Ficha 1.5 - estgv - Instituto Politécnico de Viseu

Instituto Politécnico de Viseu
Escola Superior de Tecnologia
Métodos Matemáticos II
Departamento: Matemática
Curso: Tecnologias e Design de Multimédia
Ano: 1o
Semestre: 2o
Ano Lectivo: 2006/2007
Ficha Prática no 1.5 - Espaços Lineares (Vectoriais)
1. Sendo v e w vectores quaisquer de um espaço V e α e β escalares, prove que:
(a) α(v − w) = αv − αw;
(b) (α − β)v = αv − βv;
(c) α0 = 0;
(d) 0v = 0;
(e) αv = 0 =⇒ α = 0 ou v = 0;
(g) (αv = βv e v 6= 0) =⇒ α = β.
(f) (αv = αw e α 6= 0) =⇒ v = w;
2. Diga quais dos seguintes subconjuntos de IR4 são subespaços de IR4 :
(a){(x1 , x2 , x3 , x4 ) : x1 + x2 = 0 e x3 = x4 };
(b){(x1 , x2 , x3 , x4 ) : x1 + x2 + x3 = 0 e x4 é um inteiro};
(c){(x1 , x2 , x3 , x4 ) : x2 = 0};
(d){(x1 , x2 , x3 , x4 ) : x1 + x2 + x3 + x4 = 1}.
3. Verifique se:
x y
(a)
∈ M2×2 (IR) : x = 3y ∧ w = 1 é subespaço vectorial de M2×2 (IR) ;
z w
(b) {A ∈ M2×2 (IR) : A é simétrica} é subespaço vectorial de M2×2 (IR) ;
(c) {A ∈ Mn×n (IR) : A é ortogonal} é subespaço vectorial de Mn×n (IR) ;
x y
(d)
∈ M2×2 (IR) : x + y = 0 ∧ z = 0 é subespaço vectorial de M2×2 (IR).
z t
4. O conjunto de todas as sucessões reais é um espaço vectorial real. Diga quais dos seguintes conjuntos
são subespaços desse espaço:
(a) o conjunto das sucessões limitadas;
(c) o conjunto das sucessões com limite 1;
(b) o conjunto das sucessões convergentes;
(d) o conjunto das sucessões com limite 0;
(e) o conjunto das sucessões (un ) que satisfazem un+2 = un+1 + un para todo o n.
5. O conjunto de todos os polinómios de coeficientes reais, com as operações de adição e multiplicação
escalar usuais é um espaço vectorial real. Diga quais dos seguintes conjuntos são subespaços desse
espaço:
(a) o conjunto dos polinómios de grau inferior ou igual a 2;
(b) o conjunto dos polinómios de grau igual a 3.
6. Diga quais dos seguintes subconjuntos do espaço C(a, b) são subespaços:
) = 1;
(a) o conjunto das funções f que satisfazem f ( a+b
2
(b) o conjunto das funções f que satisfazem a eq. diferencial f 00 (x) + αf 0 (x) + βf (x) = 0;
(c) o conjunto C k (a, b) das funções com derivadas contı́nuas até à ordem k.
7. Sendo A mxn e B pxm duas matrizes quaisquer, prove que o espaço nulo de A está contido no espaço
nulo de BA.
8. Sendo A uma matriz real qualquer, prove que o espaço nulo de A coincide com o de At A. (Sugestão:
Pelo exercı́cio anterior, basta mostrar a inclusão num sentido. Agora note que, pelo exercı́cio 15.(a)
da ficha 5, para provar que um vector-coluna real y é 0 basta provar que y t y = 0.)
9. (a) Prove que a intersecção de dois subespaços de um mesmo espaço é um sub espaço.
(b) Prove que a reunião de dois subespaços de um mesmo espaço só é um sub espaço se um deles
contiver o outro.
10. Diga se o vector (2, 5, −3) pertence ao subespaço de IR3 gerado pelos vectores (1, 4, −2) e (−2, 1, 3).
11. Considere os seguintes vectores de IR3 :
v1 = (1, 0, 2), v2 = (1, −1, 1), v3 = (0, −1, −1), v4 = (1, −1/2, 3/2).
Prove que o subespaço gerado por v1 e v2 coincide com o subespaço gerado por v3 e v4 .
12. Descreva geometricamente o subespaço de IR3 gerado por:
(a) (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 2, 0); (b) (0, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 2, 1);
(c) os seis vectores indicados em a) e b).
13. Determine α e β de modo que o vector (1, 1, α, β) pertença ao subespaço de IR4 gerado pelos vectores
(1, 0, 2, 1) e (1, −1, 2, 2).
14. Sendo A mxn, mostre que o espaço das colunas de A é o conjunto {Av : v matriz n × 1}.
15. Prove que o espaço das colunas de BA está contido no de B.
16. (a) Escreva o vector nulo de IR2 como combinação linear dos vectores (2, −3) e (−4, 6) de várias
maneiras diferentes.
(b) Pode o vector nulo de IR2 escrever-se como combinação linear dos vectores (2, −3) e (4, 6) de
mais que uma maneira?
17. Escreva o vector (2, −3) de IR2 como combinação linear dos vectores
(a) (1, 0) e (0, 1);
b) (1, 1) e (1, 2);
c) (0, 1) e (2, −3).
18. Diga quais dos seguintes conjuntos de IR3 são linearmente independentes (e em caso de dependência
escreva um dos vectores como combinação linear do outros):
(a) {(1, −2, 3), (3, −6, 9)};
(b) {(1, −2, −3), (3, 2, 1)};
(c) {(0, 1, −2), (1, −1, 1), (1, 2, 1)};
(d) {(0, 2, −4), (1, −2, −1), (1, −4, 3)};
(e) {(1, −1, −1), (2, 3, 1), (−1, 4, −2), (3, 1, 2)}.
19. Considere os vectores de IR4 :
v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (1, −1, 1, −1), v3 = (−2, 0, 1, 2), v4 = (3, −1, 3, −1).
(a) Mostre que v1 , v2 , v3 são linearmente independentes.
(b) Mostre que v1 , v2 , v4 são linearmente dependentes.
20. Discuta segundo os valores de µ a dependência ou independência dos vectores de IR4
v1 = (1, −2, −5, 8), v2 = (−1, 1, 1, 5), v3 = (1, 2, 11, µ).
21. Diga para que valores de α, β e γ, os vectores (0, γ, −β), (−γ, 0, α), (β, −γ, 0) são linearmente
independentes.
22. Estude a independência linear de cada um dos seguintes conjuntos de vectores do espaço C[−π, π].
(a) sinx, cosx;
(b) 1, sinx, cosx;
(c) 1, sin2 x, cos2 x.
23. Seja (a,b) um intervalo real que contêm o 0. Mostre que as funções ex , e2x , e3x são vectores linearmente independentes do espaço C(a,b).
(Sugestão: Escreva a função nula como combinação linear das três funções, com coeficientes a
determinar, e derive duas vezes. Faça x=0 nas três igualdades.)
24. Considere os seguintes vectores de IR3 : v1 = (2, −3, 1), v2 = (0, 1, 2), v3 = (1, 1, −2).
(a) Mostre que {v1 , v2 , v3 } é uma base de IR3 .
(b) Determine as coordenadas do vector (3, 2, 1) relativamente a essa base.
25. Determine a dimensão e indique duas bases diferentes para o subespaço de IR3 gerado pelos vectores
(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9).
26. Sejam V um espaço vectorial de dimensão finita e F um subespaço de V. Como sabe, dim F≤dim
V. Prove que, se dim F = dim V, então F = V.
27. Para cada um dos subespaços de IR4 encontrados no exercı́cio 2,3 e 5 determine a sua dimensão e
indique uma base.
28. Para cada um dos seguintes subconjuntos de IRn , prove que se trata de um subespaço, determine a
sua dimensão e indique uma base.
(a) O conjunto dos vectores com a primeira e a última coordenadas iguais;
(b) O conjunto dos vectores cujas coordenadas de ı́ndice par são nulas;
(c) O conjunto dos vectores cujas coordenadas de ı́ndice par são todas iguais;
(d) O conjunto dos vectores da forma (α, β, α, β, α, β, ...).
29. Dados os números reais α1 , α2 , ..., αn , determine a dimensão e indique uma base do subespaço de IRn
definido pela equação α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = 0.
30. (a) Mostre que o espaço das sucessões reais referido no exercı́cio 4 tem dimensão infinita.
(b) Mostre que o subespaço desse espaço definido na alı́nea e) do exercı́cio 4 tem dimensão 2 e
indique uma base para ele.
31. Indique, justificando:
(a) um subconjunto de IR4 que não seja base de IR4 ;
(b) um subconjunto de IR4 com 4 vectores que gere um subespaço de dimensão 2;
(c) um subconjunto de IR4 que gere IR4 mas que não seja base de IR4 ;
(d) uma base de IR4 que contenha os vectores (1, 0, 1, 0) e (0, −1, 2, 1).
32. Prove que, se F e G forem subespaços de dimensão 3 de IR5 , então F e G têm de certeza um vector
não nulo em comum. (Sugestão: Se juntarmos uma base de F com uma base de G obtemos 6
vectores.)
33. Determine o espaço

 
0 0 1
0
 0 0 1 e 0
1 1 1
1
nulo e uma base para o espaço nulo das matrizes seguintes:

0 1 2
0 1 2 .
1 1 0


1 −α
2
34. Considere a matriz A =  α −1 3α − 1  ,
1 −1
3
onde α é um parâmetro real. Determine para que valores de α a caracterı́stica de A é, respectivamente, 1, 2 e 3. Em cada caso, determine bases para o espaço das colunas e para o espaço nulo de
A.


1 2α 1
35. O mesmo que no exercı́cio anterior para a matriz A =  α 1 α  .
0 1 α
36. Construa uma matriz cujo espaço nulo seja gerado pelo vector (1, 0, 1).
37. Existirá uma matriz cujo espaço das linhas contenha o vector (1, 1, 1) e cujo espaço nulo contenha o
vector (1, 0, 0)?
38. Se A for uma matriz 64 × 17 com caracterı́stica 11, quantos vectores linearmente independentes
satisfazem Ax=0? E quantos vectores linearmente independentes satisfazem At y = 0?
39. (a) Sendo A uma matriz qualquer, prove que car(A) = car(At ).
(b) Será sempre verdade que nul(A) = nul(At )?