PDF_VA_Aula 4_Função do 2º Grau

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Tecnólogo em Construção de Edifícios
Aula 4
Função do 2º Grau
Professor Luciano Nóbrega
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FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
Uma função polinomial do 2º grau é uma relação entre as variáveis “y” e “x”,
tal que f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ R, e a ≠ 0.
EXEMPLOS: f(x) = 3x2 + 2x – 3 ; f(x) = (–½).x2 – 9 ; f(x) = 5x – 2x2 ; f(x) = –x2
Determine os valores de “a”, “b” e “c” nos exemplos acima.
DEFINIÇÂO
Uma função f: R ⟶ R é do 2º grau quando a todo valor de “x”
está associado um único valor y = f(x) = ax2 + bx + c, com “a”, “b” e “c” sendo
números reais e a ≠ 0
FUNÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS E INCOMPLETAS
Quando todos os
coeficientes de uma função do 2º grau são diferentes de zero, dizemos que
trata-se de uma função do 2º grau completa. EX:
Se os coeficientes “b” e/ou “c” de uma função do 2º grau são zero, então a
função do 2º grau é incompleta. EXS:
46 – Determine a função do 2º grau em que f(0) =1, f(1) = 3 e f(–1) = 1
47 – Dada a função f(x) = x2 – 6x + 8, determine:
a) Os coeficientes a, b e c;
b) f(1) ; f(0) ; f(–2) e f(1/2)
c) O valor de x tal que f(x) = 3
d) O valor de x tal que f(x) = – 3
GABARITO – 46) f(x) = x2 + x + 1
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FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
y

GRÁFICOS DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
O gráfico da função do 2º determina uma curva
Inicialmente,
denominada “PARÁBOLA”.
podemos construir o gráfico de uma função
do 2º grau, simplesmente, atribuindo valores
para “x” e calculando os valores de “y”.
EXEMPLO: Construa o gráfico de f(x) = x2/2 +3.
OUTRO EXEMPLO:
f(x) = 1 + 4x2 – 3x; a = , b =
ec=
OBS: Toda função do 2o grau corta o eixo y no termo
independente de x, ou seja, corta o eixo y na “altura” c.



x









y




x













48 – Sendo “n” o número de lados de um polígono e “d”
o número de diagonais, tal que:
Calcule:
a) O valor de “d”, quando n = 7
b) O valor de “n”, quando d = 27




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RAIZ DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
É todo número x que possui imagem nula. Isto é, f(x) = 0. As raízes da
função determinam onde o gráfico intercepta o eixo “x”.
Determinando os zeros da função do 2º grau
f(x) = ax2 + bx + c
49 – Determine as raízes (ou zeros) de
cada uma das seguintes equações:
a) f(x) = 2x2 – 5x+ 9
b) f(x) = (–3/4)x2
d) f(x) = x2 – 6x + 5
c) f(x) = –x2 + 49
e) f(x) = –x2 +6x – 5
50 – Sendo x’ = (– b + √∆)/2a e x” = (– b –√∆)/2a , determine:
a) x’ + x”
b) x’ . x”
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VÉRTICE DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
O vértice da parábola é o ponto extremo da função do 2º grau dado
pelo ponto
b 
V
;
 Onde:
 2a 4a  xv = –b/2a e
yv = –∆/4a
Essas fórmulas são obtidas da seguinte maneira:
1º) Determinamos xv como sendo a média aritmética entre x’ e x”;
2º) Substituímos o valor encontrado (-b/2a), na função genérica ƒ(x) =
ax2 +bx + c, e obtemos yv.
51 – Demonstre as fórmulas para determinação do vértice da parábola.
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y
TESTANDO OS CONHECIMENTOS


52 – Observe os gráficos ao lado.
Na 1ª figura, temos os gráficos das funções f(x) = –x2,
f(x) = –x2 + 1 e f(x) = –x2 + 3


x











Na 2ª figura, temos os gráficos das funções f(x) =
f(x) = (x + 1)2 e f(x) = (x – 3)2
x 2,


y

O que podemos concluir à respeito do coeficiente “a”
de x2 ?



Como seria o esboço do gráfico de f(x) = –x2 –2 ?
x






Como seria o esboço do gráfico de f(x) = (x +
O que podemos concluir com relação ao
eixo de simetria e o coeficiente “b”?
2)2

?


Quais são os vértices dos gráficos de todas as funções anteriores?




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O PAPEL DO DISCRIMINATE (DELTA)
Quando o valor de ∆ = 0 , podemos verificar que x’ = x”.
EXEMPLO:
Sendo y = f(x) = x2 + 2x + 1, calcule o valor de delta e justifique o que
acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico.
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O PAPEL DO DISCRIMINATE (DELTA)
Quando o valor de ∆ > 0 , podemos verificar que x’ ≠ x”.
EXEMPLO:
Sendo y = f(x) = x2 –4x + 3, calcule o valor de delta e justifique o que acontece
com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico.
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O PAPEL DO DISCRIMINATE (DELTA)
Quando o valor de ∆ < 0 , podemos verificar que NÃO existe raiz.
EXEMPLO:
Sendo y = f(x) = x2 –x + 2, calcule o valor de delta e justifique o que acontece
com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico.
RESUMINDO:
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MÁXIMOS & mínimos DA PARÁBOLA
Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está
relacionada com a questão de “MÁXIMOS” e “mínimos”.
Dependendo do sinal do coeficiente “a”, a função terá um ponto de máximo
ou um ponto de mínimo. Em ambos os casos, como já vimos, tal ponto é
denominado de vértice da parábola.
53 – Sabe-se que o custo C (em reais) para produzir x unidades de um certo
produto é dado por: C = x2 – 80x + 3000. Determine:
a) A quantidade de unidades que a empresa deveria produzir, para que seu
custo fosse mínimo.
b) O valor mínimo desse custo de produção.
54 – Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura máxima
atingida por uma bala, em metros, em função do tempo, em
segundos, é dada por h(t) = –20t2 + 200t .
Qual a altura máxima atingida pela bala?
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ESTUDO DO SINAL
LEMBRE-SE:
Estudar o sinal de uma função significa avaliar para quais
valores de “x” temos f(x) < 0, f(x) = 0 ou f(x) > 0.
1º CASO: a > 0
–
–
+
+
+
+
+
+
2º CASO: a < 0
–
+
–
–
–
–
–
–
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INEQUAÇÃO DO 2º GRAU
Uma inequação do 2º grau é uma função do 2º grau que apresenta um sinal de
desigualdade. Assim:
ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≤ 0 ax2 + bx + c ≥ 0
55 – Determine todos os possíveis números inteiros positivos
para os quais satisfaça a inequação x2 – 6x + 8 < 0
56 – Determine o conjunto solução da inequação 1000 < −x2 +140x −1875 < 2400
57 – Resolva em R a inequação (x2 – 25) / (–2x + 4) ≤ 0
58 – (Prise-2005) Ao chutar uma lata, um cientista observou que sua trajetória seguiu a lei
matemática h(t) = 6 + 4t – t², na qual h é a altura, em metros, atingida pela lata em função
do tempo t, em segundos, após o chute. Com base nesta situação e analisando as
afirmativas a seguir:
I. O gráfico que traduz a função acima descrita é uma parábola com concavidade voltada
para cima.
II. A altura máxima atingida por essa lata é de 10m.
III. Essa função possui duas raízes reais.
É correto afirmar que:
a) todas as afirmativas são verdadeiras
b) todas as afirmativas são falsas
c) somente a afirmativa I é falsa
d) somente a afirmativa II é verdadeira
e) somente a afirmativa III é verdadeira
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
59 – (UFRGS) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória
plana vertical de equação
y = –1/7x2 + 8/7x+2, na qual os valores de x e y são dados em metros. Oscar acerta o
arremesso, e o centro da bola passa pelo centro de cesta, que está a 3 metros de
altura. Determine a distância do centro da cesta ao eixo y.
60 – (UMC-SP) Uma loja fez campanha
publicitária para vender seus produtos
importados. Suponha que x dias após o
término da campanha, as vendas diárias
tivessem sido calculadas segundo a função
y = -2x2 + 20x + 150, conforme o gráfico.
Calcule:
a) depois de quantos dias, após encerrada a
campanha, a venda atingiu o valor máximo.
b) Depois de quantos dias as vendas se
reduziram a zero.
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