Logaritmos - UNEMAT Sinop

1. Conceito de logaritmo
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Definição
Sendo a e b números reais e positivos, com
a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a o
expoente que se deve dar à base a de modo que a
potência obtida seja igual a b.
Logaritmos
Em símbolos: se a, b ∈ ℝ , 0 < a ≠ 1 e b > 0,
então:
loga b = x ⇔ a x = b
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
4
Logaritmos
1. Conceito de logaritmo
1.Conceito de logaritmo
Em loga b = x, dizemos:
2.Antilogaritmo
3.Consequências da definição
4.Sistemas de logaritmos
a é a base do logaritmo,
5.Propriedades dos logaritmos
b é o logaritmando,
6.Mudança de base
x é o logaritmo.
5
1. Conceito de logaritmo
1. Conceito de logaritmo
Lembremos que no estudo de equações e
inequações exponenciais, feito anteriormente, só
tratamos dos casos em que podíamos reduzir as
potências à mesma base.
Exemplos
Se quisermos resolver a equação 2x = 3,
sabemos que x assume uma valor entre 1 e 2, pois
21 < 2x = 3 < 22, mas com os conhecimentos
adquiridos até aqui não sabemos qual é esse valor
nem o processo para determiná-lo.
2o ) log3
A fim de que possamos resolver este e
outros problemas, vamos iniciar agora o estudo de
logaritmos.
1o ) log2 8 = 3, pois 23 = 8
1
1
= −2, pois 3−2 =
9
9
3o ) log5 5 = 1, pois 51 = 5
4o ) log7 1 = 0, pois 70 = 1
3
3
5o ) log4 8 = , pois 4 2 = 22
2
3
2
( 0,2 )
−2
( )
6o ) log0,2 25 = −2, pois
3
= 23 = 8
 1
= 
5
−2
= 52 = 25
6
1
1. Conceito de logaritmo
2. Antilogaritmo
Com as restrições impostas (a, b ∈ ℝ , 0 < a
≠ 1 e b > 0), dados a e b existe um único x = logab.
Exemplo 1: Calcule pela definição os seguintes
logaritmos:
A operação, pela qual se determina o
logaritmo de b (b ∈ ℝ e b > 0) numa dada base a
(a ∈ ℝ e 0 < a ≠ 1), é chamada logaritmação e o
resultado dessa operação é o logaritmo.
a) log2
1
8
b) log8 4
c) log0,25 32
7
2. Antilogaritmo
10
2. Antilogaritmo
Sejam a e b números reais positivos com
a ≠ 1; se o logaritmo de b na base a é x, então b é o
antilogaritmo de x na base a.
Exercício 1: Calcule pela definição os seguintes
logaritmos:
a) log2
Em símbolos, se a, b ∈ ℝ , 0 < a ≠ 1 e b > 0,
então:
1
1
= x ⇒ 2 x = ⇒ 2 x = 2−3 ⇒ x = −3
8
8
b) log8 4 = x ⇒ 8 x = 4 ⇒ 23 x = 22 ⇒ 3 x = 2 ⇒ x =
loga b = x ⇔ b = antiloga x
2
3
x
 1
c) log0,25 32 = x ⇒ (0,25)x = 32 ⇒   = 25 ⇒ 2−2 x = 25 ⇒
4
5
⇒ −2 x = 5 ⇒ x = −
2
8
2. Antilogaritmo
3. Consequências da definição
Exemplos
Decorrem da definição de logaritmos as
seguintes propriedades para 0 < a ≠ 1, b > 0.
1o ) antilog3 2 = 9, pois log3 9 = 2
1o) O logaritmo da unidade em qualquer base é igual
a 0.
1
1
2 ) antilog 1 3 = , pois log 1 = 3
8
2
2 8
o
3o ) antilog2 ( −2) =
11
loga 1 = 0
1
1
, pois log2 = −2
4
4
2o) O logaritmo da base em qualquer base é igual a
1.
loga a = 1
9
12
2
3. Consequências da definição
4. Sistemas de logaritmos
3o) A potência de base a e expoente logab é igual a
b.
a) sistema de logaritmos decimais é o
sistema de base 10, também chamado sistema de
logaritmos vulgares ou de Briggs (Henry Briggs,
matemático inglês (1556-1630), quem primeiro
destacou a vantagem dos logaritmos de base 10,
tendo publicado a primeira tábua (tabela) dos
logaritmos de 1 a 1000 em 1617).
aloga b = b
4o) Dois logaritmos em uma mesma base são iguais
se, e somente se, os logaritmandos são iguais.
loga b = loga c ⇔ b = c
Indicaremos o logaritmo decimal
notação log10 x ou simplesmente log x.
pela
13
3. Consequências da definição
4. Sistemas de logaritmos
b) sistema de logaritmos neperianos é o
sistema de base e (e = 2,71828… número
irracional), também chamado de sistema de
logaritmos naturais. O nome neperiano vem de
John Napier, matemático escocês (1550-1617),
autor do primeiro trabalho publicado sobre a
teoria dos logaritmos. O nome natural se deve ao
fato de que no estudo dos fenômenos naturais
geralmente aparece uma lei exponencial de base e.
Exercício 2: Calcule o valor de:
a) 8
log2 5
( )
= 2
16
3
log2 5
(
= 2
log2 5
)
3
= 5 = 125
3
b) 31+log3 4 = 31 ⋅ 3log3 4 = 3 ⋅ 4 = 12
Indicaremos o logaritmo neperiano pelas
notações loge x ou ln x. Em algumas publicações
também encontramos as notações Lg x ou L x.
14
4. Sistemas de logaritmos
17
5. Propriedades dos logaritmos
Chamamos de sistema de logaritmos de base
a ao conjunto de todos os logaritmos dos números
reais positivos em uma base a (0 < a ≠ 1). Por
1o) Logaritmo do produto
Em qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmo
do produto de dois fatores reais positivos é igual à
soma dos logaritmos dos fatores.
exemplo, o conjunto formado por todos os
logaritmos de base 2 dos números reais e positivos
é o sistema de logaritmos na base 2.
Em símbolos:
Entre a infinidade de valores que pode
assumir a base e, portanto, entre a infinidade de
sistemas de logaritmos, existem dois sistemas de
logaritmos particularmente importantes, que são:
Se 0 < a ≠ 1, b > 0 e c > 0, então
loga ( b ⋅ c ) = loga b + loga c
15
18
3
5. Propriedades dos logaritmos
5. Propriedades dos logaritmos
Demonstração
2o) Logaritmo do quociente
Fazendo loga b = x, loga c = y e loga (b.c) = z,
provemos que z = x + y.
Em qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmo
do quociente de dois números reais positivos é
igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e
o logaritmo do divisor.
loga b = x ⇒ a x = b


z
x
y
z
x+y
 ⇒ a = a ⋅a ⇒ a = a ⇒ z = x + y

loga ( b ⋅ c ) = z ⇒ a z = b ⋅ c 
loga c = y ⇒ a y = c
Em símbolos:
Se 0 < a ≠ 1, b > 0 e c > 0, então
b
loga   = loga b − loga c
c 
19
5. Propriedades dos logaritmos
22
5. Propriedades dos logaritmos
Observação
Demonstração
Esta propriedade pode ser estendida para o
caso do logaritmo do produto de n (n ≥ 2) fatores
reais e positivos, isto é:
Fazendo loga b = x, loga c = y e loga (b/c) = z,
provemos que z = x - y.



ax
y
loga c = y ⇒ a = c  ⇒ a z = y ⇒ a z = a x − y ⇒ z = x − y
a

b
b
loga   = z ⇒ a z = 
c 
c
loga b = x ⇒ a x = b
Se 0 < a ≠ 1 e b1, b2, b3, …, bn ∈ ℝ
loga ( b1 ⋅ b2 ⋅ b3 ⋅ … ⋅ bn ) = loga b1 + loga b2 + loga b3 + … loga bn
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5. Propriedades dos logaritmos
23
5. Propriedades dos logaritmos
Exemplos
Exemplos
1o ) log5 ( 3 ⋅ 4 ) = log5 3 + log5 4
2
1o ) log5   = log5 2 − log5 3
3
2⋅3 

2o ) log 
 = log ( 2 ⋅ 3 ) − log5 = log2 + log3 − log5
 5 
2o ) log4 ( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ) = log4 2 + log4 3 + log4 5
 2 
3o ) log 
 = log2 − log ( 3 ⋅ 5 ) = log2 − [log3 + log5 ]
 3⋅5 
= log2 − log3 − log5
21
24
4
5. Propriedades dos logaritmos
5. Propriedades dos logaritmos
Cologaritmo
Demonstração
Chama-se cologaritmo de um número b
(b ∈ ℝ e b > 0), numa base a (a ∈ ℝ e 0 < a ≠ 1), ao
oposto do logaritmo de b na base a.
Fazendo loga b = x e loga b α = y, provemos
que y = α . x.
loga b = x ⇒ a x = b

y
x
⇒a = a
loga bα = y ⇒ a y = bα 
Em símbolos:
Se 0 < a ≠ 1 e b > 0, então
( )
α
⇒ a y = aα ⋅x ⇒ y = α ⋅ x
cologa b = − loga b
25
5. Propriedades dos logaritmos
28
5. Propriedades dos logaritmos
Exemplos
Exemplos
1o ) colog2 5 = −log2 5
1o ) log3 25 = 5 ⋅ log3 2
 1
 1
2o ) colog2   = −log2  
3
3
2
o
3 ) log   = log2 − log3 = log2 + colog3
3
1
2o ) log5 3 2 = log5 2 3 =
3o ) log2
1
⋅ log5 2
3
1
= log2 3−4 = −4 ⋅ log2 3
34
26
5. Propriedades dos logaritmos
29
5.1. Observações
3o) Logaritmo da potência
As propriedades
Em qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmo
de uma potência de base real positiva e expoente
real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo
da base da potência
1a ) loga ( b ⋅ c ) = loga b + logac
b
2a ) loga   = loga b − logac
c 
3a ) loga bα = α ⋅ loga b
Em símbolos
válidas com as devidas restrições para a, b e c, nos
permitem obter o logaritmo de um produto, de um
quociente ou de uma potência, conhecendo somente
os logaritmos dos termos do produto, dos termos
do quociente ou da base de potência.
Se 0 < a ≠ 1, b > 0 e α ∈ ℝ, então
α
loga b = α ⋅ loga b
27
30
5
5.1. Observações
5.1. Observações
Notemos a impossibilidade de obter o
logaritmo de uma soma ou de uma diferença por
meio de regras análogas às dadas. Assim, para
encontrarmos
loga(b + c)
e
Exercício
3:
Desenvolva,
aplicando
as
propriedades dos logaritmos (a, b e c são reais
positivos):
 2ab 
a) log2 
 = log2 (2ab ) − log2 c =
 c 
= log2 2 + log2 a + log2 b − log2 c =
loga(b - c)
devemos, respectivamente, calcular inicialmente
(b + c) e (b – c).
= 1 + log2 a + log2 b − log2 c
 a3b 2 
b) log3  4  = log3 (a3 b 2 ) − log3 c 4 =
 c 
= log3 a3 + log3 b 2 − log3 c 4 =
31
5.1. Observações
= 3log3 a + 2log3 b − 4log3 c
34
5.1. Observações
As expressões que envolvem somente as
operações de multiplicação, divisão e potenciação
são chamadas expressões logarítmicas, isto é,
expressões que podem ser calculadas utilizando
logaritmos, com as restrições já conhecidas.
Assim, por exemplo, a expressão
A=
Exercício
3:
Desenvolva,
aplicando
as
propriedades dos logaritmos (a, b e c são reais
positivos):
 a3
c) log  2
b c
( )
c)=

3
2
 = log a − log b c =

(
= log a 3 − log b 2 + log
aα ⋅ n b
cβ
1
= log a 3 − log b 2 − log c 2 =
1
= 3log a − 2log b − log c
2
em que a, b, c ∈ ℝ *+ , α, β ∈ ℝ e n ∈ ℕ *, pode ser
calculada aplicando logaritmos.
32
5.1. Observações
35
5.1. Observações
Veja o exemplo abaixo:
A=
Exercício 4: Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é:
1 + log2 a − log2 b − 2log2 c (a, b e c são reais positivos)
aα ⋅ n b
aα ⋅ n b
⇒ log A = log
β
c
cβ
(
1 + log2 a − log2 b − 2log2 c =
)
log A = log aα ⋅ n b − log c β
= log2 2 + log2 a − (log2 b + 2log2 c ) =
log A = log aα + log n b − log c β
= log2 (2a ) − (log2 b + log2 c 2 ) =
= log2 (2a ) − log2 ( bc 2 ) =
1
n
log A = log aα + log b − log c β
1
log A = α ⋅ log a + ⋅ log b − β ⋅ log c
n
 2a 
= log2  2 
 bc 
33
A expressão é
2a
bc 2
36
6
6. Mudança de base
6. Mudança de base
Exemplos
Há ocasiões em que logaritmos em bases
diferentes precisam ser convertidos para uma
única base conveniente como, por exemplo, na
aplicação das propriedades operatórias.
1o ) log3 5 convertido para a base 2 fica:
log3 5 =
Vejamos o processo que permite converter o
logaritmo de um número positivo, em uma certa
base, para outro em base conveniente.
log2 5
log2 3
2o ) log2 7 convertido para a base 10 fica:
log2 7 =
log10 7
log10 2
3o ) log100 3 convertido para a base 10 fica:
log100 3 =
log10 3
log10 3 1
=
= ⋅ log10 3
log10100
2
2
37
6. Mudança de base
40
6. Mudança de base
Exercício 5: Sabendo que log30 3 = a e log30 5 = b ,
calcule log10 2 .
Se a, b e c são números reais positivos e a e
c diferentes de 1, então tem-se:
loga b =
logc b
logc a
Notando que 2 =
log10 2 =
=
38
30
30
e 10 =
, temos:
3⋅5
3
log30 2
=
log30 10
1− a − b
1− a
 30 
log30 

 3 ⋅ 5  = log30 30 − log30 3 − log30 5 =
log30 30 − log30 3
 30 
log30  
 3 
41
6. Mudança de base
Demonstração
Consideremos loga b = x, logc b = y e logc a =
z e notemos que z ≠ 0, pois a ≠ 1.
Provemos que x = y/z.
loga b = x ⇒ a x = b 

logc b = y ⇒ c y = b  ⇒ c z

logc a = z ⇒ c z = a 
( )
x
= a x = b = c y ⇒ zx = y ⇒ x =
y
z
39
7