Caderno de Apoio ao Aluno - Agrupamento de Escolas de Amares

NOVA EDIÇÃO:
s Curriculares
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a
m
o
c
o
rd
o
De ac
a de 2013.
e o Novo Program
ELZA GOUVEIA DURÃO
MARIA MARGARIDA BALDAQUE
Índice
Capítulo
1 NÚMEROS NATURAIS
Capítulo
3
Saber fazer 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Ficha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Saber fazer 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Ficha 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Ficha 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Ficha 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Capítulo
2 POTÊNCIAS DE
EXPOENTE NATURAL
Saber fazer 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
67
Problemas 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
9
Ficha 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Ficha 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Capítulo
Ficha 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Saber fazer 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Ficha 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Saber fazer 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Ficha 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3 SEQUÊNCIAS
E REGULARIDADES.
PROPORCIONALIDADE
DIRETA
7 NÚMEROS RACIONAIS
Ficha 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Ficha 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Problemas 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
8 ISOMETRIAS
Saber fazer 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Ficha 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Ficha 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Saber fazer 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
Ficha 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Ficha 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Problemas 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Ficha 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Ficha 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Problemas 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Capítulo
4 FIGURAS
GEOMÉTRICAS
PLANAS. PERÍMETRO
E ÁREA DE POLÍGONOS
E CÍRCULOS
TEXTO
Ficha 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Saber fazer 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Capítulo
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
6 VOLUMES
Saber fazer 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Capítulo
DO PLANO
Capítulo
9 REPRESENTAÇÃO
E TRATAMENTO
DE DADOS
Saber fazer 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Saber fazer 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Saber fazer 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Ficha 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Ficha 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Ficha 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Ficha 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Ficha 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Ficha 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Ficha 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Problemas 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Capítulo
5 SÓLIDOS
GEOMÉTRICOS
Saber fazer 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Ficha 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Ficha 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Ficha 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Ficha 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Problemas 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
A estudar também
podes fazer amigos
e divertires-te!
saber
fazer 1
NÚMEROS NATURAIS
Como saber se um número é primo?
Um número natural maior do que 1 é primo se tem apenas dois divisores: o 1 e o próprio
número.
Por outro lado, um número natural maior do que 1 é composto se têm três ou mais divisores.
Para saber se um número é primo ou composto, dividimos esse número pelos números
primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, … até obter:
• resto zero – dizendo, neste caso,
que o número é composto
Exemplo:
107 não é divisível por 2, 3 e 5, e:
ou
• quociente menor ou igual ao divisor –
dizendo que o número é primo.
107 7
37 15
2
e
107 11
08 9
9 < 11
logo, 107 é número primo.
Como se decompõe um número composto em fatores primos?
Divisões sucessivas
Em árvore
Dividir o número dado por um divisor primo.
Escrever o número como produto de outros dois.
Proceder de igual modo com o quociente
obtido até encontrar o quociente 1.
Continuar a escrever cada número como
produto de outros dois até encontrar apenas
números primos.
Turma
«Todo o número natural composto pode ser decomposto num produto de fatores primos,
sendo essa decomposição única.» – Teorema fundamental da aritmética.
Para decompor um número composto num produto de fatores primos podes recorrer a
um dos seguintes processos:
Exemplo:
quocientes
TEXTO
3 × 25
3 × 5 × 5
fatores primos
75 = 3 × 5 × 5 = 3 × 52
Pratica
1. Decompõe em fatores primos: 200, 242, 147 e 315 .
2. Será 149 um número primo? Explica.
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
75
75 3
25 5
5 5
1
N.o
75 3
0 25 5
0 5 5
0 1
3
NÚMEROS NATURAIS
fazer 1
Cont.
saber
4
Como calcular o máximo divisor comum de dois números?
Determinar o m.d.c. (96, 120) :
Calculando os divisores
Decomposição em fatores primos
120
60
30
15
5
1
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 –
divisores de 96
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40,
60, 120 – divisores de 120
24 é o maior divisor comum a 96 e 120.
120 = 23 × 3 × 5
Pelo algoritmo de Euclides
120 96
24 1
96
48
24
12
6
3
1
2
2
2
3
5
2
2
2
2
2
3
96 = 25 × 3
Escolhem-se os fatores primos comuns com
o menor expoente e efetua-se o seu produto.
96 24
00 4
m.d.c. (96, 120) = 23 × 3 = 24
24 é o m.d.c (96, 120)
Como calcular o mínimo múltiplo comum de dois números?
Determinar o m.m.c. (10, 16) :
Calculando os múltiplos naturais
Decomposição em fatores primos
16 2
10 2
8 2
5 5
4 2
1
2 2
1
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 … múltiplos de 10
16, 32, 48, 64, 80 … múltiplos de 16
80 é o menor número natural que é múltiplo de 10 e 16.
Recorda: o produto de dois números
naturais é igual ao produto do seu
máximo divisor comum pelo seu mínimo
múltiplo comum.
10 = 2 × 5
16 = 24
Escolhem-se os fatores primos comuns e
não comuns com o maior expoente e efetua-se o seu produto.
m.m.c. (10, 16) = 24 × 5 = 80
Pratica
3. Calcula o m.d.c. e o m.m.c. dos seguintes pares de números, utilizando a decomposição
em fatores primos e calculando os divisores e os primeiros múltiplos naturais.
3.1
48 e 80
3.2
72 e 100
3.3
270 e 36
NÚMEROS NATURAIS
1.1
59
1.2
127
231
1.3
1.4
1207
2.4
4004
Págs. 10 a 21
1. Quais dos números seguintes são primos? Justifica com os cálculos necessários.
5
Manual (volume 1)
ficha
ficha
11
Números primos e compostos.
M.d.c. e m.m.c. de dois números
2.2
108
2.3
250
3. Utilizando a decomposição em fatores primos, determina todos os divisores de:
3.1
500
3.2
118
3.3
75
4. Utilizando a decomposição em fatores primos, simplifica as frações:
144
576
1024
768
512
384
4.2 4.3 Turma
4.1 Prof.
56
Avaliação
2.1
Enc. Educ.
2. Decompõe os seguintes números em fatores primos.
m.d.c. (72, 300)
5.3
m.d.c. (210, 408)
5.2
m.d.c. (306, 410)
5.4
m.d.c. (96, 112)
N.o
5.1
6. Pela decomposição em fatores primos, determina:
6.1
m.m.c. (60, 86)
6.2
m.m.c. (24, 360)
6.3
m.m.c. (96, 112)
6.4
m.m.c. (84, 240)
6.5
1 com 3 usando o m.m.c. (60, 86) .
A soma de 60
86
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
5. Pela decomposição em fatores primos, determina:
6
NÚMEROS NATURAIS
ficha
ficha
11
Cont.
7. Observa os seguintes números e a respetiva decomposição em fatores primos.
A
= 22 × 32
B
= 33 × 52 × 7
7.1
Determina o m.d.c. (A, B) e o m.d.c. (B, C) .
7.2
Determina o m.m.c. (A, C) e o m.m.c. (B, C) .
C
= 34 × 52 × 72
8. Escreve dois números tais que o seu m.d.c. seja 140.
9. A Teresa tem dois rolos de fita para fazer laços, um com 154 cm e o outro com 374 cm.
Pretende dividi-los em partes iguais, sendo o comprimento de cada parte o maior possível.
Qual deve ser o comprimento de cada parte e em quantas partes fica dividido cada rolo de fita?
10.Dois aviões partem juntos do Funchal no mesmo dia.
Determina quantos dias depois partem novamente juntos e quantas viagens faz cada um,
sabendo que o primeiro avião sai de oito em oito dias e o segundo de 12 em 12 dias.
11. O chão de uma sala retangular tem 450 cm por 350 cm e vai ser pavimentada com mosaicos
quadrados.
Qual é o maior lado que pode ter cada mosaico, sabendo que só podem ser usados mosaicos
inteiros?
12. O produto de dois números naturais é 5070. O m.d.c. desses números é 13.
Qual é o m.m.c. desses números?
Como calcular uma potência de base racional e expoente natural?
2 2
Calcular 73 ; 104 ; ; 0,13 .
3
3
• 7 = 7 × 7 × 7 = 343
• 104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000
2
4
2 2 2
• =×=
3
3
3
9
saber
fazer 2
POTÊNCIAS DE
EXPOENTE NATURAL
• 0,13 = 0,1 × 0,1 × 0,1 = 0,001
Calcular a quarta potência de um meio:
4
2 1
1
1
1
1
1
=×××=
2
2
2
2
16
Não confundas:
O dobro de 6 é 2 × 6 = 12
O quadrado de 6 é
62 = 6 × 6 = 36
Atenção:
O triplo de 4 é 3 × 4 = 12
O cubo de 4 é
43 = 4 × 4 × 4 = 64
Representar 36 como potência de base 6: 36 = 62
Atenção:
2
2
3
4
9
22
3
4
3
2
3
2
2
3
2
9
22
3
2
3
= ; = ; 2
2 = , logo Como calcular uma soma ou uma diferença de potências?
Calculam-se primeiro as potências.
2
1
72
1
71
=8– = – = 9
9
9
9
• 24 + 72 = 2 × 2 × 2 × 2 + 7 × 7 =
= 16 + 49 =
= 65
1
• 23 – 3
• 103 – 35 = 10 × 10 × 10 – 3 × 3 × 3 × 3 × 3 =
= 1000 – 243 =
= 757
4
1
4
2 2
• 0,12 + = 0,01 + = +=
5
25 100 25
(× 4)
17
= 100
Turma
Pratica
1. Calcula:
1.3 105
1.2 25
1.4 1100
33
2
1.6 2,12
1.5 N.o
1.1 52
3
2
2.1 o cubo de 1
2.3 o quadrado de 2.2 o triplo de 1
2.4 o dobro de 3
2
3. Liga cada expressão ao seu valor.
2
1
52 – 2
82 + 130
43
2
33
2
–
18,5
24,75
130
2
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
2. Calcula:
7
POTÊNCIAS DE
EXPOENTE NATURAL
fazer 2
Cont.
saber
8
Como multiplicar potências com a mesma base?
Escrever 124 × 123 na forma de uma única potência:
124 × 123 = 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 = 124 + 3 = 127
4 vezes
3 vezes
O produto de potências com bases iguais é uma potência com a mesma base e com
expoente igual à soma dos expoentes.
am × an = am + n , com m e n números naturais e a número racional
5 3
5 2
5 3+2 5 5
Exemplos: × = = 3
3
3
3
0,17 × 0,12 = 0,17 + 2 = 0,19
Como dividir potências com a mesma base?
Escrever 135 : 132 na forma de uma única potência:
13 × 13 × 13 × 13 × 13
135 : 132 = = 135 – 2 = 133
13 × 13
O quociente de potências com bases iguais é uma potência com a mesma base e
com expoente igual à diferença dos expoentes.
am : an = am – n , com m e n números naturais, tais que m > n , e a número racional (a ≠ 0)
3 43 – 40 3 3
3 40
Exemplo: 1,543 : = = 2
2
2
3
Nota: = 1,5
2
Pratica
4. Liga as representações do mesmo número.
10
7
2
7
× 2
25
64 × 62
63 × 64
66
67
63 × 6 × 65
68
67 × 62 × 6
69
610
2
3
4
2
4
2
× 3,511
5. Completa:
5.1 87 : 82 = _______
___
5.4 0,110 : 0,17 = _______
5.2 1112 : 1110 = _______
5.3 209 : 203 = _______
___
___
5.5 2,513 : 2,57 = _______
9
___
___
4 : 0,25 = _______
1
5.6 ___
1
Nota: = 0,25
4
saber
fazer 3
POTÊNCIAS DE
EXPOENTE NATURAL
Como multiplicar potências com o mesmo expoente?
Escrever 24 × 34 na forma de uma única potência:
24 × 34 = (2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3 × 3) =
= (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) =
= (2 × 3)4 = 64
Logo: 24 × 34 = (2 × 3)4 = 64
O produto de potências com expoentes iguais é uma potência com o mesmo
expoente e com base igual ao produto das bases.
am × bm = (a × b)m , com a e b números racionais e m número natural
7 2
3 2
7
3 2
7 2
Exemplos: × = × = 3
2
3
2
2
7
7
4 × 4 = 4 × 4 = 1
1
7
1
7
Como dividir potências com o mesmo expoente?
Escrever 122 : 62 na forma de uma única potência:
12 × 12 12 12 12 2
122 : 62 = = × = = 22
6
6
6
6×6
Logo: 122 : 62 = (12 : 6)2 = 22
O quociente de potências com expoentes iguais é uma potência com o mesmo
expoente e com base igual ao quociente das bases.
7
3 7
3
3
1 7
3 7
Exemplos: : 27 = : 2 = × = 2
2
2
2
4
3,24 : 24 = (3,2 : 2)4 = 1,64
N.o
Pratica
Turma
am : bm = (a : b)m , com a e b números racionais (b ≠ 0) e m número natural
1.1 45 × 25 = 85
1.8
1.2 24 × 34 = 68
1
1.9 34 : 1.3 53 × 5 = 253
1.10
0,913 : 0,113 = 913
9 × 92 = 92
1.11
2,32 × 2,3 = 2,32
1.5 64 : 62 = 62
1.12
4,110 : 4,19 = 4,1
1.4
107
= 14
10
1.6 3
1.7
123 : 63 = 23
0,24 × 0,14 = 0,024
4
3 =1
10
5
3
1.13 1.14
4
: 0,63 = 0,67
1 11 = 0,52
0,513 : 2
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
1. Indica se as seguintes igualdades são verdadeiras ou falsas, corrigindo as falsas.
9
POTÊNCIAS DE
10 EXPOENTE NATURAL
saber
fazer 3
Cont.
Como calcular uma potência em que a base também é uma potência?
Trata-se de calcular uma potência de potência. Por exemplo:
(52) = 52 × 52 × 52 = 52 + 2 + 2 = 53 × 2 = 56
3
Para elevar uma potência a um novo expoente mantém-se a base e o expoente é igual
ao produto dos expoentes:
m
(an) = an × m , com a número racional e m e n números naturais
Exemplo: (1,24) = 1,24 × 2 = 1,28
2
2
2
(23) 23 ou seja 26 29
Atenção:
potência em que o
expoente é uma potência
potência
de potência
Como calcular o valor de uma expressão que envolve + , – , × , : e ( ) ?
3
• Calcularam-se as potências.
• Calcularam-se as expressões dentro de
parênteses.
• A multiplicação e a divisão têm prioridade
sobre a adição e a subtração.
• Entre duas operações com a mesma prioridade, efetua-se primeiro a que aparece em
primeiro lugar.
1 – 0,52 : (2 + 22 – 4) + 1100 =
4× 2
1 – 0,25 : (2 + 4 – 4) + 1 =
= 4 ×
8
1
= 4 × – 0,25 : 2 + 1 =
8
4
1
11
3
= – +1= +1=
8
8
8
8
Como passar de linguagem natural para linguagem simbólica?
2
• Quadrado do triplo de sete
7
3× 2
(3 × 7)2
• Diferença entre o quadrado de três e o quadrado de dois
32 – 22
• Quadrado da diferença entre três e uma décima
(3 – 0,1)2
• Triplo do quadrado de sete meios
Pratica
4 2
1
2. Aplica a potência de potência a
ea .
2
3. Descobre os erros nas expressões seguintes e corrige-os.
3
(0,12)
3.1 3 × (5 + 1) = 3 × 5 + 1 = 16
3.2 17 – 2 × 5 = 15 × 5 = 75
3.3 12 : 6 : 2 = 12 : 3 = 4
3.4 Quadrado da soma de sete com dois:
72 + 22 = 53
4. Calcula o valor das expressões.
2
5
3
4.1 9 × 2
– 52 : (2 + 32 : 3) + (0,12)
2
2
5
4.2 5 × 2 2
1
: 0,4 + 2
POTÊNCIAS DE
EXPOENTE NATURAL
11
1. Qual das amigas tem os cálculos corretos?
Justifica a tua resposta.
Págs. 34 e 35
Manual (volume 1)
ficha
2
Potências de base racional e expoente natural
72 = 14
33 = 9
25 = 10
Enc. Educ.
72 = 49
33 = 27
25 = 32
Teresa
Prof.
Maria
2.3
dez milhões;
2.2
uma centena de milhar;
2.4
cem milhares de milhões.
3. Completa:
2
2
5
3.1 ________ = 1
3.2 = ___
8
___
3.3
100 = ________
8
= ___
27
3.4 ___
___
4. Qual é menor: 57 ou 75 ?
0,01 = ________
9
= ___
4
3.6 ___
___
6. Escreve em linguagem simbólica e calcula:
6.1
o dobro de duas décimas;
6.2
o quadrado de um meio;
6.3
o triplo de dois terços;
6.4
o cubo de dois terços;
6.5
a quarta potência de dois quintos;
6.6
o quádruplo de dois quintos;
6.7
a quinta potência de três meios;
6.8
o quíntuplo de três meios.
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
5. Qual é a menor potência de 4 que é maior do que 104 ?
3.5
Turma
dez mil;
N.o
2.1
Avaliação
2. Representa como potência de base 10:
POTÊNCIAS DE
12 EXPOENTE NATURAL
7. Observa a representação de três cubos.
C
ficha
2
Cont.
B
A
Aresta = 1,2 cm
Comprimento total
das arestas = 48 cm
Representa por uma potência com base e expoente:
7.1
a medida da área da base do cubo A;
7.2
a medida do volume do cubo A;
7.3
a medida da área lateral do cubo B;
7.4
a medida do volume do cubo C;
7.5
a medida da área total do cubo C.
8. Calcula:
8.1 22 – 0,12
2
2
3
8.2 8.3
2
2
+
3
(5 – 2)3 + 0,52
8.4 199 + 82 – 1200
2
2
1
+ + 04
3
3
8.5 2
9. Descobre o número misterioso.
9.1 23 + 1 = ?2
9.2 72 + 25 = 3?
9.3 29 – 73 = ?2
9.4 32 + 42 = ?2
9.5 ?3 + 62 = 102
Área de uma
face = 36 cm2
POTÊNCIAS DE
EXPOENTE NATURAL
1.1 72 × 74 = 76
106 = 103 × 102
3
5
5
5
5
1.3 × × = 2
2
2
2
Págs. 36 e 37
1. Indica se as seguintes igualdades são verdadeiras ou falsas, corrigindo as falsas.
13
Manual (volume 1)
ficha
3
Multiplicação e divisão
de potências com a mesma base
1.2
4
5
2
7
7
: = 12
3
3
1.5 102 = 1015 : 1013
1.6
418 : 48 : 49 = 4
1.7
0,63 + 0,62 = 0,65
Enc. Educ.
1.4 1.8 63 – 6 = 62
2. Completa com uma potência ou um expoente, de forma a obteres afirmações verdadeiras.
2.2
7
= 45
× 74 = 710
2.3 57 : _______
___
2.4
___
212
=
_______
210
2.5
11
2.6
_______
2.7
157 : _______
___
× 114 : 113 = 113
2.8 512 : 5
___
___
___
: = 1,5
8
___
6
6
2.12 1,2 × = 5
5
16
4
2.13 : = 9
3
1
= 2
7 ___ 7 13 7
2.11 : =
3
3
3
2.10
= 52
13
3
2
2.9 0,56 × ___
8
7
10
___
= 2516 : 2514
___
× 152 = 156
Turma
___
___
Prof.
43 × _______
= 53
N.o
3.1 34 × 32 × 3
3.5
0,17 × 0,12 × 0,1
3.2 63 × 6 : 62
3.6
2,43 × 2,4 : 2,42
3.3 94 × 93 : 95
3.7 114 × 112 : 113
4
3
3
×
2
53
7
3.8 ×
8
3
: 1,55
2
50
7
7
: 8
8
100
4. Escreve sob a forma de uma única potência de base 10 e calcula:
4.1
3 × 102
104 × 10
8
10
4.2
15
10
3
10 × 109 × 10
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
3. Escreve na forma de uma única potência.
3.4
Avaliação
2.1
POTÊNCIAS DE
14 EXPOENTE NATURAL
5. Observa os seguintes exemplos:
• 3 × 23 = 3 × 2 × 2 × 2 = 24
ficha
3
Cont.
Calculam-se primeiro
as potências.
• 24 : 23 = 24 : (2 × 2 × 2) = 3
Calcula:
5.1
5 × 23
5.2
3 × 42
2
24
5.3
160 :
5.4
54 : 32
5.5 102 × 23
5.7
3
3×
9
5.8
3
5: 2
5.9
1
0,13 × 2
3
2
5.6 23 × 9
5.10 2 × 0,4
10
2
6. Escreve 295 e 3
:
6.1
como um produto de potências com a mesma base;
6.2
como um quociente de potências com a mesma base.
7. Completa com os símbolos > , < ou = .
7.1
712 : 710 _______ 49
7.2
54 × 53 : 56 _______ 5
7.3
1217 : 1216 × 12 _______ 24
7.4
3310 : 339 × 334 _______ 11
7.5 1017
7.6
:
2
1015
×
104
_______
3
1,515 : 2
7.8
4
0,754 : 0,752 _______ 3
27
_______ 8
2
5
: 0,2
1
5
7.9 107
1817 × 1815 _______ 182
18
12
7.7
7.10
4
× 5 _______ 0,5
0,112 × 1012 _______ 1
8. Representa a tua idade por uma expressão numérica que inclua produtos e quocientes de
potências com a mesma base.
9. Completa de modo a obteres afirmações verdadeiras.
___
9.1
63 + 2 = ___
9.2
109 – 5 = ___
× ___
___
___
: ___
___
9.3
0,25 – 2 = ___
9.4
0,253 + 2 = ___
___
: ___
___
___
× ___
___
POTÊNCIAS DE
EXPOENTE NATURAL
43 × 23
1.2
102 × 32
1.3 74
×
1.9
0,42 × 0,12
2
×5
1
5
1.10 24
1.4 63 × 43
Págs. 38 a 41
Manual (volume 1)
1. Escreve na forma de uma única potência:
1.1
15
2
3
3
3
× 2
2
3
1.11 1.5
45 : 25
1.6
207 : 57
1.7
493 : 73
1.8
1012 : 212 × 212
5
8
3
: 45
1.12 1.13
Enc. Educ.
ficha
4
Multiplicação e divisão
de potências com o mesmo expoente
7,53 : 0,53
204 = 24 × 10
1812 = 312 × ___
2.4
613 = 1213 : ___
2.5
254 : 54 = ___
:
93
= ___
0,54 × ___
2.8
1,45 = 1,43 × 1,4
= 24
___
2.3
2.6 903
___
2.7
___
___
___
___
___
7
= 8 × ___
8
6
7
2.9 9
× ___
5
4
2.10 ___
___
=1
3. Indica se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifica a tua resposta.
3.1 23 × 53
representa um número com cinco algarismos.
3.2 65 : 25
representa o mesmo que 32 × 33 .
Avaliação
= 163
O produto do quadrado de dois pelo quadrado de três é o quadrado de seis.
3.4
0,117 : 0,115 é maior do que uma centésima.
3.5 53 × 18 × 23
3,22a
3.6 3,22b
é o mesmo que dezoito milhões.
= 3,22a + b sendo a > b .
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
3.3
Turma
2.2
___
N.o
2.1 83 × ___
Prof.
2. Completa com uma potência ou um expoente, de forma a obteres afirmações verdadeiras.
POTÊNCIAS DE
16 EXPOENTE NATURAL
ficha
4
Cont.
4. Transforma cada expressão numa única potência.
4.1
42 × 43 : 25
4.4
410 : 210 × 24
4.2
44 : 41 × 23
4.5
93 × 23 : 93
4.3
156 : 56 : 33
4.6
113 × 23 : (2 × 22)
11
2
5. Escreve 249 e 3
:
5.1
como um produto de potências com o mesmo expoente;
5.2
como um quociente de potências com o mesmo expoente.
6. Lê o seguinte texto.
Eu tenho
45 × 35 : 124
anos.
Diogo
Eu tenho
217 : 215 × 22
anos.
Eu tenho,
em anos, o dobro
do cubo de dois.
João
Pedro
Quem é o mais novo? Justifica a tua resposta.
7. Escreve na forma de uma única potência com base e expoente.
3
7.1 (0,12)
3
7.4
0,12
7.5
23
7.6
0,25
2 2
7.2
7.3
(0,25)
2
3
2
2
16
8. Escreve uma potência de potência que represente .
81
2
POTÊNCIAS DE
EXPOENTE NATURAL
1.2 23 × 22 – 423 : 422
1.3 52 + 202 : 42
617
:
616)
+
213
1.5
(2 +
:
1.6
326 : 166 – 213 : 212 × 2
20
7
–1
4
5
: 2–
4
3
16
14
14
5
–1
3
1.10 211
20
1.9 1.4 64 : 34 – 152 : 52
10
1
32 + 0,511 : 2
20
5
1
1.8 + 2
: 2
3
1.7
Págs. 42 e 43
Manual (volume 1)
1. Calcula:
1.1 22 + 317 : 315
17
3
× 2
2
1
3
×
3
4
1.11 : 15
2
3
: 4
+ 2 × 0,12
Enc. Educ.
ficha
5
Prioridade das operações.
Regras operatórias
+ 0,3 × 22
105 × 19 × 103 = 19 × 108
_______________________________________________________________
2.2
2 × 37 + 5 × 37 = (2 + 5) × 37
_______________________________________________________________
2.3 33 × 64 × 32 × 6 = 35 × 65
_______________________________________________________________
3. Coloca, por ordem decrescente, os números representados em cada cartão.
A cada número faz corresponder a respetiva letra. Se as colocares corretamente, obterás o
nome de um português célebre. Quem foi e por que motivo se celebrizou?
C
2 + 23 22
M
22 23 : 2
O
(22 + 23) : 2
5. Calcula o valor da expressão.
8
5
3
1
1
2×
+ : – 1 + 2 × 0,12
23
2
2
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
4. Sabe-se que num milímetro cúbico de sangue há cerca de cinco milhões de glóbulos vermelhos.
Quantos glóbulos vermelhos há em 2 litros de sangue? Apresenta a resposta como potência de
base 10.
N.o
Turma
+
S
23 : 22 : 2
+
+
A
23 22 - 2
+
E
2 23 : 22
Avaliação
2.1
Prof.
2. Que propriedades da multiplicação se aplicaram nas igualdades seguintes?
POTÊNCIAS DE
18 EXPOENTE NATURAL
ficha
5
Cont.
6. Para calcular a medida da área do roseiral, que vês representado, três amigos escreveram:
Nuno: 35 × 15 – 152
Rui: 35 – 152
35 m
Jorge: (35 – 15) × 15
Quem se enganou? Explica os cálculos efetuados
pelos outros dois amigos.
Horta
15 m
Roseiral
15 m
7. Verdadeiro ou falso?
7.1
24 = 2 × 4
7.4
O produto de quatro pelo quadrado da soma de um meio com um quarto é o quadrado de
quinze décimas.
7.2
0,22 = 0,2 × 2
7.3
154 : 54 = 38
8. A figura ao lado é formada por um triângulo e por um quadrado.
Para esta figura, o que representa a expressão 82 + 82 : 2 ?
Calcula-a.
8m
16 m
9. Qual é o valor de a ?
9.1
63 × a3 = 423
9.3
(22)a = 224
9.2
154 : a4 = 34
9.4
(514 : 52)a : (514 × 53) = 57
10. Observa as figuras A e B. Os cubos são congruentes.
Escreve uma expressão numérica onde uses potências
e que represente:
10.1
a medida do volume do paralelepípedo A;
10.2
a medida do volume do cubo B.
A
45 cm
B
11. Observa os cálculos:
45 cm
5
5 + 5 + = 11
5
5+5
5 – = 3
5
Em cada expressão, o número 5 entra quatro vezes. Usando quatro vezes o número 5, escreve
três expressões com resultados diferentes.
saber
fazer 4
SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES.
PROPORCIONALIDADE DIRETA
Como determinar termos, ordens e lei de formação de uma sequência?
Exemplo: 9, 18, 27, 36, 45, … → é a sequência dos múltiplos naturais de 9:
• 9 é o primeiro termo desta sequência ou termo de ordem 1 e 36 é o quarto termo ou
termo de ordem 4.
• 9 × n ou 9n é a lei de formação ou termo geral desta sequência, sendo n número
natural.
Como descobrir termos de uma sequência?
Exemplo:
1.o termo
2.o termo
3.o termo
•••
Admitindo que a regularidade se mantém,
deves observar e descobrir essa regularidade:
neste caso, cada termo tem mais dois quadrados do que o termo anterior.
Assim:
A sequência numérica correspondente é
1, 3, 5, 7, 9, …
4.o termo
5.o termo
Como determinar termos de uma sequência conhecida a sua lei de formação?
1
Exemplo: Determinar os dois primeiros termos da sequência cuja lei de formação é + 2n2 .
3
1
1
7
1
1
25
Para n = 1 , vem + 2 × 12 = + 2 = Para n = 2 , vem + 2 × 22 = + 8 = 3
3
3
3
3
3
Exemplo: 4, 7, 10, 13, 16, …
• O 1.o termo é 4 e cada termo é a soma do termo anterior com 3.
Turma
Como formular em linguagem natural a lei de formação compatível com uma
sequência parcialmente conhecida?
N.o
• Simbolicamente, a expressão geradora desta sequência é 3n + 1 .
Pratica
1.1
…
1.2
1 1 1
,
,
…
3
6
9
2 e cada termo seguinte é metade do ante2. O primeiro termo de uma sequência é 3
rior. Escreve os quatro primeiros termos da sequência.
3. Escreve os três primeiros termos da sequência cuja lei de formação é:
1
3.1 3 + 5n2
3.2 + 2n2
7
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
1. Observa cada uma das seguintes sequências. Descobre uma regularidade e determina
os três termos seguintes.
19
SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES.
20 PROPORCIONALIDADE DIRETA
saber
fazer 4
Cont.
O que é uma razão? E uma proporção?
Exemplo:
3
A razão entre o número de círculos e o número de triângulos é .
2
3
A razão é um quociente
(«três para dois») ou 3 : 2 ;
2
3 é o antecedente e 2 é o consequente.
3
12
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões.
Em = ,
8
2
3
12
Exemplo: = 3 × 8 = 2 × 12
8
2
• 3 e 8 são os 1.o e 4.o termos da proporção: são os extremos.
• 2 e 12 são os 2.o e 3.o termos da proporção: são os meios.
Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Como averiguar se duas grandezas são diretamente proporcionais?
Duas grandezas são diretamente proporcionais se é constante o quociente entre os
valores correspondentes das duas grandezas, tomadas na mesma ordem.
Ao quociente constante chama-se constante de proporcionalidade.
×5
Exemplo:
×3
Número de latas de sumo
1
3
5
Preço (euros)
0,80
2,40
4,00
×3
×5
0,8
= 0,8
1
2,4
= 0,8
3
4
= 0,8
5
× 0,8
É a constante de proporcionalidade e representa
o preço de uma lata de sumo.
O preço é assim diretamente proporcional ao número de latas de sumo. Também o número
de latas de sumo é diretamente proporcional ao preço. As duas constantes de proporcionalidade são inversas uma da outra.
Qual o significado de «A escala de um mapa é 1 : 5000 »?
Significa que, por exemplo, 1 cm no mapa corresponde a 5000 cm na realidade.
O que é uma percentagem?
5
É uma razão em que o consequente é 100. Exemplo: = 5%
100
Pratica
4. Escreve a razão entre a parte colorida e a parte branca
da figura ao lado.
5. Escreve proporções cujos termos sejam 2, 3, 8 e 12.
6. Serão diretamente proporcionais
as duas grandezas da tabela?
Justifica a tua resposta.
Tempo de estacionamento
(horas)
1
2
3
4
Preço (euros)
0,90
1,80
2,50
3,00
SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES.
PROPORCIONALIDADE DIRETA
21
Págs. 58 a 61
1. Mantendo-se a regularidade em cada uma das sequências abaixo, descobre os dois termos
seguintes.
1,
1,
1 ,…
1.1 100, 94, 88, …
1.3 2 4 8
1.2 53; 58,5; 64, …
1.4 1, 4, 9, 16, …
Manual (volume 1)
ficha
6
Sequências e regularidades
Enc. Educ.
2. Escreve em linguagem natural a lei de formação de cada uma das sequências do exercício
anterior.
A. 6n + 1
B. n + 6
C. 2n + 5
Prof.
3. Qual das seguintes é a expressão geradora da sequência 7, 9, 11, 13, …, admitindo que a
regularidade se mantém?
D. 4n + 3
4. Descobre a expressão geradora de cada uma das sequências e o respetivo décimo termo.
6, 11, 16, 21, …
4.2
2, 5, 8, 11, 14, …
Avaliação
4.1
5. Dada a sequência 1, 8, 27, 64, … :
Averigua se 120 pode ser termo desta sequência. Justifica.
5.2
Qual é a ordem do termo 343 na sequência?
Turma
5.1
6.1
Supondo que há uma regularidade que se mantém, desenha a figura seguinte da sequência.
6.2
Completa a tabela.
6.3
Escreve a expressão geradora desta
sequência.
6.4
Número de
hexágonos
1
2
Perímetro
6
10
3
6
18
Algum termo da sequência pode ter
81 fósforos? Justifica.
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
N.o
6. A Ana construiu as figuras seguintes utilizando fósforos.
SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES.
22 PROPORCIONALIDADE DIRETA
ficha
6
Cont.
7. Admitindo que a regularidade se mantém, descobre a expressão geradora de cada sequência
7.1
1,
2,
3,
4,
5 ,…
2 3 4 5 6
7.2
3 , 1, 3,
3 ,…
3, 2
4 5
8. Escreve o quarto e o décimo termo das sequências, cujas expressões geradoras são:
8.1
2
n
8.2
2n
n+1
8.3
1
+ 4n2
2
9. O João desenhou as figuras seguintes.
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
9.1
Supondo que há uma regularidade que se mantém, desenha, no quadriculado acima, a figura 6.
9.2
Prevê o número de triângulos e o número de quadrados necessários para desenhar a figura 10.
9.3
Escreve uma regra que te permita obter o número total de triângulos e quadrados necessários para desenhar uma figura qualquer desta sequência.
1
3
Escreve os cinco primeiros termos dessa sequência.
10. Numa sequência, o primeiro termo é e cada termo seguinte é metade do anterior.
11. Supondo que há uma regularidade que se mantém, escreve os três termos seguintes da
sequência que se apresenta.
22 – 1 ; 32 – 2 ; 42 – 3 ; ________________ ; ________________ ; ________________
12. Qual das expressões:
A. n + 6
B. 6 × n + 1
C. 4 × n + 3
te permite determinar um termo qualquer da sequência 7, 11, 15, 19, 23, 27, …?
Qual é o vigésimo termo desta sequência?
SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES.
PROPORCIONALIDADE DIRETA
23
Págs. 62 a 67
1. Num recreio de uma escola, estão 11 professores e 440 alunos. Escreve a razão, na forma simplificada, entre o número de professores e o número de alunos.
Manual (volume 1)
ficha
7
Razão. Proporção. Propriedade fundamental das proporções
Enc. Educ.
2. Para fazer um fato de carnaval, o Samuel usou 1,5 m de tecido vermelho e 3 m de tecido
amarelo. Escreve, na forma simplificada, a razão entre o comprimento do tecido amarelo e o
comprimento do tecido vermelho.
3.1
Indica os meios e os extremos.
3.2
Faz a sua leitura.
Turma
4. Descobre dois números naturais cuja soma seja 24 e cuja razão seja 1 para 2.
5. Escreve proporções com os números:
3; 4; 6 e 4,5
5.2
1
; 0,9; 10 e 27
3
N.o
5.1
Avaliação
Prof.
1
2
3. Observa a proporção: = 3
6
6. Descobre o termo que falta em cada proporção.
1 2
=
7
?
6.2
2
?
=
24
3
6.3
10
4
=
2,5
?
7. Escreve em linguagem simbólica:
«Quinze décimas está para cinco, assim como três está para dez.»
8. Uma receita de batido de morango leva 80 gramas de morango por cada 0,5 litros de leite.
O Maciel gastou 240 gramas de morangos e 2 litros de leite.
Será que usou os morangos e o leite na proporção indicada na receita? Justifica a tua resposta.
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
6.1
SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES.
24 PROPORCIONALIDADE DIRETA
ficha
7
Cont.
9. Sabe-se que, em cada cinco adultos, dois têm tensão arterial alta.
Mantendo-se a mesma proporção, quantos adultos com tensão alta se espera que existam
num grupo constituído por 25 adultos?
10. Num grupo constituído por 120 pessoas, seis ainda são fumadoras.
Qual é a percentagem de fumadores nesse grupo?
11. Pretende-se construir uma horta, retangular, em que a razão entre o comprimento e a largura
seja 7 : 4 .
11.1
Se a horta tem 8 metros de largura, qual é o seu comprimento?
11.2
Determina a área da horta.
12. Num infantário, quatro em cada cinco crianças não têm olhos azuis.
Qual é a percentagem de crianças que não tem olhos azuis?
13. Qual é o melhor preço, em cada caso? Justifica a tua resposta.
5 kg
5,25 €
60 bombons
5,15 €
3 kg
3,30 €
30 bombons
2,60 €
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________
SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES.
PROPORCIONALIDADE DIRETA
25
2 croissants: 1,60 €
3 croissants: 2,40 €
5 croissants: 4,00 €
6 croissants: 4,80 €
3 lápis
1,95 €
4 lápis
2,60 €
Págs. 68 a 71
Manual (volume 1)
1. Observa.
ficha
6 lápis
3,50 €
1.1
Haverá proporcionalidade direta entre o preço e o número de croissants?
Em caso afirmativo, qual é a constante de proporcionalidade e o que representa?
1.2
Haverá proporcionalidade direta entre o preço de cada embalagem de lápis e o número de
lápis? Justifica a tua resposta.
Prof.
Enc. Educ.
8
Proporcionalidade direta. Escalas e percentagens
2.1
Completa-as.
2.2
Será o perímetro do triângulo equilátero diretamente
proporcional ao lado? Justifica a tua resposta.
Triângulos equiláteros
Lado (cm)
0,5
3,5
2,25
5
Avaliação
2. Observa as tabelas ao lado.
Perímetro (cm)
2.3 Será
o perímetro do quadrado diretamente proporcional ao lado? Justifica a tua resposta.
Lado (cm)
0,3
3
1,5
Turma
Quadrados
Perímetro (cm)
N.o
Área (cm2)
3. Verdadeiro ou falso?
3.1
A altura de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade.
3.2 O
ordenado de um farmacêutico é diretamente proporcional ao número de medicamentos
que vende.
3.3
Um jardineiro é pago a 8 € à hora. O seu ordenado é diretamente proporcional ao número de
horas que trabalha.
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
2.4 Será a área do quadrado diretamente proporcional ao lado? Justifica a tua resposta.
SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES.
26 PROPORCIONALIDADE DIRETA
ficha
8
Cont.
4. Na tabela, a distância percorrida por um automóvel, em
quilómetros, é diretamente proporcional ao tempo, em
minutos.
Tempo (min.)
24
80
Distância (km)
30
100
90
200
4.1 Calcula a distância percorrida em 1,5 horas.
4.2 Quantos minutos demora o automóvel a percorrer 200 km, mantendo a mesma velocidade?
E a percorrer 187,5 km?
5. No talho Avenida, o preço é diretamente proporcional à massa
de carne.
5.1
Calcula o preço de 2,5 kg de lombo de porco.
5.2
Que massa tem um frango que custou 3,60 €?
0,8 kg
6,80 €
1,1 kg
2,64 €
6. Quatro cedros iguais custaram 36 €.
6.1
Sabendo que o preço e o número de cedros são
grandezas diretamente proporcionais, quanto custam
nove cedros iguais?
6.2
Com 180 €, quantos cedros posso comprar?
Cedros
7. Observa o anúncio.
25% de entrada
32 800 €
e o restante em 12 prestações
mensais iguais.
7.1
Quanto tenho de dar de entrada para comprar
o automóvel?
7.2
E quanto tenho de pagar mensalmente?
8. Uma avenida com 3 km de comprimento é representada por 6 cm num desenho feito à escala.
Qual é a escala do desenho?
1.1 Se paguei 2,34 € por 1,30 m de fita, quanto vou pagar por 2,5 m da mesma fita?
Págs. 72 e 73
1 O custo, em euros, de uma fita de seda é diretamente proporcional ao seu comprimento, em metros.
27
Manual (volume 1)
problemas
1
SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES.
PROPORCIONALIDADE DIRETA
1.2 Quanto vou gastar, em euros, para debruar com esta fita uma toalha retangular de 2 m de com-
primento por 1,5 m de largura?
Enc. Educ.
2 Uma confeitaria fabrica queques de cenoura e queques de amêndoa na razão de 2 para 3.
2.1 Numa fornada de 300 queques, quantos são de cenoura?
2.2 E de amêndoa?
3 Num supermercado, a quantidade de açúcar que se pode comprar com uma certa quantia em
Prof.
dinheiro é-lhe diretamente proporcional.
3.1 Completa a tabela ao lado.
3.2 Qual é a constante de proporcionalidade
Açúcar
4 kg
Preço
4,40 €
8000 g
4 hg
Avaliação
e o seu significado?
4.1 Qual é a marca mais vendida nos dois anos considerados?
Os cincos maiores vendedores
Viaturas vendidas
2009
2010
18 657
A
B
C
4.2 Qual é o aumento, em percentagem, da marca D?
D
E
26 197
13 727
Turma
em Portugal, e o gráfico ao lado refere-se às marcas (A, B,
C, D e E) mais vendidas em 2009 e 2010, no país.
18 828
11 476
18 048
10 041
N.o
4 Em 2010, comercializaram-se 223 491 automóveis ligeiros,
17 257
13 189
15 387
5 O Tomás vai a Londres e a Manuela chegou dos Estados Unidos da
América. No dia 04/01/2011, ambos se deslocaram a um banco: o
Tomás para trocar 1000 euros em libras e a Manuela para trocar
267,5 dólares em euros.
5.1 Quantas libras vai receber o Tomás?
Divisas
Euro/Dólar
1,3375
Euro/Libra
0,8633
Em 04/01/2011
5.2 E quantos euros recebe a Manuela?
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
Adaptado de Público, 04/01/2011
SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES.
28 PROPORCIONALIDADE DIRETA
problemas
1
Cont.
6 Observa a planta da casa da Sónia, desenhada à escala de 1 : 200 .
6.1 Qual é a área ocupada pela casa?
Quarto
6.2 Quais são o comprimento e a largura reais da sala?
Casa
de
Banho
Sala
6.3 A casa custava 154 000 €, mas teve um descon-
to e ficou por 123 200 €.
Qual foi o desconto, em percentagem?
Entrada
Cozinha
7 O Francisco recebia 1650 € de ordenado. Em 2011, ano da crise económica em Portugal, viu o seu
ordenado diminuído em 4%.
Qual passou a ser o ordenado do Francisco?
8 A miniatura representada ao lado tem 23,5 cm de
comprimento, enquanto, na realidade, este automóvel
tem 4,23 m de comprimento.
A que escala está construída a miniatura?
9 O João é sócio de um clube de ténis, onde paga 8 € de mensalidade. Por cada partida que joga
acresce o valor de 2 €.
9.1 Completa a seguinte tabela, referente ao que o João pagou nos meses de outubro, novembro e
dezembro, de acordo com o número de partidas que jogou.
N.o de partidas
Outubro
Novembro
Dezembro
7
4
0
Pagamento (euros)
9.2 Trata-se de uma situação de proporcionalidade direta?
Justifica a tua resposta.
saber
fazer 5
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.
PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS 29
Como reconhecer um ângulo ao centro numa circunferência? E um setor circular?
Ângulo ao centro tem o vértice
no centro da circunferência.
Ângulo ao centro
convexo
Setor circular é a interseção de
um círculo com um ângulo ao
centro.
Ângulo ao centro
côncavo
O
setor
circular
O
O
Como reconhecer um polígono inscrito numa circunferência?
Num polígono inscrito numa circunferência, todos os seus vértices são pontos da circunferência.
O que é o apótema de um polígono regular?
É o segmento da perpendicular baixada do centro do polígono
para um lado.
Num polígono regular, os apótemas são todos iguais.
apótema
Qual é a posição relativa de uma reta e de uma circunferência?
O
raio T
O
r
r
A reta r é tangente
à circunferência.
O raio é perpendicular
à reta r no ponto de tangência T .
A reta r é exterior
à circunferência.
Turma
A reta r é secante
à circunferência.
Como reconhecer um polígono circunscrito a uma
circunferência?
apótema
Pratica
1. Desenha uma circunferência de raio 2,5 cm e constrói um ângulo ao centro de amplitude 45o.
2. Que nome dás à região colorida da figura ao lado?
a e da circunferência?
Qual é a posição relativa da reta b e da circunferência?
a
O
2.1 Qual é a posição relativa da reta
b
3. Desenha uma circunferência de raio à tua escolha e traça dois polígonos de quatro
lados: um inscrito na circunferência e o outro circunscrito a esta.
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
Um polígono diz-se circunscrito a uma circunferência
quando todos os seus lados são tangentes à circunferência.
Num polígono regular circunscrito a uma circunferência, o
apótema é igual ao raio.
N.o
O
r
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.
30 PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS
saber
fazer 5
Cont.
Como calcular o perímetro do círculo por aproximação de perímetros de
polígonos regulares inscritos e circunscritos à circunferência?
O perímetro do polígono regular inscrito é um valor aproximado por defeito
do perímetro do círculo, enquanto o perímetro do polígono regular circunscrito é uma aproximação por excesso do perímetro desse círculo.
Como calcular o perímetro de um círculo ou o comprimento de uma circunferência usando uma fórmula?
Calcula o comprimento de uma circunferência com 2,5 m de raio.
A fórmula para calcular a medida do perímetro do círculo é P䉺 = 2 × π × r ou P䉺 = π × d
Valor exato: P䉺 = 2 × π × 2,5
O valor exato do perímetro é 5 × π m.
2,5 m
Valor aproximado: usando 3,1416 como valor aproximado de π , vem: P䉺 ≈ 2 × 3,1416 × 2,5
O perímetro do círculo é, aproximadamente, 15,708 m.
Como calcular o diâmetro de um círculo conhecido o seu perímetro?
É preciso desenhar um círculo com 12,5664 cm de perímetro.
Que diâmetro deve ter esse círculo? (usa π ≈ 3,1416 )
diâmetro = perímetro do círculo : π
d = 12,5664 : 3,1416
d=4
O círculo deve ter 4 cm de diâmetro.
Pratica
4. Considerando π ≈ 3,1416 , calcula o valor exato e o valor aproximado do comprimento de uma circunferência com:
4.1 2,4 dm de diâmetro;
4.2 2,4 dm de raio.
5. Desenha, no teu caderno, um círculo com 5,024 cm de perímetro (usa π ≈ 3,14 ).
6. Um polígono regular com 200 lados está inscrito numa circunferência e tem de lado
2,5 mm. Determina um valor aproximado por defeito do comprimento da circunferência onde esse polígono está inscrito.
saber
fazer 6
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.
PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS
Como calcular a área de um polígono regular?
Vamos calcular a área do pentágono regular da figura ao lado.
Unindo o centro do polígono com cada vértice, o polígono fica
decomposto em cinco triângulos isósceles congruentes
(tantos triângulos quanto o número de lados do polígono).
Qualquer um dos triângulos tem por base l , lado do
pentágono, e por altura o apótema ap .
Então:
ap
l
× ap
Apentágono = 5 × A⌬ = 5 × l᎑᎑
2
P᎑
×᎑
ap
Mas 5 × l é a medida do perímetro, P , do pentágono, logo: Apentágono = ᎑
2
De um modo geral, podemos afirmar:
A medida da área de um polígono regular é igual ao produto do semiperímetro pela
medida do comprimento do apótema.
P × ap
A= ᎑
2
P – medida do perímetro do polígono regular
ap – medida do comprimento do apótema
Exemplo:
Um pentágono regular tem 85 cm de lado e 58,48 cm de apótema. Calcula a sua área.
Turma
A área é 12 427 cm2.
Pratica
Decompõe o hexágono em seis triângulos geometricamente iguais e com um vértice comum.
1.2
Mostra que os seis triângulos são equiláteros. Determina
por dois processos a área do hexágono.
O
2,598 cm
2. Determina a área de um octógono regular com 1,2 cm de lado e apótema aproximadamente 1,45 cm.
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
1.1
m
3c
1. O hexágono regular da figura está inscrito numa circunferência de centro O e raio 3 cm.
N.o
5᎑
×᎑
85 × 58,48 = 12 427
P × ap = ᎑
A= ᎑
2
2
31
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.
32 PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS
saber
fazer 6
Cont.
Como calcular a área de um círculo?
Quando o número de lados do polígono inscrito na circunferência for muito grande, então a
medida do perímetro do polígono tende a igualar a medida do perímetro do círculo e o
apótema do perímetro, ap , tende a ser igual ao raio r do círculo.
Então, como a área do polígono regular inscrito é:
P × ap
A= ᎑
2
se se substituir P pelo P䉺 = 2 × π × r e ap por r , obtém-se a área do círculo:
A䉺 = 2
᎑×
᎑π
᎑×
᎑r × r = π × r2
2
r – medida do raio
π (pi) = 3,141592…
Concluímos, assim, que a medida da área do círculo é igual ao produto de π pelo quadrado da medida do seu raio.
Exemplo:
Calcular a área do círculo da figura.
Valor exato: A䉺 = π × r2 A = π × 1,5 × 1,5 , isto é, 2,25 × π cm2
Valor aproximado: tomando 3,1416 para valor aproximado de π :
raio
1,5 cm
A䉺 ≈ 3,1416 × r2 ≈ 3,1416 × 1,52
A área é, aproximadamente, 7,0686 cm2.
Pratica
3. Calcula o valor exato e o valor aproximado da área de cada círculo. Apresenta os
resultados em cm2 e usa 3,1416 para valor aproximado de π .
3.1
r = 6,5 cm
3.2
d = 0,3 dam
4. Calcula a área e o perímetro de cada figura (usa π ≈ 3,1 ).
0,5 cm
C
A
B
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.
PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS 33
Um polígono inscrito na circunferência de centro O .
1.2
Um polígono circunscrito à circunferência de centro O .
1.3
Um ângulo ao centro convexo.
1.4
Um apótema do polígono inscrito na circunferência e um apótema
do polígono circunscrito à circunferência.
E
H
C
Págs. 92 a 95
1.1
D
Manual (volume 1)
1. Observa a figura ao lado. Usando letras da figura, assinala:
O
F
G
A
B
Enc. Educ.
ficha
9
Ângulo ao centro. Setor circular.
Polígonos inscritos e circunscritos à circunferência
2. Que nome tem a região colorida da figura do exercício 1?
• Num polígono regular, os apótemas são todos iguais.
• Num polígono regular circunscrito a uma circunferência, o apótema do polígono é maior do
que o raio.
Prof.
3. Verdadeiro ou falso?
• A reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
b
a
Avaliação
• O lado do hexágono regular inscrito numa circunferência é igual ao raio.
4. Observa a figura ao lado.
4.2
Qual a posição das retas a , b e c relativamente à
circunferência?
O
Turma
4.1
Usa a régua e indica a distância do ponto O a cada uma
das retas a , b e c .
N.o
c
5. Na figura, [AC] e [BD] são diâmetros da circunferência de cen5.1
Determina, justificando, as amplitudes dos ângulos ao centro
desconhecidos.
A
60° 37'
D
?
O
?
B
?
C
Os triângulos [OAD] e [BOC] são iguais? Porquê?
5.2
Supõe que o triângulo [OBC] tem 27 cm de perímetro, sendo as medidas dos lados três
números naturais consecutivos.
Qual seria o comprimento de cada lado do triângulo?
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
tro O .
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.
34 PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS
ficha
9
Cont.
6. Desenha uma circunferência de centro O e de raio 3 cm.
6.1
6.2
Por um ponto A , cuja distância ao centro O é 5 cm, traça uma tangente à circunferência e
designa o ponto de tangência por T . Classifica o triângulo [TAO] quanto aos ângulos
e quanto aos lados.
—–
Se TA = 4 cm , determina a área do triângulo [TAO] .
7. Desenha um quadrado de área 9 cm2 circunscrito a uma circunferência e explica como procedeste.
A
8. Observa a figura ao lado, onde estão inscritos na circunferência de centro O dois polígonos regulares. Sabendo que o lado do hexágono regular
inscrito na circunferência é igual ao raio, mostra que a área do hexágono
é o dobro da área do triângulo.
B
F
O
E
C
D
I
9. Na figura ao lado está representado um heptágono regular inscrito na
circunferência de centro O . O ponto I é o pé da perpendicular tirada
de O para [AB] e o ponto J é o pé da perpendicular tirada de O
para [EF] .
B
C
A
O
G
D
F
E
9.1
—– —– —– —– —–
Justifica que OA = OB = OC = OD = OE .
9.2
Justifica que os triângulos [OAB] e [OEF] são iguais.
9.3
Justifica que os apótemas de um polígono regular são todos iguais.
9.4
—–
Se a área do triângulo [OEF] for 4,65 cm2 e OJ = 3,1 cm , qual é o perímetro do heptágono regular?
J
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.
PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS 35
Círculo
Diâmetro (cm)
Perímetro
do círculo (cm)
A
5
15,708
B
7
21,9912
C
10
31,416
Págs. 96 a 99
Manual (volume 1)
1. Observa o quadro seguinte, onde se registaram os diâmetros e perímetros dos círculos A, B e C,
não geometricamente iguais.
Enc. Educ.
ficha
10
Perímetro do círculo
2.1 Se o diâmetro da circunferência anterior passar a um quarto, o que acontece ao perímetro do
C
D
N.o
3. Determina o valor aproximado do perímetro da figura ao lado, que é
formada por dois semicírculos congruentes com 2 cm de diâmetro
(usa π ≈ 3,14 ).
Turma
novo círculo? Justifica.
Avaliação
2. Determina o valor exato e o valor aproximado do comprimento de uma circunferência com 14 cm
de raio (usa π ≈ 3,1416 ).
Prof.
Calcula o quociente entre a medida do perímetro de cada círculo e a medida do diâmetro. O que
observas?
C
1,5 cm
5. Calcula o perímetro em centímetros (usa π ≈ 3,1416 ):
5.1 de um círculo com 10 cm de diâmetro.
5.2 de um círculo com 10 cm de raio.
5.3 de um círculo com
1
3 ᎑ cm de raio.
2
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
4. Determina o valor aproximado do perímetro da figura ao lado,
que é formada por um quadrado e um semicírculo de centro C
(usa π ≈ 3,14 ).
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.
36 PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS
ficha
10
Cont.
6. Calcula o valor exato e o valor aproximado dos perímetros dos círculos representados
Usa π ≈ 3,1416 e apresenta os resultados arredondados às décimas.
6.1
6.2
5
1,4 m
1m
2
7. Quantos metros de rede são necessários, aproximadamente, para vedar cada um dos canteiros
representados? Um dos canteiros é um semicírculo e o outro é um quarto de círculo. Usa
3,1416 como valor aproximado de π e apresenta o resultado arredondado às décimas.
A
20 m
B
10 m
8. O João empurrou um aro circular com 40 cm de diâmetro e contou 100 voltas completas. Quantos metros percorreu (usa 3,14 como valor aproximado de π )?
9. O quintal da Rosa tem a forma de um quadrado com um lago circular
inscrito, como a figura ao lado representa.
9.1 O diâmetro do lago é 1 dam. Qual é o perímetro do quintal da Rosa?
Lago
9.2 Que distância percorre a Rosa se der três voltas completas ao lago
(usa 3,1 como valor aproximado de π )?
2 cm
10. Calcula o valor aproximado do perímetro da figura ao lado, que é
formada por cinco semicírculos (usa π ≈ 3,1 ).
2 cm
2 cm
11. Um polígono regular está circunscrito a uma circunferência e tem 3,2 cm
de apótema. Determina um valor arredondado às centésimas do perímetro do círculo (usa π ≈ 3,1416 ).
2 cm
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.
PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS 37
Págs. 100 e 101
1. Desenha, no teu caderno, uma circunferência com 8,16816 cm de perímetro (usa π ≈ 3,1416 ).
Explica como resolveste o problema.
Manual (volume 1)
ficha
11
Do perímetro do círculo ao diâmetro
2. Sabendo que o perímetro de um círculo é 37,68 cm, calcula (usa π ≈ 3,14 ):
2.1 o diâmetro;
Enc. Educ.
2.2 o raio.
3. Usa 3,1 para valor aproximado de π e calcula o raio de um círculo cujo perímetro é:
37,2 mm
3.2 31 cm
3.3 217 m
Prof.
3.1
A
29,83 cm
C
6. Uma mangueira com 47,10 m está enrolada à volta de um cilindro, dando 10 voltas completas.
Calcula o diâmetro do cilindro (usa π ≈ 3,14 ).
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
O
N.o
5. A figura ao lado representa a quarta parte de um círculo.
Calcula a soma do comprimento do segmento de reta [OA] com o
comprimento do segmento de reta [OC] (usa π ≈ 3,14 ).
Turma
Avaliação
4. Um automóvel deu três voltas completas a uma rotunda circular, percorrendo 226,08 m.
Calcula o diâmetro da rotunda (usa π ≈ 3,14 ).
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.
38 PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS
ficha
11
Cont.
7. Um canteiro está dividido em duas partes. Uma parte é
um semicírculo de centro C e tem flores. A outra parte
é um retângulo e está relvada.
Se quisesses vedar com uma rede a parte relvada, de
quantos metros de rede precisarias (usa π ≈ 3,14 )?
110,99
0,99 m
C
3,5 m
8. O arco AB mede um terço do comprimento da
circunferência de centro C .
Calcula o raio da circunferência e o perímetro da figura
(usa π ≈ 3,14 ).
C
B
120o
A
6,28 cm
9. Pretende-se fabricar uma caixa que leve à justa três latas
cilíndricas iguais às que vês na figura.
O perímetro da base de cada lata é 18,84 cm e a altura é 8 cm.
Quais são as dimensões da caixa (usa π ≈ 3,14 )?
10. Com 60,288 cm de arame fizeram-se seis circunferências
iguais, que vês representadas na figura ao lado.
Qual é o perímetro do triângulo (usa π ≈ 3,14 )?
11. O João desenhou um octógono regular com 7,85 cm de lado, inscrito numa circunferência.
11.1 Calcula o perímetro do octógono.
11.2 Toma
o perímetro do octógono como valor aproximado do perímetro do círculo e determina
um valor aproximado do raio (usa π ≈ 3,14 ).
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.
PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS 39
1.1 Pentágono,
em que o apótema é aproximadamente 20,7 cm. Apresenta o resultado arredondado às unidades.
Págs. 102 e 103
1. Calcula a área dos seguintes polígonos regulares com 30 cm de lado:
Manual (volume 1)
ficha
12
Área de polígonos regulares
Enc. Educ.
1.2 Hexágono, em que o apótema é aproximadamente 26 cm.
Prof.
1.3 Decágono (polígono com 10 lados), em que o apótema é aproximadamente 46,2 cm.
5. Um polígono tem de área 624 cm2 e está circunscrito a uma circunferência com 4 cm de raio.
Calcula o perímetro do polígono e o comprimento da circunferência (usa π ≈ 3,1416 ).
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
4. Um polígono está circunscrito a uma circunferência com 38 cm de raio. Calcula a área do
polígono, sabendo que o seu perímetro é 84 dm.
N.o
3. Um quadrado está circunscrito a uma circunferência. O perímetro do quadrado é 68 cm.
Determina a área do círculo (usa π ≈ 3,1416 ).
Turma
Avaliação
2. Determina a área da parte colorida do octógono regular, sabendo que
tem 16 cm de perímetro e aproximadamente 2,4 cm de apótema.
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.
40 PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS
ficha
12
Cont.
6. Calcula a área da parte colorida da figura, sabendo que é
formada por um quadrado, com 17,5 m de apótema, e por um
hexágono regular, com 16 m de lado e 13,9 m, aproximadamente, de apótema.
7. Um polígono regular com 240 cm de perímetro está circunscrito a uma circunferência cujo
diâmetro é 32 cm. Qual é a área do polígono?
8. Calcula a área de um pentágono regular, cujo perímetro é igual ao de um retângulo com 43 dm
de comprimento e 3354 dm2 de área. Sabe-se ainda que o pentágono tem 33,3 dm de apótema.
9. O hexágono regular representado está dividido em dois quadriláteros
—–
congruentes. Um dos quadriláteros tem 120 cm de perímetro e OH é
aproximadamente 21 cm. Determina a área do hexágono.
H
O
10. Observa o pentágono regular inscrito na circunferência de centro O .
10.1 Mostra que o triângulo
D
[OBC] é isósceles.
C
E
10.2 Calcula a amplitude dos ângulos desconhecidos.
O
a área do triângulo [OBC] é 15 m2, qual é a área
do pentágono?
10.3 Se
?
F
?
A
?
72°
?
B
11. Num cartão quadrado com 142,4 cm de perímetro desenhou-se uma circunferência com o
maior raio possível. Qual é a área de cartão não ocupada pelo círculo? Apresenta o resultado
arredondado às unidades (usa π ≈ 3,1416 ).
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.
PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS
41
1. Observa as figuras desenhadas em quadriculado de 1 cm de lado.
Calcula o valor exato e o valor aproximado da área de cada círculo (usa π ≈ 3,1416 ).
Págs. 104 e 105
Manual (volume 1)
ficha
13
Área do círculo
Enc. Educ.
1 cm
2. Uma circunferência tem 6 cm de diâmetro.
2.2 Sabendo
que o lado do hexágono regular inscrito na circunferência é igual ao raio, determina
a área desse hexágono, cujo apótema é 4,128 cm.
π ≈ 3,14 ).
Avaliação
2.3 Calcula o valor exato e o valor aproximado da área do círculo (usa
Prof.
2.1 Determina o seu raio.
A
B
Turma
3. Determina a área de cada uma das figuras coloridas (usa π ≈ 3,14 ).
C
2,5 cm
10 cm
12,4 cm
4. Uma praça circular tem de perímetro 62,8 m.
Calcula a área ocupada pela praça (usa π ≈ 3,14 ).
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
semicírculo
N.o
12,4 cm
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.
42 PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS
ficha
13
Cont.
5. O comprimento da linha verde representada é 12,56 m.
Calcula a área da figura colorida, formada por semicírculos congruentes (usa π ≈ 3,14 ).
D
6. Calcula a área do coração, formado por um quadrado com 8 cm
de perímetro e por dois semicírculos geometricamente iguais
(usa π ≈ 3,14 ).
A
C
B
7. A avó Francisca fez um sorvete de morango numa forma circular
de 10 cm de raio. Dividiu-o em quatro partes, como vês na figura,
e deu uma parte a cada neto.
Sabendo que o Luís comeu o mesmo que a Filipa, quem comeu
mais, o Luís ou a Maria? Explica.
José
Luís
Filipa
Maria
8. C é um círculo de raio 5 cm e D é um círculo de raio 10 cm.
Que relação existe entre a medida da área de D e a medida da área de C?
Qual é o perímetro do canteiro das rosas, sabendo que o canteiro dos cravos é um semicírculo de
centro C e que o canteiro dos cravos em conjunto com o canteiro das rosas forma o quarto do
círculo de centro O (usa π ≈ 3,1 )?
Págs. 106 e 107
1 O perímetro do canteiro retangular que vês representado é 20 metros.
Manual (volume 1)
problemas
2
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.
PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS 43
Cravos
Túlipas
Rosas
4m O
Enc. Educ.
C
2 A figura representa o tampo de uma mesa com abas, formada por dois semicírculos iguais e um
Prof.
quarto de círculo. Calcula o perímetro da mesa (usa π ≈ 3,1 ).
Avaliação
1,2 m
3 De uma folha quadrada com 21 cm de lado cortou-se um quarto de círculo, como vês na figura.
4 Um polígono regular está circunscrito a uma circunferência. O polígono tem 9000 cm2 de área e
500 cm de perímetro. Calcula o raio da circunferência.
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
18 cm
N.o
Turma
Calcula o perímetro da parte colorida da folha (usa π ≈ 3,1 ).
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS.
44 PERÍMETRO E ÁREA DE POLÍGONOS E CÍRCULOS
5 O tampo de uma mesa é formado por um quadrado e por um semicírculo de vidro.
Se o metro quadrado foi 18,50 €, quanto custou o vidro (usa π ≈ 3,1 )?
1,30 m
6 Calcula o valor aproximado das áreas das figuras (usa π ≈ 3,14 ).
6.1
6.2
cm
C
C
cm
3 cm
2
C
6.3
2
problemas
2
Cont.
3 cm
7 Uma chapa metálica é formada por um triângulo e por um semicírculo.
C
6 cm
10 m
Calcula a área da chapa (usa π ≈ 3,14 ). Apresenta o resultado arredondado às décimas.
12 m
8 Determina a área da parte colorida da figura, sabendo que o diâmetro do
círculo é 4 cm (usa π ≈ 3,14 ).
Que percentagem da área do círculo está colorida?
C
9 Um polígono circunscrito a uma circunferência de raio 18 cm tem de área 234 cm2.
Calcula o perímetro do polígono.
Como descrever e identificar um sólido geométrico?
• É poliedro (convexo), porque é limitado apenas por superfícies
planas.
• Tem sete faces: seis faces laterais triangulares e uma base que é
um hexágono.
• Tem sete vértices e 12 arestas.
• É uma pirâmide hexagonal.
saber
fazer 7
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 45
• É não poliedro, porque é limitado por superfícies planas e curvas.
• Tem duas bases congruentes, que são círculos.
• Tem superfície lateral curva.
• É um cilindro de revolução.
Quais das figuras planas seguintes são polígonos?
A
B
C
D
E
F
Pratica
N.o
1. Descreve o modelo do sólido representado ao lado.
Verifica a igualdade de Euler.
Turma
Um polígono é uma figura plana limitada por uma linha poligonal fechada. Cada um dos
segmentos de reta que constitui essa linha chama-se lado do polígono, assim como o
respetivo comprimento.
As figuras B, C, E e F são polígonos.
3. Qual é o nome de um poliedro com 21 arestas e nove faces?
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
2. Desenha um poligono com seis lados. Que nome tem?
46 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
saber
fazer 7
Cont.
Como distinguir prismas e pirâmides?
Prismas – Têm duas bases congruentes, situadas em dois planos paralelos, e três ou mais
faces laterais, que são paralelogramos.
O número de arestas é o triplo do número de lados do polígono da base.
Quando o prisma é reto, as faces laterais são retângulos. Caso as bases sejam
polígonos regulares, o prisma diz-se regular.
Pirâmides – Têm uma base e três ou mais faces laterais, que são triângulos, tendo todos
estes triângulos um vértice comum.
O número de arestas é o dobro do número de lados do polígono da base.
Uma pirâmide é regular quando a sua base é um polígono regular e as arestas laterais são iguais.
Como descobrir o nome de um poliedro (prisma ou pirâmide) conhecendo alguns
dos seus elementos?
Qual é o nome do poliedro que tem 14 arestas e oito vértices?
14 arestas – não é múltiplo de 3, logo não é prisma; mas é múltiplo de 2, logo é pirâmide.
8 vértices – se é pirâmide, tem sete vértices na base. É uma pirâmide heptagonal.
Como completar esta planificação da superfície de um paralelepípedo retângulo?
Sabes que as faces opostas do
paralelepípedo retângulo são
retângulos congruentes. Na
planificação dada faltam duas faces, uma congruente com a face
colorida e a outra congruente
com uma das faces brancas.
Imagina o sólido construído.
Uma das planificações possíveis
encontra-se representada na segunda figura.
Pratica
4. Um prisma pode ter 14 arestas? E uma pirâmide? Quantas arestas tem um prisma
hexagonal? E uma pirâmide hexagonal?
5. No teu caderno, desenha uma planificação da superfície de um paralelepípedo
retângulo, com 4 cm, por 3 cm, por 2 cm, e uma planificação da superfície de um
cilindro, com 3 cm de altura e 3 cm de diâmetro da base.
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 47
1. Liga corretamente cada objeto ao modelo de sólido respetivo.
1.1
•
•
•
•
•
•
Págs. 122 a 125
Manual (volume 1)
ficha
14
Poliedros e não poliedros
1.3
1.4
Enc. Educ.
1.2
•
1.5
Prof.
•
•
1.7
•
•
•
•
Turma
1.6
Avaliação
•
N.o
2. Dos sólidos representados, assinala os que são poliedros e justifica as tuas opções.
A
B
C
D
Número de:
Número de:
Número de:
Número de:
Faces: _______________
Faces: _______________
Faces: _______________
Faces: _______________
Arestas: ____________
Arestas: ____________
Arestas: ____________
Arestas: ____________
Vértices: ____________
Vértices: ____________
Vértices: ____________
Vértices: ____________
_______________________
_______________________
_______________________
_______________________
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
3. Completa, e diz se é pirâmide ou prisma.
48 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
ficha
14
Cont.
4. Completa o texto com as palavras da lista ao lado.
• círculos
• curva
• congruentes
• não poliedros
• esfera
• círculo
• prisma
4.1 Um cilindro reto tem duas bases que são ________________.
4.2 As bases do cilindro reto são ________________.
4.3 A superfície lateral de um cilindro reto é ________________.
4.4 Um cone tem uma só base, que é um ________________.
4.5 O cubo é um ________________.
4.6 O cone, o cilindro e a ________________ são ________________.
5. Desenha:
5.1 um cone;
5.2 um cilindro reto.
6. De entre as seguintes expressões:
• sólido geométrico
• poliedro
• esfera
• pirâmide
• prisma
• não poliedro
• cilindro
• cone
• quadrado
• paralelepípedo
retângulo
• círculo
escolhe o máximo de nomes para caracterizar cada um dos modelos de sólidos geométricos
seguintes.
6.1
6.2
6.3
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
7. Observa os seguintes modelos de sólidos geométricos.
A
B
C
7.1 Qual dos sólidos é o intruso? Justifica.
7.2 Para cada um dos poliedros, verifica a igualdade
F+V=A+2.
D
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 49
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
Págs. 126 e 127
Enc. Educ.
________________________
Manual (volume 1)
1. Classifica os polígonos seguintes quanto ao número de lados e indica os que são regulares.
ficha
15
Polígonos. Classificação de prismas e pirâmides
«Um polígono diz-se regular quando tem _________________________________________________ ;
Prof.
2. Completa a frase e dá um exemplo.
por exemplo, ______________________________ .»
C
Não é poligono
D
Quadrilátero
H
B
Triângulo
Pentágono
Turma
A
Avaliação
3. Completa o quadro com as letras das figuras.
Hexágono
F
G
4. Desenha, no papel ponteado ao lado, um
triângulo não regular, um quadrilátero
regular e um quadrilátero não regular.
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
5. Quem é quem?
5.1
É o polígono das bases de uma pirâmide com 14 arestas. Quem é? _______________________
5.2 É o polígono das faces de um sólido com seis faces iguais. Quem é? _______________________
5.3
É o polígono das bases de um prisma com 24 arestas. Quem é? __________________________
5.4
É o polígono das faces laterais de todas as pirâmides. Quem é? __________________________
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
N.o
E
I
50 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
6. Observa os sólidos geométricos representados a seguir.
ficha
15
Cont.
A
B
C
D
E
F
6.1 Que polígonos são as faces laterais dos poliedros…? A __________________
B __________________
6.2 Que polígonos são as bases dos poliedros…?
C __________________________________ D __________________________________ E
__________________________________
6.3 Escreve os nomes de cada um dos sólidos acima representados.
A __________________________________ B __________________________________ C __________________________________
D __________________________________ E
6.4
__________________________________
F
__________________________________
Qual dos sólidos acima é poliedro não convexo? _____________________________________________________
7. Descreve cada um dos sólidos representados.
7.1
7.2
8. Responde às seguintes questões.
8.1 Num
prisma, que relação existe entre o número total de arestas e o número de lados do
polígono da base? E numa pirâmide?
8.2 Uma pirâmide pode ter nove arestas? E um prisma? Justifica.
8.3 Um prisma pode ter 11 vértices? E uma pirâmide? Justifica.
8.4 Imagina
um prisma em que o polígono da base tem 120 vértices. Qual é o número de arestas laterais e totais do prisma?
9. Qual é o nome do poliedro (prisma ou pirâmide) que tem:
9.1 oito faces laterais triangulares?
9.2 18 arestas e seis faces laterais?
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
1 cm
1.1 Dá todos os nomes possíveis ao sólido representado.
1 cm
Págs. 128 a 131
1 cm
1. Observa o sólido geométrico ao lado.
Manual (volume 1)
ficha
16
Planificação e construção de modelos de sólidos
51
das figuras seguintes são planificações da superfície do sólido geométrico
representado? Assinala com .
B
C
D
2. Dá todos os nomes possíveis a cada um dos sólidos geométricos representados e assinala com as figuras que não são planificações da superfície desses mesmos sólidos.
Avaliação
Prof.
A
Enc. Educ.
1.2 Quais
Turma
2.1
Nomes:
________________________________________
________________________________________
A
B
C
N.o
________________________________________
TEXTO
2.2
________________________________________
________________________________________
________________________________________
A
B
C
3. Planifica, no teu caderno, um cilindro com 4 cm de altura e 2 cm de diâmetro da base.
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
Nomes:
52 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
ficha
16
Cont.
4. Na figura está representada a planificação da superfície lateral
de um poliedro.
4.1 Que nome dás ao polígono da base deste poliedro?
4.2 E ao poliedro?
5. Observa o sólido geométrico ao lado.
5.1 Descreve o sólido representado e identifica-o.
5.2 Para construir o modelo de sólido geométrico representado acima, que planificação escolhes?
Explica por que razão as outras planificações não servem.
A
B
C
6. Observa as figuras A e B.
A
B
6.1 Completa
ou corrige cada uma das figuras, de modo a obteres planificações da superfície de
prismas. Copia as planificações obtidas para uma cartolina, constrói-as e identifica cada um
dos modelos de prismas.
A ______________________________________
B ______________________________________
Enc. Educ.
Págs. 132 e 133
1. Completa as figuras de modo a obteres, em perspetiva, um cubo e um paralelepípedo retângulo.
ficha
17
Perspetiva e vistas de um sólido
Manual (volume 1)
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 53
2. Considera um cubo com 1 cm de aresta.
Prof.
2.1 Desenha uma planificação da superfície desse cubo.
Avaliação
2.2 O que podes dizer acerca das vistas de topo, frontal e lateral de um cubo?
Turma
3. Observa o sólido representado, construído com cubos congruentes, e as suas vistas A e B.
A
Frontal
B
C
Lateral direita
3.1 Qual das vistas é a frontal? E a de topo?
3.2 Desenha no quadriculado, em (C), a vista lateral direita.
3.3 Qual é o menor número de cubos congruentes que é preciso juntar ao sólido desenhado para
obter um cubo?
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
N.o
Topo
54 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
4. Usa cubos de 1 cm de aresta e constrói o sólido geométrico cujas vistas são as seguintes:
ficha
17
Cont.
Frontal
Topo
Lateral
direita
5. Desenha as vistas frontal, de topo e lateral do seguinte sólido geométrico representado. Depois,
usa cubos congruentes e constrói o modelo de sólido.
Topo
Frontal
Lateral direita
6. Para cobrir exatamente as arestas de um cubo, sem sobreposição, a Helena utilizou 180 cm
de fita-cola. Qual é o comprimento da aresta desse cubo?
7. Completa a planificação do paralelepípedo retângulo e calcula o comprimento de fita
necessária para cobrir todas as arestas sem sobreposição.
0,5 cm
Base
8. Escreve um pequeno texto com o título: «Os sólidos geométricos no meu dia a dia.»
é o prisma que tem um número de faces igual ao número de vértices de uma pirâmide quadrangular?
arestas laterais e totais tem uma piâmide em que o polígono da base tem 110 lados?
2 Descobre o sólido que está na pasta do José, através das seguintes pistas:
• é poliedro;
• o número de vértices é ímpar;
• o número de faces é ímpar e menor do que 7;
• o número de arestas é par e menor do que 10.
3 O Tomé está a planear construir um aquário de vidro, que terá as dimensões e a forma de um
Enc. Educ.
1.2 Quantas
Págs. 134 e 135
1.1 Qual
Manual (volume 1)
1 Responde às seguintes questões.
Prof.
problemas
3
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 55
15 cm
18 cm
Avaliação
paralelepípedo retângulo, sem tampa, como sugere a figura seguinte.
1 m2 da placa de vidro custar 5 €, quanto custará o vidro para o aquário?
3.2 Se
as arestas forem reforçadas com fita metálica que custe 2 € por metro, quanto custará a fita?
N.o
3.1 Se
Turma
25 cm
Quanto vai gastar o Tomé no aquário?
4 Enfeitou-se um prisma hexagonal com estrelas autocolantes, que se vendem em páginas de
12 estrelas. Em cada base colou-se um número de estrelas igual ao m.d.c. (2, 6) e em cada face
lateral um número de estrelas igual ao m.m.c. (2, 6) .
Quantas páginas de estrelas autocolantes foi preciso comprar?
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
3.3
56 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
problemas
3
Cont.
5 Observa a figura ao lado.
5.1 Qual
é o menor número de cubos congruentes,
como os da figura, que é necessário juntar à construção para obter um paralelepípedo retângulo?
Frontal
5.2 Desenha,
no teu caderno, a vista frontal do sólido
geométrico representado.
6 Escreve uma expressão que permita determinar o número de faces de uma pirâmide com um
número n de lados no polígono da base.
7 Colou-se em cada face de um cubo um autocolante quadrado na posição
que vês na figura ao lado. Sabe-se que o perímetro da face do cubo excede o
perímetro do respetivo autocolante em 20 cm.
De acordo com a figura, determina x .
x
x
x
x
x
x
8 Observa a pirâmide quadrangular regular da figura ao lado.
8.1 Sabe-se
que o perímetro da base desta pirâmide é 30 cm e que a altura
de uma face lateral é 10 cm.
Calcula a área total da pirâmide.
8.2 Verdadeiro
ou falso? Justifica.
«A área da base desta pirâmide é 38% da sua área lateral.»
x
x
Como reconhecer sólidos equivalentes?
Observa os modelos de sólidos feitos com cubos congruentes.
saber
fazer 8
VOLUMES 57
B
A
C
Cada um dos modelos de sólidos A e B foram construídos com oito cubos congruentes,
ocupando igual porção de espaço – são sólidos equivalentes.
Dois sólidos equivalentes têm o mesmo volume.
O modelo de sólido C, construído com seis cubos congruentes, não é equivalente a A nem a B.
Como determinar a medida do volume de um sólido, conhecida a unidade de
volume?
Tomando
para unidade de volume, a medida do volume de D é 8.
D
Turma
para unidade de volume, a medida do volume de D é 2.
Tomando
A medida do volume depende da unidade escolhida.
A
B
C
1.1 Existem sólidos equivalentes? Justifica a tua resposta.
1.2 Qual é a medida do volume de B e de C, tomando A como unidade de volume?
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
1. Os seguintes modelos de sólidos foram construídos com cubos congruentes. Observa-os.
N.o
Pratica
58 VOLUMES
saber
fazer 8
Cont.
Quais são as unidades de medida de volume do Sistema Internacional (SI)?
Como se relacionam?
Unidades de medida de volume
km3
hm3
quilómetro hectómetro decâmetro
cúbico
cúbico
cúbico
Converter: 15 m3 em dm3
7,2 cm3 em m3
m3
dm3
cm3
mm3
metro
cúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico
milímetro
cúbico
dam3
15 000 dm3
0,000 007 2 m3
Para medir volumes de líquidos usam-se unidades de medida de capacidade.
Unidades de medida de capacidade
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
quilolitro
hectolitro
decalitro
litro
decilitro
centilitro
mililitro
Converter: 12 hl em litros
0,4 ml em dal
1200 l
0,000 04 dal
1 dm3 = 1 litro
Como calcular o volume de um cubo?
Vcubo = a × a × a
ou
Vcubo = a3
a – medida da aresta
0,8 m
A medida de volume da figura ao lado é:
V = 0,8 × 0,8 × 0,8
V = 0,64 × 0,8
V = 0,512
0,8 m
0,8 m
O volume deste cubo é 0,512 m3.
Pratica
2. Converte:
2.1 1 m3
em mm3 _______________
2.2 5 dm3
2.3 0,6 l
em
m3 _______________
2.4 4 dl
em cl __________________
2.5 32,5 l
em m3 _______________
em dm3 ________________
3. Quantos litros de sumo leva a lata representada ao lado?
33 cl
4. Calcula o volume de um cubo com 0,5 dm de aresta.
saber
fazer 9
VOLUMES 59
Como calcular o volume de um paralelepípedo retângulo?
Vparalelepípedo = c × l × h
c – medida do comprimento
l – medida da largura
h – medida da altura
Área da base
3 cm
A medida de volume da figura ao lado é:
V = 2,5 × 2 × 3
V = 15
2 cm
O volume deste paralelepípedo é 15
cm3.
2,5 cm
Como calcular o volume de um prisma reto?
h – medida da altura
Abase – medida da área da base
Vprisma = Abase × h
A medida do volume do prisma triangular
A é:
4×3
V = ᎏᎏ × 7
2
V = 42
3 cm
4 cm
A medida do volume do prisma hexagonal
regular B é:
2 cm
6×2
V = ᎏᎏ × 1,7 × 8
2
A
V = 81,6
7 cm
O volume é 42 cm3.
1,7 cm
8 cm
B
O volume é 81,6 cm3.
Pratica
O cubo e o paralelepípedo
retângulo são prismas.
1. Calcula os volumes dos seguintes prismas retos.
1.3
1.2
Turma
1.1
10 m
3m
7m
4 cm
11 cm
5m
3m
N.o
3 cm
3m
2.1
2.2
10 cm
8 cm
2,4 cm
lado do pentágono = 4 cm
apótema da base = 2,75 cm
altura = 7,5 cm
3
3. O perímetro da base de um prisma quadrangular é 20 cm e a altura é ᎏ da aresta
2
da base. Determina o volume do prisma.
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
2. Calcula os volumes dos seguintes prismas regulares.
60 VOLUMES
Como descobrir a altura de um paralelepípedo conhecidos o comprimento,
a largura e o volume?
V=c×l×h
Volume = 12 cm3
Altura = ?
3 cm
12 = 1 × 3 × h
12 = 3 × h
h = 12 : 3
h=4
Divisão como operação
inversa da multiplicação.
A altura é 4 cm.
1 cm
Como construir uma planificação da superfície de um cilindro reto?
1 cm
␲
d 3,1 1
O comprimento do retângulo é igual ao
perímetro do círculo da base do cilindro.
+
1 cm
+
saber
fazer 9
Cont.
A largura do retângulo é igual à altura do
cilindro.
0,5 cm
Como calcular o volume de um cilindro reto?
V = π ×r2 ×h
r – medida do raio da base
Área da base
1m
A medida de volume do cilindro representado ao lado é:
V = π × 0,52 × 3
V = π × 0,25 × 3
V = 0,75 × π
3m
Valor exato
Considerando π 3,1416 , vem V 0,75 × 3,1416 . O volume deste cilindro é aproximadamente 2,36 m3.
Pratica
4. Uma caixa tem a forma de um paralelepípedo com 12 cm2 de área da base e com
84 cm3 de volume. Que altura tem a caixa?
5. Qual será o volume de uma lata como a que vês representada?
Faz uma planificação desta lata cilíndrica (usa π 3,1416 ).
2 dm
2 dm
VOLUMES
1.1
B
C
Tomando como unidade de volume
D
Págs. 8 a 13
Manual (volume 2)
, completa:
• a medida do volume de A é _______________________
• a medida do volume de B é _______________________
Prof.
A
61
Enc. Educ.
1. Observa os seguintes modelos de sólidos representados, constituídos por cubos congruentes.
ficha
18
Sólidos equivalentes. Volume.
Medição de volumes. Unidades de medida de volume
• a medida do volume de C é _______________________
1.2
Escolhe uma unidade de volume, de forma que:
• a medida do volume de B seja 2
_________________
• a medida do volume de D seja 4 __________________
Alguns dos modelos de sólidos A, B, C e D são equivalentes? Justifica a tua resposta.
2.1
3 dm3 = ___________________ cm3 = ___________________ mm3
2.2
0,7 cm3 = 0,0007 ___________________ = 700 ___________________
2.3
0,9 l = 90 ___________________ = 900 ___________________
2.4
0,6 m3 = ___________________ dm3 = ___________________ l
2.5
3 kl = ___________________ l = ___________________ dl
3. Quantos copos iguais, com a capacidade de 25 cl, se podem encher com 2,5 l de groselha?
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
2. Completa:
N.o
Turma
1.3
Avaliação
• a medida do volume de D é _______________________
62 VOLUMES
ficha
18
Cont.
4. Arquimedes verificou que, quando entrava na banheira para tomar banho, a água subia e,
quando saía da banheira, a água descia. Por isso, gritou «Eureka!» O que terá descoberto
Arquimedes?
Como podes determinar o volume de alguns sólidos?
5. Observa atentamente as figuras 1 e 2 ao lado.
Qual será, em cm3, o volume de cada um dos
berlindes, sabendo que são iguais?
120 ml
120 ml
60 ml
60 ml
Fig. 1
Fig. 2
6. Os modelos de sólidos abaixo representados são formados por cubos congruentes. Cada um
desses cubos tem 1 cm3 de volume.
A
B
C
6.1 Qual é o volume dos sólidos A, B e C?
6.2 Desenha a vista de cima de cada um dos sólidos.
7. Uma torneira avariada perde 1,2 dl de água em cada meia hora.
Quantos litros de água perde ao fim de 18 horas?
8. Um depósito de água tem a forma de um cubo com 3 m de aresta.
Quando cheio, pode levar 30 000 litros de água?
VOLUMES 63
1.1
Determina o volume de cada caixa.
André
A caixa que
leva mais cartão é
a do Paulo.
Págs. 14 e 15
1. Observa as caixas em cartão, construídas por três amigos.
Manual (volume 2)
ficha
19
Volume do paralelepípedo retângulo e do cubo
Enc. Educ.
Manuel
Paulo
12 cm
Prof.
10 cm
20 cm
8 cm
0,5 dm
20 cm
8 cm
Comenta a afirmação do André, tendo em conta que cada caixa completa inclui a respetiva
tampa.
Turma
1.2
15 cm
Avaliação
8 cm
2. Serão equivalentes os sólidos representados? Justifica a tua resposta.
8 cm
N.o
4 cm
8 cm
8 cm
16 cm
3. Observa a figura ao lado. Qual será a altura do contentor do
camião se o seu volume é 12 m3?
2m
3m
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
8 cm
64 VOLUMES
ficha
19
Cont.
4. Lê o seguinte diálogo entre
o António e a Fernanda.
A minha caixa
também é cúbica
e tem 10 cm de
aresta, logo
tem metade do
volume da tua.
A minha caixa
cúbica tem 20 cm
de aresta.
Comenta a afirmação da Fernanda.
5. Um cubo tem 3 cm de aresta. Indica as dimensões possíveis de um paralelepípedo retângulo
cujo volume seja igual ao do cubo.
6. Abriu-se um pacote de sumo de fruta e encheu-se completamente um copo. A altura do sumo no pacote baixou 4 cm.
6.1 Qual é a capacidade do copo?
16 cm
6.2 O pacote de sumo custava 1,80 €, mas agora tem 20%
de desconto. Qual é o seu preço atual?
6 cm
9,5 cm
7. Quanto deverá ter de aresta um cubo que é equivalente a um paralelepípedo retângulo com
0,5 dm por 16 dm por 1 dm?
8. Uma empresa de limpeza compra detergente em pó em caixas, como
vês na figura ao lado.
8.1 Qual é a altura da caixa, se o seu volume é 8640 cm3?
8.2 Com o pó da caixa enchem-se caixas cúbicas com 12 cm de aresta.
Quantas caixas se enchem?
10 cm
28,8 cm
Manual (volume 2)
ficha
20
Volume do prisma reto
1. O prisma quadrangular regular representado ao lado está dividido
em dois prismas triangulares.
Determina, por dois processos, o volume de cada prisma triangular:
Págs. 16 e 17
VOLUMES 65
10 cm
• tendo em conta a decomposição em prismas triangulares;
• utilizando uma fórmula.
4,5 cm
Enc. Educ.
4,5 cm
Prof.
2. Determina o volume de um prisma hexagonal regular, em que a aresta tem 8 dm, o apótema da
base tem aproximadamente 6,9 dm e uma das arestas laterais mede 11 dm.
5. Calcula o volume de um prisma reto com 22 cm de
altura e cuja base é o paralelogramo representado na
figura ao lado.
3 cm
5
3,2
cm
3,5 cm
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
N.o
4. Um prisma hexagonal regular está decomposto em prismas triangulares iguais. A aresta da
base do prisma hexagonal é 2 dm, o apótema da base é 1,73 dm e a altura é 5 dm.
Calcula o volume de cada prisma triangular.
Turma
Avaliação
3. Um prisma triangular regular é equivalente a um cubo de aresta 12 cm. Determina a área da
base do prisma, sabendo que a altura é 48 cm.
66 VOLUMES
ficha
20
Cont.
6. Determina o volume e a área lateral de um prisma triangular regular, sabendo que:
• o perímetro da base é 31,14 cm;
• a altura da base é 9 cm;
5 da altura da base.
• a altura do prisma é ᎏ
3
7. Completa a seguinte tabela, que se refere a prismas retos equivalentes, com 360 cm3 de volume.
Área da base
(cm2)
Altura do prisma
(cm)
28,8
36
12
2,5
8. Uma jarra tem a forma de um prisma pentagonal regular e 1,5 l de capacidade. A área da
3 da sua altura.
base é 75 cm2. Deitou-se água na jarra até ᎏ
4
Que quantidade de água ficou na jarra, em litros?
9. Observa o prisma triangular reto ao lado.
D
9.1 Verdadeiro ou falso? Justifica as afirmações falsas.
—–
• O prisma tem por altura AB .
—– —– —–
• O volume é igual a AB × CA × CD .
• O prisma tem seis vértices e nove arestas.
C
A
E
F
B
que o prisma tem 120 cm3 de volume e é equivalente a um prisma quadrangular
regular com 4 cm de aresta da base.
Determina a altura do prisma quadrangular.
9.2 Supõe
VOLUMES 67
1. A lata representada ao lado leva, quando cheia, meio litro
de diluente. Concordas com esta afirmação?
Justifica a tua resposta (usa π 3,1416 ).
Págs. 18 e 19
Manual (volume 2)
ficha
21
Volume do cilindro reto
Enc. Educ.
12 cm
4 cm
2. Calcula a razão entre o volume do cilindro B e o volume do cilindro A (usa π 3,1 ).
A
2 cm
8 cm
Prof.
B
4 cm
4 cm
Avaliação
3. Fez-se sumo de laranja e encheu-se um recipiente cilíndrico
com 20 cm de diâmetro e 30 cm de altura.
Quantas canecas, iguais à que vês representada na figura ao
lado, se podem encher de sumo (usa π 3,1 )?
Turma
10 cm
4. Um depósito para combustível tem uma capacidade de 1130 l e uma altura de 1 m.
Qual é a área da base do depósito?
5. Um reservatório de água cilíndrico tem 4 m de diâmetro e 1,35 m de profundidade.
Deitou-se 10 m3 de água no depósito que estava vazio. Que altura atingiu a água (usa π 3,1416 )?
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
N.o
6 cm
68 VOLUMES
ficha
21
Cont.
6. Um cilindro reto tem 4 cm de raio e 6 cm de altura.
Para este cilindro, calcula (usa π 3,1 ):
6.1 a área da base;
6.2 o perímetro da base;
6.3 a área lateral;
6.4 a área total;
6.5 o volume.
7. Observa a planificação de uma lata de metal.
2,4 cm
2 cm
7.1 Calcula o volume da lata (usa
π 3,14 ).
7.2 Calcula a área lateral da lata (usa
π 3,14 ).
1 Um aquário, com a forma de paralelepípedo retângulo,
tem 60 cm de comprimento e 40 cm de largura, e contém água até 10 cm da sua altura. Retirou-se 6 l de água
do aquário.
A que altura ficou a água no aquário?
10 cm
Págs. 20 e 21
Manual (volume 2)
problemas
4
VOLUMES 69
40 cm
60 cm
2.1 Qual
Enc. Educ.
2 Um poço cilíndrico tem 4 m de diâmetro e 2,40 m de profundidade.
é a capacidade, em litros, do poço quando cheio de água (usa π 3,1 )?
o poço vazio, despejou-se 24,8 m3 de água para o seu interior.
Que altura atingiu a água no poço (usa π 3,1 )?
3 O retângulo ao lado é a planificação da superfície lateral de
6,28 cm
um cilindro reto. Com este retângulo podem construir-se dois
cilindros com a mesma área lateral, mas com volumes
diferentes. Observa-os:
3,14 cm
3.2
Perímetro
da base = 3,14 cm
6,28 cm
para cada cilindro, o raio da base e a altura (usa π 3,14 ).
Calcula o volume de cada cilindro.
Turma
3.1 Indica,
B
N.o
Perímetro
da base = 6,28 cm
Avaliação
A
3,14 cm
Prof.
2.2 Com
cuja aresta de cada um tem 2 cm.
4.1 Qual
4.2
é o volume do sólido representado?
Qual é o número mínimo de cubos congruentes que é
necessário acrescentar a esta construção para obter um
paralelepípedo retângulo?
Qual é o volume desse paralelepípedo?
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
4 Observa a figura ao lado, formada por cubos congruentes,
70 VOLUMES
problemas
4
Cont.
5 Observa uma planificação de um cilindro reto.
5.1
Qual é o perímetro de cada um dos círculos das
bases do cilindro?
3,1 cm
5 cm
5.2
Calcula o raio da base deste cilindro (usa π 3,1 ).
5.3
Calcula o volume deste cilindro (usa π 3,1 ).
6 Um depósito cilíndrico com 40 cm de diâmetro e 48 cm de altura tem
água até 14 cm de altura. Colocou-se uma pedra dentro da água e a
2
3
altura da água passou a ser ᎏ da altura do depósito.
48 cm
Determina o volume da pedra (usa π ≈ 3,1416 ).
40 cm
7 Num paralelepípedo retângulo de madeira fez-
18 cm
-se, ao centro, um furo cilíndrico com a mesma altura do paralelepípedo e obteve-se a peça que vês
representada ao lado.
Calcula o volume de madeira da peça (usa π 3,14 ).
45 mm
12 cm
60 mm
8 Observa a figura ao lado, onde está representado um cilindro reto com um
prisma triangular regular no seu interior. Sabe-se que a área lateral do prisma é 135 cm2, a aresta da base do prisma tem 3 cm e o diâmetro da base
do cilindro é 3,46 cm.
Determina o volume do cilindro aproximado às unidades (usa π ≈ 3,1416 ).
saber
fazer 10
NÚMEROS RACIONAIS
O que é um
número
racional?
Quais são os números inteiros?
Por exemplo,
os números
–3, –2, –1, 0, 1, 2 e 3 são
números inteiros.
Um número que se
pode representar por
uma fração é um
número racional.
O conjunto formado
pelos números
racionais positivos,
números racionais
negativos e o zero
chama-se conjunto
dos números
racionais, e
representa-se por Q
I .
O conjunto formado pelos
números inteiros positivos,
números inteiros negativos
e o zero chama-se conjunto
dos números inteiros ou
números inteiros relativos, e
designa-se por ZZ .
Os números racionais podem ser representados na reta numérica:
T
R
S
-6 -5 -4 -3 -2
1
2
-1
• A abcissa do ponto P é +3 :
P +3
Números positivos
P
• A abcissa do ponto R é –2 :
R –2
0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
Origem
1 :
• A abcissa do ponto S é – ᎑
2
1
S–᎑
2
1 :
• A abcissa do ponto T é –3 ᎑
2
1
T –3 ᎑
2
O que é o módulo ou valor absoluto da abcissa de um ponto?
É a medida da distância desse ponto à origem.
5 e |–0,1| = 0,1
5 =᎑
Exemplos: |+3| = 3 , |–2| = 2 , |0| = 0 , – ᎑
4
4
冷
«| |» lê-se «modulo ou
valor absoluto».
冷
Turma
Números negativos
Qual é o número simétrico de –2? E de 1,2?
O simétrico de zero é zero.
N.o
O simétrico de –2 é +2. O simétrico de 1,2 é –1,2.
Dois números simétricos têm sinais contrários e o mesmo valor absoluto.
1. Observa a reta numérica.
T Q
N
S
0
M
P
1
1.1 Completa com as abcissas dos pontos:
Q __________
N __________
M __________
P __________
1.2 Qual é o valor absoluto das abcissas dos pontos
S __________
T __________
N, M, P, Q, S e T?
7 ? E de –0,5?
1.3 Qual é o simétrico de +8? E de – ᎑
3
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
Pratica
71
72 NÚMEROS RACIONAIS
saber
fazer 10
Cont.
Como comparar e ordenar números racionais?
Uma reta numérica facilita a comparação e ordenação de números
racionais.
Um número é tanto maior quanto
mais à direita se encontrar na reta.
Ordem crescente
-5 -4 -3 - 52 -2
-1
3
4
0
1
2
3
4 4,5 5
3 < 2 < 3 < 4,5 .
5 < –1 < 0 < ᎑
Assim, – ᎑
2
4
O que são segmentos orientados?
Quando a um segmento de reta se atribui um sentido, obtém-se um segmento de reta
orientado.
A
0
D
B
1
2
0
3
[A, B] é um segmento de reta
orientado positivamente.
1
C
2
3
4
5
[C, D] é um segmento de reta orientado
negativamente.
Como adicionar números racionais usando a reta numérica?
• (+2) + (–1) é 1
Assinalam-se os pontos de abcissas A +2 e
B –1 . Traça-se [O, B] . Com origem em A ,
desenha-se o segmento com o mesmo comprimento e orientação de [O, B] e obtém-se o
ponto S , cuja abcissa é (+2) + (–1) , isto é, 1.
S
B
-4
-2
A
0
S
B
-4 A -2
• (–3) + (+2) é –1
S
1 + (–1) é – ᎑
4
• –᎑
3
3
-2
-4
3
B
4
0
A
0
-1
3
2
1
Pratica
7 e menores do que 2,5?
2. Quais são os números inteiros maiores do que – ᎑
2
冷
冨
3 ; –4 ; 1,2 ; –2 ; – ᎑
1 ;᎑
7
3. Coloca por ordem crescente: – ᎑
2
2 4
4. Utiliza segmentos orientados para calcular:
• +3 + (–2)
1 + (–1)
• –᎑
2
• +1 + (–5)
5. Identifica a adição que cada figura traduz e indica a soma.
5.1
5.2
-7
-5
-2
0
2
5
-3 - 2
0
1
saber
fazer 11
NÚMEROS RACIONAIS 73
Como calcular a soma de dois números racionais?
A soma de dois números positivos é um
número positivo cujo valor absoluto é a
soma dos valores absolutos das parcelas.
A soma de dois números negativos é um número
negativo cujo valor absoluto é a soma dos valores
absolutos das parcelas.
Exemplo:
Exemplos:
• (+9) + (+4) = +13
• (–6) + (–2) = –8
1 + –᎑
4 =– ᎑
1 +᎑
4 = –᎑
5
1 + (–2) = – ᎑
• –᎑
2
2
2
2
2
2
冢 冣 冢 冣 冢
冣
A soma de dois números de sinais contrários é um número cujo sinal é o da parcela
de maior valor absoluto e cujo valor absoluto é
a diferença dos valores absolutos das parcelas.
A soma de dois números simétricos é zero.
Exemplos:
• (–1,5) + (+1,5) = 0
Exemplos:
• (+5) + (–5) = 0
• (–9) + (+3) = –6
• (+12) + (–5) = +7
• (–2,1) + (+1,7) = –(2,1 – 1,7) = –0,4
Observa mais exemplos:
冢
冢
冣
冢
冢
冣 冢
冣
冢
冢
冣
冣
7 + –᎑
1 =– ᎑
7 +᎑
1 =–᎑
8 = –4
• –᎑
2
2冣
2
2
2
7 + +᎑
1 =– ᎑
7 –᎑
1 =– ᎑
7 –᎑
2 = –᎑
5 porque ᎑
1
7 >᎑
• –᎑
8
4冣
8
4
8
8
8
8
4
冢
Turma
13 = + ᎑
1 =+ ᎑
13 – ᎑
2 =+ ᎑
11 porque ᎑
1
13 – ᎑
1 + +᎑
13 > ᎑
• –᎑
冣
3
6
6
3
6
6
6
6
3
N.o
Pratica
1. Calcula:
冢+ ᎑21 冣
1.2 –3 + (–5,1)
1.3
冢– ᎑45 冣 + (+1,8)
1.4 (–1) +
冢–1 ᎑51 冣
冢 冣
18 + +9
2
1.5 – ᎑
冢
13 + + ᎑
1
9
18
1.6 – ᎑
冣
2. Escreve em linguagem simbólica matemática e calcula:
2.1 a soma de duas décimas com o simétrico de três quintos;
2.2 a soma de vinte e uma décimas com menos um quarto.
3. Descobre os sinais que estão em falta.
• (+18) + (…24) = –6
• (…2,8) + (…2,2) = –0,6
4. Indica dois números cuja soma seja –0,8 .
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
1.1 1,2 +
74 NÚMEROS RACIONAIS
saber
fazer 11
Cont.
Como subtrair números racionais usando a reta numérica?
Exemplo: 4 – (–1)
D
Assinalam-se na reta A 4 e B –1
e traça-se o segmento orientado [B, A] .
Com origem em O , traça-se o segmento
com o mesmo comprimento e orientação de
[B, A] . A abcissa da extremidade D desse
segmento orientado é 4 – (–1) , isto é, 5.
冢
-1
B
0
1
2
3
4
A
5
D
冣
1 = –3,5
Exemplo: –3 – + ᎑
2
-4 -3,5-3
-2
-1
0
1
2
1
2
3
Nota: a diferença entre dois números racionais equivale à soma do aditivo com o simétrico do
subtrativo: a – b = a + (–b) .
4 – (–1) = 4 + (+1) = 5
e
冢
冣
冢 冣
1 = –3 + – ᎑
1 = –3,5
–3 – + ᎑
2
2
Observa mais exemplos:
• 12 – (+7) = 12 + (–7) = 5
冢 冣
冢
冣
冢
冣 冢
冣
1 = –᎑
9 + +᎑
1 = –᎑
18 + + ᎑
1 =– ᎑
18 – ᎑
1 = –᎑
17 pois ᎑
18 > ᎑
1
9 – –᎑
•–᎑
5
10
5
10
10
10
10 10
10
10 10
Como calcular a distância entre os pontos de abcissas A – 4 e B –6 ?
A medida da distância entre os pontos de abcissas
–4 e –6 é igual ao módulo da respetiva diferença:
B
⎜–4 –(–6)⎢= ⎜–6 – (–4)⎜ = 2
-6
A
-5
-4
-3
-2
-1
0
Pratica
5. Constrói, na reta numérica, os pontos que representam as seguintes diferenças:
1
3
5.1 –4 –(–2)
5.2 – ᎑ – + ᎑
3
2
冢
0 1
冣
0
1
6. Calcula:
6.1 –8 – (–5)
6.2 +26 – (+21)
冢
冢
7
3 – +᎑
4
4
3
3
6.4 – ᎑ – + ᎑
4
8
6.3 – ᎑
冣
冣
冢 冣
冢 冣
2 – –᎑
3
᎑
5
4
7
2
6.6 – ᎑ – + ᎑
5
3
6.5
7 eC
3 ,B
7. Sendo A – ᎑
+᎑
–0,5 , determina a distância de A a B e de A a C .
2
5
8. Escreve em linguagem simbólica e calcula a diferença entre onze terços e o simétrico
de nove meios.
Um prejuízo de 2000 €.
Págs. 36 a 41
1. Representa por um número racional cada uma das seguintes situações.
1.1
75
Manual (volume 2)
ficha
22
NÚMEROS RACIONAIS
Representação na reta numérica.
Valor absoluto e simétrico de um número. Comparação e ordenação
1.2 Um lucro de 5000 €.
1.3 Uma temperatura de 5,5 oC abaixo de zero.
5 ; ᎑
4 ; –3 ; 0 ; ᎑
6 ; 7 ; –33 ; –19 ; – ᎑
24 ; 0,02
8 ; 1,3 ; ᎑
–2,75 ; – ᎑
8
4
2
2
4
Enc. Educ.
2. Dos números racionais abaixo representados, indica os números inteiros.
3. Observa a seguinte reta numérica.
0 +1
A
B
C
D
E
F
Abcissa
Distância à origem
4. Coloca por ordem crescente:
4.1
1
–1 ; –100 ; – ᎑
2
5 ; –0,5
2 ; –᎑
2
4.3
1 ; –᎑
1 ; –1,5
1᎑
3
6
5.2
–9 oC ou –8 oC
5.3
–3 oC ou 2 oC
6.2
São dois números
inteiros que distam
20 da origem.
São __________________
6.3
É um número inteiro
maior do que –11 e
menor do que –9.
É _____________________
4.2
Avaliação
Ponto
F –1,5
Turma
Assinala, na reta numérica, as abcissas dos seguintes pontos.
4
2
1
A –3 B 0
C –᎑
D –᎑
E 1᎑
3
3
3
3.2 Completa a seguinte tabela.
3.1
Prof.
1
6. Adivinhas!
6.1
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
–17 oC ou –20 oC
É número inteiro.
O seu simétrico é 9.
É ___________________
2 ?
1 ?E ᎑
7. Quais são os números racionais cujo valor absoluto é 1 ᎑
2
5
Nome
TEXTO
5.1
N.o
5. Qual é a temperatura mais baixa?
76 NÚMEROS RACIONAIS
8. Indica o simétrico de:
ficha
22
Cont.
–6 ____________
3
–᎑
7
____________
17
+᎑
᎑
9. Verdadeiro ou falso?
9
9.1 – ᎏᎏ representa o número inteiro –3.
3
5
____________
0 ____________
9,5 ____________
9.4
–100 > –2
9.7
–5 ∉ ZZ
9.2
Zero não é número positivo.
9.5
|7| = |–7| = –7
9.8
–5 ∈ Q
I
9.3
2
ᎏᎏ representa um número inteiro.
3
9.6
O simétrico de zero é zero.
9.9
7 ∉ ZZ
–᎑
7
Início
10. O coelho só pode deslocar-se nas linhas
indicadas e sempre para um número
maior.
Que trajeto tem de seguir para chegar à
cenoura? Assinala a sequência de números que corresponde a esse trajeto.
- 19
2
-12
- 100
4
- 30
5
-4,5
-5 1
2
-8
-1 1
3
-7
5
11. Completa com os sinais > , < ou = , de modo a obteres afirmações verdadeiras.
11.1
–16 _______ –13
11.2
0 _______ |+4|
11.3
|–12| _______ |12|
65
–38 _______ –᎑
5
1
11.5 –19 _______ –9 ᎑
2
11.4
11.6
11.7
1
–7 ᎑
2
_______ –8,5
1
2,25 _______ 1 ᎑
4
25
1
11.9 –3 ᎑ _______ – ᎑
8
8
11.8
–1,8 _______ +1,8
12. Coloca os pontos O 0 , P –1 , Q 6,5 e R –2,5 na seguinte a reta numérica.
-2
6
13. Qual é o número inteiro cujo simétrico está entre 8,5 e 9,5?
14.
Pensei num número
inteiro maior do que –15
e menor do que –11, cujo
simétrico é número primo.
Descobre em que
número pensei.
15. Escreve dois números racionais maiores
3.
do que –1,57 e menores do que – ᎑
2
16. Escreve um número racional maior do
5 .
2 e menor do que – ᎑
que – ᎑
3
12
Manual (volume 2)
1. Utiliza segmentos orientados para calcular:
1.1 (+3) + (–7)
1.3
-8 -6 -4 -2
0
2
4
6
(–5) + (+8)
8
1.2 (–2) + (–6)
-8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
1.4 (+6) + (–5)
-8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8
-8 -6 -4 -2
Enc. Educ.
ficha
23
Adição de números racionais
Págs. 42 a 45
NÚMEROS RACIONAIS 77
2. Calcula:
2.5
(+8) + (–8)
2.9
(–24) + (–4)
2.2
(–30) + (–20)
2.6
(+11) + (–15)
2.10
(–30) + (+40)
2.3
(–30) + (+20)
2.7
(–5) + 0
2.11
(–19) + (+19)
2.4
(+30) + (–20)
2.8
0 + (–18)
2.12
(–43) + (–3)
Prof.
(+30) + (+20)
Avaliação
2.1
3.1
… Paris era –6 oC. Aumentou 12 oC. Agora é ____________________________
3.2
… Oslo era –8 oC. Desceu 7 oC. Agora é __________________________________
3.3
… Moscovo era –18 oC. Desceu 9 oC. Agora é ____________________________
Turma
3. A temperatura em…
4. Escreve dois números inteiros cuja soma seja:
–11
4.2
7
4.3
Zero
N.o
4.1
5. Perderam-se os sinais! Descobre-os e completa as seguintes expressões.
(–6) + (
1) = –7
5.2
(
5) + (–2) = 3
5.3
(
5) + (
5) = 0
6. Qual é o número inteiro que adicionado com –12 dá –30?
7. Escreve em linguagem simbólica e calcula:
7.1
a soma de menos nove com o simétrico de dezoito;
7.2 o simétrico da soma de 12 com o simétrico de menos um.
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
5.1
78 NÚMEROS RACIONAIS
ficha
23
Cont.
8. Utiliza segmentos orientados para calcular:
1
1
8.1 – ᎑ + + ᎑
2
3
冢 冣
-1
0
1
冢 冣
5
1 + –᎑
8
4
8.2 – ᎑
2
-1
0
1
9. Identifica a adição que cada figura traduz e indica a sua soma.
9.1
9.2
S
-2
-1
0
1
S
2
-3
3
-2
-1
0
1
10. Calcula:
冢 冣
10.4
+0,15 + (–0,2)
10.7
11
2 + –᎑
–᎑
12
3
冢 冣
10.5
2
– ᎑ + (–0,4)
5
10.8
1 + (+0,1)
–3 ᎑
5
冢 冣
10.6
1
–3 + 2 ᎑
2
10.9
7
5 + –᎑
–᎑
10
4
11.3
–2,8 + (+5,8)
10.1
5
3
–᎑ + –᎑
4
2
10.2
5
7
+᎑ + –᎑
3
6
10.3
1
2
–᎑ + +᎑
7
14
冢 冣
冢 冣
11. Calcula e indica se o resultado pertence a ZZ .
4
2
11.1 – ᎑ + (–6)
4
5
11.2 –᎑+ (+1,8)
12. Escreve em linguagem simbólica e calcula:
12.1
a soma de três décimas com o simétrico de dois terços;
12.2 o módulo da soma de doze décimas com menos um meio.
13. Verdadeiro ou falso?
13.1
冢 冣
13.3
1
1,5 + –1 ᎑ = 0
2
冢 冣
13.4
1
–2,5 + – ᎑ ∉ ZZ
2
1
1
3
– ᎑ + – ᎑ > –1 ᎑
4
2
4
1
5
7
+ –1 ᎑ < ᎑
3
6
5
13.2 ᎑
冢 冣
冢 冣
2
3
4
Manual (volume 2)
1. Utiliza segmentos orientados para calcular:
1.1
–2 – (–4)
-3 -2 -1
1.2
0
1
2
–1 – (+1)
-2
3 4
-1
0
1
2
3
Enc. Educ.
ficha
24
Subtração de números racionais
2. Identifica a subtração que cada figura traduz e indica a diferença.
2.1
2.2
D
Págs. 46 a 49
NÚMEROS RACIONAIS 79
D
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Prof.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
3. Calcula, sabendo que a diferença entre dois números racionais equivale à soma do aditivo com
o simétrico do subtrativo.
3.5
(–7) – (–11)
3.9
(–18) – (+8)
3.2
(+15) – (–13)
3.6
(–18) – (+17)
3.10
(+29) – (–14)
3.3
(–8) – (+1)
3.7
(–27) – (–27)
3.11
(+100) – (–100)
3.4
(–13) – (–6)
3.8
(–13) – (+9)
3.12
5 – (+16)
Avaliação
(+12) – (+20)
Turma
3.1
4. Num determinado dia, as temperaturas médias em quatro cidades foram:
–3 oC
–5 oC
–2 oC
5. Escreve em linguagem simbólica e calcula:
5.1
a diferença entre sete e o simétrico de menos três;
5.2
o valor absoluto da diferença entre menos nove e menos treze.
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
Calcula a diferença entre a temperatura média mais alta e a temperatura média mais baixa.
N.o
–6 oC
80 NÚMEROS RACIONAIS
ficha
24
Cont.
6. Utiliza segmentos orientados para calcular:
4
6.1 –1 – + ᎑
3
冢 冣
-3
-2
-1
0
1
2
6.2
冢 冣
5
2 – –᎑
2
-4 -3 -2 -1
3
0
1
2
3
4
7. Calcula, depois de observares o exercício resolvido.
冢 冣
冢 冣 冢
冣
3
5
5
5
1 + –᎑
8
1 – +᎑
–᎑
= –᎑
= – ᎑ + ᎑ = –᎑
9
9
9
9
3
3
9
7.1
冢 冣
1
–4 – + ᎑
2
1
–1 ᎑ – (+3)
7
7.7
1
2 – +᎑
᎑
4
3
5
1
– –᎑
4
2
冢 冣
7.5
1
–2,8 – + ᎑
2
冢 冣
7.8
1
9 – +᎑
–᎑
5
4
2,5 – (+1,5)
7.6
1
3 – –᎑
–᎑
4
2
冢 冣
7.9
1
1 – –᎑
–3 ᎑
4
6
7.2 ᎑
7.3
冢 冣
7.4
冢 冣
冢 冣
1 e B
8. Recorrendo à reta numérica, calcula a distância entre os pontos A – ᎑
–2 .
3
9. Verdadeiro ou falso?
9.1
⎜5 – 3⎢ = ⎜3 + (–5)⎢
9.2
1
– 2 – +᎑
2
⎢ 冢 冣⎢ > ⎜–2⎢
冢 冣
9.3
5
1
–5 – – ᎑ < – ᎑ + (–1)
7
7
9.4
200
–1 – (+1000) > – ᎑
᎑
2
10. A diferença entre duas temperaturas é 22 oC. Se uma das temperaturas é 14,5 oC, qual pode ser
a outra? Justifica a tua resposta.
11. Um submarino está a 64 metros de profundidade (–64) e um tubarão está 15 metros acima
dele. Se o submarino subir 12 metros e o tubarão 10 metros, a que profundidade se encontra
cada um deles? Qual é agora a distância entre eles?
12. Usando a noção de distância entre dois pontos, explica o significado de ⎜5 – (–3)⎢ .
13. Completa a tabela.
+
–3
–8
+7
–1
+5
–6
–10
0
Em que ano morreu?
Págs. 50 e 51
1 Um sábio nasceu no ano 287 a.C. e morreu com 58 anos.
81
Manual (volume 2)
problemas
5
NÚMEROS RACIONAIS
1
2 Numa reta numérica, a abcissa do ponto A é – ᎑
.
2
3 Descobre o sinal em falta nas igualdades seguintes.
冢
1
5
冣
3
3
᎑ =᎑
3.1
1,2 +
3.2
冢
3.3
1᎑ –
3.4
–᎑
1
4
冣 冢 2冣
1
4
8
冣
4
2
᎑ =᎑
冢– ᎑2 冣 = –0,25
1
Avaliação
3
4
冢
Prof.
᎑ + – ᎑ = –0,25
1
2
Enc. Educ.
Quais são as abcissas dos pontos cuja distância ao ponto A é 2?
4 Observa as sequências seguintes. Admitindo que há uma regularidade que se mantém, determina,
em cada uma, o termo seguinte.
5 , 1 , –3 , –7 , –11 , …
4.2
–2,5 ; –3 ; –3,5 ; –4 ; –4,5 ; …
N.o
Turma
4.1
6 Coloca por ordem decrescente:
–2,93 ; –29,3 ; –0,293 ; 2,93 ; –2,39
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
5 Escreve dois números racionais compreendidos entre –8 e –8,1 .
82 NÚMEROS RACIONAIS
problemas
5
Cont.
7 Na reta numérica marca os pontos A , B , C e D , cujas abcissas são respetivamente:
1
1
4
2
– ᎑ ; – ᎑ ; 1 ᎑; ᎑
3
6
2
3
2
8 O número de operários numa fábrica é ᎑
do número de operárias.
3
Se o total de trabalhadores é 75, quantos são os operários e as operárias?
9 Numa caixa estão berlindes vermelhos, amarelos e azuis: 20% dos berlindes são vermelhos, 40%
são amarelos e o número de berlindes azuis é 80.
Quantos berlindes há na caixa?
10 Escreve em linguagem simbólica e calcula:
10.1
a diferença entre cento e vinte e cinco centésimas e o simétrico de três quartos;
10.2
o simétrico da soma de menos um sétimo com menos um terço;
10.3
três quartos da soma de uma centésima com vinte e três centésimas.
11 Verdadeiro ou falso?
•
3
– ᎑ ∈ ZZ
5
•
0 ∉ IN
•
12
– ᎑ ∉ ZZ
3
•
IN ⊂ ZZ
12 O João pratica natação num clube. O clube oferece as seguintes condições:
A: pagar 30 € por ano e 1,5 € por cada entrada.
B: pagar 3,5 € por cada entrada.
Se, num ano, o João vai à piscina pelo menos duas vezes por mês, qual é a opção que deve escolher?
Mostra como chegaste à tua resposta.
saber
fazer 12
ISOMETRIAS DO PLANO 83
Como saber se dois triângulos são iguais?
Têm de obedecer a um dos três critérios seguintes:
• Os três lados de um serem respetivamente iguais
aos três lados do outro – LLL.
• Terem, de um para o outro, dois lados iguais e o
ângulo por eles formado também igual – LAL.
• Terem, de um para o outro, um lado igual e os dois
ângulos adjacentes a esse lado iguais – ALA.
Em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.
Em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais.
Como reconhecer e caracterizar uma reflexão central, uma reflexão axial e uma
rotação?
M'
= O'
O=
A
A'
P'
R'
C
B
r
Rotação de centro O e
amplitude de rotação α é
uma transformação geométrica que a cada ponto P
faz corresponder a sua
imagem,
ponto P’, tal
—– o—–
que: OP = OP’ e P’ÔP = α .
B'
α
P
C'
O
+
Turma
M
Reflexão axial de eixo r é
uma transformação geométrica em que cada ponto e a
sua imagem estão à
mesma distância da reta,
ou eixo de reflexão r , e o
segmento de reta que une o
ponto à sua imagem é perpendicular a r .
R
Pratica
A
1. Observa o triângulo [ABC] e constrói as imagens A’ , B’ e C’
dos pontos A , B e C , respetivamente, pela reflexão central de
centro B .
Justifica que os triângulos [ABC] e [A’B’C’] são iguais.
C
B
M
2. Observa o triângulo [MNP] e o eixo r . Constrói as imagens M’ ,
N’ e P’ dos pontos M , N e P , respetivamente, pela reflexão
axial de eixo r . Mostra que os triângulos [MNP] e [M’N’P’] são
iguais.
r
N
P
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
A reflexão central, a reflexão axial e a rotação são isometrias. Conservam os comprimentos e
conservam as amplitudes dos ângulos.
N.o
Reflexão central de centro O é uma transformação geométrica que a cada
ponto M do plano associa
o ponto M’ , imagem de M ,
tal que:
• os pontos M , O e M’ pertencem à mesma reta;
• o ponto O é o ponto médio
do segmento de reta
—–– —––
[MM’] , isto é, MO = M’O .
84 ISOMETRIAS DO PLANO
45˚
A
O
A’ é a imagem de A pela
rotação de centro O ,
sentido positivo e amplitude 45o.
triz
Para obteres a imagem do ponto A pela rotação de centro O ,
sentido positivo e amplitude 45o , tens de:
• unir o ponto O com o ponto A ;
• colocar o transferidor com centro em O e o zero alinhado
com o ponto A , e marcar o ângulo de 45o;
—–
• com o compasso com centro em O e raio OA , desenhar o
arco AA’ .
+
A'
Como construir a imagem de um ponto por rotação?
Como construir a mediatriz de um segmento de reta?
Mediatriz de um segmento de reta num dado plano é a reta perpendicular a esse segmento no ponto médio.
Os pontos da mediatriz de um segmento de reta são equidistantes
dos extremos desse segmento de reta.
me
dia
saber
fazer 12
Cont.
A
M
B
Como construir a bissetriz de um ângulo?
A
O
B
P
Com o compasso com centro no ponto O , traça-se o arco AB ; com
centro em A e em B , e com a mesma abertura do compasso,
•
traçam-se dois arcos que se cruzam em P . Traça-se O P , que é a
bissetriz do ângulo BOA .
Quando é que uma reta r é eixo de simetria de uma figura plana?
Quando as imagens dos pontos da figura pela reflexão de eixo r formam a mesma figura.
Que tipos de simetria podemos observar na figura?
O quadrado tem simetria de reflexão, ou axial: admite quatro eixos
de simetria. O quadrado tem simetria de rotação, ou rotacional, de
ordem 4 (90o, 180o, 270o e 360o), isto é, coincide com ele próprio quatro vezes durante uma volta completa.
O
Pratica
A
3. Constrói a imagem A’ do ponto A pela rotação de centro
O , sentido negativo e amplitude 60o.
O
4. Constrói a mediatriz do segmento de reta [BC] .
5. Constrói o ângulo AÔD = 80 o e traça a bissetriz desse
ângulo.
C
B
ISOMETRIAS DO PLANO 85
Págs.66 a 79
Manual (volume 2)
1. Observa o triângulo [MNP] representado na figura seguinte.
ficha
25
Isometrias
P
M
Constrói os transformados M’ , N’ e P’ dos pontos M , N e P , respetivamente, pela
reflexão central de centro P .
1.2
Justifica que o triângulo [M’N’P’] obtido em 1.1 é congruente com o triângulo [MNP] .
1.3
Mostra que a reflexão central de centro em P conserva a distância entre os pontos M e N .
Prof.
1.1
Enc. Educ.
N
B
Avaliação
2. Na figura estão representados o triângulo [ABC] e a reta r .
r
C
Turma
A
Constrói os transformados A’ , B’ e C’ dos vértices A , B e C do triângulo, respetivamente,
pela reflexão axial de eixo r .
2.2
Prova que os triângulos [ABC] e [A’B’C’] são congruentes.
3. O polígono [A’B’C’D’E’] é imagem do polígono [ABCDE] por
uma reflexão central. Descobre o centro dessa reflexão central.
B
A
D
E
C'
B'
C
E'
D'
A'
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
N.o
2.1
86 ISOMETRIAS DO PLANO
ficha
25
Cont.
4. A figura ao lado é formada pelo triângulo [ABC] e pelo
semicírculo de diâmetro [AB] .
4.1
Constrói a imagem da figura pela reflexão central de centro O .
4.2
—–
—–
—–
Sendo AB = 2 cm , BC = 1,5 cm e AC = 2,5 cm , determina
a área e o perímetro da figura (usa π ≈ 3,1416 ).
4.3
Qual é a área e o perímetro da imagem da figura que
obtiveste em 4.1? Justifica a tua resposta.
A
O
B
C
5. Desenha a imagem de cada figura por reflexão axial.
de eixo r
de eixo s
de eixo t
r
t
s
—–
—–
6. Constrói o triângulo [ABC] , tal que AB = 2 cm , BC = 3,5 cm e AB̂C = 120o .
Determina o ponto médio de um dos lados e designa-o por M . Constrói o transformado de cada
um dos vértices do triângulo pela reflexão central de centro M e designa a imagem de B por D .
Prova que o quadrilátero [ABCD] é um paralelogramo.
7. Comenta a afirmação, justificando: «A figura B é transformada da
figura A por uma reflexão central de centro O .»
O
A
8. Constrói a imagem do triângulo [MNP] pela reflexão axial de eixo r .
B
M
N
r
P
ISOMETRIAS DO PLANO 87
2. Na figura seguinte está representado o quadrilátero [ABCD] e o ponto B’ , imagem do ponto B
por uma rotação de centro A . Constrói as imagens dos restantes vértices do quadrilátero por
essa rotação.
B
Págs. 66 a 79
Manual (volume 2)
1. Constrói um triângulo equilátero de perímetro 7,5 cm. Designa-o por [RST] . Constrói as
imagens R’ , S’ e T’ dos pontos R , S e T , respetivamente, pela rotação de centro O (ponto
exterior ao triângulo), sentido positivo e amplitude 80o.
Justifica que o triângulo [R’S’T’] é equilátero.
Enc. Educ.
ficha
26
Isometrias
C
A
Prof.
B'
D
Avaliação
3. Na figura seguinte estão representados:
• o segmento de reta [CD] ;
• o ponto M , ponto médio do segmento de reta [CD] ;
r
M
D
N.o
Turma
• a reta r , perpendicular a [CD] no ponto médio M .
3.1
Que nomes dás à reta r relativamente a [CD] ?
3.2
Assinala um ponto P na reta r não pertencente a [CD] e traça os segmentos de reta
[PC] e [PD] .
Justifica que os triângulos [PCM] e [PMD] são iguais.
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
C
88 ISOMETRIAS DO PLANO
ficha
26
Cont.
4. Na figura ao lado, os pontos A’ , B’ e C’ são imagens dos
pontos A , B e C por uma reflexão axial de eixo r . Traça na
figura o eixo de reflexão r .
A
A'
B
B'
C
C'
5. Desenha um ângulo de amplitude 120o e traça a respetiva bissetriz.
6. Constrói um retângulo com 12 cm de perímetro e 2 cm de largura. Traça os respetivos eixos
de simetria do retângulo. Calcula a área do retângulo.
7. Completa a figura ao lado de modo que a linha a azul seja eixo de simetria da figura.
8. Qual é a imagem do triângulo B por uma rotação de centro O ? Qual é o
ângulo e o sentido da rotação?
A
B
O
C
9. Desenha uma figura que tenha um centro de simetria, mas que não tenha eixo de simetria.
Justifica.
10. Se o triângulo [A’B’C’] é imagem do triângulo [ABC] por uma
reflexão axial, traça o eixo de reflexão.
C
B
B'
A
C'
A'
Págs. 80 a 85
27
ficha
1. Averigua se os polígonos seguintes admitem simetria de reflexão e simetria de rotação.
Em caso afirmativo, desenha o(s) eixo(s) de simetria e identifica a ordem de rotação.
Manual (volume 2)
ISOMETRIAS DO PLANO 89
Simetria de reflexão. Simetria de rotação.
Construção de frisos. Construção de rosáceas
Retângulo
Triângulo equilátero
Quadrado
Enc. Educ.
Quadrilátero
Paralelogramo
Pentágono regular
Octógono regular
2. Observa as seguintes figuras.
A
B
C
D
Turma
Avaliação
Prof.
Triângulo isósceles
3. Completa a figura ao lado de modo que a linha a tracejado seja eixo
de simetria da figura.
A figura que obtiveste admite simetria de rotação?
Se sim, de que ordem?
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
N.o
Descreve as simetrias que cada uma das figuras admite.
90 ISOMETRIAS DO PLANO
4. Descreve as simetrias que observas em cada rosácea.
ficha
27
Cont.
A
B
5. Observa os seguintes frisos (bandas decoradas com um motivo que se repete infinitamente).
A
B
5.1
Que tipo de transformações geométricas observas em cada friso?
5.2
Constrói um friso, partindo de um motivo a teu gosto, e completa a seguinte rosácea de
modo a admitir simetria de rotação de grau 6.
6. Observa as figuras e completa.
3
1
2
6.1 A figura que não tem simetria de reflexão é a figura número ____________ .
6.2 A figura que tem simetria de reflexão e de rotação é a figura número ____________ .
6.3 A figura que não tem simetria de rotação é a figura número ____________ .
vértices do triângulo [A’B’C’] .
Págs. 86 e 87
1 Constrói a imagem do triângulo [ABC] pela reflexão axial de eixo Ox . Indica as coordenadas dos
91
Manual (volume 2)
problemas
6
ISOMETRIAS DO PLANO
y
4
2
2
4
A
x
C
B
Enc. Educ.
0
2 Na figura seguinte estão representados um quadrilátero e a sua imagem por uma reflexão axial.
Prof.
Traça o eixo de reflexão ( A’ é a imagem do ponto A ).
A'
Avaliação
A
4 Desenha uma circunferência de centro C com 2 cm de diâmetro. Assinala sobre essa circunferência
um ponto P e constrói a imagem da circunferência que traçaste na reflexão central de centro P.
Qual é a área de cada uma dessas duas figuras? Justifica (usa π ≈ 3,1416 ).
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
N.o
Turma
3 Qual é a ordem da simetria de rotação da seguinte figura?
92 ISOMETRIAS DO PLANO
problemas
6
Cont.
5 Completa a figura de modo que admita simetria rotacional de ordem 4.
6 Completa a figura de modo que admita simetria
rotacional de ordem 2.
7 O triângulo [A’B’C’] é imagem do triângulo [ABC] por uma rotação. Determina o centro da
rotação.
B
C'
B'
C
A'
A
8 Descreve as simetrias que observas em cada uma das figuras.
8.1
8.2
9 Observa a figura ao lado. Qual é o triângulo que é imagem do
triângulo 2 por rotação de centro O e ângulo de amplitude 270o
no sentido dos ponteiros do relógio? A figura admite simetria de
reflexão? E de rotação? Calcula a área da figura.
1
O
2
4
3
0,5 cm
Como distinguir dados quantitativos de dados qualitativos?
Exemplos:
O número de alunos das turmas
da minha escola é um dado
quantitativo.
Porque se
pode contar e
toma valores
isolados: 25;
30; 28…
A temperatura do meu corpo
é um dado quantitativo.
Porque se
pode medir e pode
tomar todos os
valores num certo
intervalo: 36,7o;
37,5o…
A qualidade das refeições, na
minha escola, às vezes é boa,
outras é má e outras razoável –
é um dado qualitativo.
Como interpretar um gráfico circular?
Porque não se
pode medir
nem contar.
Despesas mensais
Exemplo: despesa mensal de uma família que recebe 1575 € por mês.
Saúde
10%
O círculo corresponde a 100%, logo as «Outras despesas», em
percentagem, correspondem a:
Alimentação
30%
Outras
100% – (32% + 30% + 10% + 5%) = 23%
despesas ...
Sendo assim, «Outras despesas», em euros, é:
23% × 1575 = 362,25
Renda
de casa
A maior despesa é com a «Renda da casa» que é, em euros:
32%
Educação
32% × 1575 = 504
5%
Turma
saber
fazer 13
REPRESENTAÇÃO
E TRATAMENTO DE DADOS 93
1. Classifica os dados: «cor dos olhos»; «tempo que demoras a chegar à escola»;
«número de chamadas telefónicas feitas num dia, na tua escola»; «duração de uma
chamada telefónica», «tempo de espera num consultório médico», «qualidade do
atendimento na loja do cidadão».
Desporto favorito
TEXTO
2. Observa o gráfico circular que se refere ao desporto favorito
de 400 estudantes.
2.1 Qual é o desporto mais popular?
Futebol
35%
2.2 Que percentagem de alunos prefere basquetebol?
2.3 Quantos alunos preferem natação?
Voleibol
30%
Basquetebol
Natação
20%
?
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
N.o
Pratica
REPRESENTAÇÃO
94 E TRATAMENTO DE DADOS
saber
fazer 13
Cont.
Como construir um gráfico circular?
Representamos, num círculo, a distribuição das frequências
relativas usando setores circulares.
Para obter a amplitude, em graus, do ângulo de cada setor, multiplica-se a frequência relativa por 360o.
Setor
circular
Exemplo: numa turma com 20 alunos registou-se, no final de uma
semana, o número de horas que cada aluno passou na Internet.
Número
de horas
Frequência
absoluta
2
2
2 : 20 = 0,1
10%
0,1 × 360o = 36o
3
5
5 : 20 = 0,25
25%
0,25 × 360o = 90o
4
8
8 : 20 = 0,4
40%
0,4 × 360o = 144o
5
5
5 : 20 = 0,25
25%
0,25 × 360o = 90o
Total
20
100%
360o
Frequência
relativa (%)
1 ou
Amplitude
do ângulo do setor
Número de horas na Internet
Utilizando um transferidor, marcaram-se os ângulos, de modo
a obter-se o gráfico circular representado ao lado.
4 horas
40% 144°
5 horas
25%
36°
2 horas
10%
3 horas
25%
Como determinar a moda, a média aritmética, os extremos e a amplitude de um
conjunto de dados?
Tendo em conta o exemplo anterior:
Moda: 4 – dado que ocorre com mais frequência.
2×2+3×5+4×8+5×5
Média aritmética: = 3,8
20
Extremos: valor mínimo e valor
máximo do conjunto de dados
numéricos: 2 e 5, respetivamente.
Amplitude: diferença entre o valor
máximo e o valor mínimo: 5 – 2 = 3
Pratica
3. A tabela refere-se ao número de irmãos de 200 alunos.
Número de irmãos
0
Frequência absoluta 40
1
2
3
4
80
54
20
6
Constrói o gráfico circular e determina a moda, a média aritmética, os extremos e a amplitude deste conjunto de dados.
1.2
Formula duas questões que possam ser incluídas nesse estudo.
1.3
Qual é a unidade estatística?
2. Formula quatro questões para as quais obtenhas
resposta no gráfico ao lado.
Frequência absoluta
Idades dos alunos de uma turma
Págs. 102 a 105
Enc. Educ.
1. O computador está presente em grande parte das casas dos 600 alunos de uma escola.
Para a realização de um estudo estatístico, escolheram-se 80 alunos dessa escola e inquiriram-se sobre o uso do computador.
1.1 Indica, para este conjunto de dados, a população e a amostra.
8
6
4
2
0
8
9
10
11
Idade em anos
Prof.
ficha
28
Formulação de questões.
Natureza dos dados. Gráficos circulares
Manual (volume 2)
REPRESENTAÇÃO
E TRATAMENTO DE DADOS 95
3.1
Número de cartas numa caixa do correio.
3.2
Estado civil de um indivíduo.
3.3
Número de passageiros no autocarro da escola.
3.4
Tamanho de sapato.
3.5
Altura das pessoas presentes num cinema.
3.6
Profissão de um indivíduo.
Avaliação
3. Classifica os seguintes dados em quantitativos e qualitativos.
Turma
4. Dá dois exemplos de dados qualitativos.
Fonte: Público, 01/12/1010
4%
5%
18%
2%
28%
Balança alimentar
portuguesa
1%
Cereais e tubérculos
Hortícolas
6%
16%
Frutos
30%
Laticínios
Carne, ovos e pescado
20%
23%
20%
13%
14%
Leguminosas
Óleos e gorduras
Compara os dados fornecidos pelos dois gráficos circulares e faz um registo escrito de modo a
tirar conclusões sobre a dieta portuguesa.
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
Roda
dos alimentos
N.o
5. Observa a roda dos alimentos e o gráfico circular que o INE (Instituto Nacional de Estatística)
divulgou sobre os hábitos alimentares dos portugueses.
REPRESENTAÇÃO
96 E TRATAMENTO DE DADOS
ficha
28
Cont.
6. Observa o gráfico circular ao lado, que mostra a distribuição
dos vários nutrientes num pacote de cereais.
6.1
6.2
Nutrientes num pacote
de cereais
Que fração dos nutrientes corresponde às gorduras?
E às fibras?
Gorduras
Hidratos
de
carbono
36°
108°
Qual é a percentagem de cada um dos nutrientes?
Fibra
108°
Proteínas
6.3
Quantos gramas destes nutrientes há em 50 g destes cereais?
7. Observa o gráfico ao lado.
7.1
Dieta ideal de
um desportista
Quais os alimentos que devem ser
consumidos em menor quantidade por
um desportista?
Vegetais, batata e fruta
5% 8%
Doces e marmeladas
9%
7.2
Em que percentagem os laticínios
devem entrar na dieta?
Leite e queijos
Carnes e enchidos
?
35%
Ovos
Peixe
13%
7.3
5%
Comenta a seguinte afirmação:
«A alimentação de um desportista deve
ser pobre em pão, massa, arroz e carne.»
8. Perguntou-se a idade a 36 alunos
de uma escola. Observa ao lado os
resultados da recolha de dados.
Pão, massa e arroz
13%
Álcool
11
12
13
12
11
13
12
12
11
12
12
13
12
13
11
13
13
12
14
12
14
12
14
12
12
13
13
12
13
12
11
14
12
14
11
14
8.1
Organiza os dados numa tabela
de frequências absolutas e relativas.
8.2
Constrói um gráfico de barras e um gráfico circular desta distribuição de dados.
8.3
Calcula a média, a moda e a mediana desta distribuição.
1. O número de veículos estacionados num parque de estacionamento de uma autoestrada é distribuído da seguinte maneira:
• Motorizadas – 40
• Camiões – 50
• Autocarros – 30
• Automóveis – 80
Págs. 106 e 107
ficha
29
Extremos e amplitude. Média e moda
Manual (volume 2)
REPRESENTAÇÃO
E TRATAMENTO DE DADOS 97
Organiza os dados numa tabela de frequências absolutas e relativas e num gráfico circular.
• Ilhas – Marítimo; Nacional
• Sul – Portimonense; Olhanense; V. Setúbal
Distribuição por zonas das equipas
do campeonato de 2010/2011
• Grande Lisboa – Benfica; Sporting
Enc. Educ.
2. A distribuição por zonas das 16 equipas do Campeonato de Futebol de 2010/2011 é a seguinte:
• Centro – Académica; Beira-Mar; União de Leiria; Naval
• Norte – Sp. Braga; V. Guimarães
SUL
Portimonense
Olhanense
V. Setúbal 67,5°
3
Prof.
• Grande Porto – F.C. Porto; P. Ferreira; Rio Ave
Com esta informação, faz os cálculos necessários
e completa o gráfico ao lado.
Avaliação
3. A média de três números é 15,2. Qual é a soma dos números?
5. A professora registou no quadro o conjunto de dados representado ao lado.
6. O Zé comprou cerejas nas frutarias A, B e C: na A, 1 kg por 2,70 €; na B, 2 kg por 5 €; e na C,
5 kg por 7,50 € .
Calcula o preço médio, em euros, do quilograma de cerejas, tendo em conta o número total de
quilogramas de cerejas.
Nome
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
O Rodrigo afirmou: «Os extremos são 29 e 23.»
A Maria disse: «Então, a amplitude é 6.»
O João acrescentou: «A média é igual à moda.»
Comenta as afirmações dos três alunos, justificando.
29
23
21
29
23
N.o
Turma
4. A média de sete números é 8. Retirou-se um número e a média dos seis números restantes é 9.
Que número se retirou? Explica o teu raciocínio.
REPRESENTAÇÃO
98 E TRATAMENTO DE DADOS
7. Na turma 5.o A, todos os alunos estudam música.
A tabela ao lado mostra o número de horas que cada aluno
dedica diariamente à música.
7.1
Completa o gráfico de barra dupla, a partir da
tabela.
7.2
Representa, num gráfico circular, a informação
relativa ao número de horas dedicadas à música,
por dia, pelas raparigas da turma.
7.3
Número
de horas
2
3
4
Rapazes
Raparigas
3
5
1
2
8
6
Horas dedicadas à música por dia
Número de alunos
ficha
29
Cont.
Com os dados da tabela, indica a moda e a média
aritmética do número de horas dedicadas à
música pelos rapazes da turma.
Rapazes
Raparigas
8
6
4
2
0
2 horas
Números de horas
8. O gráfico circular representado ao lado apresenta os resultados
de 24 equipas de hóquei em patins, num fim de semana. Cada
equipa jogou uma única vez.
8.1
Quantas equipas ganharam?
8.2
Quantas equipas empataram?
Vitórias
Derrotas
Empates
8.3
Por que razão a amplitude do ângulo do setor das vitórias é a
mesma da do ângulo do setor das derrotas?
9. Observa a tabela seguinte, que mostra a altura de uma planta ao longo de oito semanas à
medida que foi regada.
Semanas
1
2
3
4
5
6
7
8
Altura (cm)
2
3
6
7
10
11
13
15
O Zé inseriu os dados no computador e está hesitante entre o gráfico que deve traçar: gráfico
de linhas ou gráfico circular.
Qual parece ser, nesta situação, o gráfico mais vantajoso? Porquê?
SOLUÇÕES 99
Soluções
capítulo 1
NÚMEROS NATURAIS
Saber fazer 1 Págs. 3 e 4
1. 200 = 23 × 52 ; 242 = 112 × 2 ;
63 × 6 × 65 = 69
67 × 62 × 6 = 610
2
3
42 × 42 = 25
冢 冣 冢 冣
5.1 85
5.2 112
147 = 3 × 72 ; 315 = 32 × 5 × 7
7.1 =
7.2 =
5.3 206
5.4 0,13
3.1 m.d.c. (48, 80) = 16 ; m.m.c. (48, 80) = 240
3.2 m.d.c. (72, 100) = 4 m.m.c. (72, 100) = 1800
3.3 m.d.c. (36, 270) = 18 ; m.m.c. (36, 270) = 540
Ficha 1 Págs. 5 e 6
1.1 É primo, porque não é divisível por 2,
3, 5, 7, 11 e 59 11
5 < 11
04 5
1.2 É primo, porque 127 não é divisível
por 2, 3, 5, 7, 11 e 127 13 9 < 13
10 9
1.3 Não é primo, porque é divisível por 3,
7 e 11.
1.4 Não é primo, porque é divisível por 17.
2.1 56 = 23 × 7 2.3 250 = 2 × 53
2.2 108 = 22 × 33 2.4 4004 = 22 × 7 × 11 × 13
3.1 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, 500
3.2 1, 2, 59, 118
3.3 1, 3, 5, 15, 25, 75
4
128
1
4.1 , 4.2 , 4.3 3
4
95
5.1 12
5.2 2
5.3 6
6.1 2580
6.2 360
6.4 1680
133
6.5 2580
7.1 9 e 4725
5.4 16
6.3 672
7.2 396 900; 33 075
8. Por exemplo: 22 × 52 × 7 e 23 × 5 × 72 .
9. 22 cm; 7 e 17
Saber fazer 3 Págs. 9 e 10
1.6 F; 104.
1.7 V
1.8 V
1.9 F; 94.
1.10 V
1.1 V
1.2 F; 64.
1.3 F; 54.
1.4 F; 93.
1.5 V
2. 0,16 ;
1.11 F; 2,33.
1.12 V
1.13 V
1.14 V
冢 冣
4.1 20,0001
TEXTO
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
1.1 25
1.2 32
1.4 1
1.5
2.1 1
3. 52 –
2.2 3
2
冢2 冣 = 24,75
1
82 + 130 =
4.
27
2
130
2
1.3 100 000
1.6 4,41
9
2.3 4
3
2.4 3
4
25
1
3.2 2
4. 75
3.3 102
冢 冣
3
3.4
3.5 0,12
冢3 冣
2
3
2
6.5
冢2 冣 = 4
1
1
3
3
63 × 64 = 67
64 × 62 = 66
1.8 1012
1.6 47
1.9 0,042
1.3 144
1.7 73
1.10 12
2.4 213
2.5 54
2.6 103
2.7 44
2.8 2
1.1
1.11 13
5
2
1.12 冢
3冣
1.13 153
8
1
32 ; 31 ; 61 ; 12
2.
9.2 4
1.2 F; 105
1.5 V
1.6 V
52 = 85
3.4 F; é igual
1.7 F; 0,576.
1.4 25, 36
7.5 29
7.6 0,225
冢2 冣
1
2.10 冢2冣
3.1 37
3.3 92
3.5 0,110
3.2 62
3.4 113
3.6 2,42
3
2
1.4 7
1.5 12
1.6 60
1.10 1,02
1.11 4,2
6
冢 冣 冢 冣
3. C
4.1 5n + 1 ; 51
4.2 3n – 1 ; 29
3.7 1,52
3
冢 冣
5.1 Não; 120 não é cubo de nenhum
79
200
número natural.
Nuno → calculou a medida da área
total e subtraiu a medida da área da
horta.
Jorge → determinou a medida do
comprimento do roseiral e achou a
medida da área do roseiral.
8. A medida da área total da figura; 96.
9.1 7
5.2 Ordem 7.
6.1
6.2
7.1 F
7.2 F
7.3 F
7.4 V
9.2 5
9.3 12
10.1 4 × 453
10.2 (45 × 4)3 ou 453 × 43
6.1 Por exemplo:
2 × 2
293 × 292 ; 3
3
5
冢3 冣
4
5.
6. Rui;
2.11 14
2.12 2
5.9 0,0005
5.10 0,3
3
冢4 冣
1.9 3
20
冢 冣
1.8 3
2
termos seguintes é a diferença entre
o termo anterior e 6.
O primeiro termo é 53 e cada um dos
termos seguintes é a soma do termo
anterior com 5,5.
1
O primeiro termo é e cada um dos
2
termos seguintes é metade do termo
anterior.
É a sequência dos quadrados dos
números naturais.
escreveu Os Lusíadas.
7
3.8 8
4.2 102 = 100
5.4 6
5.7 3
20
5.5 800
5.8
5.6 72
9
1.7 9,5
3. CAMÕES; maior poeta português, que
7
冢3 冣
2.13
1 1
16 32
2. O primeiro termo é 100 e cada um dos
2
2
冤冢3 冣 冥
(33 × 32) × (64 × 6)
1.8 F; 210.
2.5 2
2.6 252
2.7 153
2.8 9
3
logo ou 3 : 5 .
5
2 8 12
8
5. Por exemplo: = ; = 3 12 3
2
0,90 1,80
6. Não, porque = mas
1
2
2,5
diferente de .
3
1.2 69,5; 75
7.3 0,210
7.4 0,18
19 × (105 × 103)
12
2.1 42
2.2 6
2.3 55
2.4 22
1
2.2 Distributiva em relação à adição.
2.3 Comutativa e associativa;
31
15 57 127
; ; 7 7
7
1.3 , 4. 1013
1.4 F;
11
冢3 冣
2.1 Comutativa e associativa;
2
4.1 101 = 10
3.5 F; 18 000
3.6 F; 3,22a – b
Ficha 5 Págs. 17 e 18
9.4 5 9.5 4
1.3 V
4
3.3 V; 36 = 62
3.2
4. Há 3 partes coloridas para 5 brancas,
7
冢6 冣
1
3.1 8, 23, 48
1.1 82, 76
1.1 13
1.2 28
1.3 50
15
32 = 2
8.3 27,25 8.4 64 8.5
2.9
4
Ficha 6 Págs. 21 e 22
8.
7.4 63 7.5 63
9.3 13
9
冢5 冣
6. É o Diogo, porque 12 < 16 .
2
冢 冣
6.8 5 ×
16
9
2.9
2.10
1 ; 1 ; 1
12 15 18
1.2
5.2 Por exemplo: 489 : 29 ; 211 : 311
冢3 冣
冢 冣
1.1 V
5.1 40
5.2 48
5.3 10
1.5 25
1.2 302
7.1 0,16 4
2
7.2
5
243
3
6.7 = 32
2
冢3 冣 = 27
2
冢2 冣
2
4
16
52 = 625
6.6 4 ×
2
6.3 3 × = 2
3
6.4
1.1 83
5. 47
6.1 2 × 0,2 = 0,4
6.2
3.6
10
7
7
冢2 冣 × 2 = 3,511
Saber fazer 4 Págs. 19 e 20
2
冢 冣 冢 冣
5.1 Por exemplo: 29 × 129 ; 211 ×
2.1 104 2.2 105 2.3 107 2.4 1011
3
42 – 32 = 18,5
9.2 109 : 105
1
1
9.4 0,253 + 2 = × 4
4
4.1 25 4.2 83 4.3 33 4.4 214 4.5 23 4.6 113
33 = 3 × 3 × 3 e 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Ficha 3 Págs. 13 e 14
Saber fazer 2 Págs. 7 e 8
9.3 0,25 – 2 = 0,25 : 0,22
3.1 F; 1000
3.2 V; 35
Ficha 2 Págs. 11 e 12
1. A Maria, porque 72 = 7 × 7 ,
9.1 3
POTÊNCIAS DE
EXPOENTE NATURAL
9.1 63 × 62
2.1 23
2.2 4
2.3 612
33
16
4.2
3.1
SEQUÊNCIAS
E REGULARIDADES.
PROPORCIONALIDADE
DIRETA
7.9 >
7.10 =
1.4 243
3.1 3 × (5 + 1) = 3 × 5 + 3 × 1 = 18
3.2 17 – 10 = 7 3.3 2 : 2 = 1 3.4 (7 + 2)2 = 81
8.1 3,99 8.2
capítulo 2
7.7 =
7.8 <
capítulo 3
Ficha 4 Págs. 15 e 16
8
21
7.1 1,22 7.2 1,23 7.3 43
12. 390
7.5 <
7.6 >
8
2
3
10. 24 dias depois; 3 viagens e 2 viagens.
11. 50 cm
2
8. Por exemplo, 12 = 23 × 21 – 43 : 42
5.5 2,56
5.6 0,258
2. É primo, porque não é divisível por 2,
3, 5, 7, 11 e 149 13 como 11 < 13 ,
019 11
6
então posso afirmar que 149 é primo.
7.3 >
7.4 >
18
冢3 冣 : 冢3 冣
6.2 Por exemplo: 297 × 292 ;
9.4 2
4
5
6
18
22
26
6.3 4n + 2
6.4 Não, porque 81 não é a soma de um
múltiplo de 4 com 2.
7.1
n
n+1
8.1
2
42 ; 10
11. Por exemplo: 5 × 5 + 5 : 5 = 26
5 + 5 + 5 – 5 = 10
5:5+5:5=2
3
14
7.2
8.2
20
85 ; 11
n3
8.3 64,5 ; 400,5
100 SOLUÇÕES
3.2 A constante é 1,10 € e representa o
preço de 1 kg de açúcar.
9.1
4.2 艐72%
4.1 A marca A.
1
2
9.2 10 triângulos e 20 quadrados
9.3 3 × n , sendo n a ordem do termo
1 1 1 1
1
3 6 12 24 48
11. 52 – 4 , 62 – 5 , 72 – 6
12. C; 83
5.1 119o 23’; 60o 37’; 119o 23’
6.1 140 m2
6.2 10 m de comprimento por 6 m de
5.2 8 cm; 9 cm; 10 cm
11 1
1. = 440 40
2
2. 1
3. Meios: 3 e 2
Extremos: 1 e 6
Um está para três, assim como dois
está para seis.
B: ≈78,5 cm2;
C: ≈ 120,7016 cm2
4. 314 m2
Sim, pelo critério LAL.
5. 6,28 m2
6. 7,14 cm2
7. Comeram igual;
314 – (78,5 + 78,5) = 157; 157 : 2 = 78,5
6.1 Triângulo retângulo e escaleno.
6.2 6 cm2
8. A medida da área do círculo D é o
quádruplo da medida da área do
círculo C.
7. A circunferência tem centro no cen-
7. 1584 €
1
18
9.1 Outubro: 22 €; Novembro: 16 €
Dezembro: 8 €
22 16
9.2 Não; ≠ 7 4
8. Ficha 7 Págs. 23 e 24
4.1 a – exterior; b – tangente; c – secante
4.2 2 cm; 1,5 cm; 0,9 cm
5.1 863,3 libras
5.2 200 €
largura.
6.3 20%
10. , , , , 3. A: ≈ 9,8125 cm2
2. Setor circular. 3. V; F; V; V
tro do quadrado e raio 1,5 cm.
8. [AOC ] é igual a [ABC ] por LLL.
Ahexágono = 6 × A[ABC ] ; A[AEC ] = 3 × A[ABC ]
9.1 Porque são raios da circunferência.
9.2 Por LLL.
9.3 Porque são alturas relativas a bases
iguais em triângulos iguais.
9.4 21 cm
Problemas 2 Págs. 43 e 44
1. ≈ 24,6 m
2. ≈ 5,58 m
3. ≈ 75,9 cm
4. 36 cm
5. 43,31 €
6.1 28,26 cm2 6.2 6,28 cm2 6.3 54 cm2
4. 8 e 16
Ficha 10 Págs. 35 e 36
3 4
4,5 6
1
10
3
5.2 Por exemplo: = 0,9 27
5.1 Por exemplo: = 6.1 14
6.2 16
capítulo 4
6.3 1
1, 5 3
7. = 5
10
1.1 3,1416 → todos os quocientes são
constantes e são valores aproximados de π . O perímetro do círculo é
diretamente proporcional ao diâmetro.
FIGURAS GEOMÉTRICAS
PLANAS. PERÍMETRO
E ÁREA DE POLÍGONOS
E CÍRCULOS
2. 28π cm ; 87,9648 cm
Saber fazer 5 Págs. 29 e 30
2.1 O novo círculo terá
1.
8. Não, para 240 g de morangos devia
9. 10
10. 5%
11.1 14 m
11.2 112 m2
de cada croissant.
1,95 3,5
1.2 Não; ≠ 3
6
2.1 Triângulos equiláteros
Perímetro (cm): 1,5; 10,5; 6,75; 15
Quadrados
Perímetro (cm): 1,2; 12; 6
Área (cm2): 0,09; 9; 2,25
15
5
capítulo 5
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Saber fazer 7 Págs. 45 e 46
1. É poliedro, tem 2 bases congruentes
que são triângulos e 3 faces laterais que
são paralelogramos. Tem 6 vértices, 9
arestas e 5 faces. É prisma triangular.
F+V=A+2
5+6=9+2
3.
7. ≈51,4 m ; ≈35,7 m
8. ≈125,6 m
2. Hexágono.
9.1 4 dam
9.2 93 m
3. Prisma heptagonal.
10. 24,8 cm
11. 20,11 cm
4. Não. Sim; 18 arestas; 12 arestas.
polígono
circunscrito
polígono
inscrito
4.1 P = 2,4 × π dm ; ≈7,53984 dm
4.2 P = 4,8 × π dm ; ≈15,07968 dm
5. Deves desenhar um círculo com raio
0,8 cm.
6. 500 mm
2.2 Sim, = = = = 3
Saber fazer 6 Págs. 31 e 32
5. Por exemplo:
Ficha 11 Págs. 37 e 38
1. d = 8,16816 : 3,1416 = 2,6 cm ; r = 1,3 cm
2.1 12 cm
2.2 6 cm
2 cm
3.1 6 mm
3.2 5 cm
3.3 35 m
4. 24 m
5. 38 cm
6. 1,5 m
7. 21 m
8. 3 cm; 12,28 cm
3 cm
4 cm
1,5 cm
9. c = 18 cm ; l = 6 cm ; a = 8 cm
1.1
10. 19,2 cm
9
3
11.1 62,8 cm
11.2 10 cm
2.4 Não, ≠ ␲ × 3 cm
3 cm
Ficha 12 Págs. 39 e 40
3.2 F
2,598 cm
3.1 F
9. 26 cm
6.1 1,4 × π m ; 4,4 m 6.2 11 × π m ; 34,6 m
1.1 Sim; 0,80 €, que representa o preço
0,09
0,3
4. 10,71 cm
8. 2,28 cm2; ≈ 18%
2. Setor circular.
2.1 a – secante; b – tangente
Ficha 8 Págs. 25 e 26
6,75
10,5
2,25
3,5
12
1,2
6
2.3 Sim, = = = 4
3
0,3
1,5
3. 8,28 cm
5.1 31,416 cm 5.2 62,832 cm 5.3 21,9912 cm
12. 80% 13. Bombons: 2,6 €; Cenouras: 5,25€
1,5
0,5
círculo anterior porque P e d são
diretamente proporcionais.
2,5 cm
45°
usar 1,5 l de leite.
41 do perímetro do
7. 99,3 m2
3.3 V
4.1 112,5 km
4.2 160 min ou 2 h e 40 min
150 min ou 2 h e 30 min
5.1 21,25 €
5.2 1,5 kg
6.1 81 €
6.2 20 cedros
7.1 8200 €
7.2 2050 €
8. Escala 1 : 50 000
3 cm
1.2 A = 6 × A䉭
= 23, 382 cm2
P
ou A = × ap= 23,382 cm2
2
2. 6,96 c
2
3.1 A = 42,25π cm2 ; ≈132,7326 cm2
3.2 A = 22 500π cm2 ; ≈70 686 cm2
Problemas 1 Págs. 27 e 28
1.1 4,50 €
1.2 12,60 €
2.1 120
2.2 180
4. A → 0,775 cm2 ; 3,1 cm
1.1 ≈1553 cm2
1.2 ≈2340 cm2
1.3 ≈6930 cm2
2. 7,2 cm2 3. 226,9806 cm2 4. 15 960 cm2
5. 312 cm ; 25,1328 cm
6. 557,8 cm2
7. 1920 cm2 8. 4029,3 dm2 9. 1512 cm2
—–– —––
10.1 OB = OC = raio
10.2 CB̂O = OĈB = 54o ;
BÂE = 108o ; EÂF = 72o
10.3 75 m2
11. 272 cm2
B → 2,25 cm2 ; 8 cm
C → 1,8875 cm2 ; 5,55 cm
Ficha 13 Págs. 41 e 42
1. Valor exato: π cm2; 4 × π cm2.
3.1
Ficha 9 Págs. 33 e 34
4 kg
8 kg
0,4 kg
4,40 €
8,80 €
0,44 €
1.2 [ABCD]
1.1 [FEG]
1.3 Por exemplo, ângulo FOG .
1.4 [OH] ; [OE]
Valor aproximado: 3,1416 cm2;
12,5664 cm2.
2.1 r = 3 cm
2.2 ≈37,152 cm2
2.3 9 × π cm2; ≈28,26 cm2
Ficha 14 Págs. 47 e 48
1.1 Lente
1.2 Dado
1.3 Gelado
1.4 Caixa
1.5 Bola
1.6 Pisa-papéis
1.7 Chocolate
2. O cubo; o paralelepípedo; pirâmide
quadrangular; prisma triangular; são
todos sólidos geométricos limitados
só por superfícies planas.
3. A – prisma. 6; 12; 8.
B – pirâmide. 4; 6; 4.
C – prisma. 7; 15; 10.
D – cubo. 6; 12; 8.
4.1 círculos
4.2 congruentes
4.3 curva
4.4 círculo
4.5 prisma
4.6 esfera;
não poliedros
SOLUÇÕES 101
5.
2.1 1 000 000 000 mm3
2.3 0,6 dm3 2.4 40 cl
3.2
Ficha 16 Págs. 51 e 52
1.1 Sólido geométrico; poliedro; prisma;
cubo.
1.2 B; D
cilindro de revolução. A; B.
cilindro
6.2 sólido geométrico; não poliedro; cone
6.3 sólido geométrico; não poliedro;
B
Saber fazer 9 Págs. 59 e 60
1.2 350 m3
1.1 132 cm3
2.1 96 cm3
2.2 206,25 cm3
4. 7 cm
C
3.3 55.
5. 艐6,2832 dm3
4.
1 dm
2
2 dm
+
esfera
7.1 B. São todos prismas, exceto o B que
é uma pirâmide.
4.1 Pentágono. 4.2 Pirâmide pentagonal.
1 dm
5.1 É poliedro; Tem 4 faces, 4 vértices e
7.2 6 + 8 = 12 + 2; 7 + 7 = 12 + 2; 6 + 8 = 12 + 2;
7 + 10 = 15 + 2
Ficha 15 Págs. 49 e 50
1. Heptágono (regular); octógono;
eneágono; decágono. Triângulo
(regular); quadrilátero; pentágono;
hexágono (regular).
6 arestas. As faces laterais e a base
são triângulos. É pirâmide triangular.
5.2 B; A não serve porque as faces
laterais não se unem no vértice da
pirâmide. C não serve porque
apresenta apenas 3 faces: a base e
duas faces laterais.
5.
Frontal
Topo
6.1
Ficha 18 Págs. 61 e 62
1.1 A: 16; B: 4; C: 3; D: 12
1.2 Por exemplo:
Lateral direita
2. todos os lados congruentes e todos
;
os ângulos congruentes; o quadrado.
3.
1.3 27 m3
3. 187,5 cm3
␲ × 2 cm
1 cm
6.1 sólido geométrico; não poliedro;
A
4 cm
3.
4. 0,125 dm3
3. 0,33 l
2.1 Poliedro; prisma; paralelepípedo
retângulo. A; C. 2.2 Não poliedro;
2.2 0,005 m3
2.5 0,0325 m3
1.3 Não, porque não há sólidos
6. 15 cm.
Não é poligono
Triângulo
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
D, E
B, I
A, H, G
C
F
formados pelo mesmo número de
cubos congruentes, isto é, não têm o
mesmo volume.
7. Por exemplo:
2.1 3 dm3 = 3000 cm3 = 3 000 000 mm3
2.2 0,7 cm3 = 0,0007 dm3 = 700 mm3
2.3 0,9 l = 90 cl = 900 ml
2.4 0,6 m3 = 600 dm3 = 600 l
2.5 3 kl = 3000 l = 30 000 dl
A
4.
3. 10 copos.
4. Arquimedes descobriu que o volume
5.1 Heptágono
5.3 Octógono
6.1 A – Quadrilátero
6.2 C – Hexágono
5.2 Quadrado
5.4 Triângulo
E – Octógono
6.3 A – Paralelepípedo retângulo
B – Pirâmide triangular
C – Pirâmide hexagonal
D – Prisma triangular
E – Pirâmide octogonal
6.4 F
A – Prisma quadrangular
B – Prisma triangular
Ficha 17 Págs. 53 e 54
1.
TEXTO
4. 4 páginas e vão sobrar 8 estrelas.
6.1 A: 7 cm3; B: 6 cm3; C: 11 cm3
6.2
A
B
2 cm
2 cm
3 cm
2 cm
C
2 cm
5.1 9
5.2
6. n + 1
4 cm
7. 4,32 l
8. Não, só leva 27 000 litros.
7. x = 2,5 cm
8.1 O número total de arestas é o triplo
9.1 Pirâmide octogonal. 9.2 Prisma hexagonal.
Problemas 3 Págs. 55 e 56
1.1 Prisma triangular.
1.2 110 arestas laterais; 220 arestas totais
3.1 0,87 € 3.2 4,64 € 3.3 5,51 €
e 9 arestas. As faces laterais são
paralelogramos e as bases são
triângulos. É prisma triangular.
7.2 É poliedro; Tem 5 faces, 5 vértices
e 8 arestas. As faces laterais são
triângulos e a base é um quadrado.
É pirâmide quadrangular.
do número de lados do polígono da
base; numa pirâmide é o dobro.
8.2 Não, porque numa pirâmide o
número de arestas é par.
Sim, porque 9 é triplo de 3.
8.3 Não, porque num prisma o número
de vértices é número par.
Pode. Neste caso é uma pirâmide
em que o polígono da base tem
10 vértices (decágono).
8.4 120; 360
5. 12 cm3
2. Pirâmide quadrangular.
7.1 É poliedro. Tem 5 faces, 6 vértices
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
Base
B
B – Triângulos
D – Triângulo
de água deslocada era igual ao
volume do corpo mergulhado.
Posso determinar o volume de, por
exemplo, um pequeno objeto,
mergulhando-o num recipiente
graduado com água e medindo o
volume de água deslocada pelo objeto.
2.1
8.1 206,25 cm2
8.2 V, porque 0,38 × 150 = 56,25
Ficha 19 Págs. 63 e 64
1.1 512 cm3; 2400 cm3; 1500 cm3
1.2 Não, é a do André, que tem 1120 cm2
de cartão, enquanto a do Paulo tem
384 cm2 e a do Manuel tem 950 cm2.
2. São, ambos têm o mesmo volume,
capítulo 6
2.2 São todas quadrados congruentes.
3.1 B; A.
que é 512 cm3.
VOLUMES
3. 2 m
Saber fazer 8 Págs. 57 e 58
1.1 Não, porque não foram construídos com
4. Falsa, porque a caixa do António tem
igual número de cubos congruentes.
1.2 B: 2,5; C: 4,5
8000 cm3 de volume, enquanto a da
Fernanda tem 1000 cm3 (oito vezes
menos).
102 SOLUÇÕES
5. Por exemplo: 1 cm, 1 cm e 27 cm.
6.1 228 ml
⎢ ⎢
21
3. –4 < –2 < –
6.2 1,44 €
3
7
< 1,2 < – < 2
4
4. +3 + (–2) = 1
7. 2 dm
8.1 30 cm
B
C
D
E
–3
0
– 1
3
31
– 4
3
4
3
1 3
-2
× 4,5 × 10 = 101,25 cm3
ou 4,5
2
0 1
0 1
6.1 –9
3
1
– + (–1) = – 2
2
6. 700,65 cm3 ; 467,1 cm2
30
36
144
28,8
12
10
2,5
12,5
S
8. 1,125 l
——
—– —– ——
AB × CA ×CD
• Falsa; é 2
• Verdadeira.
7. –1
-1 - 1 0
2
5.1 –5 + (–2) = –7
1
5.2 –3 +
21 = – 52
Ficha 21 Págs. 67 e 68
1. Não, leva aproximadamente 0,6 l de
diluente.
1
2. 8
3. Posso encher 33 canecas e ainda sobra.
4. 113 dm2
5. 艐80 cm
6.1 艐49,6 cm2
6.3 艐148,8 cm2
6.5 艐297,6 cm3
6.2 艐24,8 cm
6.4 艐248 cm2
7.1 9,0432 cm3
7.2 15,072 cm2
1.4 –
1.2 –8,1
1.5 0
-2
41 = 1,85
e h = 3,14 cm
B: r = 0,5 cm e h = 6,28 cm
3.2 VA = 9,8596 cm3 VB = 4,9298 cm3
16. –
D
-4
5.3 3,875 cm3
6. 22619,52 cm3
-2
-1
6.4 –
89
6.5
1
S
3
2
5
6.3 – 2
31
6.6 – 15
23
20
capítulo 7
NÚMEROS RACIONAIS
Saber fazer 10 Págs. 71 e 72
3
1.1 Q → –2 ; M → 2 ; S → ;
4
N → –1 ; P → 5 ; T → –2,5
1.2 Q → 2 ; M → 2 ; S →
P → 5 ; T → 2,5
7
1.3 –8; ; 0,5
3
2. –3; –2; –1; 0; 1; 2
43 ; N → 1 ;
S
B
CB
-1
0
E
1
1
2
B
3.1 +6 oC
2.2 –3 – (+1) = –4
3.1 –8
3.2 28
3.3 –9
3.7 0
3.8 –22
3.9 –26
3.4 –7
3.5 4
3.6 –35
冢 3 冣 = – 3
D
-1 0 1
-
S
7
A
B
7
3
0
1
冢 2 冣 = 2
B
6.2 2 – –
9
5
D
B
S
A
0
1
7.4 –
29
7
A
7.1 –
2.7 –5
2.8 –18
2.9 –28
3.2 –15 oC
2.10 10
2.11 0
2.12 –46
3.3 –27 oC
4. Por exemplo:
4.1 –4 + (–7) 4.2 +10 + (–3) 4.3 –5 + (+5)
5.3 –5 + (+5)
6. –18
7.1 –9 + (–18) = –27
3.10 43
3.11 200
3.12 –11
5.1 7 – (+3) = 4 5.2 |–9 – (–13)| = 4
A
5.2 +5
1
2.1 3 – (–2) = 5
6.1 –1 – + 4
2.4 +10
2.5 0
2.6 –4
B
0
4. 4 oC
A
A
5.1 –1
-2
D
A
A
-1 0 1
3.1
13.4 F
Ficha 24 Págs. 79 e 80
1.1 –2 – (–4) = 2
1.3 –5 + (+8) = +3
2.1 +50
2.2 –50
2.3 –10
8 4
6
24
2. – ; ; –3 ; 0 ; ; 7 ; –33 ; –19 ; – 8 2
2
4
11.3 3 ∈ ZZ
冢 冣
冷 冢 冣冷
-2
-1 0 1
-8
B
Ficha 22 Págs. 75 e 76
1.1 –2000 €
1.2 +5000 €
1.3 –5,5 oC
FD
10.9 –1,95
11.2 1 ∈ ZZ
11
2
12.1 0,3 + – = – 3
30
1
12.2 1,2 + – = 0,7
2
13.1 F
13.2 F
13.3 V
1.4 +6 + (–5) = 1
11
9
49
– – = 3 冢 2冣 6
A
10.6 –0,5
11.1 –8 ∈ ZZ
-1 0 1 3
–— 29 –—
7. AB = ; AC = 1
10
8.
10.8 –3,1
D
-4
6.2 5
10.5 –0,8
1.2 –1 – (+1) = –2
B
-1 0
3
10.7 –
0
1.2 –2 + (–6) = –8
6.1 –3
8. 141 cm3
3
14
6
Ficha 23 Págs. 77 e 78
1.1 +3 + (–7) = –4
0 1
D
7. 844,83 cm3
4
21 , por exemplo.
11
31 – 冢+ 32 冣 = – 6
- 11
6
10.3 –
19
12
10.4 –0,05
15. –1,51 e –1,54, por exemplo.
4.2 8 cubos; 160 cm3
5.2 0,5 cm
2
1
7
5
14. –13
5.1 –4 – (–2) = –2
5.2 –
0
13
4
Q
0
13. –9
4. Por exemplo: –0,2 + (–0,6)
3.1 A: r = 1 cm
4.1 96 cm3
R PO
3. –; –; +
2.2 2 m
11.7 >
11.8 >
11.9 =
12.
冢 冣
2.2 2,1 + –
冷 5 冷
3
11.4 <
11.5 <
11.6 <
冢 冣
A
32
10.2
9.7 F
9.8 V
9.9 F
2 5
1
冢 4 冣 = 4
6
11
5
9.2 – + + = = 2
3 冢 3冣 3
10.1 –
9.4 F
9.5 F
9.6 V
11.1 <
11.2 <
11.3 =
25
1.3 1
1.6 – 18
3
4
2.1 0,2 + – = – = – 0,4
5
10
Problemas 4 Págs. 69 e 70
1. 7,5 cm
2.1 29 760 l
11
5
1.1 1,7
6.3 –10
10. – 19 ; – 30 ; –4,5 ; –1 1 ; – 7
Saber fazer 11 Págs. 73 e 74
9.2 7,5 cm
B
9.1 3 + –
1
2
2
e + 1 ; e – 2
5
5
9.1 V
9.2 V
9.3 F
B
1
6
41 + 冢– 85 冣 = – 87
-1- 87
17
; 0 ; –9,5
37 ; – 5
8. 6 ; +
-3
2
9.1 •Falsa; a altura é CD .
21
A 0
1,5
S
6.2 –20 e 20
冢 冣
3
1
+ + = 6
6
S
-1
5.1 –20 oC 5.2 –9 oC 5.3 –3 oC
5. 214,5 cm3
31 + 冢+ 21 冣 = – 62
–1,5
8.2 –
3. 36 cm2
-5 -4
2
3
2
1 3
F
1
4.1 –100 < –1 < – 2
5
4.2 – < –0,5 < 2
2
1
1
4.3 –1,5 < – < 1 6
3
S
4. 8,65 cm3
0
3
(+1) + (–5) = –4
2. 1821,6 dm3
5.1 3,1 cm
A
S
8.2 5 caixas.
Ficha 20 Págs. 65 e 66
1. 202,5 : 2 = 101,25 cm3
7.
8.1 –
3.2
7.2
92
47
7.7
7.6 –
7.3 1
8. Distância =
49
20
35
7.9 – 12
45
53
B
A
-1
5
12
7.8 –
7.5 –3,3
-2
7.2 –(12 + 1) = –13
9
2
-1
3
0
SOLUÇÕES 103
9.1 V
9.2 F
9.3 V
9.4 F
C = A'
11. Submarino: –52 (52 metros de
5.
M
+
+2
+7
+10
–8
–3
–1
+4
+7
–11
–5
–3
+2
+5
–13
+2
+4
+9
+12
–6
–10
–8
–3
0
–18
7. Falso, porque a figura B não é
congruente com a figura A e a
reflexão central é uma isometria.
D
P'
P = P'
M'
N
iguais opõem-se lados iguais.
3.3 –
3.4 –
2.1
4.1 –15
4.2 –5
N'
B
T
O
B'
2,5 cm
R
2.2 LAL
7.
DC
1
2
C
D
8. Operários: 30; operárias: 45.
3
A
O
B
C
P
de simetria; simetria de rotação de
ordem 3.
B: simetria de reflexão com seis
eixos de simetria; simetria de rotação
de ordem 6.
5.1 A: reflexão de eixo vertical e translação.
B: rotação de ângulo de amplitude
180o e translação.
5.2 Por exemplo:
D
M
A’
A figura admite simetria de rotação
de ordem 2.
4. A: simetria de reflexão com três eixos
D
B’
C’
43 × (0,01 + 0,23) = 0,18
12. A, porque: 30 + 1,5 × 24 < 3,5 × 24
C
3.1 Mediatriz do segmento de reta [CD] .
3.2 Pelo critério LLL. r
4.1
11. F; V; F; V
A = A'
A'
10
1
B
B'
B'
冤 7 + 冢– 3 冣冥 = 21
S
2,5 cm
D'
D'
C'
冢 4 冣 = 2
C'
2.
E'
E
9. 200 berlindes.
1
B
A
3.
2,5 cm
[R’S’T’] é triângulo equilátero porque
é imagem do triângulo [RST] por
uma rotação; logo, é uma isometria.
3.
Simetria
de rotação
de ordem 2
B: simetria de rotação de ordem 3.
C: simetria de rotação de ordem 4 e
simetria de reflexão com quatro eixos
de simetria.
D: simetria de rotação de ordem 2.
R'
C=
=C'
Simetria
de rotação
de ordem 8
2. A: simetria de rotação de ordem 4.
S'
T'
r
6. 2,93 > –0,293 > –2,39 > –2,93 > –29,3
B
Simetria
de rotação
de ordem 5
Ficha 26 Págs. 87 e 88
1.
=
A=A'
5. Por exemplo, –8,02 e –8,03.
10.2 – –
Simetria
de rotação
de ordem 4
Simetria
de rotação
de ordem 3
M'
1.2 LAL
1.3 Porque em triângulos iguais, a ângulos
5
3
2. – e 2
2
10.1 1,25 – –
Simetria
de rotação
de ordem 2
P
N
1. 229 a.C.
0
1.
r
M
Problemas 5 Págs. 81 e 82
-1
Ficha 27 Págs. 89 e 90
8.
Ficha 25 Págs. 85 e 86
1.1
N'
M
A
Tem centro de simetria C.
10. Eixo de reflexão é a mediatriz de [AA’ ] .
80°
O
13.
C
A = C'
É paralelogramo porque os lados
opostos são paralelos e iguais.
A
abcissas +5 e –3.
3.2 +
sentido negativo.
9.
B
12. Distância entre os pontos de
10.3
D
C
M
B
profundidade); tubarão: –39
(39 metros de profundidade).
d = 13 m
3.1 –
8. É o triângulo C. Rotação de 90o no
6.
4.
10. –7,5 oC ou 36,5 oC.
C
4. O eixo r é a mediatriz de [BB’] .
r
A
4.2 A = 3,0708
capítulo 8
MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Aluno –
TEXTO
ISOMETRIAS DO PLANO
Saber fazer 12 Págs. 83 e 84
1. LAL
A
; P = 7,1416 cm
4.3 A = 3,0708 cm2 ; P = 7,1416 cm
Porque se trata de uma isometria.
5.
C
cm 2
B
A'
B'
C
C'
r
6.1 2
B = B'
120°
A'
M
r M'
N
6. A = 4 × 2 = 8 cm2
s
N'
y
4
4 cm
2 cm
t
A
3.
O
60°
A'
0
4 cm
P'
B'
2 A'
2 cm
P
6.3 1
Problemas 6 Págs. 91 e 92
1.
C'
2. LLL
6.2 3
5.
C'
2
A
4 x
C
B
7.
A’ (1, 2) ;
B’ (4, 3) ;
C’ (5, 1)
104 SOLUÇÕES
3. Ordem 4.
4.
Ficha 28 Págs. 95 e 96
8.2
amostra: 80 alunos da escola de
entre os 600.
1.2 Por exemplo:
A. Quanto tempo por dia usas o
computador?
C'
ⵧ menos de 1 hora
P
tral é uma isometria, os dois círculos
têm áreas iguais.
9
soma dos sete números
= 8
7
6
soma dos 7 números = 7 × 8 = 56
12
0
ⵧ mais de 2 horas
A ≈ 3,1416 cm2 . Como a reflexão cen-
4. Retirou-se o 2 porque:
15
3
ⵧ entre 1 a 2 horas
C
11
B. Usas o computador de preferência
para:
12
ⵧ jogar?
turma?»; «Qual a moda das idades?»;
«Quantos alunos têm 10 ou mais
anos?»; «Qual a média das idades dos
alunos da turma?»
8.1 Simetria rotacional de ordem 2.
Simetria de reflexão: dois eixos de
simetria.
8.2 Simetria rotacional de ordem 4.
Simetria de reflexão: quatro eixos de
simetria.
9. É o triângulo 1; não; sim; A = 3 cm2
capítulo 9
REPRESENTAÇÃO E
TRATAMENTO DE DADOS
Saber fazer 13 Págs. 93 e 94
1. «cor dos olhos» - qualitativo; «tempo
que demoras a chegar à escola» –
quantitativo; «número de chamadas
telefónicas feitas num dia, na tua
escola» – quantitativo; «duração de
uma chamada telefónica» – quantitativo; «tempo de espera num consultório médico» – quantitativo;
«qualidade do atendimento na loja do
cidadão» – qualitativo.
2.1 Futebol.
2.2 15%
2.3 80 alunos.
3.
Número de irmãos
0 irmãos
20%
3 irmãos
36°
10%
72°
2 irmãos
27%
11°
5. Os portugueses consomem gorduras
em excesso e consomem frutas,
hortícolas e leguminosas a menos.
O grupo da carne, ovos e pescado está
11 pontos percentuais (16% – 5%)
acima do recomendado na roda dos
alimentos. Em contrapartida, o
consumo de hortícolas, que deveria
ser de 23%, é apenas de 13%.
Também nas leguminosas há um
défice de 3 pontos percentuais
(4% – 1%), bem como no consumo de
frutos, que deveria ser de 20% e é de
14%. Concluindo, a dieta portuguesa
tem de melhorar!
1 3
10 10
6.1 ; 6.2 Gorduras: 10%; Fibras: 30%;
Proteínas: 30%;
Hidratos de carbono: 30%
6.3 5 g de gorduras; 15 g de fibras; 15 g
de proteínas; 15 g de hidratos de
carbono.
7.1 Peixe e álcool.
7.2 12%
7.3 É falsa porque um desportista deve
8.1
4 irmãos
3%
Moda: 1 irmão
Média: 艐1,4 irmãos
Extremos: 0 e 4
Amplitude: 4 – 0 = 4
Frequência Frequência
absoluta
relativa
11
6
17%
12
15
41%
13
9
25%
14
6
17%
Total: 36
Mediana: 12 anos
Logo, a média não é igual à moda.
6. 1,90 €
Frequência Frequência
absoluta
relativa
Motorizadas
40
20%
Camiões
50
25%
Autocarros
30
15%
80
40%
Total: 200
100%
Automóveis
e «grupo sanguíneo».
Idade
29 + 23 + 21 + 29 + 23
5
• a média é = 25
Ficha 29 Págs. 97 e 98
1.
4. Por exemplo: «nacionalidade»
144°
97°
17%
Veículos
3.1 Quantitativo.
3.2 Qualitativo.
3.3 Quantitativo.
3.4 Quantitativo.
3.5 Quantitativo.
3.6 Qualitativo.
ter uma alimentação rica em pão,
massas, arroz e carne.
1 irmão
40%
29 (valor máximo)
8.3 Média: ≈12,4 anos
Moda: 12 anos
soma dos seis números = 9 × 6 = 54 e
56 – 54 = 2
• a amplitude é 29 – 21 = 8
• a moda é 23
11 anos
17%
2. Por exemplo: «Quantos alunos tem a
soma dos seis números
= 9
6
5. As três afirmações são falsas porque:
• os extremos são 21 (valor mínimo) e
41%
14 anos
1.3 Cada aluno.
exemplo, a mediatriz de [AA’ ] e de
[CC’ ] ; o ponto de encontro dessas duas
mediatrizes é o centro da rotação.
Idade
25%
12 anos
ⵧ realizar trabalhos?
7. Deves traçar duas mediatrizes: por
14
13 anos
ⵧ comunicar com os amigos?
6.
13
Idades dos alunos
ⵧ pesquisar?
5.
3. É 15,2 × 3 = 45,6
Idade dos alunos
1.1 População: 600 alunos da escola;
7.1
Horas dedicadas por dia à música
Número de alunos
e traçar a mediatriz de [AA’ ] , que é o
eixo de reflexão.
Frequência absoluta
2. Deves unir o ponto A com o ponto A’
8
6
4
2
Veículos num parque
de estacionamento
0
2 horas 3 horas
4 horas
Números de horas
7.2
Motorizadas
20%
Automóveis
40%
72°
Camiões
25%
Rapazes
Raparigas
Horas dedicadas à música
por dia pelas raparigas
144°
90°
2 horas
12,5%
54°
Autocarros
15%
2
16
3
Sul: = 0,1875 = 18,75% ;
16
2
Grande Lisboa: = 0,125 = 12,5% ;
16
1
Centro: = 0,25 = 25% ;
4
3
Grande Porto: = 0,1875 = 18,75% ;
16
2
Norte: = 0,125 = 12,5%
16
3 horas
50%
2. Ilhas: = 0,125 = 12,5% ;
4 horas
37,5%
7.3 Moda: 3 horas; Média: 艐2,8 horas
8.1 9 equipas.
8.2 6 equipas.
8.3 Porque para cada equipa vencedora
há uma derrotada.
9. O gráfico de linhas porque evidencia
Distribuição por zonas das
equipas do campeonato
de 2010/2011
ILHAS G. LISBOA
Marítimo Benfia
Nacional Sporting
2
2
SUL
Portimonense
Olhanense
V. Setúbal
3
G. PORTO
F.C. Porto
P. Ferreira
Rio Ave
3
CENTRO
Académica
Beira-Mar
U. Leiria
Naval
4
NORTE
S. Braga
V. Guimarães
2
melhor a evolução do crescimento da
planta ao longo das oito semanas.
ISBN 978-972-47-4877-1
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