título do resumo

TESTES DE CONVERGÊNCIA PARA INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Nágela Faustino (UEL), Albo Carlos Cavalheiro (Orientador), e-mail:
[email protected].
Universidade Estadual de Londrina/Departamento de
Matemática/Londrina, PR.
Área: Matemática/ Subárea: Análise/ Especialidade: Teoria da integração.
Palavras-chave: Integral imprópria, Teste limite da comparação, Teste de
Dirichlet.
Resumo
Neste trabalho estudamos integrais impróprias de funções contínuas em
intervalos infinitos do tipo
, e apresentamos dois resultados de
convergência.
Introdução
No estudo de funções integráveis segundo Riemann uma condição necessária
é que a função seja limitada em um intervalo compacto (ou seja, intervalo
fechado e limitado). Se uma dessas duas condições são omitidas, a teoria não
se aplica mais, é necessário fazer uma extensão do conceito de integral.
Participantes e Métodos
Definição 1. Seja
. Definimos
uma função integrável em
, para todo
desde que o limite exista e seja finito. Tal limite denomina-se integral imprópria
de estendida ao intervalo
.
Exemplo 1. Considere a função
casos:
Caso 1: Se
,
. Temos 2
então
1
Caso 2: Se
então
Vamos apresentar dois resultados que é sobre convergência de integral
imprópria.
Teorema 1. (Teste Limite da Comparação) Suponha que f e g são integráveis
em
,
e
em algum intervalo
de
,e
(a) Se
, então
e
ambas divergem.
(b) Se
e
, então
(c) Se
e
é convergente, então
ou ambas convergem ou
.
é convergente .
Demonstração. Veja o Theorem 3.4.7 em [3].
Exemplo 2. Considere a função
no intervalo
imprópria
. Vamos determinar para que valores de p e q a integral
é convergente. A função
intervalo
para
,e
é integrável em qualquer
e usando o Exemplo 1, temos que
Do Teorema 1 implica que
converge se
Teorema 2. (Teste de Dirichlet) Seja
escrita da forma
. Suponha que
.
, uma função que pode ser
2
i)
é contínua para
e que as integrais parciais
sejam limitadas (ou seja,
, para todo
).
ii)
é uma função monotônica decrescente para zero quando
Então a integral infinita
.
é convergente.
Demonstração. Veja o Teorema 32.9 em [1].
Exemplo 3. Seja
Fresnel
para
e consideremos a Integral de
É claro que a integral sobre [0,1] existe; examinaremos, assim, apenas a
integral sobre
. Fazendo a substituição
e aplicando o Teorema
da Mudança de Variável (veja o Teorema 30.12 [1]), obtemos
Pelo Teorema 2 (com
quando
e
a integral a direita converge
; segue-se, portanto, que
é convergente.
Resultados e Discussão
As integrais impróprias do tipo
diferem das integrais definidas
porque um dos limites de integração não é um número real. Diz-se que tais
integrais convergem se o limite
existe e é finito. Neste trabalho
apresentados dois testes que garantem a convergência da integral imprópria.
Conclusões
As integrais impróprias em que o intervalo é infinito possuem muitas
aplicações. Por exemplo, na teoria das equações diferencias, se
é uma
função, então a transformada de Laplace de
é definida por
, ou seja, é uma integral imprópria. Outra aplicação
importante da integral imprópria é a função gama
é convergente para todo
que
.
3
Referências
[1] BARTLE, Robert G. Elementos de Análise Real. Rio de Janeiro: Editora
Campus, 1983.
[2] GUIDORRIZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo, volume 2, 5. ed. Rio
de Janeiro: LTC, 2001.
[3] TRENCH, William F. Introduction to Real Analysis. Pearson Education,
2009.
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