 10, 15, 20, . . . }.
Podemos observar que o conjunto dos múltiplos de um número natural é infinito e que o
número zero é múltiplo de qualquer número natural.
Divisores
Os divisores de um número natural é constituído por todos os números que o divide(divisão
exata). Por exemplo, os divisões de 12 são indicados por D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} e de 36 por
D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. Podemos observar que o número 1 é divisor de qualquer
número natural e que o maior divisor de um número é ele próprio.
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1.1
Conjunto dos Números Naturais
1.1.5
Matemática Elementar
Mínimo Múltiplo Comum(MMC)
O Mínimo Múltiplo Comum (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois
números a e b, normalmente abreviado como mmc(a, b), é o menor número inteiro encontrado
que é múltiplo de a e b ao mesmo tempo. Por exemplo, mmc(6, 8) = 24.
Existe um método prático para o cálculo do MMC entre dois ou mais números, que é a
fatoração conjunta.
Observe os exemplos:
a) Determinar
o MMC entre 24 e 40:
24, 40 2
12, 20 2
6, 10 2
3, 5 3
1, 5 5
1, 1 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5 = 120
Portanto mmc(24, 40) = 120
b) Determinar
o MMC entre 6 e 12:
6, 12 2
3, 6 2
3, 3 3
1, 1 2 × 2 × 3 = 22 × 3 = 12
Portanto mmc(6, 12) = 12
c) Determinar
o MMC entre 5 e 7:
5, 7 5
1, 7 7
1, 1 5 × 7 = 35
Portanto mmc(5, 7) = 35
d) Determinar
o MMC entre 6, 12 e 18:
6, 12, 18 2
3, 6, 9 2
3, 3, 9 3
1, 1, 3 3
1, 1, 1 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32 = 36
Portanto mmc(6, 12, 18) = 36
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1.1
Conjunto dos Números Naturais
1.1.6
Matemática Elementar
Máximo Divisor Comum (MDC)
O máximo divisor comum (também conhecido por maior divisor em comum) entre dois
números a e b, normalmente abreviado como mdc(a, b), é o maior número que divide a e b ao
mesmo tempo. Por exemplo, mdc(16, 8) = 8. A definição abrange qualquer número de termos.
a) Para o cálculo do MDC entre 24 e 40, por exemplo, procedemos da seguinte maneira:
1. Fatoramos
o número 24
24 2
12 2
6 2
3 3
1 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
2. Fatoramos
o número 40
40 2
20 2
10 2
5 5
1 2 × 2 × 2 × 5 = 23 × 5
3. Multiplicamos os fatores comuns com menores expoentes: 23 = 8. Este é o MDC entre
24 e 40. Representamos por mdc(24, 40) = 8.
b) Para o cálculo do MDC entre 6 e 12 procedemos da seguinte maneira:
1. Fatoramos
o número 6
6 2
3 3
1 2×3
2. Fatoramos
o número 12
12 2
6 2
3 3
1 2 × 2 × 3 = 22 × 3
3. Multiplicamos os fatores comuns com menores expoentes: 2 × 3 = 6. Este é o MDC
entre 6 e 12. Representamos por mdc(6, 12) = 6.
1.1.7
Propriedades do MMC e MDC
• Dados dois números naturais em que um é divisível pelo outro, então o MMC é o maior
deles e o MDC é o menor. Por exemplo: mmc(6, 12) = 12 e mdc(6, 12) = 6, conforme
vimos anteriormente;
• O MMC entre dois números naturais primos entre si(não tem divisores comuns) é o
produto deles, enquanto o MDC é igual a 1. Por exemplo: mmc(5, 7) = 5 × 7 = 35 e
mdc(5, 7) = 1.
1.1.8
Problemas de MMC e MDC
1. Suponhamos que o Presidente de uma multinacional tenha mandato de trabalho colocado
por força maior, este tempo é de 4 anos, os assessores deles também tem este mandato
que é de 6 anos e os auxiliares tem o mesmo mandato de 3 anos. Se em 2001 houve
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1.2
Conjuntos dos Números Inteiros
Matemática Elementar
eleição interna nesta empresa, por voto de todos os colaboradores, para os 03 cargos,
em que ano se realizarão novamente e simultaneamente as eleições para esses cargos?
(Resp.: mmc(4, 6, 3) = 12)
2. Antônio, fiscal do trabalho, e Beatriz, fiscal de saúde, fazem inspeções periódicas no
restaurante do Carlos. Antônio faz uma inspeção a cada 12 dias, e Beatriz faz uma inspeção a cada 8 dias. Sabendo-se que os dois fizeram a inspeção hoje, daqui a quantos dias
eles estarão juntos de novo? (Resp.: mmc(12, 8) = 24)
3. (PUC-SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a
cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2
de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas
receberão manutenção no mesmo dia? (Resp.: mmc(3, 4, 6) = 12)
4. Eu tenho armazenados três líquidos diferentes: 108 litros de água, 96 litros de óleo e 72
litros de gasolina. Sabendo que os líquidos estão armazenados em recipientes do mesmo
volume, qual é o maior volume possível destes recipientes? (Resp.: mdc(108, 96, 72) = 12)
5. Para uma festa, Dirce comprou vários brindes: 100 carrinhos, 75 soldadinhos e 250 balas.
Qual é o maior número de saquinhos que ela precisa comprar para que todos os saquinhos
tenham exatamente os mesmos brindes? Em cada saquinho, haverá quantos carrinhos,
soldadinhos e balas? (Resp.: O maior número de saquinhos será 25 e em cada saquinho
haverá 4 carrinhos, 3 soldadinhos e 10 balas)
1.2
Conjuntos dos Números Inteiros
Pertencem ao conjunto dos números inteiros, os números negativos e também o conjunto
dos números naturais.
A representação dos números inteiros é feita pela letra Z.
Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, . . . }
Os números positivos são opostos aos números negativos e os negativos opostos aos
positivos. Os números negativos são sempre acompanhados pelo sinal de negativo (−) (à
sua frente) e os positivos são acompanhados pelo sinal positivo (+) ou sem sinal nenhum. O
zero não é positivo e nem negativo.
Destacamos os seguintes subconjuntos dos números inteiros:
1. Números Inteiros não nulos: São os números inteiros, menos o zero. Na sua representação devemos colocar ∗ ao lado do Z: Z∗ = {. . . , −3, −2, −1, 1, 2, 3, . . . }
2. Números Inteiros não positivos: São os números negativos incluindo o zero. Na sua
representação deve ser colocado − ao lado do Z: Z− = {. . . , −3, −2, −1, 0}
3. Números Inteiros não negativos: São os números positivos incluindo o zero. Na sua
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1.2
Conjuntos dos Números Inteiros
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representação devemos colocar o + ao lado do Z.
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }
O Conjunto Z+ é igual ao Conjunto dos N.
1.2.1
Adição e subtração de números inteiros
Para somarmos ou subtrairmos dois ou mais números inteiros, devemos observar se os
valores a serem somados ou subtraídos têm sinais iguais ou diferentes. Caso tenham sinais
iguais conservamos o sinal e somamos os valores correspondentes.
Exemplos:
7 + 5 = 12 [conservamos o sinal (+) e somamos 7 com 5]
−8 − 9 − 5 = −22 [conservamos o sinal (−) e somamos 8, 9 e 5]
Caso os números tenham sinais diferentes, conservamos o sinal do número que tem
maior valor absoluto e subtraímos os valores correspondentes.
Exemplos:
−2 + 9 = +7 [conservamos o sinal (+) do número maior e subtraímos os valores (9 − 2)]
−7 + 5 = −2 [conservamos o sinal (−) do número maior e subtraímos os valores (7 − 5)]
1.2.2
Multiplicação e divisão de números inteiros
Para multiplicarmos ou dividirmos dois ou mais números inteiros devemos observar se os
sinais são iguais ou diferentes. Caso os números tenham sinais iguais, o resultado será
positivo, caso contrário, negativo.
Exemplos:
• (+5) × (+6) = +30
• (+6) ÷ (+2) = +3
• (−6) × (−6) = +36
• (−6) ÷ (−3) = +2
• (−5) × (+8) = −40
• (−8) ÷ (+2) = −4
• (+2) × (−10) = −20
• (+8) ÷ (−4) = −2
Observação:
Costuma-se também fazer o seguinte jogo de sinal:
• (+)(+) = +
• (−)(+) = −
• (+)(−) = −
• (−)(−) = +
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11
1.3
Números racionais e frações
1.3
Matemática Elementar
Números racionais e frações
Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma
unidade ou um inteiro. Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em
quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.
Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois
inteiros, geralmente escrita na forma
a
b
onde b é um número inteiro diferente de zero. O
número a é chamado numerador e o número b é o denominador.
Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos
racionais é representado por Q.
n
o
a
Q = x|x = , a ∈ Z e b ∈ Z, sendo b 6= 0
b
1.3.1
Simplificação
O processo de simplificação de frações consiste em ir dividindo o numerador e o denominador da fração por um mesmo número até torná-la irredutível (fração que não dá mais para
ser simplificada).
Exemplos: Dada a fração
36
,
60
observamos que tanto o numerador quanto o denominador po-
dem ser divididos por 2, fazendo isto obtemos a fração
18
.
30
Tanto o numerador quanto o deno-
minador desta última ainda podem ser divididos por 2, novamente fazendo a divisão obtemos
a fração
9
.
15
Tanto o numerador quanto o denominador da fração
3, o que nos dá a fração
denominador de
3
5
3
.
5
9
15
podem ser divididos por
Não existe número natural diferente de 1 que divida o numerado e
simultaneamente, então dizemos que ela é uma fração irredutível.
Podemos escrever o processo feito como:
36
18
9
3
=
=
=
60
30
15
5
Obs.: Poderíamos ter simplificado logo a fração
1.3.2
36
60
por 12, obtendo direto
3
5
Adição e subtração de frações
Para somarmos ou subtrairmos duas ou mais frações devemos observar se os denominadores são iguais ou diferentes.
Adição/Subtração de Frações com Denominadores Iguais
Conservamos o denominador comum e somamos ou subtraímos os numeradores.
Exemplo:
2 5
7
+ =
9 9
9
−
7
2 5
− =−
3 3
3
−
2
6
8
+
=−
11 11
11
Adição/Subtração de Frações com Denominadores Diferentes
c
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12
1.3
Números racionais e frações
Matemática Elementar
Devemos reduzir as frações ao mesmo denominador comum, através do cálculo do MMC
dos mesmos. Por exemplo, para somarmos as frações
5
6
1
,
12
e
prosseguimos da seguinte
maneira:
i. Calculamos o MMC de 6 e 12 que é 12
ii. Dividimos o novo denominador 12 por cada um dos denominadores da duas frações e multiplicamos os resultados correspondentes pelos respectivos numeradores. Assim temos
que a fração
5
6
é correspondente a
10
,
12
pois (12 ÷ 6) × 5 = 10 e a fração
(12 ÷ 12) × 1 = 1
iii. Somamos a frações correspondentes, ou seja,
1.3.3
1
12
é
1
,
12
pois
5
1
10
1
11
+
=
+
=
6 12
12 12
12
Multiplicação de frações
Para multiplicarmos duas ou mais frações, multiplicamos os numeradores e denominadores
entre si.
Exemplo
9 5
9×5
45
15
× =
=
=
2 3
2×3
6
2
1.3.4
5 6 3
5×6×3
90
45
× × =
=
=
4 7 2
4×7×2
56
28
Divisão de frações
A divisão de duas frações pode ser feita multiplicando-se a primeira fração pelo inverso da
segunda fração.
Exemplo:
Dividir a fração
1
3
pela fração
2
5
Solução:
-
Primeiro invertemos a segunda fração
( 25 ),
obtendo a fração
5
2
Depois multiplicamos a primeira fração pela fração obtida, ou seja,
1 5
5
× =
3 2
6
1.3.5
Exercícios
1) Determine as soma ou subtrações indicadas:
2 8
a) − −
3 3
b)
3 8
+
7 9
c)
1
5
−
6 15
d) −
8
3
+
25 5
2) Determine
os produtos
ou divisões indicado(a)s:
3
8
−1
a)
×
×
7
9
4
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13
1.4
Conjunto dos Números Irracionais
Matemática Elementar
5
−1
b)
÷
15 6 −8
3
c)
÷
25
5
3) (ENEM 2004) As Olimpíadas são uma oportunidade para o congraçamento de um grande
número de países, sem discriminação política ou racial, ainda que seus resultados possam
refletir características culturais, socioeconômicas e étnicas. Em 2000, nos Jogos Olímpicos de Sydney, o total de 300 medalhas de ouro conquistadas apresentou a seguinte
distribuição entre os 196 países participantes como mostra o gráfico.
Esses resultados mostram que, na distribuição das medalhas de ouro em 2000:
a) cada país participante conquistou pelo menos uma.
b) cerca de um terço foi conquistado por apenas três países.
c) os cinco países mais populosos obtiveram os melhores resultados.
d) os cinco países mais desenvolvidos obtiveram os melhores resultados.
e) cerca de um quarto foi conquistado pelos Estados Unidos.
4) Um reservatório tem
3
4
da sua capacidade preenchida por um líquido. Se ainda faltam 2700
litros para encher totalmente o reservatório, qual é a capacidade total desse reservatório?
(Resp.: 10800, 00)
5) Em uma convocação para a seleção brasileira de basquete, verificou-se que 4/9 dos jogadores convocados eram de clubes paulistas, 1/3 era de clubes cariocas e os 4 restantes
eram de clubes de outros estados. Quantos jogadores foram convocados? (Resp.: 18)
1.4
Conjunto dos Números Irracionais
São todos os números que não podem ser representados na forma de fração, como exem√
plo, temos os números π(cujo valor aproximado é 3, 14), 2(vale aproximadamente 1, 41 ),
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14
1.5
√
Conjunto dos Números Reais
Matemática Elementar
3(vale aproximadamente 1, 73). A raiz quadrada de qualquer número primo é um número
irracional.
O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I.
1.5
Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais envolve todos os conjuntos referidos anteriormente, a saber:
Conjunto dos Números Naturais, Conjunto dos Números Inteiros, Conjunto dos Números
Racionais e Conjunto dos Números Irracionais. O conjunto dos números reais é representado pela letra R.
Obs.: Existe ainda o conjunto dos números complexos que engloba todos os conjuntos
numéricos referidos e é representado pela letra C.
1.6
2
Relação entre os conjuntos numéricos
Conversão de unidades de medida
2.1
Unidades de medidas de comprimento
O metro é a unidade padrão de medida de comprimento. Este tem múltiplos e submúltiplos.
Os múltiplos do metro são: quilômetro (Km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam). Já os
submúltiplos do metro são: decímetro (dm), centímetro(cm) e milímetro(mm). Os múltiplos do
metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas
distâncias.
Para transformar ou converter uma medida de comprimento em outra, multiplicamos-a ou
dividimos-a por 10, 100 ou 1000, conforme figura abaixo.
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15
2.2
Unidades de medidas de área
Matemática Elementar
Exemplos:
Transformar 5m em cm = 5 × 100 = 500cm
Transformar 0, 3cm em mm = 0, 3 × 10 = 3mm
Transformar 300cm em m = 300 ÷ 100 = 3m
Transformar 200mm em m = 200 ÷ 1000 = 0, 2m
2.2
Unidades de medidas de área
As medidas de superfície(ou áreas) estão diretamente ligadas ao nosso cotidiano, ao comprar um lote, pintar uma parede, ladrilhar um piso ou azulejar uma parede, o primeiro fato que
precisamos saber é a medida da área das superfícies. Pelo SI (Sistema Internacional de Medidas), a unidade padrão usada para expressar uma medida de área é o metro quadrado (m2 ).
Os múltiplos e submúltiplos do metro quadrado (m2 ) são:
Múltiplos:
quilômetro quadrado (km2 ), hectômetro quadrado (hm2 ), decâmetro quadrado
(dam2 ).
Submúltiplos: decímetro quadrado (dm2 ), centímetro quadrado (cm2 ), milímetro quadrado
(mm2 ).
As medidas de superfície podem aparecer em qualquer uma das unidades citadas e muitas
vezes precisamos transformar uma unidade em outra. Isso deverá ocorrer com base na figura
de transformações demonstradas a seguir:
Exemplos:
Transformando 2m2 em cm2 = 2 × 100 × 100 = 20 000 cm2
Transformando 1km2 em m2 = 1 × 100 × 100 × 100 = 1 000 000 m2
Transformando 4km2 em mm2 = 4 × 100 × 100 × 100 × 100 × 100 × 100 = 4 000 000 000 000 mm2
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16
2.3
Unidades de medida de volume
Matemática Elementar
Transformando 4m2 em dam2 = 4 ÷ 100 = 0, 04 dam2
Transformando 100cm2 em m2 = 100 ÷ 100 ÷ 100 = 0, 01 m2
2.3
Unidades de medida de volume
Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões:
comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular
medidas de volume. A unidade padrão de medida de volume é o m3 , o qual tem múltiplos e
submúltiplos.
Múltiplos: quilômetro cúbico (km3 ), hectômetro cúbico (hm3 ), decâmetro cúbico (dam3 ).
Submúltiplos: decímetro cúbico (dm3 ), centímetro cúbico (cm3 ), milímetro cúbico (mm3 ).
Para converter uma unidade de volume em outra podemos seguir o esquema da figura abaixo:
Exemplos:
Transformando 2m3 em dm = 2 × 1000 = 2000 dm3
3
Transformando 1dm3 em mm3 = 1 × 1000 × 1000 = 1 000 000 mm3
Transformando 400dm3 em m3 = 400 ÷ 1000 = 0, 4 m3
2.4
Unidades de medida de capacidade
Capacidade é o volume interno de um recipiente. A unidade fundamental de capacidade
chama-se litro. Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta, ou seja, 1l = 1dm3 .
Veja na figura abaixo os múltiplos e submúltiplos do litro:
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17
2.5
Relações entre unidades diferentes
Matemática Elementar
Para transformar uma unidade de capacidade em outra, podemos seguir o esquema da figura
abaixo:
2.5
Relações entre unidades diferentes
Algumas unidades de volume são relacionadas com algumas medidas de capacidade. Por
exemplo:
1m3 (lê-se um metro cúbico) = 1000 litros
1dm3 (lê-se um decímetro cúbico) = 1 litro
1cm3 (lê-se um centímetro cúbico) = 1 mililitro (ml)
Exemplos:
Um reservatório possui volume de 3000m3 . Qual a capacidade desse reservatório em litros?
Solução:
Como 1m3 equivale a 1000 litros, temos que:
3000 × 1000 = 3 000 000
Portanto, o reservatório possui capacidade igual a 3 000 000 litros de água.
3
Área de figuras planas
Imagine a seguinte situação:
Aproveitando uma promoção de uma loja de materiais para construção, uma família
resolve trocar o piso da sala de sua residência. Sabem que a sala mede 4 metros de
largura e possui um comprimento de 5, 5 metros. Sabem também que o ladrilho desejado é quadrado com 25cm de lado. Quantos ladrilhos serão necessários para ladrilhar
o piso da sala inteira?
Na situação acima estamos nos referindo as áreas(ou superfícies) da sala e do ladrilho e o
nosso problema se resume ao cálculo da razão entre as áreas da sala e do ladrilho. Para que
você saiba solucionar, dentre outros, o problema acima, vamos então nos atentar ao método
de cálculo da área das figuras geométricas planas mais comuns.
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18
3.1
Área de triângulos
3.1
3.1.1
Matemática Elementar
Área de triângulos
Fórmula geral
Denominamos de triângulo a um polígono de três lados.
Observe a figura ao lado. A letra h representa a medida da
altura do triângulo, assim como letra b representa a medida
da sua base.
A área do triângulo, representada por A, será metade do produto do valor da medida da base,
pelo valor da medida da altura, tal como na fórmula abaixo:
A=
b×h
2
Exemplo: A medida da base de um triângulo é de 7 cm, visto que a medida da sua altura é
de 3,5 cm, qual é a área deste triângulo?
Solução:
-
Pelo enunciado temos que b = 7 e h = 3, 5, donde segue que a área do triângulo será dada
7 × 3, 5
24, 5
por A =
=
= 12, 25
2
2
Portanto, a área deste triângulo é 12, 25 cm2 .
3.1.2
Fórmula de Heron
Caso você não tenha a medida da altura do triângulo, mas tenha a medida dos três lados,
pode utilizar a seguinte fórmula:
A=
p
p(p − a)(p − b)(p − c)
Onde a, b e c representam as medidas dos lados do triângulo e p o seu semiperímetro (metade
a+b+c
do perímetro) que é dado por p =
2
Tal fórmula para cálculo de áreas de um triângulo qualquer, desde que dadas as medidas dos
lados, é chamada Fórmula de Heron ou Hierão
Exemplo: Calcular a área da figura abaixo
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19
3.2
Área de retângulo
Matemática Elementar
Solução:
-
A figura é um triângulo, cujos lados são a = 14, b = 9 e c = 7, o seu semiperímetro é
14 + 9 + 7
30
p=
=
= 15
2
2
Assim, a área do triângulo será dada por
p
√
√
A = 15(15 − 14)(15 − 9)(15 − 7) = 15 × 1 × 6 × 8 = 720 ≈ 26, 8
Portanto á área da figura é aproximadamente 26, 8cm2 .
3.1.3
Triângulo equilátero
No caso do triângulo equilátero, que possui os três ângulos internos iguais, assim como os seus três lados, podemos utilizar a
seguinte fórmula:
√
l2 3
A=
4
Onde l representa a medida dos lados do triângulo.
Exemplo: Os lados de um triângulo equilátero medem 6mm. Qual é a área desse triângulo?
Solução:
Pelo enunciado l = 6. Utilizando a fórmula dada temos
√
√
√
62 3
36 3
A=
=
= 9 3 ≈ 15, 57
4
4
Portanto a área do triângulo é aproximadamente 15, 57mm2 .
√
Obs.: Para este cálculo utilizamos 3 ≈ 1, 73.
3.2
Área de retângulo
Por definição o retângulo é um quadrilátero equiângulo
(todo os seus ângulos internos são iguais), cujos lados
opostos são iguais.
Se denominarmos as medidas dos lados de um retângulo como na figura acima, teremos a
seguinte fórmula:
A=b×h
Exemplo:
Um terreno retangular mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área
deste terreno?
Solução:
-
Atribuindo 5 à variável h e 25 à variável b temos:
A = b × h = 5 × 25 = 125
Portanto a área deste terreno é de 125m2 .
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20
3.3
3.3
Área de quadrado
Matemática Elementar
Área de quadrado
O quadrado é um tipo especial de retângulo em que todos os
lados têm medidas iguais. Quando dispomos da medida do
lado do quadrado, podemos utilizar a fórmula do retângulo:
A=b×h
Como h e b possuem a mesma medida, podemos substituí-las
por l, ficando a fórmula então como sendo:
A = l2
Exemplo:
A lateral da tampa quadrada de uma caixa mede 17cm. Qual a superfície desta tampa?
Solução:
-
Do enunciado temos que a variável l é igual a 17: l = 17
Substituindo na fórmula temos: A = l2 = 172 = 289
Portanto a superfície da tampa desta caixa é de 289cm2 .
3.4
Área de trapézio
Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma
base menor (b) e por uma altura (h).
A área A de um trapézio é dada pela fórmula:
A=
(B + b)h
2
Exemplo:
Calcule a área de um trapézio de bases medindo 10cm e 5cm e altura 6cm.
Solução:
-
O problema nos forneceu
B = 10cm
b = 5cm
h = 6cm
Substituindo esses valores na fórmula da área, obtemos:
(B + b)h
(10 + 5) × 6
15 × 6
90
A=
=
=
=
= 45
2
2
2
2
Logo, a área do trapézio 45cm2 .
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21
3.5
Área de círculo
3.5
Matemática Elementar
Área de círculo
A divisão do perímetro de uma circunferência, pelo seu diâmetro
resultará sempre no mesmo valor, qualquer que seja a circunferência. Este valor irracional constante é representado pela letra grega
minúscula pi, grafada como: π
Por ser um número irracional, o número pi possui infinitas casas decimais. Para cálculos corriqueiros, podemos utilizar o valor aproximado 3, 14.
O cálculo da área do círculo é realizado segundo a fórmula abaixo:
A = πr2
Exemplo:
A lente de uma lupa tem 10cm de diâmetro. Qual é a área da lente desta lupa?
Solução:
-
Como informado no enunciado, o diâmetro da circunferência da lupa é igual a 10cm, o que
nos leva a concluir que o seu raio é igual a 5cm, que corresponde à metade deste valor:
r=5
Substituindo-o na fórmula:
A = πr2 = π52 = 25π = 25 × 3, 14 = 78, 5
Logo, a área da lente da lupa é de 78, 5cm2 .
3.6
Resolvendo a situação-problema do início da seção
Propomos no inicio dessa seção a seguinte situação-problema:
Aproveitando uma promoção de uma loja de materiais para construção, uma família
resolve trocar o piso da sala de sua residência. Sabem que a sala mede 4 metros de
largura e possui um comprimento de 5, 5 metros. Sabem também que o ladrilho desejado é quadrado com 25cm de lado. Quantos ladrilhos serão necessários para ladrilhar
o piso da sala inteira?
Vamos agora resolvê-la:
Solução:
-
Para resolvermos tal problema, primeiramente vamos calcular a área da sala.
Para podermos utilizar a fórmula do cálculo da área de um retângulo, vamos atribuir os 4m
da largura à variável h e os 5, 5m do comprimento à variável b:
Utilizando a fórmula para cálculo de área do retângulo, temos :
A = b × h = 5, 5 × 4 = 22
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22
3.7
Exercícios
Matemática Elementar
-
-
Agora que sabemos que a sala tem uma área de 22m2 , precisamos conhecer a área do
ladrilho. Como o ladrilho é quadrado, precisamos calcular a área de um quadrado, só que
devemos trabalhar em metros e não em centímetros, pois a área da sala foi calculada
utilizando-se medidas em metros e não medidas em centímetros.
Poderíamos ter convertido as medidas da sala em centímetros, para trabalharmos apenas
com centímetros. O importante é que utilizemos sempre a mesma unidade (múltiplo ou
submúltiplo).
A transformação de 25cm em metros é realizada dividindo-se tal medida por 100:
25 ÷ 100 = 0, 25
Então a medida dos lados dos ladrilhos é de 0, 25m.
Voltando ao problema, como o ladrilho é quadrado, a área do ladrilho com lado l = 0, 25
é igual a:
A = l2 = 0, 252 = 0, 0625
Como dito no começo da página, a resolução do problema se resume ao cálculo da razão
entre a área da sala e a área do ladrilho. Como a sala tem uma área de 22m2 e o ladrilho
de 0, 0625m2 , temos a seguinte razão:
22
= 352
0, 0625
Ou seja, para ladrilhar o piso da sala inteira serão necessários 352 ladrilhos.
3.7
Exercícios
1) É necessário um certo número de pisos de 25cm × 25cm para cobrir o piso de uma cozinha
com 5m de comprimento por 4m de largura. Cada caixa tem 20 pisos. Supondo que
nenhum piso se quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o
piso da cozinha? (Resp.: 16 caixas)
2) Um pintor foi contratado para pintar uma sala retangular que mede 5, 5m × 7m. Para evitar
que a tinta respingue no chão ele vai forrar a sala com folhas de jornal. Quantos metros de
folha de jornal ele vai precisar? (Resp.: 38, 5m)
3) Sabendo que a base maior de um trapézio mede 12cm, a base menor mede 3, 4cm e sua
altura mede 5cm. Calcule a área deste trapézio. (Resp.: 77cm2 )
4) Determine a altura de um trapézio de 45 cm2 de área, base maior medindo 11cm e base
menor com 7cm de comprimento. (Resp.: 5cm)
c
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23
4.1
Exercícios
4
Equação do 1◦ grau
Matemática Elementar
É toda equação da forma ax + b = 0, onde a e b são números reais e a 6= 0.
Contextualizando: Os táxis da cidade onde João Vitor reside, cobram R$ 1,20 por quilômetro
rodado mais R$ 3,50 pela corrida, a conhecida “bandeirada”. João Vitor foi de táxi da sua casa
até a escola e pagou um total de R$ 8,30. Qual a distância que o táxi percorreu de sua casa
até a escola?
Formulação Matemática:
1, 20x + 3, 50 = 8, 30
Resolvendo:
1, 20x = 8, 30 − 3, 50
1, 20x = 4, 80
4, 80
=4
x=
1, 20
Portanto a distância que o táxi percorreu foi de 4km.
4.1
Exercícios
1) Juca está apaixonado! Para ver a namorada, ele faz uma longa viagem: 350km a cada
encontro. Numa de suas viagens, após alguns quilômetros, ele parou para um cafezinho e
ainda percorreu o triplo do que já havia percorrido para chegar à cidade de sua namorada.
Quantos quilômetros ele percorreu após o cafezinho? (Resp.: 262, 5km)
2) Um terreno retangular tem 18 metros a menos de largura do que de comprimento. O
perímetro1 do terreno é de 84 metros. Qual é o comprimento e a largura desse terreno?
(Resp.: 12 e 30)
3) O campeonato de Fórmula 1 terminou com o campeão levando 7 pontos de vantagem
sobre o vice-campeão. Se os dois juntos, campeão e vice, somaram 173 pontos no final
da temporada, quantos pontos cada um marcou nessa temporada? (Resp.: 83 e 90)
4) Epitáfio de Diofanto
Diofanto foi um matemático que viveu em Alexandria no século III. Foi o primeiro matemático
grego a usar simbolismo algébrico e sua obra nos chegou através de fragmentos do seu
livro “Aritmética”. Em sua homenagem, chamamos de equações diofantinas as equações
cujas soluções devem ser números inteiros.
Pouco sabemos sobre sua vida, mas existe uma charada que, dizem, teria sido gravada
1
Perímetro de um polígono é a soma de todos os seus lados.
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24
5.1
Razão
Matemática Elementar
no seu túmulo: Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino.
Um doze avos da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes
de se casar. Cinco anos após nasceu seu filho, com quem conviveu metade da sua vida.
Depois da morte de seu filho, sofreu mais 4 anos antes de morrer.
Com base no texto, quantos anos viveu Diofanto? (Resp.: 84 anos)
5
Razão e proporção
5.1
Razão
A razão entre duas quantidades nada mais é do que o quociente entre elas. Por exemplo,
dados os números 3 e 5, sua razão é 3/5, que em notação decimal é igual a 0,6. Se a e b são
dois números quaisquer, podemos denotar sua razão por a/b, ou por a : b, e se referir a ela
como "a razão de a para b".
Exemplo:
Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.
Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número
de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.
Como esse valor representa metade dos arremessos, também podemo dizer que ele acertou
50% dos arremessos.
5.1.1
Aplicações práticas das razões
Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão
entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e o tempo gasto para
percorrera (expresso em horas, minutos ou segundos).
Vmédia =
distância percorrida
tempo gasto
Por exemplo, se um automóvel percorre 160km a cada 2h, significa que sua velocidade média
160km
é Vm =
= 80km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 80km.
2h
Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de
redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de
escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento
c
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25
5.2
Proporção
Matemática Elementar
real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.
escala =
comprimento no desenho
comprimento real
Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis,
plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.
Como exemplo, observemos as figuras dos barcos, onde o barco azul é o menor e o barco
vermelho é o maior:
Base menor do barco azul
2
=
Base menor do barco vermelho
4
Base maior do barco azul
4
=
Base maior do barco vermelho
8
Altura do barco azul
3
=
Altura do barco vermelho
6
O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são
2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes do
barco azul foram ampliados ao dobro na mesma proporção.
5.2
Proporção
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre
a
b
e
c
d
é a igualdade:
a
c
=
b
d
onde os números a e d são denominados extremos enquanto os números b e c são os meios.
Os termos nos numeradores a e c são chamados antecedentes, enquanto os termos nos
denominadores b e d são os consequentes.
5.2.1
Propriedade fundamental das proporções
Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é,
a×d=b×c
5.2.2
Outras propriedades das proporções
P1 - Em toda proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos consequentes, assim como um antecedente qualquer está para o respectivo
c
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26
5.2
Proporção
Matemática Elementar
consequente.

a±c
a


=


b
c ± d
a
c
= ⇒ ou

b
d


c
a±c


=
c±d
d
(a; b; c; d 6= 0)
P2 - Em toda proporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o 1o ou
para o 2o , assim como a soma ou diferença dos dois últimos termos está para o 3o ou
4o termo.

c±d
a±b


=


c
 a
a
c
= ⇒ ou

b
d



a ± b = c ± d
b
d
(a; b; c; d 6= 0)
P3 - Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes,
assim como o quadrado de um antecedente qualquer está para o quadrado do respectivo consequente.

ac
a2


=


b2
 bd
a
c
= ⇒ ou

b
d

2


 ac = c
bd
d2
5.2.3
(a; b; c; d 6= 0)
Grandezas diretamente proporcionais
São grandezas em que a variação de uma implica na variação ou mudança da outra, na
mesma proporção, mesma direção e sentido.
Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar
20 borrachas o custo total será de R$ 2,00.
Também podemos dizer que uma grandeza A é diretamente proporcional a uma grandeza
B, quando as razões entre os elementos de A e os seus correspondentes valores em B for
uma constante, isto é, sendo A = (a1 ; a2 ; a3 ; ...; an ) e B = (b1 ; b2 ; b3 ; ...; bn ), então:
a1
a2
a3
an
=
=
= ··· =
=λ
b1
b2
b3
bn
onde λ é denominado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade.
Exemplo: Observe a tabela abaixo que relaciona o preço que se tem que pagar em relação
à quantidade de pães que peça:
c
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27
5.2
Proporção
Matemática Elementar
Preço (em R$)
0,20
0,40
1,00
2,00
4,00
10,00
No de pães
1
2
5
10
20
50
Preço e quantidade de pães são grandezas diretamente proporcionais. Portanto se peço mais
pães, pago mais, se peço menos pães, pago menos.
Observe que quando dividimos o preço pela quantidade de pães obtemos sempre o mesmo
valor, pois em grandezas diretamente proporcionais, a razão é constante.
0, 20
0, 40
1, 00
2, 00
4, 00
10, 00
=
=
=
=
=
= 0, 20
1
2
5
10
20
50
Nesse caso λ = 0, 20.
5.2.4
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direção contrários.
Exemplo: Um carro a uma velocidade de 100km/h gasta 2h para fazer um determinado percusso. Se este mesmo carro aumentar a velocidade para 110km/h gastará menos tempo para
fazer o mesmo percusso.
Também podemos dizer que uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza
B, quando o produto de todos os elementos de A com os seus correspondentes em B for uma
constante, isto é, sendo A = (a1 ; a2 ; a3 ; ...; an ) e B = (b1 ; b2 ; b3 ; ...; bn ), então:
a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 = · · · = an bn = λ
Exemplo:
Numa viagem, quanto maior a velocidade média no percurso, menor será o tempo de viagem.
Quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo de viagem.
Observe a tabela abaixo que relaciona a velocidade média e o tempo de viagem, para uma
distância de 600km.
Velocidade média (km/h)
60
100
120 150
200
Tempo de viagem(h)
10
6
5
3
4
Velocidade média e Tempo de viagem são grandezas inversamente proporcionais, assim
se viajo mais depressa levo um tempo menor, se viajo com menor velocidade média levo um
tempo maior.
Observe que quando multiplicamos a velocidade média pelo tempo de viagem obtemos
sempre o mesmo valor, pois em grandezas inversamente proporcionais, o produto é constante, ou seja,
60 × 10 = 100 × 6 = 120 × 5 = 150 × 4 = 200 × 3 = 600
c
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28
5.3
Exercícios
Matemática Elementar
Nesse caso temos λ = 600.
5.3
Exercícios
1) Em uma maquete de um estádio de futebol, uma torre de iluminação de altura 18 metros é
representada por um palito de 3 centímetros de comprimento. Qual foi a escala utilizada?
(Resp.: 19 )
2) (B.B) Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionários. Se a relação entre o número de
efetivos e contratados é de 5 por 2, quantos são os efetivos?
a) 600
b) 1.000
c) 1.500
d) 1.600
e) 1.800
3) As idades de duas pessoas há 8 anos estavam na razão de 8 para 11; agora estão na
razão de 4 para 5. Qual é a idade da mais velha atualmente? (Resp.: 30 anos)
4) (T.F.R.) Uma estrada está representada por 15cm em um mapa de escala 1/20.000. O
comprimento real dessa estrada é:
a) 3km
b) 30km
c) 300m
d) 3.000cm
e) 30.000dam
5) (UNICAMP) Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1 : 50, as dimensões
de uma sala retangular são 10cm e 8cm. Calcular a área real da sala projetada.
a) 40cm2
b) 20m2
c) 8m2
d) 4m2
6) Um mapa foi construído na escala de 1 : 250.000. Observando a posição de duas cidades
que, no mapa, distam 8cm, podemos dizer que na realidade a distância entre as duas
cidades, em quilômetros, é aproximadamente igual a:
a) 8
b) 10
c) 12
d) ) 16
e) 20
7) A razão entre o número de vagas para Cabo da Aeronáutica 2009 e o número de candidatos inscritos na especialidade de administração é de 2/29 . Sabendo-se que o total de
inscritos foi de 493, quantas vagas há para o cargo:
a) 30
b) 31
c) 32
d) 33
e) 34
8) Roberto é arquiteto recém-formado e trabalha no Departamento de Obras e Projetos de
uma Prefeitura. Ele construiu uma maquete de uma praça da cidade na escala 1 : 20. Um
sobrado de 7m de altura, representado na maquete é em cm:
a)350
c
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b)200
c)35
d)20
e) 0,20
29
6.1
Regra de três simples
6
Regra de três simples e composta
6.1
Matemática Elementar
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro
valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir
dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
i. Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
ii. Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
iii. Montar a proporção e resolver a equação.
6.1.1
Exemplos:
1. Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5
camisetas do mesmo tipo e preço?
Solução:
-
Montando a tabela
N o camisetas
valor
3
120
5
x
Identificação do tipo de relação:
N o camisetas
valor
3↓
120 ↓
5↓
x↓
As setas direcionadas para baixo significa que as grandezas são diretamente
proporcionais, ou seja, aumentando o número de camisetas a comprar, o preço tam3
120
bém deve aumentar. Montando a proporção temos =
.
5
x
Por último fazemos o produto dos meios e igualamos ao produto dos extremos,
obtemos a equação do primeiro grau 3x = 600, cuja solução é x = 200
Portanto, se 3 camisetas custam R$ 120,00 então 5 camisetas custariam R$ 200,00.
2. Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400km/h, faz um determinado
percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade
utilizada fosse de 480km/h?
c
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30
6.1
Regra de três simples
Matemática Elementar
Solução:
-
N o velocidade
tempo
400
3
480
x
Identificação do tipo de relação:
N o velocidade
tempo
400 ↓
3↑
480 ↓
x↑
Observe que as setas estão invertidas, pois ao aumentar a velocidade do trem
gastaremos menos tempo para chegar ao destino. Assim, como as setas estão
invertidas temos que inverter os números, mantendo a segunda coluna (ou a primeira)
e invertendo a outra, ou seja, o que esta em cima vai para baixo e o que está em baixo
em uma das colunas. Neste exemplo, vamos inverter a primeira coluna. Assim, temos
N o velocidade
tempo
480 ↓
3↓
400 ↓
x↓
Agora, prosseguimos como no exemplo anterior: 480x = 400 × 3
480x = 1200
x = 2, 5
Portanto, se a velocidade de 400km/h se gasta 3h para chegar ao destino, então
aumentando a velocidade para 480km/h deve-se chegar em 2, 5h, ou seja, 2h30min.
6.1.2
Exercícios
1) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? (Resp.: 8)
2) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35m2 . Quantos litros são necessários
para pintar uma parede de 15m2 ? (Resp.: 6)
3) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto
levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? (Resp.: 3)
4) Um automóvel faz um percurso de 5 horas à velocidade média de 60 km/h. Se a velocidade
fosse de 75 km /h quantas horas gastaria para fazer o mesmo percurso? (Resp.: 4)
5) Quatro quilogramas de um produto químico custam R$ 24.000,00 quanto custarão 7,2 Kg
desse mesmo produto? (Resp.: 43.200, 00)
c
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31
6.2
Regra de três composta
6.2
Matemática Elementar
Regra de três composta
Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou
inversamente proporcionais.
Exemplos:
1. Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução:
Montando a tabela
homens carrinhos dias
8↓
20 ↓
5↓
4↓
x↓
Observe que:
16 ↓
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação
é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Aumentando o número de
dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x
com o produto das outras razões. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
20
8
5
= ×
x
4 16
20
40
=
x
64
40x = 20 × 60
40x = 1280
1280
x=
40
x = 32
Portanto, 4 homens montarão 32 carrinhos em 16 dias.
2. Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões
serão necessários para descarregar 125m3 ?
Solução:
Montando a tabela
Horas caminhões volume
8↑
20 ↓
160 ↓
5↑
x↓
125 ↓
Observe que:
Diminuindo o número de horas de trabalho, precisamos aumentar o número de caminhões.
Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1a coluna). Diminuindo o
volume de areia, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente
c
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32
6.2
Regra de três composta
Matemática Elementar
proporcional (seta para baixo na 3a coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x
com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Horas caminhões volume
8↑
20 ↓
160 ↓
5↑
x↓
125 ↓
20
160 5
=
× (onde os temos da ultima fração foram invertidos).
x
125 8
Simplificando fica
20
4
=
x
5
4x = 20 × 5
4x = 100
100
x=
4
x = 25
Logo, serão necessários 25 caminhões.
6.2.1
Exercícios
1) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos
produzirão em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia? (Resp.: 5600)
2) Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço, se trabalharem 20 horas
por dia durante 12 dias? (Resp.: 8).
3) Uma máquina fabricou 3200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia durante 8 dias. Quantas horas deverá trabalhar por dia para fabricar 5000 parafusos em 15 dias? (Resp.: 10)
4) Para pintar 20 m de muro de 80 cm de altura foram gastas 5 latas de tinta. Quantas latas
serão gastas para pintar 16 m de muro de 60 cm de altura? (Resp.: 3 latas)
5) (PMMG - 2010) Uma cervejaria tem uma produção diária, em um turno de 8 horas de
trabalho, com um quadro de 120 funcionários. Um novo acordo sindical reduziu a jornada
diária em duas horas. O mercado passa a exigir um aumento na demanda de cervejas de
30%. O que a empresa deverá fazer para se adequar ao novo cenário?
c
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33
7.1
Introdução
7
Porcentagem
7.1
Matemática Elementar
Introdução
No nosso dia a dia nos deparamos com expressões que refletem acréscimos ou reduções
em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Veja algumas
situações:
Os números percentuais possuem representações na forma de fração centesimal (denominador igual a 100) e quando escritos de maneira formal devem aparecer na presença do
símbolo de porcentagem (%). Também podem ser escritos na forma de número decimal. Observe os números a seguir, eles serão demonstrados através das três formas possíveis:
Porcentagem Razão Centesimal
c
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No Decimal
0,1%
0,1/100
0,001
0,5%
0,5/100
0,005
1%
1/100
0,01
5%
5/100
0,05
10%
10/100
0,1
25%
25/100
0,25
100%
100/100
1
125%
125/100
1,25
200%
200/100
2
34
7.2
Exemplos
7.2
Matemática Elementar
Exemplos
A melhor forma de assimilar os conteúdos inerentes à porcentagem é com a utilização de
exemplos que envolvem situações cotidianas. Acompanhe os exemplos a seguir:
Exemplo 1
Uma mercadoria é vendida em, no máximo, três prestações mensais e iguais, totalizando o
valor de R$ 900,00. Caso seja adquirida à vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o
valor a prazo. Qual o preço da mercadoria na compra à vista?
Solução:
-
Devemos calcular 12% de 900 e subtrair o resultado desse valor. Lembremos que
12% = 12/100 = 0, 12.
12
10800
12% de 900 =
× 900 =
= 108
100
100
ou
12% de 900 = 0, 12 × 900 = 108
Agora basta efetuarmos a subtração 900 − 108 = 792
Assim, o desconto no pagamento à vista é de R$ 108,00.
Portanto o preço da mercadoria para compra à vista é de R$ 792,00.
Exemplo 2
O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito do trabalhador com carteira
assinada, no qual o empregador é obrigado por lei a depositar em uma conta na Caixa
Econômica Federal o valor de 8% do salário bruto do funcionário. Esse dinheiro deverá ser
sacado pelo funcionário na ocorrência de demissão sem justa causa. Determine o valor do
depósito efetuado pelo empregador, calculado o FGTS sobre um salário bruto de R$ 1.200,00.
Solução:
Lembre-se que 8% = 8/100 = 0,08
8% de 1200 =
8
100
× 1200 = 96
ou
8% de 1200 = 0, 08 × 1200 = 96
Portanto, o depósito efetuado será de R$ 96,00
Exemplo 3
Em uma sala de aula com 52 alunos, 13 utilizam bicicletas como transporte. Expresse em
porcentagem a quantidade de alunos que utilizam bicicleta.
c
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35
7.3
Exercícios
Matemática Elementar
Solução:
-
Podemos utilizar uma regra de três simples.
Alunos
Porcentagem
52 ↓
100% ↓
13 ↓
x↓
52x = 13 × 100
52x = 1300
x = 1300/52
x = 25%
Outra maneira de resolver é efetuando a divisão
13
52
=
1
4
= 0, 25, que corresponde a 25%
Portanto, 25% dos alunos utilizam bicicletas.
7.3
Exercícios
1) Numa eleição com 2 candidatos, votaram 3850 eleitores. O candidato A obteve 1032 votos
e B obteve 2048 votos. Qual foi a porcentagem de votos nulos ou em branco? (Resp.:
20%)
2) Uma TV LCD foi comprada por R$ 6.000,00 e vendida meses depois por R$ 5.160,00.
Determine a porcentagem de prejuízo nessa venda. (Resp.: 14%)
3) Qual o valor de uma fatura pela qual se pagou R$ 1.900,00, sabendo-se que o vendedor
concordou em fazer um abatimento de 5%? (Resp.: R$ 1805, 00)
4) (ENEM 2004) Uma pesquisa sobre orçamentos familiares, realizada recentemente pelo
IBGE, mostra alguns itens de despesa na distribuição de gastos de dois grupos de famílias
com rendas mensais bem diferentes.
Considere duas famílias com rendas de R$ 400,00 e R$ 6.000,00, respectivamente, cujas
despesas variam de acordo com os valores das faixas apresentadas. Nesse caso, os
c
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36
8.1
Juros simples
Matemática Elementar
valores, em R$ , gastos com alimentação pela família de maior renda, em relação aos da
família de menor renda, são, aproximadamente,
a) dez vezes maiores.
b) quatro vezes maiores.
c) equivalentes.
d) três vezes menores.
e) nove vezes menores.
8
Juros simples e compostos
8.1
Juros simples
O regime de Juros Simples é aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial,
também chamado de Valor Principal ou simplesmente principal.
Atualmente as transações comerciais não utilizam dos juros simples e sim o regime de
juros compostos.
A fórmula utilizada para o cálculo dos juros simples é:
j = c.i.t
Em que J representa os juros, c é o capital(valor aplicado), i é a taxa de juros(já na forma
decimal) e t representa o tempo.
Quando queremos saber o valor final a ser pago numa aplicação a juros simples, devemos
calcular o Montante que é dado pela soma dos juros com o capital, ou seja, M = c + j.
8.1.1
Exemplos
1. Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime
de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Quanto terei que pagar de juros e qual
o valor final a ser pago, após período em questão?
c
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37
8.2
Juros compostos
Matemática Elementar
Solução:
-
Nesse exemplo temos c = 1000, i = 8% = 0, 08 e t = 2. Assim, os juros serão:
J = 1000 × 0, 08 × 2 = 160
Para saber o valor final ser pago devemos calcular o montante:
m = c + j = 1000 + 160 = 1160
Logo será pago R$ 160,00 de juros e o valor final da dívida a ser paga é R$ 1160, 00.
2. Qual é o capital que rende R$ 6.270,00 de juros, à taxa de 55% ao ano, durante 3 anos?
Solução:
C =?, J = 6270, i = 55% = 0, 55 e t = 3. Assim, temos
6270 = c × 0, 55 × 3
6270 = c × 1, 65
c=
6270
1,65
c = 3800
Portanto o capital aplicado deve ser de R$ 3800, 00.
8.2
Juros compostos
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil
para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados
ao principal (capital) para o cálculo dos juros do período seguinte. Da capitalização simples,
já sabemos que o rendimento se dá de forma proporcional. A base de cálculo é sempre o
capital inicial. No regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de
forma exponencial. Os juros do período, são calculados com base num capital, formando um
montante, que será a nova base de cálculo para o período seguinte.
Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação rende juros.
Sendo o tempo de aplicação igual a 2 anos, por exemplo, e os juros capitalizados mensalmente, teremos 24 períodos de capitalização; para uma capitalização bimestral, a quantidade de períodos será igual a 12; se a capitalização for semestral, será 4 , e assim sucessivamente.
Vejamos um exemplo:
Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma
capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5
vezes.
Observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos:
c
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38
8.2
Juros compostos
Matemática Elementar
Períodos
Capital
Montante
20
1020, 00 × 1, 02
= 1040, 40
30
1040, 40 × 1, 02
= 1061, 21
40
1061, 21 × 1, 02 = 1082, 43
50
1082, 43 × 1, 02
= 1104, 08
Portanto, o montante ao final dos 5 meses será R$ 1.104,08.
No cálculo, fizemos o seguinte:
1000 × 1, 02 × 1, 02 × 1, 02 × 1, 02 × 1, 02
= 1000 × (1, 02)5
= 1000 × 1, 10408
= 1104, 08
O cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, na qual M é o
montante, C é o capital, i é a taxa de juros e t é a quantidade de capitalizações.
M = C(1 + i)t
Comparando o cálculo composto com o cálculo simples, observe:
Capital
Juros Simples
Montante
1000, 00 × 0, 02
20
M = 1020, 00
1000, 00 × 0, 02
20
M = 1040, 00
1000, 00 × 0, 02
20
M = 1060, 00
1000, 00 × 0, 02
20
M = 1080, 00
1000, 00 × 0, 02
20
M = 1100, 00
Portanto, o montante a juros simples, ao final dos 5 meses será R$ 1.100,00. Enquanto a
juros compostos temos um montante de R$ 1. 104,08.
Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros compostos e os juros simples, apresentam valores iguais. A partir daí, o rendimento composto passa a superar
o simples.
c
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39
8.3
Exercícios
8.3
Matemática Elementar
Exercícios
1) Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a.,
durante 2 anos. (Resp.: R$ 28800, 00)
2) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$ 3.500,00 de juros
simples em 75 dias? (Resp.: R$ 116666, 67)
3) Um capital de R$ 20.000,00 foi investido num regime de juros compostos, durante 18
meses, numa aplicação que rende 2% ao mês. Calcule o montante no final do período.
(Resp.: R$ 28564, 92)
4) (CESGRANRIO/PETROBRÁS/1999) Desconsiderando-se os aspectos tributários, uma aplicação financeira de R$ 100.000,00, com rendimento mensal contratado de 2% ao mês, no
sistema de juros compostos com capitalização mensal, terá, depois de três meses, o valor
final para resgate igual a:
a) R$ 104.040,00
b) R$ 106.000,00
c) R$ 106.120,80
d) R$ 108.000,00
e) R$ 108.243,22
5) ( Cesgranrio/BB - 1999) Um automóvel foi comprado por R$ 20.000,00 e sofreu desvalorização de 20% ao ano. O seu valor, em reais, após 3 anos será:
A) R$ 10.240,00
B) R$ 8.192,00
C) R$ 6.553,60
D) R$ 5.242,88
E) R$ 4.194,30
9
Potenciação
Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de
um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo.
Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente
por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é
multiplicada por si mesma. As potências apresentam-se na forma xn onde n é o expoente e x
é a base.
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40
9.1
Propriedades da potenciação
Matemática Elementar
A potência 43 , por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja, 43 = 4 × 4 × 4 = 64. Se o expoente é 1, então o
resultado tem o valor da base (71 = 7), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de
operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1(= 1).
9.1
Propriedades da potenciação
i. Multiplicação de bases iguais
Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
xm × xn = xm+n
ii. Divisão de bases iguais
Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.
xm ÷ xn = xm−n
iii. Potência de potência
Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.
(xm )n = xmn
iv. Potência de um produto e Potência de um quociente
Ao elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada um dos fatores a
esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e também o divisor ao
mesmo expoente.
(x × y)n = xn × y n
n
x
xn
= n
y
y
10
Radiciação
Para um número real a, a expressão
√
n
a representa o número real x que verifica xn = a e
tem o mesmo sinal que a (quando existe). Quando n é omitido, significa que n = 2 e o símbolo
√
de radical refere-se à raiz quadrada. x é chamado raiz, n índice, a radicando e
é o radical.
Exemplos:
√
9 = 3, pois 32 = 9
√
3
64 = 4, pois 43 = 64
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41
10.1
10.1
Propriedades da radiciação
Matemática Elementar
Propriedades da radiciação
Para números a e b positivos, temos
q
√
√
√
n
n
n
i. rab = √
a b
n
a
a
ii. n = √
n
b
b
√
m
n
iii. am = a n
11
iv.
v.
vi.
m
√
n
√
n
√
n
a=
am = a
√
m.n
a
m
n
an = a
Equação do 2o grau
É toda equação da forma ax2 + bx + c = 0, denominada forma canônica da equação, onde
a, b e c são números reais e a 6= 0. Para resolvê-la usaremos a formula conhecida no Brasil
como “Fórmula de Báskara”:
x=
Ou separadamente
(
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
∆ = b2 − 4ac
x=
√
−b± ∆
2a
Exemplo: (PUC-SP) Um terreno retangular de área 875m2 tem o comprimento excedendo em
10 metros a largura. Vamos calculara as dimensões desse terreno.
Solução:
-
Seja x o comprimento do terreno e y, a sua largura. Como o terreno é retangular, sua área
é dada por x.y = 875. Como o comprimento do terreno excede sua largura em 10 metros,
temos que x = y + 10. Assim, substituindo o valor x = y + 10 em x × y = 875, temos
x × y = 875 ⇒ (y + 10)y = 875 ⇒ y 2 + 10y = 875
y 2 + 10y − 875 = 0
Utilizando as fórmulas de “Bhaskara” na equação acima, temos
∆ = b2 − 4ac∆ = 102 − 4.10.(−875) = 3600
√
√
−10 ± 3600
−10 ± 60
−b ± ∆
=y=
=
y=
2a
2×1
2
−10 + 60
50
−10 − 60
−70
=
= 25 ou y 00
=
= −35
2
2
2
2
Como, y representa largura do terreno, o valor -35 não convém (pois não existe distância
y0 =
negativa).
Sendo assim, y = 25. Segue que x = y + 10 = 25 + 10 = 35
Logo, as dimensões do terreno são 25m e 35m.
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42
11.1
11.1
Condição de existência de raízes
Matemática Elementar
Condição de existência de raízes
Uma equação do 2o Grau só tem raízes reais quando o valor do discriminante ∆ for igual
√
a zero ou maior que zero, pois se ∆ < 0 não existe ∆ (já que não temos como calcular raiz
real de número negativo). Então, resumidamente, temos
∆ > 0 A equação tem duas raízes reais e diferentes
∆ = 0 A equação tem duas raízes reais iguais
∆ < 0 A equação não tem raiz real
Tabela 1: Condição de existência de raízes.
11.2
Soma e produto das raízes
A soma S e o produto P das raízes de uma equação do 2o grau são dados, respectivamente, pela fórmulas:
−b
a
c
P =
a
S=
Utilizando estas fórmulas podemos reescrever a forma canônica de uma equação do 2o grau
como
x2 − Sx + P = 0
Obs.: Como consequência da fórmula acima, um método prático para encontrarmos raízes
de equações quadráticas da forma x2 + bx + c = 0 é procurar dois valores reais cuja soma é
igual ao simétrico do termo b e cujo produto é igual ao termo c.
11.3
Exercícios
1) Utilizando a expressão conhecida como “fórmula de Bhaskara”, encontre os valores da
incógnita x em cada uma das seguintes equações do 2o grau:
a) x2 − 2x − 48 = 0
c) x2 − 2x + 5 = 0
b) x2 − 8x + 16 = 0
d) x2 − 6x + 9 = 0
2) Um jardim retangular tinha 6m de comprimento por 4m de largura. O seu proprietário
aumentou o jardim que passou a ter 143m2 . Para isso, ele acrescentou a mesma metragem
c
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43
11.3
Exercícios
Matemática Elementar
ao comprimento e à largura, mantendo assim, a sua forma retangular como podemos
perceber na ilustração a baixo.
Quantos metros foram acrescentado ao comprimento e á largura desse jardim? (Resp.:
7m)
12
Função afim
Toda expressão na forma y = ax + b ou f (x) = ax + b, onde a e b são números reais e
a 6= 0, é considerada uma função afim ou função polinomial do 1o grau, onde o valor y está
em função do valor de x, isto é, x é considerado o domínio da função, enquanto y ou f (x) é a
imagem.
Exemplos:
y = 2x + 9, a = 2 e b = 9
y = −x − 1, a = −1 e b = −1
y = 9x − 5, a = 9 e b = −5
y = 13 x + 7, a = 1/3 e b = 7
Uma função afim possui representação no plano cartesiano através de uma reta, podendo
a função ser crescente ou decrescente, o que determinará a posição da reta.
Função crescente (a > 0)
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Função decrescente (a < 0)
44
12.1
Raiz ou zero de uma função afim
12.1
Matemática Elementar
Raiz ou zero de uma função afim
Raiz ou zero da função é o instante em que a reta corta o eixo x. Para determinarmos o
zero ou a raiz de uma função basta considerarmos f (x) = 0 ou y = 0.
f (x) = ax + b
f (x) = 0
ax + b = 0
ax = b
−b
x=
a
12.2
Exemplos
a) Obtendo a raiz da função f (x) = 3x − 6
f (x) = 0
3x − 6 = 0
3x = 6
x = 6/3
x=2
A raiz da função é igual a 2.
b) Seja f uma função real definida pela lei de formação f (x) = 2x + 1. Qual é a raiz dessa
função?
f (x) = 0
2x + 1 = 0
2x = −1
x = −1/2
13
Função quadrática
Toda expressão na forma y = ax2 + bx + c ou f (x) = ax2 + bx + c, onde os coeficientes a,
b e c são números reais, sendo a 6= 0, é considerada uma Função Quadrática(ou conhecida
popularmente como função do 2o grau), onde o valor y está em função do valor de x, isto é, x
é considerado o domínio da função, enquanto y ou f (x) é a imagem.
Observe alguns exemplos de funções quadráticas:
y = 2x2 + 6x + 10
f (x) = 10x2 − 6x
f (x) = x2
y = 14x2 − 9
A função quadrática possui como representação geométrica uma parábola com concavidade voltada para cima ou para baixo de acordo com o valor do coeficiente a. Observe:
c
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45
13.1
13.1
Raízes da função quadrática
Matemática Elementar
Raízes da função quadrática
As raízes de uma função quadrática são dadas quando fazemos y ou f (x) igual a zero,
transformando a função numa equação quadrática(ou popularmente equação do 2o grau).
Veja:
y = ax2 + bx + c
y=0
ax2 + bx + c = 0
Podemos resolver uma equação do 2o grau utilizando a “Fórmula de Bhaskara”, conforme
vimos na seção 11:
(
∆ = b2 − 4ac
x=
√
−b± ∆
2a
A raiz de uma função quadrática corresponde aos valore de x em que o gráfico da função
intercepta (“corta”) o eixo das abscissas (eixo X). Mas, conforme a tabela 1 da seção 11, a
equação do segundo grau pode ter uma única raiz real, duas raízes reais distintas ou nenhuma
raiz real. Veja tais situações representadas nos gráficos abaixo:
Observe nos gráficos abaixo que, de acordo com o valor de ∆, a função quadrática pode
ter nenhuma raiz real(∆ < 0), uma única raiz real(∆ = 0) ou duas raízes reais distintas(∆ > 0).
13.2
Vértices de uma parábola
A parábola possui alguns pontos importantes para analisar. Se a função possui a > 0 a
parábola tem concavidade voltada para cima e possui um ponto denominado mínimo e se
c
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46
13.3
Exemplos
Matemática Elementar
a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e possui um ponto máximo.
13.2.1
Coordenadas do vértice de uma parábola
As coordenadas do vértice da parábola de uma função quadrática são dadas por
(
xv =
x=
13.3
−b
2a
−∆
4a
Exemplos
1) Determinar as raízes da função quadrática f (x) = x2 + 8x + 15
Solução:
-
Primeiramente fazemos f (x) = 0, ou seja, x2 + 8x + 15 = 0.
Observe que a = 1, b = 8, c = 15.
Calculando o valor do discriminante ∆:
∆ = b2 − 4ac
∆ = 82 − 4 × 1 × 15 = 4
√
−b ± ∆
x=
2a
√
−8 ± 4
−8 ± 2
x=
=
2×1
2
x0 =
−6
−8 + 2
=
= −3
2
2
x00 =
−8 − 2
−10
=
= −5
2
2
Portanto, as raízes da função são -5 e -3.
c
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47
13.4
Exercícios
Matemática Elementar
2) Determine as coordenadas do vértice da função f (x) = 2x2 − 3x + 1 e diga se ele é ponto
de máximo ou mínimo absoluto dessa função.
Solução:
-
Como a = 2 e portanto maior que zero, a concavidade está voltada para cima e a função
admite um valor mínimo.
Calculando xv :
−b
−(−3)
3
xv =
=
=
2a
2×2
2
Calculando ∆:
∆ = b2 − 4ac
∆ = (−3)2 − 4 × 2 × 1 = 9 − 8 = 1
Calculando yv :
−∆
−1
−1
yv =
= yv =
=
4a
4×2
8
3
−1
Logo, as coordenadas do vértice da função dada são xv = e yv =
2
8
Nesse caso yv é o valor de mínimo e xv é o valor de x para que ocorra esse mínimo.
3) Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação y = −9x2 + 90x.
Determine a altura máxima atingida pela bala do canhão, sabendo que y é a altura em
metros e x é o alcance, também em metros.
Solução:
-
Como a parábola possui equação y = −9x2 + 90x, podemos constatar que sua
concavidade está voltada para baixo(pois a < 0) e que a altura máxima atingida pela bala
de canhão corresponde à coordenada y do vértice, uma vez que o vértice é ponto de
máximo. Assim, para determinar a altura máxima atingida pela bala do canhão, basta
determinar o valor y do vértice.
Temos que: a = −9, b = 90 e c = 0. Logo, teremos:
∆ = b2 − 4ac = 902 − 4 × (−9) × 0 = 8100
−∆
−8100
−8200
yv =
=
=
= 225
4a
4 × (−9)
−36
Portanto, a altura máxima atingida pela bala de canhão é de 225 metros.
13.4
Exercícios
1) Encontre os zeros de cada função:
a) f (x) = x2 − 5x + 6
b) f (x) = x2 − 11x + 24
c) f (x) = x2 − 2x − 15
d) f (x) = x2 + 12x + 27
2) Quais as coordenadas do vértice da função y = x2 − 2x − 3? (Resp.: xv = 1 e yv = −4)
3) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função
do tempo (em segundos) pela expressão h(t) = 3t − 3t2 , onde h é a altura atingida em
metros.
c
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48
14.1
Tabela de ângulos notáveis
Matemática Elementar
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? (Resp.: 1 segundo)
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo? (Resp.: 0, 75m)
4) Um fazendeiro tem 100 metros de arame para delimitar um curral de forma retangular.
Quais as dimensões do curral para que a área cercada seja máxima? (Resp.: as duas
dimensões são iguais a 25m)
5) Qual a razão entre a soma e o produto das raízes da equação x2 − 5x + 6 = 0. (Resp.: 56 )
14
Trigonometria no triângulo retângulo
Dado um Triângulo Retângulo definimos as seguintes relações trigonométricas para os ângulos agudos:
cateto oposto ao ângulo
hipotenusa
cateto adjacente ao ângulo
cosseno do ângulo =
hipotenusa
cateto oposto ao ângulo
tangente do ângulo =
cateto adjacente ao ângulo
seno do ângulo =
Observe o triângulo ABC ao lado. Com base nele
definimos nossas relações da seguinte maneira:
• seno - é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa:
AC
sin B̂ =
BC
• cosseno - é a razão entre o cateto adjacente
ao ângulo e a hipotenusa:
AB
cos B̂ =
BC
• tangente - é a razão entre o cateto oposto ao
ângulo e o cateto adjacente ao ângulo:
sin B̂
AC
ou ainda tg B̂ =
tg B̂ =
AB
cos B̂
14.1
Tabela de ângulos notáveis
θ
300
450
600
sin x
1
√2
3
√2
3
3
2
√2
2
2
3
2
1
2
cos x
tg x
c
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√
1
√
√
3
49
14.2
14.2
Exemplos
Matemática Elementar
Exemplos
Para permitir o aceso a um monumento que está em um pedestal de 2m de altura, vai ser
construída uma rampa com inclinação de 300 com o solo, conforme a ilustração.
Qual deve ser o comprimento dessa rampa?
Solução:
-
O cateto oposto ao ângulo de 300 é co = 2.
Seja x o comprimento da rampa. Assim temos:
2
sin 300 =
x
1
2
=
2
x
x=4
Logo, o comprimento da rampa é igual a 4m.
14.3
Exercícios
1) Um avião levanta voo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 150 com a horizontal.
A que altura está e qual distância percorrida, quando alcançar a vertical que passa por um
prédio A situado a 2km do ponto de partida?
(Dados: sin 150 = 0, 26, cos 150 = 0, 97 e tg 150 = 0, 27).
2) O ângulo de elevação do pé de uma árvore ao topo de uma encosta é de 600 . Sabendo-se
que a árvore está distante 50m da base da encosta, que medida deve ter um cabo de aço
para ligar a base da árvore ao topo da encosta?
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50
14.3
Exercícios
Matemática Elementar
3) (ENEM 2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de
São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na
região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do
programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália,
para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o
cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em http://correiodobrasil.com.br/.
Acesso em: 02 de maio de 2010 .
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1, 8km da posição
vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 600 ; a outra estava a 5, 5km da posição
vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura,
e o avistou sob um ângulo de 300 .
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
a) 1, 8km
c) 3, 1km
b) 1, 9km
d) 3, 7km
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e) 5, 5km
51
REFERÊNCIAS
Matemática Elementar
Referências
[1] DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contextos e Aplicações. 1a ed. Vol. 1,2,3. São Paulo:
Ática, 2010.
[2] EPPRECHT, Carlos Eduardo; MINELLO,Roberto. Matemática Financeira e Comercial.
Rio de Janeiro: CopyMarket.com, 2000.
[3] IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. 7a ed.
Vol. 1. São Paulo: Atual, 1993.
[4] MEDEIROS, Valéria Zuma; CALDEIRA, André Machado; SILVA, Luiza Ma O. da;
MACHADO, Ma Augusta Soares. Pré-Cálculo. 2a ed. São Paulo: Cergage Learning,
2010.
[5] SANTOS,
Valdex.
Formulário
Matemático.
Disponível
em
<http://www.waldexifba.wordpress.com>. Acesso em 06 de junho de 2012.
[6] MOYER, Robert E.; AYRES, Frank. Trigonometry. Four Edition. New York: Mc-Grill,
2009.
[7] VIVEIRO, Tânia Cristina Neto G.; CORREA, Marlene Limpa Pires. Minimanual Compacto de Matemática: Teoria e Prática. São Paulo: Rideel, 1999.
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