2.2 Média Geométrica
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UNIDADE II: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
OBJETIVOS DA UNIDADE:
- Habilitar o aluno para a realização de cálculos das medidas de tendência central;
- Permitir ao aluno localizar a média, a mediana e a moda de um conjunto de dados observados;
- Levar o aluno a perceber a diferença que existe entre simetria e assimetria em função das medidas
de tendência central.
Podemos observar que os estudos que até agora realizamos nos permitem descrever os
valores que uma variável pode assumir através da distribuição de freqüência. Podemos também
localizar a maior concentração de valores de uma distribuição. Porém, ocorre que poderia ser muito
difícil trabalhar com a distribuição de freqüência completa, razão pela qual se costuma lançar mão
de determinadas medidas. Há diversas medidas que sumarizam certas características importantes da
distribuição de freqüência. Isto é, tais medidas possibilitam condensar as informações para
esclarecer a fase analítica da Estatística Descritiva. Nesta unidade necessitamos introduzir conceitos
que expressam, através de números, essas características e tendências. Esses conceitos são
denominados:
Medidas de Posição ou Medidas de Tendência Central;
Medidas de Posição ou Medidas Separatrizes;
Medidas de Variabilidade ou Dispersão;
Medidas de Assimetria e Curtose.
2.1 Média Aritmética: Simples e Ponderada
A medida de tendência central mais comumente utilizada para descrever resumidamente
uma distribuição de freqüência é a média, ou mais propriamente, a média aritmética. Há vários tipos
de médias, que serão estudados a seguir: média aritmética simples e ponderada, média geométrica,
média harmônica e média quadrática.
Na média aritmética, temos como símbolo: x (lê-se ‘x traço’ ou ‘x barra’).
2.1.1 Média Aritmética Simples
A média aritmética simples de um conjunto de números é igual à divisão entre a soma dos
valores do conjunto e o número total de valores.
Exemplo: Determine a média aritmética simples dos valores: 5, 3, 12, 9, 1.
x
5 3 12 9 1 30
4,2
5
5
n
x
x
i 1
n
i
ou simplesmente
x
x
n
onde
x Valor genérico da observação
i
n Número das observações, ou seja, números de elementos do conjunto
A média aritmética simples será calculada sempre que os valores não estiverem tabulados,
ou seja, quando aparecerem representados individualmente. Ou ainda, a média de dados não
agrupados é realizada por meio da média aritmética simples.
Pratique resolvendo mais alguns exemplos: Determine a média aritmética para os seguintes
conjuntos de valores:
1) A 6,8,5,7,6,9,10
x
6 8 5 7 6 9 10 51
7,1857 ... x 7,19
7
7
3) B 1,3,4,2,7,5, 6,1
x
1)
1 3 4 2 7 5 6 1 29
3,625 x 3,63
8
8
C 60,48,55,67,62,90,51
x
60 48 55 67 62 90 51 433
61,857... x 61,86
7
7
2.1.2 Média Aritmética Ponderada
A média aritmética ponderada é quando os valores do conjunto tiverem pesos diferentes.
Obtém-se uma média ponderada através da divisão entre a somatória dos produtos de cada variável
pelo respectivo peso (freqüência) e a somatória dos pesos (somatória das freqüências).
Exemplo: Admitimos que as notas atribuídas a vinte alunos em um teste de estatística sejam as
seguintes, dispostas em ordem crescente: 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9.
Como os valores da variável aparecem repetidos, é possível adotar o número de
observações ou freqüência de cada um deles como peso ou fator de ponderação. Podemos verificar
que a nota oito aparece cinco vezes. Portanto, é indiferente, para cálculo da média somar o número
oito cinco vezes ou multiplicar esse valor por cinco: 8+8+8+8+8 = 5x8 = 40
então
x
5 1 6 5 7 6 8 5 9 3
1 5 6 5 3
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência, usaremos a média
aritmética dos valores x1, x2, ..., xk, ponderados pelas respectivas freqüências absolutas: f1, f2, ..., f k, a
média aritmética do conjunto será calculada por:
k
x
x f
f
i 1
i
i
ou
i
Lembre-se de que:
f
i
x
xi f i
n
n = número total de observações;
x valor da variável ou pontos médios de classes;
i
k quantidade de classes ou de valores individuais diferentes da variável.
Um dispositivo prático para esse cálculo é a composição da seguinte tabela:
Tabela 2.1
xi
fi
xi f i
5
6
7
8
9
1
5
6
5
3
20
5x1 = 5
6x5 = 30
7x6 = 42
8x5 = 40
9x3 = 27
104
x
x f
i
i
n
104
x 5,2
20
Quando os valores estão agrupados em classes, a tabela requer mais uma coluna, necessária
para dispor os pontos médios de classes, portanto vejamos o exemplo:
Tabela 2.2 - Notas de Teste de Raciocínio Oral de Acadêmicos da UCDB/06
l ls
Notas
fi
x f
x i
i
10├
20├
30├
40├
50├
20
30
40
50
60
5
10
15
10
5
f
_
x
x f
i
i
n
i
15
25
35
45
55
n 45
i
2
i
75
250
525
450
275
x f
i
i
1575
1575
35
45
Pratique resolvendo mais alguns exemplos: Determine a média aritmética para as seguintes
distribuições:
1) A tabela 2.3 representa as idades de crianças em Recreações: Determine a idade média das
crianças
Tabela 2.3. Idade de crianças em recreações.
x
xi
fi
xi f i
6
7
8
9
10
5
9
10
12
8
44
30
63
80
108
80
361
x f
i
n
i
361
x 8,2045 ... x 8,20 A idade média dos acadêmico é 8,2 anos
44
2) A tabela 2.4 a seguir representa as notas das provas de uma turma de acadêmicos da UCDB/08
Tabela 2.4 Notas dos acadêmicos
Notas
fi
0├
20├
40├
60├
80├
20
40
60
80
100
4
5
10
15
9
xi
li l s
2
xi f i
10
30
50
75
90
40
150
500
1125
810
x f
43
i
x
x f
i
n
i
i
2625
2625
61,046 .. x 61,05 a nota média dos acadêmicos foi de 61,05 pontos
43
LISTA DE EXERCÍCIOS 2.1 ( DA APOSTILA ATUAL)
2.2 Média Geométrica
Média geométrica de n valores é definida, genericamente, como a raiz n-ésima do produto de todos
eles. A média geométrica pode ser simples ou ponderada.
2.2.1 Média Geométrica Simples
Com n valores x1, x2, ..., xn, a média geométrica desses valores será:
xg n
x x
1
2
xn
ou
xg
n
xi
A letra (pi maiúsculo) é o símbolo para indicar o produto ou também chamado de
produtório dos valores da variável. Utilize a calculadora científica para o cálculo da média
geométrica.
Exemplos: Calcular a média geométrica dos conjuntos de números:
a) X = {12, 55, 48}
xg
n
então: x1 = 12, x2 = 55, x3 = 48 e n = 3
x x x
1
2
3
3 12 55 48 3 31680 x g 31,64
b) Y = {4, 7, 9, 6} então: x1 = 4, x2 = 7, x3 = 9, x4 = 6 e n = 4
xg n
yy y y
1
2
3
4
4 4 7 9 6 4 1512 6,2357 xg 6,24
c) Z= { 2, 4, 20, 72} então: x1 = 2, x2 = 4, x3 = 20, x72 = 72 e n = 4
x g 4 z1 z 2 z 3 z 4 4 2 4 20 72 4 11520 10,360077 x g 10,36
Utilize a calculadora científica para o cálculo da média geométrica, seguindo os seguintes passos:
(Calculadora fx -350 MS)
Digite n que é o índice da raiz a ser calculada 4, aperte a tecla da raiz
x
(use a tecla SHIFT e
)
Na calculadora você verá: 4 x ,
Continuando abriremos um parêntese para efetuar o produto dos valores (2x4x20x72)
4x (2x 4x 20x72)
Na calculadora você verá
Agora aperte a tecla igual = que já aparecerá o resultado 10,36008026 = 10,36
Com outras calculadoras, temos que verificar como elas funcionam
Pratique resolvendo mais alguns exemplos:
1) A5,7,4,9,8, 3 x g 6 5 7 4 9 8 3
x g 6 30240 x g 5,58
2) B15,9,12,9,14,13,10 x g 7 x 15 9 12 9 14 13 10
xg
x7
26535600 x g 11,5
3) C4,6,8,5, 7 x g 5 x 4 6 8 5 7
x g 5 x 6720 x g 5,83
2.2.2 Média Geométrica Ponderada
A média geométrica ponderada de um conjunto de números dispostos em uma tabela de
freqüências é por intermédio da seguinte expressão:
k
xg
fi
x x
i 1
fi
f
i
2
k
xg
fi
i 1
i
() xk
fk
k
Xi
i 1
Lembre-se que:
k
i 1
fi n
fi
Exemplo: Calcular a média geométrica para a distribuição de dados fictícios:
Tabela 2.5
xi
fi
2
4
8
24
4
2
2
1
k
f
i 1
i
=9
Resolvendo:
xg 9
4
xifi 9
i 1
4
2
4 8 24 9 16 16 64 24 9 393216 4,18
2
2
1
Pratique resolvendo mais alguns exemplos:
1) Calcular a média geométrica simples do conjunto:
4
A1,1,1,2,2,2,2,5,5,7,7,7, 7
x g 13 xifi 13 1 2 5 7 13 1 16 25 2401 13 960400 2,89
3
4
2
4
i 1
2) Calcular a média geométrica simples do conjunto:
5
A3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,6, 7
x g 12 xifi 12 3 4 5 6 71
2
3
4
2
i 1
x g 9 64 625 36 7 12 90720000 4,60
12
2.3 Média Harmônica
A média harmônica de um conjunto de valores xi é o inverso da média aritmética dos
inversos dos valores. Podemos concluir que o inverso da média harmônica é a média aritmética dos
inversos dos valores da variável.
2.3.1 Média Harmônica Simples
Dado o conjunto de n valores
xh
1
1
n
x
i 1
n
i
x1, x2 , x3 ,..., xn ; a média harmônica do conjunto será:
xh
n
n
1
x
i 1
i
Exemplo: Calcular a média harmônica simples:
1) A 20,60,120
mmc(20,60, 120) 120
n
3
3
3 120
xh n
40
1
1
1
1
6 2 1
9
20 60 120
120
i 1 xi
Pratique resolvendo mais alguns exemplos:
A 10,15,25, 30 mmc10,15,25, 30 150
n
4
4
4 150
xh n
16,67
1
1 1
1
1 15 10 6 5
36
10 15 25 30
150
i 1 xi
B 4,10,20, 30
xh
n
4
4
4 60
9,23
1
1
1
1
1
15 6 3 2
26
4 10 20 30
60
i 1 xi
n
C5,10,15, 30
xh
mmc4,10,20, 30 60
mmc5,10,15, 30 30
n
4
4
4 30
10
1
1
1
1
1
6 3 2 1
12
5 10 15 30
30
i 1 xi
n
2.3.2 Média Harmônica Ponderada
A média harmônica ponderada de um conjunto de números, dispostos em uma tabela de
freqüências, é dada pela seguinte expressão:
xh
n
n
fi
x
i 1
i
Exemplo: Calcular a média harmônica dos dados constantes da tabela:
Tabela 2.6
Classes
1├ 3
3├ 5
5├ 7
xi
2
4
6
fi
2
4
8
fi
xi
2/2=1,00
4/4=1,00
8/6=1,33
7├ 9
9 ├ 11
8
10
4
2
n
f
i 1
i
20 n
4/8=0,50
2/10=0,20
5
fi
i 1
i
x
4,03
Então temos:
n
_
xh
fi
n
x
i 1
20
4,96
4,03
i
Pratique resolvendo mais alguns exemplos:
1) Determine a média harmônica dos dados da tabela
Tabela 2.7
10 ├
14 ├
18 ├
22 ├
26 ├
Classes
14
18
22
26
30
fi
4
5
8
6
4
n
f
i 1
i
27 n
Primeiro vamos determinar o ponto médio Xi de cada classe e o valor de
fi
xi
Tabela 2.8
Classes
10 ├ 14
14 ├ 18
18 ├ 22
22 ├ 26
26 ├ 30
xi
12
16
20
24
28
n
f
i 1
i
27 n
Então temos:
n
_
xh
n
fi
x
i 1
27
18,88
1,43
i
2) Determine a média harmônica dos dados da tabela
Tabela 2.9
fi
xi
fi
4
5
8
6
4
4/12=0,33
5/16=0,31
8/20=0,40
6/24=0,25
4/28=0,14
5
fi
x
i 1
i
1,43
15 ├
20 ├
25 ├
30 ├
35 ├
Classes
20
25
30
35
40
fi
2
4
7
3
2
n
f
i 1
i
18 n
Primeiro vamos determinar o ponto médio Xi de cada classe e o valor de
fi
xi
Tabela 2.10
Classes
15 ├ 20
20 ├ 25
25 ├ 30
30 ├ 35
35 ├ 40
xi
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
fi
xi
fi
2
4
7
3
2
n
f i 18 n
i 1
2/17,5=0,11
4/22,5=0,18
7/27,5=0,25
3/32,5=0,09
2/37,5=0,05
5
fi
x
i 1
0,68
i
Então temos:
n
_
xh
n
fi
x
i 1
18
26,47
0,68
i
LISTA DE EXERCÍCIOS 2.2 DA APOSTILA ATUAL
2.4 A Moda
Denominamos moda o valor mais freqüente em uma série de valores. Dentre as principais
medidas de posição, destaca-se a moda. Quando afirmamos que o salário modal de uma empresa é
o salário mais comum, queremos dizer que esse é o salário recebido pelo maior número de
funcionários dessa empresa. Em 1895, o termo moda foi utilizado primeiramente por Karl Pearson.
2.4.1 Moda para dados de valores não-tabulados
Quando lidamos com conjunto ordenado de valores, a moda será o valor predominante, o
valor que mais se repete.
Exemplo: 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10
Xmo = 9, pois é o valor mais frequente.
Evidentemente, um conjunto de valores pode não apresentar moda, isto é, nenhum valor
aparece mais vezes que o outro. Chamamos de amodal.
Exemplos:
a) 4, 5, 6, 7, 8
ou
b) 3, 3, 4, 4, 5, 5
Nestes exemplos, podemos perceber que não há, predominância de nenhum valor dos
conjuntos sobre o outro, portanto os conjuntos são amodais.
Podemos ter conjuntos multimodais, podendo haver dois ou mais valores modais.
Chamamos então, bimodal.
Pratique resolvendo mais alguns exemplos:
1) A ( 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9,) Xmo1 = 3 e Xmo2 = 6 Bimodal
Tanto o valor 3 como o valor 6, apresentaram o maior número de observações.
2) B ( 6, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11) Xmo1 = 6 e Xmo2 = 10 Bimodal
Tanto o valor 6 como o valor 10, apresentaram o maior número de observações.
3) C ( 6, 7, 7, 7, 7, 9, 10, 10, 10, 10, 12, 15) Xmo1 = 7 e Xmo2 = 10 Bimodal
Tanto o valor 6 como o valor 10, apresentaram o maior número de observações.
2.4.2 Cálculo da moda para valores tabulados
a) Sem intervalos de classe
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o
valor de variável de maior freqüência.
i
1
2
3
4
5
6
Tabela 2.11
valor
2
5
7
10
12
15
f
3
6
9
12
6
4
Na distribuição da Tabela 2.8, à freqüência máxima (12) corresponde o valor 10 da variável.
Logo: Xmo = 10
b) Com intervalos de classe
A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. Pela definição,
podemos afirmar que a moda, neste caso, é valor dominante que está compreendido entre os limites
da classe modal.
O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe
modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta.
Temos, então: Xmo =
li ls
2
Onde:
li é o limite inferior da classe modal;
ls é o limite superior da classe modal.
Assim, para a distribuição:
Tabela 2.12 Estaturas de 40 alunos do curso de Administração/UCDB/06
i
ESTATURAS (cm)
fi
1
2
3
4
5
6
150 ├ 154
154 ├ 158
158 ├ 162
162 ├ 166
166 ├ 170
170 ├ 174
4
9
11
8
5
3
40
Temos que a classe modal é i = 3, li = 158 e ls = 162.
Vem: Xmo =
158 162 320
160
2
2
Logo: Xmo = 160 cm
Observação: Há, para o calculo da moda, outros métodos mais elaborados, por exemplo o que faz
uso da fórmula de Czuber:
1
a
Xmo = li
2
1
Na qual: li é o limite inferior da classe modal;
a é a amplitude da classe modal;
Δ1 = f(modal) - f(anterior);
Δ2 = f(modal) - f(posterior).
Assim, para a distribuição da Tabela 2.9, temos: 1 11 9 2 e 2 11 8 3
Donde: x 158 2 4 158 ( 2 4 158 2 4 158 1,6 x 159,6
mo
mo
23
23
5
Logo: Xmo = 159,6 cm
Quando estamos trabalhando com tabelas, devemos dar preferência à fórmula de Czuber.
Pratique resolvendo mais alguns exemplos:
1) Observe a tabela, sem intervalo de classe, e determine a moda.
Tabela 2.13
i
valor
fi
1
10
5
2
15
8
3
17
15
4
20
9
5
24
6
6
28
3
Na distribuição da Tabela 2.10, à freqüência máxima (15) corresponde o valor 17 da
variável. Logo: Xmo = 17
2) Observe a tabela a seguir e complete o que se pede abaixo.
Tabela 2.14 - Gasto em viagem de famílias em Campo Grande/MS/06
i
CUSTO (R$)
fi
1
450 ├ 550
8
2
550 ├ 650
10
3
650 ├ 750
11
4
750 ├ 850
16
5
850 ├ 950
13
6
950 ├ 1.050
5
7
1.050 ├ 1.150
1
64
a) Qual é a classe modal? – A classe modal é a classe de maior frequência 4ª classe onde fi=16
b) Quais os limites (li e ls) da classe modal? – li = 750 e ls = 850
c) Calcule a moda? Pela fórmula x li ls x 750 850 1600 800 x 800
mo
3. Resolva agora pela fórmula de Czuber:
2
mo
2
1
xmo li
1 2
2
mo
a
a) Qual é o limite inferior da classe modal? li = 750
b) Qual é a amplitude da classe modal? a = 100
c) Qual é o valor do Δ1 [Δ1 = f(modal) - f(anterior)]?
1 16 11 5
[Δ2 = f(modal) - f(posterior)]? 2 16 13 3
d) Qual é o valor do Δ2
e) Calcule a moda.
1
5
5
a x mo 750
x mo li
100 750 100 750 62,5 x mo 812,5
5
3
8
1
2
LISTA DE EXERCÍCIOS 2.3 DA APOSTILA ATUAL
2.5 A Mediana (Xmd)
A mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro
de uma serie de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a
mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado
de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
2.5.1 Cálculo da mediana para dados não tabulados dispostos em rol.
Dadas uma série de valores, como, por exemplo: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9.
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou
decrescente) dos valores: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18.
Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de elementos à
direita e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o 10, já que nessa série, há quatro elementos
acima dele e quatro abaixo. Observemos que a série tem um número ímpar de elementos.
Temos, então: Xmd = 10
Se, porém, a série dada tiver um número par de elementos, a mediana será por definição a
média aritmética dos dois termos centrais.
Assim, a série de valores: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 tem para mediana a média aritmética
entre 10 e 12.
Logo: Xmd =
10 12 22
11 Donde: Xmd = 11
2
2
Verificamos que, estando ordenados os valores de uma série e sendo n o número de
elementos da série, o valor mediano será:
- o termo de ordem n 1 , se n for ímpar, ou seja,
2
xmd x n1
2
n n
e 1, se n for par, ou seja xmd
- a média aritmética dos termos de ordem
2 2
xn xn
2
Exemplos:
2
1
2
1) Na série 3, 7, 8, 9, 12, 13, 16, 18, 20:
Como n = 9, ímpar, temos 9 1 5. Logo, a mediana é o 5º termo da série, isto é:
2
xmd x5 xmd 12
2) Na série 12, 16, 17, 20, 22, 23, 28, 31:
Como n = 8, temos
termos da serie, isto é:
8
8
4 e 1 5. Logo, a mediana é a média aritmética do 4º e 5º
2
2
xmd
x 4 x5
20 22 42
21 xmd 21
2
2
2
Observações:
- O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série, como vimos. Quando o
número de elementos da série é ímpar, há coincidência. O mesmo não acontece, porém, quando
esse número é par.
- A mediana e a média aritmética não têm, necessariamente, o mesmo valor. Na primeira série
apresentada, por exemplo, temos:
x
2 5 6 9 10 13 15 16 18 94
10,44 e
9
9
xmd 10
A mediana como podemos observar, depende da posição e não dos valores dos elementos
na série ordenada. Essa é uma das diferenças marcantes entre a mediana e a média (que se deixa
influenciar, e muito, pelos valores extremos). Esta propriedade da mediana pode ser constatada
através dos exemplos:
5, 7, 10, 13, 15 x 10 e Xmd 10
5, 7, 10, 13, 65 x 20 e Xmd 10
Isto é, média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência
dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma. A mediana é designada, muitas
vezes, por valor mediano.
2.5.2 Cálculo da mediana para dados tabulados
Se os dados se agrupam em uma distribuição de frequência, o cálculo da mediana se
processa de modo muito semelhante àquele dos dados não-agrupados, implicando, porém, a
determinação prévia das freqüências acumuladas. Ainda aqui, temos que determinar um valor tal
que divida a distribuição em dois grupos que contenham o mesmo número de elementos. A
posição da mediana de uma distribuição, a partir de qualquer um dos extremos, é dada por:
PXmd =
f
i
2
a) Sem intervalos de classe
Neste caso, basta identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à metade da
soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal freqüência
acumulada.
Tomemos a distribuição relativa à Tabela 6.1, completando-a com a coluna correspondente
à freqüência acumulada:
Tabela 2.15 - N° de meninos/família em uma comunidade
Nº de meninos
fi
fa
0
2
2
1
6
8
2
10
18
3
12
30
4
4
34
34
f
34
17 , em seguida devemos procurar o valor da mediana pela coluna de fa , na
2
2
coluna das freqüências acumuladas; a menor freqüência acumulada que supera esse valor é 18, que
corresponde ao valor 2 da variável, sendo então este o valor mediano.
Logo: x md = 2 meninos / família
Sendo:
i
Pratique resolvendo mais alguns exemplos:
1) Na tabela temos as notas obtidas em testes pelos alunos de uma sala. Qual a pontuação mediana
destes alunos.
Tabela 2.16 – Notas dos testes dos alunos do 1° ano
Notas
fi
fa
2
2
2
4
3
5
6
10
15
8
14
29
10
11
40
40
Sendo:
f
i
2
40
20 , em seguida devemos procurar o valor da mediana pela coluna de fa , na
2
coluna das freqüências acumuladas; a menor freqüência acumulada que supera esse valor é 29, que
corresponde ao valor 8 da variável, sendo então este o valor mediano.
Logo: x md = 8 a nota mediana desta turma é 8
2) Na tabela temos os valores pagos por contribuintes para uma ação social comunitária. Qual o
valor mediano pago?
Tabela 2.17 Valores pagos por contribuintes
Valores (R$)
fi
fa
10
18
18
15
15
33
20
10
43
25
12
55
30
8
63
63
Sendo:
f
2
i
63
31,5 , em seguida devemos procurar o valor da mediana pela coluna de fa ,
2
na coluna das freqüências acumuladas; a menor freqüência acumulada que supera esse valor é 33,
que corresponde ao valor 15 da variável, sendo então este o valor mediano.
Logo: x md = 15 o valor mediano pago pelos contribuintes é de R$ 15,00
Lista de exercícios 2.4 da apostila atual
b) Com intervalos de classe
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está
compreendida a mediana.
Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha a mediana - classe
mediana. Tal classe será evidentemente, aquela correspondente à freqüência acumulada
imediatamente superior a PXmd =
f
2
i
.
Assim, considerando a distribuição da Tabela 2.13, acrescida das freqüências acumuladas:
Tabela 2.18 - Estaturas de 40 alunos do curso de Administração/UCDB/08
Estaturas (cm)
fi
Fa
150 ├ 154
4
4
154 ├ 158
9
13
24 classe mediana
158 ├ 162
11
162 ├ 166
8
32
166 ├ 170
5
37
170 ├ 174
3
40
total
40
f
40
i
20
2
2
Como há 24 valores incluídos nas três primeiras classes da distribuição e como
pretendemos determinar o valor que ocupa o 20º lugar. Partindo do início da série, vemos que este
deve estar localizado na terceira classe (i=3), supondo que as freqüências dessas classes estejam
uniformemente distribuídas. Como há 11 elementos nessa classe e o intervalo de classe é igual a 4,
devemos tomar, a partir do limite inferior, a distância:
Temos: Pxmd =
fi
Fa ( ant ) a
2
f Xmd
Aplicando a fórmula
Temos:
20 13 4 7 4 28
11
11
11
Então, a mediana será dada por:
fi
Fa (ant ) a
2
Xmd = li
= 158 7 4 158 28 158 2,54 160,54
f Xmd
11
11
Portanto: Xmd = 160,5 cm
Na prática, executamos os seguintes passos:
1º) Determinamos as freqüências acumuladas.
2º) Calculamos
PXmd =
f
i
2
posição da classe mediana e, em seguida, empregamos a fórmula:
fi
Fa (ant ) a
Xmd = li 2
f Xmd
Na qual:
li o limite inferior da classe mediana;
Fa(ant) é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana;
F (Xmd) é a freqüência simples da classe mediana;
a é a amplitude do intervalo da classe mediana.
Tomando como exemplo a distribuição anterior, temos:
f
2
i
40
20
2
Logo, a classe mediana é a ordem 3. Então:
li 158, F(ant) = 13, f(Xmd) = 11 e a = 4
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
Xmd = 158 +
20 134 158 28 158 2,54 160,54,
Isto é: Md = 160,5 cm
11
11
Pratique resolvendo mais alguns exemplos:
1) Considere a tabela que apresenta os salários dos funcionários de uma empresa. Calcular
o salário mediano destes funcionários.
Tabela 2.19 – Salários dos funcionários da empresa TAL&CIA
Salários (R$)
500 ├ 600
600 ├ 700
700 ├ 800
800 ├ 900
900 ├ 1000
1000 ├ 1100
total
Temos: Pxmd =
f
2
i
fi
8
12
15
18
16
8
77
Fa
8
20
35
53 classe mediana
69
77
77
38,5
2
Como há 53 valores incluídos nas quatro primeiras classes da distribuição e como
pretendemos determinar o valor que ocupa o 38,5º lugar. Partindo do início da série, vemos que
este deve estar localizado na quarta classe (i=4), supondo que as freqüências dessas classes estejam
uniformemente distribuídas. Como há 18 elementos nessa classe e o intervalo de classe é igual a
100, vamos aplicar a fórmula, para o calculo da mediana que será dada por:
fi
Fa (ant ) a
2
Xmd = li
= 800 38,5 35 100 800 5,5 100 800 30,56 830,56
f Xmd
18
18
Portanto: Xmd = 830,56 O salário mediano dos funcionários desta empresa é de R$ 830,56
Observação: No caso de existir uma freqüência acumulada exatamente igual a
mediana será limite superior da classe correspondente.
Lista de exercícios 2.5 da apostila atual
c) Emprego da mediana
Empregamos a mediana quando:
a) Desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;
b) Há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média;
c) A variável em estudo é salário, renda ou custo.
2.6 Posição Relativa da Média, Mediana e Moda
f
2
i
, a
Quando uma distribuição é simétrica, as três medidas coincidem. Porém, a assimetria tornaas diferentes e essa diferença é tanto maior quanto maior é a assimetria. Assim, em uma distribuição
em forma de sino, temos:
x = xmd = Mo, no caso da curva simétrica;
Mo < xmd < x , no caso da curva assimétrica positiva;
x < xmd < Mo, no caso da curva assimétrica negativa.
Atividade 2.1 da apostila atual
